Про класифікацію нелінійних систем з обмеженнями на керування в околі точки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

УДК 517.977

ПРО КЛАСИФІКАЦІЮ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ З

ОБМЕЖЕННЯМИ НА КЕРУВАННЯ В ОКОЛІ ТОЧКИ

01.01.02 - Диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Бархаєв Павло Юрійович

Харків - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, Скляр Григорій Михайлович, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, м. Харків, професор кафедри диференціальних рівнянь та керування.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Ковальов Олександр Михайлович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк, виконуючий обов'язки директора;

доктор фізико-математичних наук, професор Плотніков Андрій Вікторович, Одеська державна академія будівництва та архітектури, м. Одеса, проректор з науково-педагогічної роботи.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка (кафедра інтегральних та диференціальних рівнянь), м.Київ.

Захист відбудеться 27 грудня 2005р. o 15-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 при Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитися в Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4.

Автореферат розісланий "23" листопада 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Скорик В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертація присвячена побудові класифікації нелінійних керованих систем диференціальних рівнянь. За останні тридцять років у цій галузі було надруковано велику кількість наукових праць у провідних світових виданнях. Зокрема, необхідно відзначити праці таких авторів, як А.О.Аграчов, Р.В.Гамкрелідзе, Г.М.Скляр, С.Ю.Ігнатович, H.Hermes, H.Sussmann, A.Bellaiche, R.Brockett, A.Bressan, E.Sontag, M.Kawski, P.Crouch, G.Stefani. Метою задачі класифікації є вивчення розбиття множини керованих систем на класи систем, що еквівалентні у заданому сенсі, та подальшому знаходженню представників класів - систем найбільш простого вигляду, що мають суттєві властивості класу (наприклад, керованість). Таким чином, важливість задачі побудови наближення (канонічної форми) нелінійної системи та класифікації систем полягає, зокрема, у можливості подальшого використання цієї побудови при дослідженні інших основних задач теорії керування, а саме, задач апроксимації, керованості, синтезу, оптимального керування.

У дисертації досліджена задача алгебраїчної класифікації нелінійних афінних систем із багатьма керуваннями в околі точки спокою. Системи розглядаються з різними обмеженнях на керування. Техніка дослідження базується на поданні оператора “вхід-вихід”, що породжується системою, у вигляді ряду нелінійних степеневих моментів. Метод рядів, що отримав розвиток у роботах А.О.Аграчова, Р.В.Гамкрелідзе, А.І.Третьяка, Г.М.Скляра, С.Ю.Ігнатович, M.Fliess, M.Kawski та інших є одним з найбільш ефективних інструментів у теорії керування. За допомогою переходу до рядів досліджувалися задачі апроксимації, керованості, оптимального керування.

У 1981 році M.FliessFliess M. Fonctionnelles causales non lineaires et indeterminees non commutatives // Bull. Soc. Math. France. - 1981. - No. 109. - P. 3 - 40. запропонував зводити задачу дослідження ряду до дослідження властивостей деякої вільної асоціативної алгебри. Зокрема, запропонований підхід дозволив вирішити задачу реалізації ряду Фліса у вигляді системи.

Проте, для дослідження задачі попадання у точку спокою більш зручним є перехід до ряду нелінійних степеневих моментів, що був вперше введений Г.М.Скляром та С.Ю.Ігнатович. Вільна асоціативна алгебра, що відповідає цьому ряду, є, на відміну від алгебри Фліса, породженою нескінченною кількістю утворюючих елементів. За допомогою вивчення алгебри нелінійних степеневих моментів отримана алгебраїчна класифікація нелінійних афінних систем з одним керуванням у розумінні швидкодії Sklyar G.M., Ignatovich S.Yu. Approximation of time-optimal control problems via nonlinear power moment min-problems // SIAM J. on Control and Optimiz. - 2003. - Vol. 42, No. 4. - P. 1325 - 1346..

Але невирішеним залишилося питання про класифікацію систем з багатьма керуваннями, та, що важливіше, при інших (відмінних від ) обмеженнях на керування. Важливість цієї задачі зумовлена тим, що в багатьох прикладних проблемах характер обмежень на керування визначає вигляд найкращого наближення (канонічної форми). Так, наприклад, у випадку систем з одновимірним керуванням, лінійне (“перше”) наближення системи та наближення в розумінні швидкодії можуть не співпадати. Треба також відзначити, що навіть для лінійних систем з багатьма керуваннями побудова канонічних форм системи (що залежать від обмежень на керування) виявляється змістовною задачею.

