Індуктивні границі напівгруп перетворень над скінченними множинами з лінійними зануреннями кратності

Размещено на http://allbest.ru

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

ІНДУКТИВНІ ГРАНИЦІ НАПІВГРУП ПЕРЕТВОРЕНЬ НАД СКІНЧЕННИМИ МНОЖИНАМИ З ЛІНІЙНИМИ ЗАНУРЕННЯМИ КРАТНОСТІ

Виконав Литвиненко Ірина Миколаївна

Київ - 2005



АНОТАЦІЯ

Литвиненко І. М. Індуктивні границі напівгруп перетворень над скінченними множинами з лінійними зануреннями кратності . - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню індуктивних границь напівгруп перетворень над скінченними множинами з лінійними або діагональними зануреннями кратності р (р - просте число). Введено до розгляду напівгрупи часткових перетворень натурального ряду, які ізоморфні індуктивним границям скінченних симетричних напівгруп частково визначених перетворень, якщо занурення є лінійними продовженнями або діагональними зануреннями кратності p (p - просте число), та індуктивними границями скінченних інверсних симетричних напівгруп часткових підстановок з такими ж зануреннями.

Описано будову головних лівих та правих, і двосторонніх ідеалів в таких напівгрупах і відношення Гріна на них.

Досліджено відношення спряженості, транзитивної спряженості у вказаних граничних напівгрупах, якщо з'єднуючими морфізмами є діагональні вкладення кратності р, знайдено цілком ізольовані та ізольовані піднапівгрупи інверсної симетричної діагональної напівгрупи.

інверсний фінітарний скінченність лінійний



1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У другій половині ХХ століття теорія напівгруп оформилась у самостійну галузь сучасної алгебри з багатою проблематикою, різноманітними методами дослідження та тісними зв'язками з багатьма галузями математики як власне алгебраїчними (в першу чергу, з теорією груп і теорією кілець), так і з іншими, наприклад, функціональним аналізом (напівгрупи операторів у банахових просторах), диференціальною геометрією (напівгрупи часткових перетворень), алгебраїчною теорією автоматів (напівгрупи автоматів), теорією універсальних алгебр тощо.

Довгий час розвивалaся в основному або абстрактна теорія напівгруп або її застосування до інших розділів математики. Інтерес до вивчення властивостей конкретних напівгруп почав стрімко зростати лише в останні 10-15 років.

Напівгрупи різних типів (часткових) перетворень над скінченними множинами є класичними об'єктами теорії напівгруп. При переході до нескінченних множин можна розглядати повну напівгрупу часткових перетворень, але в дослідженнях часто потрібно використовувати її різні стандартні піднапівгрупи. Багато з них виникають як індуктивні границі скінченних напівгруп. Проте теорія індуктивних границь, яка є порівняно добре розвинутою для випадку асоціативних алгебр і груп перетворень, для напівгруп перетворень майже не розвивалась. Це стосується також індуктивних границь скінченних інверсних напівгруп, які утворюють великий клас локально скінченних напівгруп з цікавими властивостями. Не досліджувались, зокрема, індуктивні границі симетричних інверсних напівгруп навіть з найприроднішими зануреннями.

У випадку груп перетворень одним з типів індуктивних границь, який нині інтенсивно вивчається, є діагональні границі із зануреннями різної кратності. Діагональні границі груп підстановок було введено до розгляду в роботі А.Е. Залесського в зв'язку з дослідженням будови групових кілець з “бідною” граткою ідеалів. У працях В.І. Сущанського і Н.В. Крошко вивчались так звані строго діагональні границі скінченних симетричних груп. Було встановлено, що граничні групи прямих спектрів скінченних симетричних груп з діагональними зануреннями можуть бути параметризовані супернатуральними числами, тобто в певному розумінні допускають повну класифікацію з точністю до ізоморфізму. В цих роботах було також вивчено нормальну будову строго діагональних границь симетричних груп, їх класи спряжених елементів тощо.

Подальші дослідження показали, що вивчення діагональних типів занурень і пов'язаних з ними індуктивних границь скінченних груп підстановок тісно пов'язане з проблемою класифікації локально скінченних простих груп, яка особливо інтенсивно досліджувалася в останнє десятиліття.

Індуктивні границі скінченних напівгруп перетворень також складають великий і цікавий клас локально скінченних напівгруп, дослідження якого може бути природним чином пов'язане з вивченням напівгрупових кілець з різними екстремальними властивостями, С^* - алгебр, локально скінченних напівгруп з “бідними” системами конгруенцій.

