Коопукле і знакозберігаюче наближення періодичних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

КООПУКЛЕ І ЗНАКОЗБЕРІГАЮЧЕ НАБЛИЖЕННЯ ПЕРІОДИЧНИХ ФУНКЦІЙ

Попов Петро Аркадійович

01.01.01 - математичний аналіз

Київ - 2004

Анотація

Попов П.А. Коопукле і знакозберігаюче наближення періодичних функцій. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

Дисертацію присвячено питанням формозберігаючого (а саме, коопуклого і знакозберігаючого) наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами. Доведено, що для коопуклого наближення має місце аналог класичної теореми Джексона апроксимації без обмежень. Встановлено непокращуваність вигляду сталих в цій оцінці. Для випадку, коли поліном інтерполює функцію в заданому наборі її нулів, доведено нерівність Джексона із сталою, що залежить тільки від кількості цих нулів на періоді. Доведено також, що для знакозберігаючого наближення мають місце перша і друга нерівності Джексона, проте оцінки типу Джексона з модулями неперервності порядку вище третього не виконуються.

Ключові слова: формозберігаюче наближення, нерівності Джексона, модуль неперервності.

Аннотация

Попов П.А. Ковыпуклое и знакосохраняющее приближение периодических функций. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2004.

В диссертации рассматриваются вопросы формосохраняющего (а именно, ковыпуклого и знакосохраняющего) приближения периодических функций.

Во введении дано обоснование актуальности темы, сформулированы цель и задачи исследования, приведены основные результаты работы.

В первом разделе сделан обзор литературы по теме диссертации. Здесь приведены результаты, касающиеся выпуклого, ковыпуклого, позитивного и копозитивного приближения непериодических функций алгебраическими многочленами, а также все известные на данный момент результаты по формосохраняющему приближению периодических функций.

Второй раздел диссертации посвящен ковыпуклому приближению.

Отправляясь от этих точек, при помощи равенства определим точки для всех целых Обозначим этот набор точек через Через будем обозначать класс -периодических функций меняющих направление выпуклости в точках набора Это означает, что если функция выпукла вверх на некотором отрезке то на соседних отрезках и эта функция выпукла вниз и т.д. Под ковыпуклым приближением функции понимают её приближение при помощи тригонометрических полиномов

Аналогичная оценка (с первым модулем непрерывности) была установлена М.Г. Плешаковым для комонотонного приближения. При этом оказалось, что постоянные и в этой оценке, в отличие от (1), зависят лишь от Во втором разделе доказано, что зависимость постоянной от набора в оценке вида (1) является существенной.

В третьем разделе диссертации исследуется знакосохраняющее приближение.

Сначала получен следующий результат. Пусть непрерывная -периодическая функция имеет нули в точках набора причем на промежутке лежит конечное (необязательно четное) число исходных точек Тогда при каждом существует тригонометрический полином порядка не выше имеющий те же нули для которого справедливо неравенство

Пусть множество непрерывных -периодических функций, для которых точки набора являются точками перемены знака, а величина наилучшего равномерного знакосохраняющего приближения функции тригонометрическими полиномами.

Следующим результатом третьего раздела является доказательство неравенства Джексона для знакосохраняющего приближения: для любой функции имеет место оценка

Кроме того, показано, что для знакосохраняющего приближения справедливо и второе неравенство Джексона: если функция является раз непрерывно дифференцируемой, то справедливо неравенство

Так как для формосохраняющего приближения тригонометрический полином выбирается из более "узкого" множества, то порядок такого приближения несколько ухудшается. В работе получен соответствующий результат для знакосохраняющего приближения. А именно, для каждого и набора строится функция для которой

Ключевые слова: формосохраняющее приближение, неравенства Джексона, модуль непрерывности.

Annotation

Popov P.A. Coconvex and sign-preserving approximation of periodic functions. Manuscript.

The thesis for degree of candidate of phisical and mathematical sciences by speciality 01.01.01 mathematical analysis. Institute of mathematics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2004.