Таким чином, актуальною є задача класифікації нелінійних афінних керованих систем при достатньо широкому класі обмежень на керування.

У дисертації отримали розвиток алгебраїчні методи дослідження, а саме, досліджені структури, що породжуються системою та обмеженнями на керування в алгебрі нелінійних степеневих моментів. Система породжує структуру правого ідеалу, різні обмеження на керування породжують різні градуювання алгебри. Задача знаходження канонічної форми системи відповідає знаходженню деякого базису алгебри моментів, що залежить від правого ідеалу та градуювання алгебри, та подальшого переходу від первісного базису до нового. Таким чином, на відміну від попередніх робіт, у дисертації розглядається достатньо широкий клас градуювань алгебри, що спричиняє суттєві відмінності в техніці, що використовується. Так, показано: якщо у випадку “скінченновимірних” градуювань побудова канонічної форми можлива за допомогою поліноміальних перетворень системи, то у випадку “нескінченновимірних” градуювань необхідно застосовувати, взагалі кажучи, аналітичні перетворення.

Таким чином, для розв'язання задачі про класифікацію нелінійних афінних систем з багатьма керуваннями в околі точки спокою одним з основних кроків є дослідження правих ідеалів та розкладань алгебри нелінійних степеневих моментів за різних градуювань.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження виконано на кафедрі математичного аналізу Харківського національного університету імені В.Н.Каразіна в межах держбюджетної науково-дослідної теми за реєстраційним номером № 0103U004226 “Аналітичні та алгебраїчні методи в теорії диференціальних рівнянь та теорії керування”.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова класифікації афінних керованих систем для достатньо широкого класу обмежень на керування.

Об'єкт дослідження. Нелінійні афінні керовані системи звичайних диференціальних рівнянь в околі точки спокою з обмеженнями на керування, задачі попадання в точку спокою для таких систем.

Предмет дослідження. Ряд нелінійних степеневих моментів, що відповідає задачі попадання в точку спокою для нелінійної афінної керованої системи диференціальних рівнянь. Алгебра нелінійних степеневих моментів, різні базиси алгебри. Канонічна форма системи та класифікація керованих систем із різними обмеженнями на керування.

Методи дослідження. У дослідженнях дисертаційної роботи використовуються наступні методи: теорії диференціальних рівнянь (у підрозділах 2.1, 3.5, 4.5), теорії керування (у підрозділах 2.1, 3.1, 3.5, 4.3, 4.5), теорії вільних градуйованих асоціативних алгебр і алгебр Лі (підрозділи 2.2, 2.3, 3.1-3.4, 4.2, 4.4).

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що в роботі вперше побудована класифікація систем з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування, що належать достатньо широкому класу.

Ця класифікація спирається на дослідження структури правого ідеалу, що породжується нелінійною системою та обмеженнями на керування в градуйованій алгебрі нелінійних степеневих моментів.

Зокрема, суттєво новими є результати, що отримані для випадку нескінченновимірних градуювань. А саме, в роботі вперше:

1. Повністю вивчено випадок скінченновимірних градуювань та правих ідеалів, що породжуються однорідними Лі-елементами. Побудовано розкладання алгебри нелінійних степеневих моментів за правим ідеалом, що відповідає системі. Побудовано базис алгебри нелінійних степеневих моментів, що відповідає системі.

2. Для широкого класу нескінченновимірних градуювань знайдено спосіб побудови правого ідеалу, що відповідає системі, та досліджено структуру таких ідеалів. Побудовано розкладання алгебри нелінійних степеневих моментів за правим ідеалом та відповідний базис. Запропоновано також, метод переходу до “апроксимуючого” скінченновимірного градуювання, вигляд якого залежить від правого ідеалу, що відповідає системі.

3. Побудована класифікація афінних систем в околі точки спокою з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування, що приводять до скінченновимірних градуювань. Показано, що канонічна форма системи може бути знайдена за допомогою поліноміального перетворення ряду, та наведено побудову такого перетворення.