В дисертаційній роботі розглянуто три типи занурень, за допомогою яких із основних напівгруп перетворень над скінченними множинами можна будувати різні індуктивні границі: лінійні продовження (два різні занурення) і діагональні занурення кратності р, де р є фіксованим простим числом. Останній тип занурень використовується для узагальнення на напівгрупи конструкцій Н.В. Крошко і В.І. Сущанського. Властивості напівгрупової конструкції істотно відрізняються від групового випадку.

Оскільки дана дисертаційна робота присвячена вивченню різних типів індуктивних границь напівгруп перетворень над скінченними множинами, то вона знаходиться в руслі сформульованої вище дослідницької програми, що свідчить про її актуальність.

Мета і задачі дослідження. Об'єктами дослідження є напівгрупи часткових перетворень натурального ряду, що ізоморфні індуктивним границям прямих спектрів скінченних симетричних напівгруп перетворень або скінченних інверсних симетричних напівгруп перетворень із з'єднувальними гомоморфізмами, які є лінійними продовженнями (тотожнім або невизначеним) або діагональними зануреннями кратності, де - фіксоване просте число.

Метою роботи було:

Дослідити будову фінітарних та інверсних напівгруп часткових перетворень натурального ряду, які можуть бути охарактеризовані як границі прямих спектрів скінченних симетричних чи, відповідно, скінченних інверсних симетричних напівгруп, з'єднувальними гомоморфізмами яких є лінійні продовження.

Вивчити ідеали, відношення спряженості, відношення Гріна для напівгрупи перетворень натурального ряду, яка ізоморфна границі прямого спектру симетричних напівгруп степенів, з'єднувальними гомоморфізмами якого є діагональні занурення кратності .

Дослідити ідеали, відношення спряженості, ізольовані і цілком ізольовані піднапівгрупи в інверсній напівгрупі перетворень натурального ряду, яка ізоморфна границі прямого спектру скінченних інверсних симетричних напівгруп степенів, із діагональними зануреннями кратності.

Методи дослідження. Використовуються методи теорії напівгруп перетворень, теорії інверсних напівгруп та комбінаторного аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано такі нові результати:

- введено до розгляду чотири напівгрупи перетворень зліченної множини, які є індуктивними границями скінченних симетричних напівгруп часткових перетворень, і виділені тими чи іншими умовами фінітарності; охарактеризовано їх ідемпотенти, максимальні підгрупи, ідеали та відношення Гріна на цих напівгрупах;

- введено до розгляду напівгрупи перетворень множини натуральних чисел, які ізоморфні індуктивним границям скінченних симетричних напівгруп часткових перетворень з діагональними зануреннями кратності ( - просте число); описано ідеали та відношення Гріна на таких напівгрупах;

- охарактеризовано відношення спряженості та транзитивної спряженості у так визначених діагональних границях;

- введено до розгляду інверсні напівгрупи перетворень натурального ряду, що є індуктивними границями скінченних інверсних симетричних напівгруп з діагональними зануреннями кратності , описано їх ідеали, відношення спряженості та відношення Гріна на них;

- знайдено цілком ізольовані та ізольовані піднапівгрупи цих напівгруп.

Всі результати отримано вперше.

Практичне і теоретичне значення одержаних результатів. Одержані результати в дисертаційній роботі мають теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані при дослідженні будови і властивостей різних класів напівгруп перетворень.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи одержано автором самостійно.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність дисертаційного дослідження, визначено мету, об'єкти дослідження, охарактеризовано основні результати дисертації.

У першому розділі наводяться необхідні теоретичні відомості.

Мета цього розділу - навести основні поняття і твердження з алгебраїчної теорії напівгруп, які необхідні для викладу інших розділів, дати визначення основних напівгруп перетворень над скінченними множинами, охарактеризувати категорію напівгруп часткових перетворень, описати конструкцію індуктивної границі напівгруп перетворень та її властивості, описати основні типи ізоморфних занурень одних напівгруп в інші в сенсі категорії напівгруп часткових перетворень, які будуть розглядатися далі.

У підрозділі 1.1 подано основні означення і допоміжні твердження з теорії напівгруп; у підрозділі 1.2 систематизовано відомості про основні напівгрупи часткових перетворень на скінченних множинах та їх властивості.

