Нелокальні крайові задачі для рівнянь з частинними похідними та диференціально-операторних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

01.01.02 -- диференціальні рівняння

Нелокальні крайові задачі для рівнянь з частинними похідними та диференціально-операторних рівнянь

Ільків Володимир Степанович

Київ -- 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Національному університеті “Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України та в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий консультант -- член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Пташник Богдан Йосипович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, завідувач відділу математичної фізики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Дубінський Юлій Андрійович, Московський енергетичний інститут (технічний університет), професор кафедри математичного моделювання;

доктор фізико-математичних наук, професор Михайлець Володимир Андрійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу нелінійного аналізу;

доктор фізико-математичних наук, професор Самойленко Валерій Григорович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри математичної фізики.

Провідна установа -- Інститут прикладної математики і механіки НАН України, відділ нелінійного аналізу (м. Донецьк).

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

Анотація

Ільків В.С. Нелокальні крайові задачі для рівнянь з частинними похідними та диференціально-операторних рівнянь. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 -- диференціальні рівняння. -- Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертацію присвячено дослідженню нелокальних двоточкових і багатоточкових задач для безтипних лінійних рівнянь та систем рівнянь зі сталими, змінними та операторними (псевдодиференціальними) коефіцієнтами довільного (також і нескінченного) порядку в області, що є декартовим добутком відрізка і багатовимірного тора. Такі задачі є некоректними за Адамаром, а їх розв'язність пов'язана із проблемою малих знаменників. У дисертації розроблено методику дослідження нелокальних задач, яка передбачає не лише накладання умов на малі знаменники, що забезпечують розв'язність задачі, але й знаходження оцінок знизу малих знаменників. Використано метричний підхід для отримання таких оцінок знизу для майже всіх (стосовно міри Лебега) векторів, складених із коефіцієнтів рівнянь чи інших параметрів задачі. Встановлено умови існування та єдиності розв'язку двоточкових та багатоточкових задач для безтипних систем рівнянь із частинними похідними у просторах Соболєва періодичних функцій. Для рівнянь нескінченного порядку введено та досліджено відповідні простори Соболєва нескінченного порядку. Розглянуто також питання знаходження наближених розв'язків (псевдорозв'язків) нелокальних задач за допомогою методу мінімізації у соболєвських просторах.

Ключові слова: рівняння із частинними похідними, диференціально-операторні рівняння, диференціальні рівняння нескінченного порядку, нелокальні умови, багатоточкові умови, малі знаменники, псевдорозв'язок, діофантові наближення.

Аннотация

Илькив В.С. Нелокальные граничные задачи для уравнений с частными производными и дифференциально-операторных уравнений. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 -- дифференциальные уравнения. -- Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Диссертация посвящена изучению нелокальных двухточечных и многоточечных задач для бестипных линейных уравнений и систем уравнений с постоянными, переменными и операторными (псевдодифференциальными) коэффициентами произвольного (также и бесконечного) порядка в области, являющейся декартовым произведением отрезка и многомерного тора.

Решение таких задач, вообще говоря, не единственно, а если и единственно, то не существует в шкале пространств Соболева (периодических функций) или других шкалах пространств. Некорректность по Адамару рассматриваемых задач связана с проблемой малых знаменателей, которые возникают в рядах Фурье, представляющих решения нелокальных задач.

В диссертации разработана методика исследования нелокальных задач, которая предполагает не только установление условий, налагаемых на малые знаменатели и обеспечивающих разрешимость задачи, но и получение соответствующих оценок снизу малых знаменателей. Предложен метрический подход к доказательству такого типа теорем, который позволяет получить искомые оценки снизу для почти всех (в смысле меры Лебега) векторов, составленных из коэффициентов дифференциальных уравнений, коэффициентов и параметров краевых условий.

Доказаны теоремы существования и единственности решения задач с нелокальными двухточечными и многоточечными условиями для бестипных уравнений и систем уравнений с частными производными. Построены решения задач в виде рядов Фурье. В случае систем уравнений с постоянными коэффициентами установлены условия, когда решение задачи записывается в виде действия функции от матрицы на правые части задачи. Исследование этих функций (мероморфных) также основано на метрическом подходе. Показано, что решения существуют в шкалах пространств Соболева в случае постоянных коэффициентов и в шкалах пространств функций, коэффициенты Фурье которых имеют определенный экспоненциальный рост, в случае переменных коэффициентов.

Отдельно рассмотрены нелокальные задачи для систем уравнений бесконечного порядка, для которых установлена разрешимость в специально построенных пространствах Соболева бесконечного порядка, а также исследованы некоторые основные свойства этих пространств.

В работе изучена разрешимость задачи с формальными начальными условиями для дифференциальных-операторных уравнений с псевдодифференциальными коэффициентами. Такие условия включают в себя, в частности, начальные, периодические, нелокальные и многоточечные условия. Рассмотрен также вопрос существования и построения приближенных решений (псевдорешений) в заданных пространствах Соболева для нелокальных задач с помощью метода минимизации в гильбертовых пространствах. Этот метод регуляризации некорректной задачи является разновидностью регуляризации по Тихонову.

Ключевые слова: уравнения с частными производными, дифференциально-операторные уравнения, дифференциальные уравнения бесконечного порядка, нелокальные условия, многоточечные условия, малые знаменатели, псевдорешение, диофантовые приближения.

Annotation

Ilkiv, V.S. Nonlocal boundary-value problems for partial differential equations and differential-operator equations. -- Manuscript.