4. Побудована класифікація афінних систем в околі точки спокою з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування, що приводять до широкого класу нескінченновимірних градуювань. Показано, що привести систему до канонічної форми за допомогою поліноміальних перетворень, взагалі кажучи, неможливо. Доведено, що канонічна форма може бути побудована за допомогою аналітичного перетворення. Наведено спосіб побудови такого перетворення.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. У дисертації отримала подальший розвиток теорія нелінійних керованих систем. Зокрема, отримані результати можуть бути використані для подальшого дослідження задач апроксимації, асимптотичної поведінки, керованості, оптимального керування тощо для нелінійних керованих систем. Матеріали, що містяться в дисертації, можуть бути корисними для читання спецкурсів та проведення семінарів з нелінійної теорії керування.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що представлені до захисту,отримано здобувачем особисто. У роботі [1] здобувачеві належать теорема 2 та доведення теореми 4. У роботі [2] здобувачеві належить теорема 1. У роботі [4] здобувачеві належать теорема 2.1, пункти 3.2, 3.3, 3.6, 3.7, 3.9 та параграф 4, зокрема, теорема 4.29.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися та обговорювалися на Міжнародній математичній конференції, що була присвячена 80-річчю академіка В.А. Марченка (м. Харків, 2002 р.), на Міжнародній літній школі з математичної теорії керування, що проводилася центром Банаха (Bedlewo-Warsaw, Poland, 2002 р.), на Математичному симпозіумі “Первые Каразинские естественнонаучные студии” (м. Харків, 2004 р.), на Міжнародній науковій конференції "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (м. Донецьк, 2005 р.), на науковому семінарі відділу прикладної механіки Інституту прикладної математики та механіки НАН України (м.Донецьк), на науковому семінарі з теорії керування та науковому семінарі з алгебри механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.Н.Каразіна.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи містяться у 4-х статтях [1], [2], [3], [4], які опубліковані у наукових виданнях, що включені до переліку ВАК України.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації складає 169 сторінок. Список літератури займає 10 сторінок і містить 121 найменування. Результати, що виносяться на захист, формулюються та доводяться у розділах 2 - 4.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність наукової проблеми, що розглядається в дисертації, визначено мету і задачі дослідження, наведено оцінку наукової новизни отриманих результатів.

У першому розділі наведено огляд літератури та основні результати, що отримано у роботі. Введено основні об'єкти, що досліджуються, та визначається напрямок дослідження.

Другий розділ присвячений розгляду представлення задачі попадання у точку спокою у вигляді ряду, алгебрі нелінійних степеневих моментів, що породжується даним представленням, та градуюванням алгебри, що породжуються обмеженнями на керування. А саме, розглянуто афінні нелінійні керовані системи наступного вигляду

(1)

де - аналітичні вектор-функції в околі нуля у просторі . Будемо вважати, що є стаціонарною точкою системи, тобто для деякого . Системи вигляду (1) позначаються як . Будемо вважати, що керування визначено на відрізку (де - деяке фіксоване число) та належать деякій підмножині замкненої одиничної кулі простору , тобто .

Для цього класу систем розглядаємо задачу попадання в точку спокою за скінченний час . Будемо позначати через оператор “вхід-вихід”, що зіставляє деякому часу та керуванню точку , таку, що траєкторія системи диференціальних рівнянь , що починається у точці у момент часу , попадає в точку у момент часу .

У підрозділі 2.1 доведено наступну теорему про зображення оператора у вигляді абсолютно збіжного ряду нелінійних степеневих моментів при різних обмеженнях на функції керування.

Теорема 2.1. Нехай вектор-функції є аналітичними в деякому околі нуля з , та є точкою спокою системи. Тоді існує число таке, що для будь-якого оператор (шо визначений для припустимих керувань ) може буди зображений у вигляді ряду нелінійних степеневих моментів

(2)

де степеневі моменті , що приймають участь у зображенні, визначаються формулою

(3)

Постійні векторні коефіцієнти визначені формулою

(4)

де

, , ,

та задовольняють оцінку

для деяких .

Таким чином, вигляд системи (1) однозначно визначається набором коефіцієнтів . Підкреслимо, що ці коефіцієнти підраховуються у кінцевій точці траєкторії () та у початковий момент часу ().