У підрозділі 1.3 описується категорія напівгруп перетворень, а в підрозділі 1.4 охарактеризовано поняття індуктивної границі в категорії напівгруп перетворень.

Підрозділ 1.5 присвячений систематизації основних типів занурень напівгруп часткових перетворень над скінченними множинами.

У дисертації розглядаються лише прямі спектри напівгруп чи напівгруп перетворень, індексовані натуральними числами. А тому всі необхідні визначення ми наводимо лише для прямих спектрів такого спеціального типу, не розглядаючи загальний випадок, щоб не переобтяжувати текст зайвими позначеннями.

Означення 1.5. Послідовність напівгруп часткових перетворень і морфізмів називається прямим спектром напівгруп часткових перетворень, якщо для довільного морфізм є мономорфізмом напівгрупи часткових перетворень в напівгрупу часткових перетворень.

Для кожного прямого спектру напівгруп перетворень можна розглянути прямий спектр напівгруп і прямий спектр множин.

Вони визначають граничну напівгрупу і граничну множину. При цьому очевидним чином діє на Х. Напівгрупа перетворень називається границею прямого спектру.

Нехай - деяка напівгрупа часткових перетворень,. Розширимо множину , додаючи до неї ще один елемент. Покладемо. Занурення напівгрупи часткових перетворень в напівгрупу визначимо таким чином:

а) для довільного часткового перетворення із напівгрупи покладемо

Відображення є, очевидним чином, ін'єктивним гомоморфізмом напівгрупи G в напівгрупу.

б) покладемо також, що - тотожна ін'єкція.

Означення 1.7. Прямий спектр назвемо спектром з лінійно визначеним продовженням, якщо для довільного занурення.

Інший тип занурення напівгрупи, в,, визначимо, як пару, де для довільного перетворення із напівтрупи, а відображення є тотожною ін'єкцією.

Означення 1.8. Прямий спектр назвемо спектром з лінійно невизначеним продовженням, якщо для довільного в зануренні є лінійно невизначеним продовженням, а - тотожною ін'єкцією.

Третій тип - діагональні занурення - визначається таким чином.

Означення 1.9. Занурення напівгрупи часткових перетворень в напівгрупу часткових перетворень називається (строго) діагональним кратності k, якщо виконано такі вимоги:

а) множина Y розбивається в диз'юнктне об'єднання k підмножин таких, що

б) кожна з підмножин є інваріантною відносно дії піднапівгрупи;

в) обмеження дії на множину Y_i визначає напівгрупу, що діє на Y_i точно і є ізоморфною напівгрупі;

г) є бієкцією множини на одну з множин .

У другому розділі досліджуються фінітарні напівгрупи часткових перетворень.

Підрозділ 2.1 цього розділу присвячений напівгрупам майже тотожних часткових перетворень.

Часткове перетворення майже тотожне, якщо множина точок таких, що має скінченне доповнення в. Всі майже тотожні часткові перетворення над утворюють напівгрупу яка канонічно ізоморфна граничній напівгрупі прямого спектру є лінійними продовженнями.

Розбиття довільної множини назвемо поміченим, якщо в кожному блоці розбиття виділено певний елемент. Воно коскінченне, якщо всі блоки розбиття є скінченними і лише скінченна кількість блоків містить більше одного елемента.

Встановлено такі факти про будову напівгрупи (твердження 2.1):

1) Існує взаємно однозначна відповідність між ідемпотентами напівгрупи і поміченими коскінченними розбиттями множини .

2) Напівгрупа - регулярна, але не інверсна.

3) Підгрупа оборотних елементів напівгрупи збігається з фінітарною групою підстановок множини і є індуктивною границею скінченних симетричних груп .

4) Усі максимальні підгрупи з ізоморфні між собою.

Нехай - прямий спектр скінченних симетричних інверсних напівгруп з зануреннями, що є лінійними продовженнями.

Піднапівгрупу майже тотожних часткових підстановок із позначимо символом, тобто.

Основні властивості напівгрупи подібні до наведених вище властивостей напівгрупи (твердження 2.2).

В підрозділі 2.2 вивчаються майже скрізь невизначені перетворення натурального ряду.

Нехай - прямий спектр скінченних напівгруп частково визначених перетворень скінченних множин з зануреннями, що є лінійно невизначеними продовженнями.