Dissertation for the Degree of Doctor of Physics and Mathematics in speciality 01.01.02 -- differential equations. -- Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2005.

Dissertation deals with the study of nonlocal two-point and multipoint problems for the typeless linear differential equations and systems with constant, variable and pseudodifferential coefficients, of an arbitrary (also infinite) order, in the domain which is a Cartesian product of a segment and a multidimensional torus.

The solution of such problems is generally non-unique, and even if unique, it does not exist in a scale of Sobolev spaces (periodical functions) or other spaces. The ill-posedness in a sense of Hadamard of the problems considered, is caused by the problem of small denominators which appear in the Fourier series representing formal solutions of the nonlocal problems.

In the dissertation, we develop the technique of investigating of nonlocal problems, which implies not only specifying the constraints being imposed on small denominators, but also obtaining the appropriate lower bounds of small denominators. We propose a metrical approach to proving such kind of theorems, which allows to obtain sought lower bounds for almost all (in a Lebesgue measure sense) vectors made up from the coefficients of the differential equations, the coefficients and the parameters of the boundary conditions.

We prove the theorems of existence and uniqueness of the solution of the problems for typeless partial differential equations and systems of such equations with nonlocal two-point and multipoint conditions. We construct solutions of the problems in the form of Fourier series. In the case of systems of equations with constant coefficients, we specify the conditions when the solution of the problem is written down as an action of a function of matrix onto the right-hand sides of the problem. The investigation of such functions (meromorphic) is also based on the metrical approach. We prove that the solutions exist in the scales of Sobolev spaces "-- in the case of constant coefficients, and in the scales of spaces of functions whose Fourier coefficients have an exponential growth "-- in the case of variable coefficients.

We consider separately nonlocal problems for the equation and the system of equations of infinite order, for which the solvability in specially constructed infinite order Sobolev spaces has been ascertained, as well as investigate some main properties of these spaces.

In the work, we study the solvability of the problem with formal initial conditions for differential equations with the pseudodifferential coefficients. Such conditions include, in particular, initial, periodical, nonlocal and multipoint conditions. Also, we consider the question of existence and construction of approximate solutions (pseudosolutions) in the given Sobolev spaces for the nonlocal problems, by means of the minimization method in Hilbert spaces. This method of regularization of ill-posed problem is a variety of the Tikhonov regularization.

Keywords: partial differential equations, infinite order differential equations, differential-operator equations, nonlocal conditions, multipoint conditions, small denominators, pseudosolution, Diophantine approximation.

1. Загальна характеристика роботи

нелокальний рівняння гільбертовий простір

Актуальність теми. Одним із найважливіших питань загальної теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними є встановлення умов коректності крайових задач. У цьому плані порівняно добре вивчені крайові задачі для рівнянь класичних типів (як лінійних, так і нелінійних) та їх узагальнень, які зберігають основні властивості відповідного типу. Що стосується довільних безтипних рівнянь, а також некласичних крайових умов, то при їх вивченні отримані більш скромні результати. Одним із небагатьох загальних результатів у теорії крайових задач для рівнянь із частинними похідними є теорема Хермандера, встановлена в 1955 році, яка стверджує, що для довільної лінійної диференціальної операції з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами, яка розглядається в обмеженій області, існує деяка коректна крайова задача. Однак ця теорема є лише теоремою існування і не містить алгоритму побудови відповідних крайових умов, що породжують коректну задачу для наперед заданого диференціального рівняння.

Коректність крайових задач для загальних диференціальних та диференціально-операторних рівнянь вивчалася у роботах Ю.М. Березанського, В.М. Борок, В.П. Бурского, М.Л. Горбачука, О.О. Дезіна, Ю.А. Дубінського, А.М. Нахушева, В.К. Романка, Г.Б. Савченко, М.Й. Юрчука та інших авторів. Для окремих диференціальних рівнянь із частинними похідними досліджувалися задачі з некласичними крайовими умовами, зокрема, у роботах Р.А. Александряна, А.В. Біцадзе, В.Н. Врагова, Т.І. Зеленяка, В.М. Масленнікової, О.А. Олєйнік, О.А. Самарського, А.Г. Свешнікова, С.Л. Соболєва тощо. У цих роботах, зазвичай, виділяються випадки коректно поставлених задач, встановлюється їх розв'язність та стійкість щодо малих збурень коефіцієнтів рівнянь і крайових умов.

Серед некласичних крайових задач для рівнянь з частинними похідними та диференціально-операторних рівнянь важливе місце займають задачі з нелокальними умовами, які пов'язують значення шуканих розв'язків та їх похідних у різних (двох або більше) граничних чи внутрішніх точках розглядуваної області. Загальне означення нелокальних умов та їх класифікація були запропоновані А.М. Нахушевим Нахушев А.М. О нелокальных задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями// Дифференц. уравн. - 1985. - 21, № 1. - С. 92-101.. Серед таких умов часто зустрічаються умови періодичності за виділеною змінною та їх узагальнення, а також інтегральні умови. Прикладами нелокальних задач є задачі, які виникають у теорії плазми Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// Докл. АН СССР. - 1969. - 185, № 4. - С. 739-740. для еліптичних і параболічних рівнянь другого порядку з умовою та відповідно, де -- неперервно диференціиференці4ображення частини границі області у деяку гладку поверхню всередині області, а також задачі з умовами, де , для диференціальних рівнянь другого порядку у гільбертовому просторі, що виникають в теорії періодичних хвилеводів і коливних систем. Нелокальні умови використовують також при дослідженні обернених задач для рівняння теплопровідності, мішаних задач для рівнянь гіперболічного типу тощо.