У підрозділі 2.2 показано, що множина нелінійних степеневих моментів має структуру асоціативної алгебри, що позначається як . Доведено, що алгебра нелінійних степеневих моментів, що розглядається на класах припустимих керувань, є вільною.

Теорема 2.3. Розглянемо клас керувань:

де - додатні функції, що монотонно неспадають на .

Тоді нелінійні степеневі моменти (3) є лінійно незалежними, як функціонали над , і,таким чином, алгебра є вільною алгеброю.

Далі у підрозділі 2.2 досліджується операція добутку нелінійних моментів як функціоналів. Вводиться абстрактна вільна асоціативна алгебра, що ізоморфна алгебрі нелінійних моментів . В абстрактній алгебрі введено комутативну операцію shuffle-добутку.

Означення 2.3. Операція shuffle-добутку на алгебрі с одиницею визначається наступною рекуррентною формулою:

у припущенні, що для будь-якого .

Доведено, що ця операція відповідає добутку степеневих моментів як функціоналів, отже, доведено замкненість алгебри відносно останньої операції.

Теорема 2.3. Множина нелінійних степеневих моментів може бути наділена структурою вільної асоціативної алгебри, що замкнена відносно операції добутку моментів як функціоналів над .

Важливе значення має Лі алгебра над полем дійсних чисел , що породжена множиною одновимірних нелінійних степеневих моментів з операцією .

Підрозділ 2.3 присвячено поняттю градуювання в алгебрі та обмеженням на керування, що призводять до градуювань. Градуюванням називаємо пару , де та для будь-яких . Різні обмеження на керування у системі відповідають різним градуюванням алгебри.

Введено клас канонічних градуювань, представники якого відповідають припустимим обмеженням на керування в системах. Канонічним є таке градуювання, що кожен елемент належить деякому підпростору та якщо в напівгрупі для деяких виконано рівність , то . Розглянуто приклади обмежень на керування та градуювань алгебри. Наведений повний опис канонічних скінченновимірних градуювань з напівгрупою . Скінченновимірним є таке градуювання , що кожен підпростір є скінченновимірним та для будь-яких двох елементів існує не більш ніж скінченна множина таких елементів, що .

Теорема 2.4. Нехай алфавіт алгебри представлено у вигляді об'єднання скінченних підмножин, що не перетинаються: (деякі можуть бути порожніми). Визначемо підпростори наступною формулою:

(5)

Тоді є канонічним скінченновимірним градуюванням.

Теорема 2.5. Нехай - канонічне скінченновимірне градуювання. Тоді існує таке розбиття базису на скінченні множини: , що співпадають з підпросторами вигляду (5).

Введено клас вільнопороджених градуювань з напівгрупою без співвідношень між елементами, окрім тих, що забезпечують комутативність напівгрупи. Однорідні підпростори мають вигляд . Цей клас досліджено у підрозділах 4.2 та 4.3.

Підрозділ 2.4 присвячено формулюванню задачі класифікації нелінійних афінних систем в околі точки спокою. Введемо лінійне відображення , яке діє за наступним правилом: . Розглянемо n-вимірну () афінну систему вигляду (1) з обмеженнями на керування з деякого класу . Нехай обмеженням відповідає градуювання та множина порядків є повністю впорядкованою. Будемо підсумовувати абсолютно збіжний ряд відповідно з порядком у напівгрупі :

де - нелінійні функціонали, що діють наступним чином:

, та позначає порядок моменту у градуюванні . Отже, ряду можливо поставити у відповідність нескінченну матрицю функціоналів

(6)

де , та по стовпчикам матриця записана відповідно до порядку у напівгрупі від меншого до більшого.

Нехай матриця має верхнє-блочно-трикутну форму, тобто існують такі елементи напівгрупи , що при та . Тоді матрицю будемо називати діагоналлю матриці . Ряд, що відповідає матриці , будемо позначати через . Нехай лінійне відображення визначає коефіцієнти ряду : .

Означення 2.10. Будемо казати, що ряд приведено до канонічної форми, якщо виконано наступні умови:

1. матриця вигляду (6) має верхнє-блочно-трикутну форму;

2. для ряду виконана умова щодо розмірності образу Лі-алгебри: .