Напівгрупа ізоморфно занурюється в напівгрупу часткових перетворень натурального ряду При цьому образом часткового перетворення буде перетворення, область визначення якого є скінченною. Напівгрупу майже скрізь невизначених перетворень множини , позначимо. Таким чином.

Встановлено такі факти про напівгрупу (твердження 2.3):

1) Існує взаємно однозначна відповідність між ідемпотентами напівгрупи і поміченими розбиттями скінченних підмножин множини .

2) Напівгрупа - регулярна, але не інверсна.

3) Кожна максимальна підгрупа напівгрупи ізоморфна скінченній симетричній групі для певного натурального n і навпаки, для кожного натурального n напівгрупа містить нескінченно багато максимальних підгруп, ізоморфних.

Піднапівгрупа напівгрупи, що складається з майже скрізь невизначених підстановок над множиною, канонічно ізоморфна граничній напівгрупі прямого спектра.

У підрозділі 2.3 розглянуто головні ідеали та відношення Гріна у напівгрупах і, а в підрозділі 2.4 - головні ідеали та відношення Гріна у напівгрупах та.

Оскільки опис ідеалів в усіх випадках є дуже подібним, то наведемо відповідне твердження лиш для випадку напівгрупи.

Дефектом перетворення назвемо потужність його "області невизначеності", тобто.

Теорема 2.2.

1) Головний правий ідеал, породжений елементом напівгрупи, складається з усіх часткових підстановок із, область визначення яких міститься в області визначення перетворення .

2) Породжений елементом головний лівий ідеал напівгрупи складається з усіх часткових підстановок із, область значень яких міститься в області значень елемента .

3) Породжений елементом двосторонній ідеал складається з усіх часткових підстановок із, дефект яких не менший за дефект перетворення .

З наведеного твердження випливає, що всі двосторонні ідеали напівгрупи є головними.

Зазначимо також, що всі двосторонні ідеали напівгрупи утворюють зростаючий ланцюг.

Відношення Гріна в усіх напівгрупах,, та також описуються подібним чином, причому їх опис є стандартним для напівгруп перетворень (теореми 2.3, 2.5, 2.7).

Третій розділ присвячено вивченню будови граничної напівгрупи прямого спектру скінченних симетричних напівгруп часткових перетворень з діагональними зануреннями кратності , де - фіксоване просте число.

У підрозділі 3.1 описується конкретне зображення напівгрупи частковими перетвореннями натурального ряду.

Зафіксуємо деяке просте число і визначимо діагональне занурення кратності напівгрупи часткових перетворень в напівгрупу часткових перетворень.

Означення 3.1. Граничну напівгрупу прямого спектру (2) називатимемо однорідною діагональною напівгрупою часткових перетворень суперстепеня.

Легко побачити, що ця напівгрупа може бути проінтерпретована як напівгрупа певних часткових перетворень натурального ряду. А саме, для кожного задамо діагональне занурення напівгрупи в, яке утворюється при нескінченному продовженні блоками довжини образу перетворення при відображенні.

Образ перетворення при відображенні є частково визначеним перетворенням натурального ряду, для якого підмножини є інваріантними, а дії на кожній з цих множин ізоморфні між собою і ізоморфні дії перетворення.

За перетворенням визначимо послідовність (якщо, то за визначенням).

Означення 3.2. Нехай і l таке натуральне число, що множина є інваріантною відносно перетворення . Початком довжини перетворення називатимемо перетворення, що є обмеженням на множину.

Означення 3.3. Якщо - таке перетворення, що, але, то перетворення таке, що будемо називати визначальною частиною перетворення , і позначати.

Символом позначатимемо потужність множини, на якій діє перетворення . Якщо, то множину назвемо областю дії визначальної частини перетворення .

Символом позначимо підгрупу напівгрупи, складену з перетворень, визначальні частини яких є підстановками.

Означення 3.4. Рангом перетворення назвемо число, де довжина визначальної частини перетворення , а k - потужність образу визначальної частини під дією перетворення .

Теорема 3.1. Нехай - кількість елементів у образі множини під дією перетворення .

У підрозділі 3.2 досліджуються ідеали в напівгрупі.

Символом позначимо область значень перетворення, а символом відношення еквівалентності і відповідне розбиття області визначення , яке задане таким чином: якщо.

Теорема 3.2.

1) Елемент лежить у правому головному ідеалі, породженому елементом тоді і тільки тоді, коли кожен блок розбиття є об'єднанням якихось блоків розбиття.

2) Елемент лежить у лівому головному ідеалі, породженому елементом, тоді й лише тоді, коли.