О.О. Дезін Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. - М.: Наука, 1980. - 208 с. уперше показав, що для описання всіх розв'язних розширень диференціальних операторів, породжених загальною диференціальною операцією зі сталими коефіцієнтами, необхідно використовувати поряд з локальними і нелокальні умови.

Задачі з нелокальними умовами для диференціальних та диференціально-операторних рівнянь вивчались в роботах багатьох авторів, серед яких В.М. Борок, В.М. Вабіщевич, І.Л. Віленць, О.О. Дезін, М.І. Іванчов, П.І. Каленюк, С.Г. Крейн, С.П. Лавренюк, Г.І. Лаптєв, А.А. Макаров, М.І. Матійчук, З.М. Нитребич, Г.Б. Савченко, В.К. Романко, Л.В. Фардігола, В.І. Чесалін, М. Юнусов, М.Й. Юрчук. У більшості з цих робіт виділено випадки коректно поставлених задач шляхом накладання додаткових обмежень на рівняння, крайові умови та область, у якій розглядається задача.

Некоректність крайової задачі для диференціального рівняння з частинними похідними часто зумовлюється належністю нуля до спектра деякого оператора, породженого цією крайовою задачею. Тому згадувані вище автори накладали такі додаткові обмеження, які відділяють спектр від нуля, що забезпечує коректність задачі.

У загальному випадку розв'язність нелокальної задачі пов'язана з проблемою малих знаменників, що виникають при побудові розв'язку та утворюють зчисленну множину функцій (залежних від параметрів задачі), для яких нуль є точкою скупчення.

З проблемою малих знаменників уперше вчені зустрілися в небесній механіці ще у 18 ст. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А.Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. - М.: Наука, 1978. - 128 с. при математичному дослідженні диференціальних рівнянь, що описують рух планетних і супутникових систем у ньютонівських гравітаційних полях.

Математично ефект малих знаменників проявляється в тому, що у розв'язки рівнянь руху, зображеними рядами Фур'є, входить нескінченне число членів із коефіцієнтами, знаменники яких як завгодно близькі до нуля, що обумовлює розбіжність цих рядів; з динамічної точки зору в рухах планет з'являються ефекти, що називаються у фізиці і нелінійній механіці резонансами.

Дослідження А. Пуанкаре з якісної теорії диференціальних рівнянь показали, що проблема малих знаменників виникає також у наступних задачах: про траєкторії на торі, про відображенні кола на себе, про стійкість особливої точки типу центр.

Питання подолання від'ємного впливу малих знаменників, про збіжність рядів, пов'язаних із розв'язанням вказаних вище задач, мало принциповий теоретичний характер і довгий час залишалося не розв'язаним.

Перші додатні результати при розв'язанні проблеми малих знаменників на основі метричного підходу були отримані в 1939 р. Д. Боржином і Р. Даффіном Bourghin D.G., Duffin R.J.The Dirichlet problem for the vibrating string equation// Bull. Amer. Math. Soc. - 1939. - 45. - N 12. - P. 851-858. при дослідженні задачі Діріхле для рівняння коливання струни, а в 1942 р. "-- К.Л. Зігелем Siegel C. L.Iterations of analytic functions// Ann. of Math. - 1942. - 43, N 4. - P. 607-612. для задачі про стійкість особливої точки типу центр. В 1953-1954 рр. А.М. Колмогоров Колмогоров А.Н.О динамических системах с интегральным инвариантом на торе// Докл. АН СССР. - 1953. - 93, № 5. - С. 763-766. запропонував метричну концепцію та в усій повноті застосував її до задачі про рухи на торі і в теорії динамічних систем. Ця концепція успішно застосовувалася при дослідженні стійкості розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь (В.І. Арнольд Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике// Успехи матем. наук. - 1963. - 18, № 6(114). - С. 91-192., Ю. Мозер Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальных уравнения// Успехи матем. наук. - 1968. - 23, вып. 4. - С. 179-238.) та в теорії апроксимації функцій наближеннями Паде Бейкер Дж., мл., Грейвс-Моррис П.Аппроксимации Паде. - М.: Мир, 1986. - 502 с..

У задачах небесної механіки малі знаменники є лінійними формами , де -- вектор частот, -- цілочисловий вектор. Оцінки знизу для вказаних знаменників мають наступний вигляд ; ці оцінки справджуються при та для майже всіх (стосовно міри Лебега у просторі ) векторів .

Встановлення такого типу нерівностей є задачами метричної теорії діофантових наближень. Ці питання в лінійному випадку досліджували Ж.Л. Лагранж, Ж. Ліувілль, Е. Борель, А.Я. Хінчин Хинчин А.Я. Цепные дроби. - М.: Наука, 1978. - 112 с., А.В. Грошев Грошев А.В. Теорема о системе линейных форм// Докл. АН СССР. - 1938. - 19, № 3. - С. 151-152., В.І. Арнольд та інші. Суттєво розвинули ці результати В.Г. Спринджук Спринджук В.Г. Метрическая теория диофантовых приближений. - М.: Наука, 1977. - 143 с. і В.І. Бернік Beresnevich V., Bernik V. On a metrical theorem of W. Schmidt// Acta Arith. - 1996. - 75. - P. 219-233., розробивши методи оцінювання малих знаменників нелінійної структури.