Означення 2.11. Ряд називаємо головною частиною ряду . Систему , для якої , називаємо апроксимуючою системою для . Системи та називаємо еквівалентними, якщо головні частини їх рядів співпадають с точністю до деякого невиродженого перетворення, тобто .

Задача класифікації нелінійних афінних систем: вивчити розбиття множини n-вимірних систем з обмеженнями на керування з заданого класу на класи еквівалентних систем та вирішити наступні задачі:

1. знайти критерій того, що дві системи є еквівалентними;

2. для кожної n-вимірної системи знайти однорідну апроксимуючу систему , ряд якої дорівнює головній частині канонічної форми первісної системи .

У третьому розділі розглянуто клас нелінійних керованих систем з обмеженнями на керування, що приводять до випадку скінченновимірних градуювань в алгебрі . Розкладання алгебри в ортогональну суму деяких підпросторів дозволяє знайти канонічну форму нелінійної системи та побудувати класифікацію систем в околі точки спокою. Підрозділ 3.1 присвячено використанню наслідку з теореми R.Ree Ree R. Lie elements and an algebra associated with shuffles // Annals of Math. - 1958. - Vol. 68, No. 2. - P. 210 - 220. при побудові канонічної форми та знаходженні головної частини ряду.

Наслідок 3.3. Нехай система (1) переходить у систему , за допомогою заміни змінних .

Будемо вважати, що ряд має вигляд (2) та ряд має вигляд . Тоді для будь-якого виконана рівність .

Знайдено класи так званих вільних систем, для яких канонічна форма системи може бути знайдена за допомогою наслідку з теореми R.Ree. Вигляд таких класів залежить від обмежень на керування.

Означення 3.1. Систему , якій відповідає ряд та градуювання , називаємо вільною, якщо виконані умови:

1. коефіцієнти ряду такі, що знайдеться найменше з усіх можливих, таке що ;

2. розмірність системи така, що для з попереднього пункту виконано: .

Теорема 3.2. Нехай n-вимірна афінна система вигляду (1) з обмеженнями на керування з класу є вільною та обмеженням відповідає градуювання і є таким базисом що при . Тоді існує невироджене аналітичне перетворення околу нуля (), що приводить ряд до канонічної форми

де порядок усіх доданків більший ніж .

На прикладах показано спосіб побудови поліноміального відображення , що приводить ряд до канонічної форми.

У підрозділі 3.2 на прикладах розглянуто ті труднощі, що виникають при дослідженні невільних систем, а саме, випадок, коли застосування теореми R.Ree не дозволяє побудувати канонічну форму системи. Показано, що такий випадок породжує структуру правого ідеалу в алгебрі.

Підрозділ 3.3 присвячено дослідженню правих ідеалів, що породжуються однорідними в деякому скінченновимірному градуюванні елементами. Клас таких ідеалів позначається через . Доведено наступну лему.

Лема 3.6. Нехай та ідеал . Тоді вірно наступне ортогональне розкладання: .

У підрозділі 3.4 зроблено узагальнення теореми R.Ree на випадок правих ідеалів, що породжуються однорідними елементами в деякому скінченновимірному градуюванні.

Теорема 3.3 (про ортогональний розклад алгебри ). Нехай - множина -однорідних Лі елементів та . Припустимо, що є базисом та доповнюють до усього базису . Тоді елементи (де є проекція елемента на ) утворюють базис . Більш того, має місце наступне зображення , де - ортогональна проекція на та .

У підрозділі 3.5 на основі отриманих в підрозділі 3.4 алгебраїчних результатів побудовано класифікацію нелінійних афінних систем вигляду (1) з багатьма керуваннями в околі точки спокою з обмеженнями на керування з деякого класу , що відповідають скінченновимірному градуюванню. Позначаємо через клас таких систем.

Теорема 3.4 (про класифікацію канонічних форм). Нехай , де - канонічне скінченновимірне градуювання. Будемо вважати, що є базисом підпростору та , .

Тоді існує невироджене поліноміальне перетворення околу нуля, , що приводить ряд до наступної канонічної форми:

(7)

де

.

У доведенні теореми наведено конструктивний метод побудови поліноміального перетворення .

Підрозділ 3.6 присвячено обговоренню суттєвості вимог означення скінченновимірних градуювань. Зокрема показано, що вимога 2 (для будь-яких двох елементів існує не більш ніж скінченна множина таких елементів , що ) цього означення не є суттєвою при доведенні теореми 3.3, але є важливою для доведення теореми 3.4.