Означення 3.5. Спектром двостороннього ідеалу I назвемо множину рангів елементів, що входять до цього ідеалу. Рангом ідеалу I назвемо верхню границю його спектру.

Теорема 3.3. Існує природна бієкція між множиною всіх двосторонніх ідеалів напівгрупи і множиною дійсних чисел інтервалу. Зокрема множина всіх двосторонніх ідеалів напівгрупи має потужність континуум.

Наслідок 3.2. Для довільних чисел нерівність має місце тоді і тільки тоді, коли. Зокрема, множина всіх ідеалів напівгрупи є лінійно впорядкованою.

Наступна теорема дає характеризацію головних ідеалів напівгрупи.

Теорема 3.4. Ідеал, що відповідає числу буде головним тоді і тільки тоді, коли для певних.

Отже, множина головних ідеалів напівгрупи є зліченною.

У підрозділі 3.3 розглядаються відношення Гріна в. Наведена нижче теорема дає повну характеризацію цих відношень в напівгрупі.

У підрозділі 3.4 вивчаються відношення спряженості елементів в напівгрупі.

Часткові перетворення і напівгрупи називаються сильно спряженими у цій напівгрупі, якщо існує підстановка така, що. Часткові перетворення називаються елементарно спряженими, якщо існують такі, що та.

Очевидно, що сильно спряжені елементи будуть елементарно спряженими, але обернене твердження немає місця. Відношення елементарної спряженості не є відношенням еквівалентності на напівгрупі , тому що воно не є транзитивним.

Часткові перетворення і напівгрупи назвемо транзитивно спряженими, якщо існує послідовність перетворень напівгрупи така, що та елементарно спряжені для довільного.

Так визначене відношення спряженості є транзитивним замиканням відношення елементарної спряженості і, таким чином, є відношенням еквівалентності.

Графом дії часткового перетворення називається простий орієнтований граф з множиною вершин та множиною дуг.

Теорема 3.6. Часткові перетворення сильно cпряжені тоді і тільки тоді, коли граф дії визначальної частини одного з них є диз'юнктивним об'єднанням графів ізоморфних графу дії визначальної частини іншого перетворення.

Наслідок 3.3. Якщо елементи сильно спряжені, то їх ранги рівні.

Цикловим типом початку довжини l перетворення назвемо послідовність чисел, де на -ому місці стоїть кількість циклів довжини в цикловому розкладі цього початку.

Теорема 3.7. Часткові перетворення транзитивно спряжені тоді і тільки тоді, коли рівні циклові типи початків цих перетворень довжини.

З теореми 3.7 дістаємо (теорема 3.8), що класи транзитивної спряженості і - одноелементні; решта класів транзитивної спряженості нескінченні.

Кожне перетворення елементарно спряжене з деякою частковою підстановкою, граф дії якої містить лише цикли.

У розділі чотири досліджується будова граничної інверсної напівгрупи суперстепеня. У підрозділі 4.1 дано визначення напівгрупи та описано її зображення частковими підстановками множини .

Діагональне занурення кратності інверсної симетричної напівгрупи у напівгрупу визначимо як обмеження на занурення.

Очевидно, воно визначене коректно, оскільки виконуються включення

Напівгрупу називатимемо інверсною симетричною діагональною напівгрупою суперстепеня.

Ця напівгрупа як піднапівгрупа може бути проінтерпретована як напівгрупа певних часткових ін'єкцій натурального ряду, оскільки образом часткової підстановки на множині буде часткова підстановка на, яка утворюється "повторенням із зсувом" початкової підстановки нескінченну кількість разів. Будемо ототожнювати з його образом при відображені .

У підрозділі 4.2 досліджуються ідеали і відношення Гріна в.

Дефектом елемента назвемо число, де - довжина визначальної частини перетворення , а - потужність "області невизначення" цієї визначальної частини.

Теорема 4.1.

1) Породжений елементом головний лівий ідеал напівгрупи складається з усіх елементів із, область значень яких міститься в області значень елемента .

2) Породжений елементом головний правий ідеал напівгрупи складається з всіх елементів із, область визначення яких міститься в області визначення елемента .

3) Породжений елементом двосторонній ідеал складається з усіх елементів із, дефект яких не менший за дефект елемента .

Опис відношень Гріна в напівгрупі подібний до їх характеризації в напівгрупі. А саме.