В роботах Б. Й. Пташника Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. - К.: Наук. думка, 1984. - 264 с. та його учнів метричний підхід до проблеми малих знаменників систематично застосовувався при дослідженні умовно кореа'e2но коре_0ч (багатоточкових, типу Діріхле, нелокальних) для рівнянь із частинними похідними; зокрема задачі з двоточковими нелокальними умовами для гіперболічних, параболічних та деяких класів безтипних рівнянь досліджували В.М. Поліщук, І.О. Бобик, Л.І. Комарницька, Н.М. Задорожна, Т.П. Гой, О.Д. Власій.

Мало вивченими залишались нелокальні (двоточкові та багатоточкові) задачі для загальних безтипних систем лінійних рівнянь із частинними похідними довільного порядку, а також для диференціально-операторних рівнянь. У таких задачах виникають нові малі знаменники складної нелінійної структури, оцінювання знизу яких призводить до нових ще не досліджених задач метричної теорії діофантових наближень.

У даній дисертаційній роботі досліджено питання розв'язності та однозначної розв'язності, а також побудови розв'язків задач з нелокальними двоточковими та багатоточковими умовами для загальних безтипних лінійних рівнянь та систем рівнянь з частинними похідними довільного порядку (скінченного та нескінченного) зі сталими та змінними коефіцієнтами, а також для диференціально-операторних рівнянь з псевдодиференціальними коефіцієнтами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана із науковими дослідженнями кафедри обчислювальної математики та програмування Національного університету “Львівська політехніка” та відділу математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України. Її результати включені в наукові звіти про виконання державних тем “Методи побудови та дослідження розв'язків некласичних крайових задач для лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними” (номер держреєстрації 0194U029571), “Дослідження нелокальних, багатоточкових та різноконтурних задач для диференціальних рівнянь із частинними похідними” (номер держреєстрації 0103U001338), “Розробка функціонально-операторних методів дослідження побудови розв'язків некласичних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними” (номер держреєстрації 0193U033341), “Розробка методів дослідження та побудови розв'язків некласичних та умовно коректних задач для рівнянь із частинними похідними” (номер держреєстрації 0197U008960), “Дослідження розв'язності та побудова розв'язків некласичних крайових задач для лінійних та квазілінійних рівнянь і систем рівнянь з частинними похідними” (номер держреєстрації 0102U000452).

Мета і задачі дослідження. Дослідити розв'язність та побудувати розв'язки задач із нелокальними двоточковими і багатоточковими умовами для загальних безтипних лінійних рівнянь та систем рівнянь з частинними похідними довільного порядку зі сталими та змінними коефіцієнтами та для диференціально-операторних рівнянь з псевдодиференціальними коефіцієнтами в області, що є декартовим добутком відрізка та багатовимірного тора, розв'язність яких є нестійкою і пов'язана з проблемами малих знаменників. Розробити методику встановлення коректності таких задач. Досягнення цієї мети полягає у:

-- виборі функціональних просторів для кожної із поставлених нелокальних задач;

-- встановленні умов однозначної розв'язності нелокальних задач для рівнянь і систем рівнянь зі сталими та змінними коефіцієнтами;

-- доведенні можливості використання та обгрунтування методу мінімізації у гільбертових просторах для побудови наближених розв'язків нелокальних задач для безтипних рівнянь із частинними похідними;

-- доведенні метричних теорем про оцінки знизу малих знаменників, які виникають при побудові формальних розв'язків розглядуваних задач, і встановленні на підставі цих оцінок умов існування розв'язків та їх гладкості;

-- отриманні явних формул для матричної експоненти та її оцінок зверху.

У дисертації використано результати та методи теорії звичайних диференціальних рівнянь, рівнянь із частинними похідними, лінійної алгебри, функціонального аналізу та метричної теорії чисел. При побудові явних формул для розв'язків нелокальних задач використовується метод відокремлення змінних (метод Фур'є), операційний метод, методи множників Лагранжа та послідовних наближень. За допомогою сучасних методів та результатів метричної теорії діофантових наближень отримано оцінки знизу малих знаменників, що виникли у розглядуваних задачах.

Наукова новизна одержаних результатів. Розроблено методику дослідження задач із нелокальними умовами за виділеною змінною для загальних рівнянь та систем із частинними похідними довільного (в тому числі нескінченного) порядку зі сталими і змінними коефіцієнтами та для диференціально-операторних рівнянь із псевдодиференціальними коефіцієнтами; розвинуто відповідні технічні прийоми для забезпечення дослідження цих задач.

З використанням даної методики вперше встановлено умови однозначної розв'язності багатоточкової нелокальної задачі для лінійного безтипного рівняння з частинними похідними та сталими коефіцієнтами, що належать алгебричному многовиду.

Уперше встановлено розв'язність нелокальних крайових задач за виділеною змінною для ізотропних і анізотропних (за порядком диференціювання) систем лінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними у випадку сталих коефіцієнтів. За допомогою функції від матриці отримано зображення розв'язку та ядра задачі, а також зображення умов ортогональності на праву частину задачі. Знайдено нові формули для матричної експоненти та отримано її оцінки зверху.

Знайдено необхідні та достатні умови єдиності та існування розв'язку нелокальних задач для систем диференціальних рівнянь із частинними похідними та змінними коефіцієнтами у просторах неперервних за змінною функцій зі значеннями у просторі періодичних за змінними , , функцій, коефіцієнти Фур'є яких мають експоненційний характер зростання.