У четвертому розділі досліджені системи з обмеженнями на керування, яким відповідають нескінченновимірні градуювання. У підрозділі 4.1 відокремлюється клас правих ідеалів, де множина така, що , .

У підрозділах 4.2 та 4.3 для широкого класу нескінченновимірних градуювань запропоновано метод переходу до апроксимуючого скінченновимірного градуювання, вигляд якого залежить від правого ідеалу, що відповідає системі. Побудовано перетворення системи, що приводить ряд до канонічної форми, та доведена наступна теорема про класифікацію.

Теорема 4.1. Нехай - вільнопороджене градуювання, що відповідає обмеженням системи (1), - аппроксимуюче градуювання, система є n-вимірною () та перетворення у системі приводить ряд до вигляду (7). Тоді існує аналітична невироджена заміна змінних , що приводить ряд до вигляду

де не містить елементів вигляду , , и .

Наведено конструктивний метод побудови поліноміального перетворення та розглянуто приклад.

Підрозділ 4.4 присвячено узагальненню теореми R.Ree на випадок правих ідеалів, що породжуються однорідними в деякому нескінченновимірному градуюванні елементами. Подальші дослідження спираються на наступну змістовну лемму про розкладання алгебри в суму ідеалу та його ортогонального доповнення.

Лема 4.1. Нехай - канонічне нескінченновимірне градуювання та множина , що складається з -однорідних елементів така, що . Припустимо також, що для будь-якого виконана нерівність . Тоді має місце наступне зображення алгебри

.

Узагальнено теорему R.Ree на випадок ідеалів, що побудовані у нескінченновимірному градуюванні.

Теорема 4.3 (теорема про зображення алгебри ). Нехай - множина -однорідних Лі елементів, що породжує правий ідеал , де - канонічне нескінченновимірне градуювання. Припустимо, що є базисом та доповнює до усього базису . Тоді елементи є базисом . Більш того, має місце зображення , де - ортогональна проекція на та .

У підрозділі 4.5 на основі отриманих у підрозділі 4.4 алгебраїчних результатів наведена класифікація нелінійних афінних систем з багатьма керуваннями в околі точки спокою з обмеженнями на керування, що відповідають нескінченновимірному градуюванню.

Теорема 4.4 (про класифікацію канонічних форм). Розглянемо систему , де - канонічне нескінченновимірне градуювання. Припустимо, що однорідні елементи є базисом .

Тоді існує невироджене аналітичне перетворення околу нуля, , що приводить до наступної канонічної форми

(8)

де

.

Відзначимо, що теорема носить конструктивний характер. Зокрема показано, що відображення , що приводить ряд до канонічної форми, будується як композиція скінченного числа аналітичних перетворень.

Наслідок 4.4. Для кожної n-вимірної системи існує однорідна апроксимуюча система , ряд якої дорівнює головній частині канонічної форми.

Наслідок 4.5. Дві n-вимірні системи мають одну й ту ж апроксимуючу систему тоді й тільки тоді, коли .

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі побудована алгебраїчна класифікація нелінійних афінних систем в околі точки спокою з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування з достатньо широкого класу. До теперішнього часу це питання було розглянуто для афінних систем з одновимірним керуванням та з обмеженнями на керування вигляду .

Основні результати, що отримано у роботі, полягають у наступному:

1. Отримано зображення оператора “вхід-вихід”, що відповідає системі, у вигляді ряду нелінійних степеневих моментів, що абсолютно збігається. Побудовано алгебру моментів та доведено, що вона є вільною при різних класах обмежень на керування. Градуювання алгебри, що породжуються обмеженнями на керування, поділено на два класи: скінченновимірні та нескінченновимірні.

2. Повністю вивчено випадок скінченновимірних градуювань та правих ідеалів, що породжуються однорідними Лі-елементами. Побудовано розкладання алгебри нелінійних степеневих моментів за правим ідеалом, що відповідає системі. Побудовано базис алгебри нелінійних степеневих моментів, що відповідає системі. Побудована класифікація афінних систем в околі точки спокою з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування, що приводять до скінченновимірних градуювань. Показано, що канонічна форма системи може бути знайдена за допомогою поліноміального перетворення ряду, та знайдено спосіб побудови такого перетворення.