The thesis is devoted to the questions of the shape-preserving (namely, coconvex and sign-preserving) approximation of periodic functions by trigonometric polynomials. It has been proven that for coconvex approximation the analog of classic Jackson theorem in approximation with constrains holds. We prove also that the constants in this estimate can not be improved. Jackson inequality for the case of interpolation of function by polynomial in the given collection of its zeroes has been proven as well. We prove also that for the sign-preserving approximation the first and the second Jackson inequalities remain true, but Jackson type estimates involving moduli of continuity of order higher than three are false.

Key words: shape-preserving approximation, Jackson inequalities, modulus of continuity.

теорема коопуклий контрприклад апроксимація

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В середині 60-х на початку 70-х років XX ст. з'явилися перші публікації, присвячені проблемі формозберігаючого наближення функцій. Формозберігаюче наближення це такий різновид апроксимації з обмеженнями, в якому апарат наближення успадковує деякі властивості ("форму") функції. До таких властивостей належать знак, монотонність, опуклість і т.д. Перші роботи в цьому напрямі стосувались монотонного наближення, тобто наближення монотонних функцій монотонними алгебраїчними многочленами. Так, в 1965 році О.Шиша розглянув величину найкращого рівномірного монотонного наближення функції де множина неперервних і неспадних на функцій, а простір алгебраїчних многочленів степені

В 1968 році Г.Г. Лоренц та К.Л. Целлер довели аналог теореми Джексона для монотонного наближення, а в 1977 році Р.А. ДеВор довів відповідний аналог другої теореми Джексона. Разом з тим, в 1969 році Г.Г. Лоренц та К.Л. Целлер побудували приклад, який показує, що величина найкращого монотонного наближення функції за порядком, взагалі кажучи, "гірша", ніж величина найкращого наближення без обмежень функції А.С. Шведов довів, що в монотонному наближенні оцінка типу Джексона-Стечкіна не виконується з модулями неперервності порядку

В роботах Д. Ньюмена, Р.К. Бітсона та Д. Левіатана були отримані перші рівномірні оцінки в комонотонному наближенні неперервних на відрізку функцій, тобто оцінки наближення кусково-монотонних функцій кусково-монотонними алгебраїчними многочленами, які змінюють монотонність в тих же точках, що й функція. Комонотонний аналог другої нерівності Джексона доведений Я. Гілевичем, Г.А. Дзюбенком та І.О. Шевчуком.

Крім того, в монотонній та комонотонній апроксимації неперервних функцій, заданих на відрізку, були отримані поточкові оцінки, оцінки через модулі неперервності Дітціана-Тотіка, досліджено майже комонотонну апроксимацію (nearly comonotone approximation) та ряд суміжних питань. Крім вище названих авторів, в цьому напрямі слід відмітити також роботи К. Ву, К.А. Копотуна, В.В. Листопада, С.П. Цу та ін. Загалом теорія монотонного та комонотонного наближення функцій, заданих на відрізку, носить практично завершений характер.

Відомо також багато результатів з позитивної та копозитивної (знакозберігаючої) апроксимації неперіодичних функцій. Вони отримані в роботах Е. Пассов та Л. Реймона, Ж. Рульє, Г.А. Дзюбенка, Д. Левіатана, К. А. Копотуна, Й.К. Ху та К.М. Ю та ін. Опуклому та коопуклому наближенню присвячені роботи Р.К. Бітсона, Я. Гілевича, К.А. Копотуна, Д. Левіатана, А.С. Шведова, І.О. Шевчука, Й.К. Ху, К.М. Ю та ін.

Таким чином, теорія формозберігаючого наближення неперіодичних функцій є добре розвиненою теорією, багато її результатів мають завершений вигляд.

Більше того, В.М. Коноваловим та Д. Левіатаном досліджені формозберігаючі поперечники.

Проте про формозберігаюче наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами відомо зовсім небагато. Перший результат в цьому напрямі одержали в 1968 році Г.Г. Лоренц та К.Л. Целлер, які довели нерівність Джексона для комонотонного наближення так званих дзвоноподібних функцій, тобто таких - періодичних неперервних парних функцій, які є незростаючими на Нещодавно М.Г. Плешаков довів першу і другу нерівності Джексона для комонотонного наближення, а також побудував ряд контрприкладів. Що стосується інших видів формозберігаючого наближення, то відповідні результати в "періодичному" випадку відсутні.