Вперше побудовано простори Соболєва нескінченного порядку, у яких встановлено розв'язність двоточкової нелокальної задачі для систем диференціальних рівнянь із частинними похідними нескінченного порядку. Встановлено теореми вкладення цих просторів та просторів Соболєва скінченного порядку.

Вперше досліджено задачу про побудову наближених розв'язків (квазірозв'язків) нелокальних крайових задач для диференціально-операторних рівнянь із псевдодиференціальними коефіцієнтами та задач із формальними початковими умовами; розроблено метод мінімізації в гільбертових просторах для побудови квазірозв'язків заданої гладкості двоточкових нелокальних задач для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними.

Доведено нові метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників для майже всіх або для всіх за винятком множини довільно малої лебегової міри векторів, складених із коефіцієнтів рівнянь і крайових умов та інших параметрів задачі.

Для розв'язків задач побудовано явні формули у вигляді рядів Фур'є чи дії деяких лінійних операторів на праві частини розглядуваних задач.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер і може розглядатись як істотний внесок у загальну теорію крайових задач для рівнянь із частинними похідними, а також може бути використана при вивченні конкретних прикладних задач, які моделюються за допомогою досліджених у роботі нелокальних двоточкових і багатоточкових задач. Результати дисертації розширюють множину задач з нелокальними умовами для рівнянь з частинними похідними та диференціально-операторних рівнянь, які є розв'язними для майже всіх (стосовно міри Лебега) векторів, складених із коефіцієнтів і параметрів задачі. Ці результати і методи, що були розроблені для їх отримання, можуть бути застосовані до подальшого вивчення нелокальних та інших крайових задач для рівнянь із частинними похідними. Вони стали джерелом нових задач метричної теорії діофантових наближень.

Особистий внесок здобувача. Дослідження, представлені в дисертації, є результатом самостійної роботи автора. В опублікованій у співавторстві монографії [1] дисертанту належать результати § 11 та §§ 13-19. У роботах [21-24] науковому консультанту Б.Й. Пташнику належить постановка задач і аналіз отриманих результатів, а В.М. Поліщук та Б.О. Сализі -- дослідження задач із періодичними та багатоточковими локальними умовами; у роботах [19, 20] співавторам належать допоміжні оцінки (5)-(7) для розв'язку задачі [19], теорема 1 [20] і участь в аналізі отриманих результатів та підготовці їх до друку, а доведення теорем існування та єдиності розв'язків задач і встановлення метричних оцінок для малих знаменників належить автору дисертації.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на всесоюзних та міжнародних конференціях “Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 1987, 1991, 1994, 1997, 2001), міжнародних конференціях ім. акад. М.П. Кравчука (Київ, 1996-1998, 2000, 2002) та ім. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 2004), міжнародних конференціях “Nonlinear differential equations” (Київ, 1995), “Nonlinear partial differential equations” (Київ, 1997, Львів, 1999), “Математика та психологія у педагогічній системі “Технічний університет” (Одеса, 1996), “Diophantine analysis and applications” (Мінськ, 1996, 2003), “Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики” (Нальчик, 1996), “Диференціальні і інтегральні рівняння” (Одеса, 2000), “Шості Боголюбівські читання” (Чернівці, 2003), всеукраїнських конференціях “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” (Львів, 1995) та “Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування” (Чернівці, 1996), на Українському математичному конгресі в рамках міжнародної конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (Київ-Чернівці, 2001), на семінарах відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України (керівник М.Л. Горбачук, Київ, 2000, 2005) та відділу диференціальних рівнянь і теорії коливань (керівник А.М. Самойленко, Київ, 2003), відділу нелінійного аналізу Інституту прикладної математики і механіки НАН України (керівник І.В. Скрипник, Донецьк, 2001, 2003), математичного факультету Національного університету ім. Т. Шевченка (керівник М.О. Перестюк, Київ, 2003), на Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники В.Я. Скоробагатько, Б.Й. Пташник, С.П. Лавренюк, П.І. Каленюк, М.І. Іванчов, Львів, 1988-2005), на семінарі з диференціальних рівнянь Національного університету “Львівська політехніка” (керівник П.І. Каленюк, Львів, 1996-2005), на виїзному засіданні Відділення математики НАН України та секції математики Західного наукового центру НАН України (Львів, 1995).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у колективній монографії, 21 статті в наукових журналах і 2 статтях у збірниках наукових праць, які відповідають вимогам ВАК України до публікацій результатів дисертаційних робіт у фахових виданнях, та 8 тезах наукових конференцій. Спільні праці написані з використанням ідей здобувача та при його безпосередній участі.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел і має обсяг 291 сторінку. Список використаних джерел налічує 328 найменувань.

2. Зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та задачі дослідження, вказано наукову новизну, практичне значення та апробацію одержаних результатів, кількість публікацій.

У першому розділі подано огляд літератури, пов'язаної з теорією задач із нелокальними умовами для диференціальних рівнянь із частинними похідними та диференціально-операторних рівнянь. Наведено допоміжні відомості про використовувані функціональні простори, відомості з теорії диференціальних рівнянь та метричної теорії чисел.

У другому розділі описано основні методи дослідження нелокальних задач. Подано низку отриманих раніше результатів, які стосуються нелокальних задач для рівнянь із частинними похідними довільного (також нескінченного) порядку зі сталими коефіцієнтами та для диференціально-операторних рівнянь.

У третьому розділі досліджено нелокальні крайові двоточкові задачі для систем диференціальних рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами в ізотропних і анізотропних просторах Соболєва.