3. Для широкого класу нескінченновимірних градуювань наведено спосіб побудови правого ідеалу, що відповідає системі, та досліджено структуру таких ідеалів. Побудовано розкладання алгебри нелінійних степеневих моментів за правим ідеалом та відповідний базис.

4. Запропоновано також, для широкого класу нескінченновимірних градуювань метод переходу до апроксимуючого скінченновимірного градуювання, вигляд якого залежить від правого ідеалу, що відповідає системі.

5. Побудована класифікація афінних систем в околі точки спокою з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування, що приводять до нескінченновимірних градуювань. Показано, що привести систему до канонічної форми за допомогою поліноміальних перетворень, взагалі кажучи, неможливо. Доведено, що канонічна форма може бути побудована за допомогою аналітичного перетворення. Наведено спосіб побудови такого перетворення.

Дисертація містить велику кількість прикладів, що ілюструють кожний з отриманих результатів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Игнатович С. Ю., Бархаев П. Ю. Каноническая форма нелинейной управляемой системы и аппроксимирующие градуировки // Вісник Харківського національного університету, сер. “Математика, прикладна математика і механіка”. - 2003. - № 602. - С. 68 - 76.

[2] Скляр Г.М., Ігнатович С.Ю., Бархаєв П.Ю. Про асимптотичну класифікацію нелінійних керованих систем в околі точки спокою // Доповіді НАН України, сер. “Математика, природознавство і технічні науки” - 2004. - № 12. - C.28 - 34.

[3] Бархаев П. Ю. Каноническая форма нелинейной управляемой системы с различными по асимптотике управлениями // Вісник Харківського національного університету, сер. “Математика, прикладна математика і механіка”. - 2004. - № 645, - С. 119 - 134.

[4] Sklyar G.M., Ignatovich S.Yu., Barkhayev P.Yu. Algebraic classification of nonlinear steering problems with constraints on control // in: Advances in Mathematics Research, Nova Science Publishers, Inc.: New York. - 2005 - Vol. 6. - P.37 - 96.

[5] Скляр Г.М., Игнатович С.Ю., Бархаев П.Ю. Развитие метода моментов в нелинейной задаче быстродействия // Тезисы докладов Международной математической конференции “Обратные задачи и нелинейные уравнения”. - Харьков. - 2002. - С. 81 - 83.

[6] Sklyar G.M., Ignatovich S.Yu., Barkhayev P.Yu. Canonical form of nonlinear control system with different constraints // Тезисы докладов Математического симпозиума “Первые Каразинские естественнонаучные студии”. - Харьков. - 2004. - С. 21 - 22.

[7] Sklyar G.M., Ignatovich S.Yu., Barkhayev P.Yu. Classification of nonlinear steering problems with different constraints on control // Тезисы докладов Международной конференции “Устойчивость, управление и динамика твердого тела”. - Донецк. - 2005. - С. 66 - 67.

АНОТАЦІЯ

Бархаєв П.Ю. Про класифікацію нелінійних систем з обмеженнями на керування в околі точки спокою. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2005.

Дисертація присвячена побудові класифікації нелінійних керованих систем. Вивчена проблема алгебраїчної класифікації нелінійних афінних систем з багатьма керуваннями в околі точки спокою. Система розглядається з різними обмеженнями на керування. Техніка дослідження базується на зображенні оператора “вхід-вихід”, що породжується системою, у вигляді ряду нелінійних степеневих моментів.

Побудовано класифікацію афінних систем з обмеженнями на керування, що приводять до скінченновимірних градуювань. Показано, що канонічна форма системи може бути знайдена за допомогою поліноміального перетворення ряду та знайдено спосіб побудови перетворення.

Побудовано класифікацію афінних систем в околі точки спокою з багатьма керуваннями та обмеженнями на керування, що приводять до нескінченновимірних градуювань. Показано, що для приведення до канонічної форми необхідні, взагалі кажучи, аналітичне перетворення та знайдено спосіб побудови такого перетворення.

Ключові слова: афінні керовані системи, ряд нелінійних степеневих моментів, алгебра нелінійних степеневих моментів, градуювання, канонічна форма ряду, апроксимуюча система.