Дана дисертаційна робота присвячена коопуклому та знакозберігаючому наближенню періодичних функцій тригонометричними поліномами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась в Iнститутi математики НАН України згiдно iз загальним планом дослiдження в рамках науково-дослiдної роботи "Структурні та апроксимаційні властивості функціональних множин", номер держреєстрацiї 0198U001990.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є доведення прямих теорем (оцінок типу Джексона) у випадках знакозберігаючого та коопуклого наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами, а також побудова деяких контрприкладів для цих видів наближень. В роботі використано класичні методи теорії апроксимації, зокрема, метод розбиття одиниці, методи формозберігаючого наближення неперіодичних та комонотонного наближення періодичних функцій.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати, одержані в дисертаційній роботі, є новими і наведені з повними доведеннями. Основними результатами, що виносяться на захист, є наступні:

Доведено нерівність Джексона для коопуклого наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами. При цьому отримано оцінку одразу через другий модуль неперервності. Встановлено непокращуваність вигляду сталих в цій оцінці.

Доведено нерівність Джексона для наближення тригонометричними поліномами, які інтерполюють функцію в заданому наборі її нулів.

Доведено нерівність Джексона і другу нерівність Джексона для знакозберігаючого наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами.

Доведено, що величина найкращого знакозберігаючого наближення періодичних функцій за порядком, взагалі кажучи, "гірша", ніж величина найкращого наближення без обмежень.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Одержані результати можуть бути використані в подальших дослідженнях формозберігаючого наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами.

Особистий внесок здобувача. Постановка задач та загальний план роботи належать науковому керівнику проф. І.О. Шевчуку. Результати другого розділу та підрозділу 3.5 отримані автором самостійно. Решту результатів третього розділу отримано в співавторстві з М.Г. Плешаковим. Внески обох авторів в ці роботи є рівнозначними.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на семінарі відділу теорії функцій Інституту математики НАН України (керівник семінару член-кореспондент НАН України О.І. Степанець), на семінарі з теорії наближень Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівник семінару професор І.О. Шевчук), на семінарі відділу теорії функцій Інституту прикладної математики і механіки (керівник семінару д.ф.-м.н. В.І. Рязанов), а також на Українському математичному конгресi (Київ, 21-23 серпня 2001 р.) та Мiжнароднiй науковiй конференцiї "Шостi Боголюбовські читання" (Чернівці, 26 - 30 серпня 2003 р.).

2. Основний зміст роботи

У вступі дано обгрунтування актуальності теми, сформульовано мету і задачі дослідження, наведено основні результати роботи.

В першому розділі зроблено огляд літератури за темою дисертації. Тут наведено результати, що стосуються опуклого, коопуклого, позитивного і копозитивного наближення неперіодичних функцій алгебраїчними многочленами, а також всі відомі на даний момент результати з формозберігаючого наближення періодичних функцій.

Введемо позначення, які використовуються в роботі.

Нехай простiр -перiодичних неперервних дiйснозначних функцiй з рiвномiрною нормою

Нехай Через позначимо клас функцій які є невід'ємними (недодатними) на якщо непарне (парне).

Аналогічно клас функцій які є неспадними (незростаючими) на якщо непарне (парне).

Нарешті, клас функцій опуклих донизу (догори) на якщо непарне (парне).

Наближення функції тригонометричними поліномами називатимемо знакозберігаючим.

Наближення функції тригонометричними поліномами називатимемо комонотонним.

Нарешті, наближення функції тригонометричними поліномами називатимемо коопуклим.

Відповідно позначимо через величину найкращого рівномірного знакозберігаючого наближення функції через величину найкращого рівномірного комонотонного наближення функції.

Другий розділ присвячено коопуклому наближенню. Він складається з двох підрозділів.

В підрозділі 2.1 доведено нерівність Джексона для коопуклого наближення теорему 1, яка є основним результатом другого розділу.