У підрозділі 4.3 досліджується відношення спряженості елементів в напівгрупі.

Ланцюговим типом початку довжини часткової підстановки назвемо послідовність чисел, де на -ому місці стоїть кількість ланцюгів довжини із цього початку.

Теорема 4.3. Дві часткові підстановки з сильно спряжені тоді і тільки тоді, коли вони мають однакові циклові та ланцюгові типи на початках довжини.

Наслідок 4.1. Якщо підстановки сильно спряжені, то, де - число нерухомих точок підстановок.

Теорема 4.4. Елементи елементарно спряжені тоді і тільки тоді, коли рівні циклові типи їх початків довжини, а для ланцюгових типів їх початків довжини.

Теорема 4.5. Елементи транзитивно спряжені тоді і тільки тоді, коли рівні циклові типи їх початків довжини.

У підрозділі 4.4 досліджуються цілком ізольовані та ізольовані піднапівгрупи напівгрупи.

Піднапівгрупа напівгрупи називається цілком ізольованою, якщо для довільних із випливає, що принаймні один із елементів або належить.

Теорема 4.6. Єдиними цілком ізольованими піднапівгрупами напівгрупи є піднапівгрупи.

Піднапівгрупа напівгрупи називається ізольованою, якщо для довільних, із випливає.

Теорема 4.7. Множина ізольованих піднапівгруп напівгрупи вичерпується списком P₁.



ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню індуктивних границь симетричних напівгруп часткових перетворень та інверсних симетричних напівгруп часткових підстановок над скінченними множинами.

Введено до розгляду фінітарні напівгрупи,,, перетворень, які ізоморфні індуктивним границям симетричних напівгруп часткових перетворень, чи симетричних інверсних напівгруп часткових підстановок, якщо зануреннями є лінійні продовження. Описано їх ідемпотенти, максимальні підгрупи, ліві, праві, двосторонні головні ідеали та відношення Гріна на них.

Досліджено конструкцію індуктивних границь скінченних симетричних напівгруп частково визначених перетворень з діагональними зануреннями кратності p (p - просте число). Описано головні ідеали в напівгрупі, встановлено, що існує природна бієктивна відповідність між множиною двосторонніх ідеалів в і множиною дійсних чисел з інтервалу [0,1]. Охарактеризовано відношення Гріна на напівгрупі, досліджено відношення спряженості і транзитивної спряженості на цій напівгрупі.

Досліджено конструкцію індуктивних границь скінченних інверсних симетричних напівгруп перетворень з діагональними зануреннями кратності p, охарактеризовано головні ідеали і відношення Гріна в напівгрупі, відношення спряженості на ній, знайдено цілком ізольовані та ізольовані піднапівгрупи напівгрупи.

Отримані результати можуть бути використані при подальшому дослідженні індуктивних границь напівгруп перетворень.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові професору Сущанському Віталію Івановичу та доценту Ганюшкіну Олександру Григоровичу за постійну увагу та допомогу під час написання роботи.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Литвиненко І. М. Ідеали та відношення Гріна індуктивних границь напівгруп часткових перетворень з діагональними зануреннями кратності // Вісник Київського національного університету. Математика. Механіка. - 2003. - № 10. - С. 152-156.

2. Литвиненко І. М. Індуктивні границі інверсних симетричних напівгруп перетворень з діагональними зануреннями кратності // Вісник Київського національного університету. - Серія: фізико-математичні науки. - 2004. - Вип. 2. - С. 51-58.

3. Литвиненко І. М. Відношення спряженості в напівгрупі, яка є індуктивною границею спектру напівгруп часткових перетворень з діагональними зануреннями кратності . // Математичні студії. - 2005. - т.23, №1. - С. 11-18.

4. Литвиненко І.М. Фінітарні напівгрупи часткових перетворень. // Вісник Київського національного університету. - Серія: фізико-математичні науки. - 2005. - Вип. 2. - С. -.

5. Lytvynenko I. M. Ideals of the homogeneous diagonal semigroups of partially defined transformations // 4^th International Algebraic Conference in Ukraine. - Lviv, August 4-9, 2003. - P. 141-142.

6. Lytvynenko I. M. The structure of the direct limits of inverse symmetric semigroups with strictly diagonal embeddings of -order // II Summer School in Algebra and Topology. - August 2-14, 2004 (Dolyna, Ivano-Frankivsk Region, Ukraine), P. 25-27.

Размещено на Allbest.ru