У четвертому розділі вивчено двоточкову нелокальну крайову задачу та багатоточкову задачу із загальними лінійними неоднорідними нелокальними умовами для неоднорідних систем лінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними, коефіцієнти яких неперервно залежать від виділеної змінної .

Висновки

Дисертаційна робота присвячена дослідженню задач з нелокальними умовами за виділеною (часовою) змінною для лінійних рівнянь і систем рівнянь з частинними похідними високого порядку та для диференціально-операторних рівнянь. Розглядувані задачі, взагалі, є некоректними за Адамаром, а їх розв'язність пов'язана з проблемою малих зна'ecалих знв.

Автором вперше одержано такі нові результати:

1. Досліджено задачу з нелокальними двоточковими умовами за часовою змінною для загальних ізотропних (стосовно диференціювань за всіма аргументами) нормальних лінійних систем рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами у просторах Соболєва періодичних за іншими (просторовими) змінними функцій. Побудовано розв'язок задачі у вигляді дії деякої мероморфної функції від оператор-матриці на праві частини нелокальних умов. При цьому знайдено нові зображення функцій від матриці з використанням лише власних зн'ebасних зн2риці та розроблено методику оцінювання зверху мероморфних функцій від матриці. На основі цих оцінок встановлено однозначну розв'язність розглядуваної задачі.

2. Доведено теореми про існування та єдиність розв'язків двоточкових нелокальних задач для лінійних нормальних анізотропних (за порядком диференціювання) систем рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами в ізотропних та анізотропних просторах Соболєва.

3. Для систем рівнянь з частинними похідними зі змінними коефіцієнтами вивчено нелокальні задачі з двоточковими, багатоточковими та з інтегральними умовами за часовою змінною. Встановлено існування розв'язків цих задач для майже всіх (крім множин малої міри) векторів, складених із коефіцієнтів нелокальних умов, у просторах періодичних за просторовими змінними функцій, коефіцієнти Фур'є яких мають експоненціальний характер зростання (спадання).

4. Розроблено методику дослідження розв'язності багатоточкових нелокальних задач для рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами, що належать до деякого алгебричного многовиду.

5. Досліджено питання про продовження розв'язку нелокальної багатоточкової задачі для рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами. Доведено, що розв'язок цієї задачі, взагалі, не можна продовжити за межі області у шкалі просторів Соболєва. Показано, що достатньою умовою такого продовження є умова Адамара на корені характеристичного рівняння, яке відповідає заданому диференціальному рівнянню.

6. Встановлено необхідні і достатні умови існування та єдиності розв'язку нелокальної крайової задачі для неоднорідної системи рівнянь з частинними похідними нескінченного порядку зі сталими коефіцієнтами. При цьому побудовано простори Соболєва нескінченного порядку та встановлено їх властивості "-- нетривіальність, щільність і вкладення у простори Соболєва скінченного порядку. Цю задачу досліджено в області, що є декартовим добутком відрізка та багатовимірного тора, а також у безмежному шарі.

7. У просторах періодичних за просторовими змінними функцій досліджено задачу з загальними нелокальними за часом умовами для диференціально-операторних рівнянь із псевдодиференціальними коефіцієнтами. Встановлено її розв'язність (побудовано квазірозв'язок) у просторах, що породжені степенями вихідних псевдодиференціальних операторів.

8. Для диференціально-операторних рівнянь поставлено і досліджено нову задачу "-- задачу з формальними початковими умовами, які включають умови Коші, локальні багатоточкові умови, умови періодичності тощо. Доведено теореми про існування та єдиність розв'язку цієї задачі, побудовано її розв'язки у випадках виконання та невиконання умов єдиності.

9. Розглянуто питання про відшукання у деякій кулі зі заданого функціонального простору (простору Соболєва) псевдорозв'язків нелокальних задач із двоточковими та багатоточковими умовами для рівнянь і систем рівнянь зі сталими та змінними коефіцієнтами. Встановлено необхідні й достатні умови існування та єдиності псевдорозв'язків; при цьому використано метод відшукання сідлових точок відповідних функцій Лагранжа. Розроблено метод мінімізації у гільбертових просторах, за допомогою якого побудовано псевдорозв'язки задач та встановлено їх неперервну залежність від правих частин нелокальних умов.

10. Побудовано явні формули для розв'язків розглядуваних у дисертації задач у вигляді рядів за системами ортогональних функцій.

11. Проведено аналіз малих знаменників для кожної з розглядуваних задач і встановлено метричні теореми про їх оцінки знизу, які мають і самостійний інтерес для метричної теорії чисел.

У роботі встановлено існування та єдиність розв'язків нелокальних задач для лінійних рівнянь та систем із частинними похідними високого порядку з багатьма просторовими змінними. Такі задачі є некоректними в сенсі Адамара, а їх розв'язність залежить від діофантових властивостей даних задачі, що проявляється при встановленні існування та єдиності розв'язку у вигляді проблеми малих знаменників. У роботі проведено аналіз малих знаменників для кожної з розглядуваних задач і дано їх оцінки знизу за допомогою використання метричного підходу.