М.Г. Плешаковим (1999) була доведена аналогічна теорема (з першим модулем неперервності) в комонотонному наближенні. При цьому сталі та на відміну від (1) та (2), виявились залежними лише від але не від В зв'язку з цим виникає питання: чи матиме місце (1) з деякою сталою Д. Левіатан та І.О. Шевчук довели, що якщо кусково-опукла неперервна на відрізку функція має більше однієї точки зміни опуклості, то оцінка виду (1) не матиме місця з навіть для першого модуля неперервності. Проте якщо така точка одна, то оцінка виду (1) справджується для всіх Для періодичних кусково-опуклих функцій, за винятком тотожних констант, кількість точок зміни опуклості на періоді є парною. Тому природно припустити, що і в "періодичному" випадку залежність констант від є суттєвою. В підрозділі 2.2 побудовано відповідний приклад. Фактично доведено більш загальну теорему.

Третій розділ дисертації присвячений знакозберігаючому наближенню періодичних функцій тригонометричними поліномами.

В підрозділі 3.1 зроблено вступні зауваження про знакозберігаюче наближення, наведено постановку задачі.

В підрозділі 3.2 доведено наступну теорему.

В підрозділі 3.3 показано, що в знакозберігаючому наближенні має місце і друга нерівність Джексона.

Звернемо увагу на те, що тут, як і в (1), стала залежить від В роботі не досліджується питання про можливість заміни.

Оскільки для формозберігаючої апроксимації наближуючий поліном вибирається з "вужчої" множини, то порядок такої апроксимації дещо погіршується. Зокрема, оцінки типу Джексона-Стечкіна не виконуються з модулями неперервності, починаючи з деякого порядку. Такі результати раніше були отримані для різних видів апроксимації на відрізку та для комонотонної апроксимації періодичних функцій.

В підрозділі 3.4 для знакозберігаючого наближення періодичних функцій побудовано відповідний контрприклад. А саме, має місце

Наслідок. Для будь-якого набору точок існує функція для якої

Висновки

Дисертацію присвячено дослідженню коопуклого і знакозберігаючого наближення періодичних функцій тригонометричними поліномами.

В першому розділі зроблено огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до змісту дисертації.

Другий розділ присвячено коопуклому наближенню. В ньому для величини найкращого рівномірного коопуклого наближення кусково-опуклої функції що змінює опуклість в точках набору доведено наступну оцінку.

В другому розділі доведено також, що ця оцінка не матиме місця, якщо сталі та залежатимуть тільки від .

В третьому розділі досліджується знакозберігаюче наближення.

Спочатку отримано наступний результат. Якщо -періодична неперервна функція, яка має заданий набір нулів причому на проміжку лежить точок набору то для кожного натурального можна побудувати тригонометричний поліном порядку який наближає функцію з оцінкою.

За допомогою цього результату доведено, що для величини найкращого знакозберігаючого наближення функції має місце нерівність Джексона.

В третьому розділі також доведено, що для знакозберігаючого наближення має місце і друга нерівність Джексона.

Нарешті, в останньому підрозділі третього розділу для кожного і набору точок побудовано кусково-знакосталу функцію для якої точки набору є точками зміни знаку, і для якої має місце

Список опублікованих праць

Плешаков М.Г., Попов П.А. Знакосохраняющее приближение периодических функций // Укр. матем. журн. 2003. Т. 55, № 8. С. 1087 1098.

Плешаков М.Г., Попов П.А. Второе неравенство Джексона в знакосохраняющем приближении периодических функций // Укр. матем. журн. 2004. Т. 56, № 1. С. 123 128.

Попов П.А. Аналог нерівності Джексона для коопуклого наближення періодичних функцій // Укр. матем. журн. 2001. Т. 53, № 7. С. 919 928.

Попов П.А. Один контрприклад в коопуклому наближенні періодичних функцій // Праці Інституту математики НАН України: Т. 35: Теорія наближення функцій та суміжні питання / К.: Ін-т. математики НАН України, 2002. 233 с. / с. 113 118.

Попов П.А. Про коопукле наближення періодичних функцій // Український математичний конгрес 2001. Тези доповідей. Київ. 2001. С. 47.

Попов П.А. Один контрприклад в знакозберігаючому наближенні періодичних функцій // Міжнародна наукова конференція "Шості Боголюбовські читання". Тези доповідей. Чернівці. 2003. С. 186.

Размещено на Allbest.ru