афінний керований диференціальний нелінійний

АННОТАЦИЯ

Бархаев П.Ю. О классификации нелинейных систем с ограничениями на управление в окрестности точки покоя. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2005.

Диссертация посвящена построению классификации нелинейных управляемых систем. Целью задачи классификации является изучение разбиения множества управляемых систем на классы эквивалентных в заданном смысле систем и последующем нахождении представителей классов - систем наиболее простого вида, которые обладают существенными свойствами класса (к примеру, управляемостью). Таким образом, важность задачи построения приближения (канонической формы) нелинейной системы и классификации систем состоит, в частности, в возможности дальнейшего использования этого построения при исследовании других основных задач теории управления, а именно, задач аппроксимации, управляемости, синтеза, оптимального управления и т.д. Исследована задача алгебраической классификации нелинейных аффинных систем с многими управлениями в окрестности точки покоя. Система рассматривается при различных ограничениях на управления. Техника исследования базируется на представлении оператора “вход-выход”, который порождается системой, в виде абсолютно сходящегося ряда нелинейных степенных моментов и последующего рассмотрения структур, которые порождаются системой в свободной ассоциативной алгебре нелинейных степенных моментов.

В работе впервые построена классификация систем с многими управлениями и ограничениями на управления из достаточно широкого класса. Важность данной задачи определяется тем, что во многих прикладных задачах характер ограничений на управлений определяет вид наилучшего приближения (канонической формы). Так, например, в случае систем с одномерным управлением линейное (“первое”) приближение системы и приближение в смысле быстродействия могут не совпадать. Построенная классификация опирается на исследование структуры правого идеала, который порождается нелинейной системой и ограничениями на управления в градуированной алгебре нелинейных степенных моментов. В частности, существенно новыми являются результаты, которые получены для случая неконечномерных градуировок.

В работе полностью исследован случай конечномерных градуировок и правых идеалов, порожденных однородными Ли-элементами. Построено разложение алгебры по правому идеалу, соответствующему системе. Найден базис алгебры нелинейных степенных моментов, который соответствует системе. Построена классификация аффинных систем в окрестности точки покоя с многими управлениями и ограничениями на управления, которые приводят к конечномерным градуировкам. Показано, что каноническая форма системы может быть найдена при помощи полиномиального преобразования над рядом и описан способ построения такого преобразования.

Для широкого класса неконечномерных градуировок найден способ построения правого идеала, соответствующего системе, и исследована структура таких идеалов. Построено разложение алгебры по правому идеалу и соответствующий базис. Также для широкого класса неконечномерных градуировок предложен метод перехода к аппроксимирующей конечномерной градуировке, вид которой зависит от правого идеала, соответствующего системе. Построена классификация аффинных систем в окрестности точки покоя с многими управлениями и ограничениями на управления, которые приводят к неконечномерным градуировкам. Показано, что для приведения к канонической форме требуются, вообще говоря, аналитическое преобразование и описан способ построения такого преобразования.

Ключевые слова: аффинные управляемые системы, ряд нелинейных степенных моментов, алгебра нелинейный степенных моментов, градуировки, каноническая форма ряда, аппроксимирующая система.

ABSTRACT

P.Yu. Barkhayev. On the classification of nonlinear systems with constraints on control in the neighborhood of the origin. - Manuscript.

The dissertation for candidate degree of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.02 - differential equations. - Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2005.

The dissertation is devoted to construction of a classification of nonlinear control systems. We investigate the problem of algebraic classification of nonlinear affine systems with multidimensional control function in a neighborhood of the origin. We consider the system with different constraints on control. The technique of the investigation is based on the representation of the input-output operator generated by the system in the form of the series of nonlinear power moments.

We construct a classification of affine systems with constraints on control which correspond to finite-dimensional gradings. We prove that the canonical form of the system can be constructed by means of polynomial transformation and we construct this transformation.

We construct a classification of affine systems in a neighborhood of the origin with multidimensional control function and constraints on control which correspond to nonfinite-dimensional gradings. For this case it was proved that one should use also analytic transformations to construct the canonical form of the system.

Keywords: affine control systems, series of nonlinear power moments, algebra of nonlinear power moments, grading, canonical form of the series, approximating system.

Размещено на Allbest.ru