Вперше досліджено задачу з нелокальними двоточковими умовами за часовою змінною для загальних безтипних нормальних лінійних систем рівнянь із частинними похідними у просторах Соболєва періодичних за просторовими змінними функцій. Побудовано розв'язок задачі у вигляді дії деякої мероморфної функції від оператор-матриці на праві частини нелокальних умов. Знайдено нові зображення функцій від матриці з використанням лише елементів і власних значень матриці, які застосовано для оцінювання мероморфних функцій від матриці. Встановлено умови існування та єдиності розв'язку, які мають теоретико-числовий характер і пов'язані із проблемою малих знаменників, що вказує на некоректність задачі та нестійкість її розв'язності щодо малих змін коефіцієнтів системи та параметрів нелокальних умов. За допомогою метричного підходу встановлено оцінки знизу малих знаменників для майже всіх (за винятком як завгодно малої міри) значень параметрів крайових умов та визначено гладкість розв'язку розглядуваної задачі. Розроблено методику оцінювання зверху функцій від матриці, які не є аналітичними функціями. Доведено неперервну залежність розв'язку задачі від правих частин нелокальних умов.

Розв'язано задачу продовження розв'язку багатоточкової нелокальної задачі для диференціального рівняння із частинними похідними та сталими коефіцієнтами з інтервалу задання нелокальних умов у більш широкий інтервал. Доведено, що розв'язок, взагалі кажучи, не продовжується у шкалі просторів Соболєва, а для такого продовження достатньо виконання умов Адамара щодо коренів відповідного характеристичного рівняння.

Вперше доведено теореми існування та єдиності розв'язків двоточкових задач для лінійних нормальних анізотропних за порядком диференціювання систем рівнянь із частинними похідними та сталими коефіцієнтами в ізотропних та анізотропних просторах Соболєва. Для систем диференціальних рівнянь із змінними коефіцієнтами вивчено постановки нелокальних задач із дво- та багатоточковими умовами та інтегральними умовами. Встановлено, що розв'язки задач існують для майже всіх (крім малої міри) векторів, складених із коефіцієнтів нелокальних умов, у просторах періодичних за просторовими змінними функцій, коефіцієнти Фур'є яких мають експоненційний характер зростання чи спадання.

Розроблено методику дослідження розв'язності нелокальних задач для диференціальних рівнянь, коефіцієнти яких належать до деякого алгебричного многовиду.

Вперше побудовано простори Соболєва нескінченного порядку та встановлено їх властивості, зокрема нетривіальність, щільність, вкладення у простори Соболєва скінченного порядку. Встановлено необхідні та достатні умови існування і єдиності розв'язку крайової нелокальної задачі для неоднорідної системи рівнянь із частинними похідними нескінченного порядку та сталими коефіцієнтами. Ці задачі досліджено в області, що є декартовим добутком відрізка та багатовимірного тора, а також у безмежному шарі.

У просторах періодичних функцій за просторовими змінними досліджено задачу з нелокальними умовами для диференціальних рівнянь із псевдодиференціальними коефіцієнтами. Вперше доведено її розв'язність у просторах, що породжені степенями вихідних псевдодиференціальних операторів, побудовано відповідні квазірозв'язки. Поставлено та досліджено нову задачу з формальними початковими умовами для диференціальних рівнянь із псевдодиференціальними коефіцієнтами, які включають такі відомі умови як умови Коші, локальні багатоточкові умови, періодичні умови, нелокальні умови. Доведено теореми існування та єдиності розв'язку цієї задачі, встановлено необхідні і достатні умови розв'язності, а також побудовано розв'язки у випадку невиконання умов єдиності розв'язку задачі.

Вперше розглянуто задачу відшукання наближеного розв'язку (псевдорозв'язку) нелокальної задачі для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними, який знаходиться у деякій кулі заданого функціонального простору (простору Соболєва), тобто розв'язку заданої гладкості та заданими обмеженнями на норму. Розроблено метод мінімізації у гільбертових просторах для цієї задачі, за допомогою якого побудовано наближений розв'язок нелокальної задачі та встановлено його неперервну залежність від правих частин нелокальних умов. Встановлено необхідні і достатні умови існування та єдиності розв'язку за допомогою відшукання сідлових точок відповідної функції Лагранжа.

Робота носить теоретичний характер. Її результати можна використати у подальших теоретичних дослідженнях нелокальних задач для рівнянь та систем рівнянь з частинними похідними, а також у конкретних прикладних задачах, що моделюються за допомогою нелокальних задач. Результати роботи стали джерелом нових задач метричної теорії діофантових наближень і можуть бути використані подальшому розвитку цієї теорії.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Пташник Б.Й., Ільків В.С., Кміть І.Я., Поліщук В.М. Нелокальні крайові задачі для рівнянь із частинними похідними. - К.: Наук. думка, 2002. - 416 с.

2. Илькив В.С. Многоточечная нелокальная задача для уравнений с частными производными// Дифференц. уравнения. - 1987. - 23, № 3. - С. 487-492.

3. Илькив В.С. Возмущения нелокальной задачи для дифференциальных уравнений с псевдодифференциальными коэффициентами// Дифференц. уравнения. - 1990. - 26, № 11. - С. 1962-1971.

4. Ільків В.С. Продовження за часовою змінною розв'язку нелокальної багатоточкової задачі для диференціального рівняння з частинними похідними і сталими коефіцієнтами// Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 1998. - 41, № 4. - С. 78-82.

5. Ільків В.С. Задача з формальними початковими умовами для диференціальних рівнянь зі сталими псевдодиференціальними коефіцієнтами// Укр. матем. журн. - 1998. - 50, № 7. - С. 877-888.

6. Ільків В.С. Зображення розв'язку систем звичайних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами// Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Прикл. мат. - 1998. - № 341. - С. 114-117.

7. Ільків В.С. Зображення функції від матриці та розв'язку рівняння Сильвестра// Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Прикл. мат. - 1998. - № 341. - С. 118-120.

8. Ільків В.С. Дослідження нелокальної крайової задачі для рівнянь з частинними похідними за допомогою методу мінімізації в соболєвських просторах// Мат. студії. - 1999. - 11, № 2. - С. 167-176.

9. Ільків В.С. Нелокальна крайова задача для нормальних анізотропних систем із частинними похідними і сталими коефіцієнтами// Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1999. - Вип. 54. - С. 84-95.

10. Ільків В.С. Задача з інтегральними умовами для системи диференціальних рівнянь з частинними похідними і змінними коефіцієнтами// Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Прикл. мат. - 1999. - № 364. - С. 318-323.

11. Ільків В.С. Аналоги леми Пяртлі із абсолютними константами// Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 1999. - 42, № 4. - С. 68-74.

12. Ільків В.С. Нелокальна крайова задача для неоднорідної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними та змінними коефіцієнтами// Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2000. - Вип. 58. - С. 139-143.

13. Ільків В.С. Нелокальна крайова задача для систем із частинними похідними в анізотропних просторах// Нелинейные граничные задачи. - 2001. - № 11. - С. 57-64.

14. Ільків В.С. Двоточкова нелокальна крайова задача для системи неоднорідних рівнянь із частинними похідними// Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 2002. - 45, № 4. - С. 87-94.

15. Il'kiv V. Incorrect nonlocal boundary value problem for partial differential equations// Functional analysis and its applications. - 2004. - 197. - P. 115-121.

16. Ільків В.С. Багатоточкова нелокальна неоднорідна задача для систем рівнянь з частинними похідними зі змінними за коефіцієнтами// Мат. вісник НТШ. - 2004. - 1. - С. 47-58.

17. Ільків В.С. Нелокальна задача для систем рівнянь із частинними похідними у просторах Соболєва нескінченного порядку// Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 2004. - 47, № 4. - С. 115-119.

18. Илькив В.С. Нелокальная краевая задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных бесконечного порядка// Дифференц. уравн. - 2005. - 41, № 2. - С. 250-257.

19. Дасюк Я.І., Ільків В.С., Пукач П.Я. Крайова двоточкова нелокальна задача для лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними// Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Прикл. мат. - 2000. - № 411. - С. 102-106.

20. Ільків В.С., Пелех Я.М., Салига Б.О. Нелокальна двоточкова задача для систем з частинними похідними і змінними а'ecінними нтами// Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Прикл. мат. - 2000. - № 407. - С. 245-252.

21. Илькив В.С., Полищук В.Н., Пташник Б.И. Нелокальная краевая задача для систем псевдодифференциальных уравнений// Методы исследования дифференциальных и интегральных операторов. - К.: Наук. думка, 1989. - С. 75-79.

22. Илькив В.С., Полищук В.Н., Пташник Б.И., Салыга Б.О. Нелокальная многоточечная задача для псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами// Укр. матем. журн. - 1986. - 38, № 5. - С. 582-587.

23. Ільків В.С., Пташник Б.Й. Зображення та дослідження розв'язків нелокальної задачі для систем диференціальних рівнянь з частинними похідними// Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 2. - С. 184-194.

24. Илькив В.С., Пташник Б.И. Некорректная нелокальная двухточечная задача для систем уравнений с частными производными// Сиб. мат. журн. - 2005. - 46, № 1. - С. 119-129.

25. Илькив В.С., Полищук В.Н. Метрическая теория диофантовых приближений и нелокальные граничные задачи// Тезисы докладов всесоюзн. школы “Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел” (Минск, 1989). - Минск. - 1989. - С. 59.

26. Ільків В.С. Зображення функції від матриці та його застосування до розв'язування систем диференціальних рівнянь// Тези доповідей всеукр. наук. конф. “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях” (Львів, 1995). - Львів. - 1995. - Ч. 2. - С. 29-30.

27. Ільків В.С. Дослідження нелокальної крайової задачі для рівнянь з частинними похідними методом мінімізації в соболєвських просторах// Математика та психологія у педагогічній системі “Технічний університет”. - Одеса, 1996. - Ч. 1. - C. 43-45.

28. Ільків В.С. Зображення розв'язку матричного рівняння Сильвестра// Тези допов. всеукр. конф. “Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування” (Чернівці, 1996). - К.: Інститут матем. АН України. - 1996. - С. 73.

29. Ilkiv V.S., Salyga B.O. Small denominators of multipoint problem for partial differential system// Abstracts of International Conf. on Diophantine Analysis and Applications. - Minsk. - 1996. - P. 13-14.

30. Илькив В.С. Нелокальная краевая задача для дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами// Тезисы докладов междунар. конф. “Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики” (Нальчик, 1996). - Нальчик. - 1996. - С. 41-42.

31. Ilkiv V.S. Minimization method in the nonlocal problem for partial differential equations// Book of Abstracts of Internat. Conf. “Nonlinear partial differential equations” (Kiev, 1997). - Donetsk. - 1997. - С. 76-77.

32. Ільків В.С. Багатоточкова задача для системи лінійних неоднорідних рівнянь із частинними похідними// Тези доповідей міжнар. конф. “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (Київ -- Чернівці, 2001). - К. - 2001. - С. 61-62.

33. Ilkiv V.S. Noncorrect nonlocal boundary value problem for PDE// Book of Abstracts of Int. Conf. “Functional analysis and its applications” (Lviv, 2002). - Lviv. - 2002. - P. 88-89.

Размещено на Allbest.ru