Оцінка параметра постійного сигналу при близьких до гауссівських адитивних завадах

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

ОЦІНКА ПАРАМЕТРА ПОСТІЙНОГО СИГНАЛУ ПРИ БЛИЗЬКИХ ДО ГАУССІВСЬКИХ АДИТИВНИХ ЗАВАДАХ

ГОНЧАРОВ Артем Володимирович

Черкаси - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Черкаському державному технологічному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор КУНЧЕНКО Юрій Петрович, Черкаський державний технологічний університет, завідувач кафедри радіотехніки.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор ЛУЖЕЦЬКИЙ Володимир Андрійович, Вінницький національний технічний університет, завідувач кафедри захисту інформації;

лауреат державної премії України в галузі науки і техніки, доктор технічних наук, професор БІЛЕЦЬКИЙ Анатолій Якович, Національний авіаційний університет, м. Київ, завідувач кафедри радіоелектроніки.

Провідна установа Харківський національний університет радіоелектроніки, кафедра прикладної математики, Міністерство освіти і науки України, м. Харків.

Захист відбудеться " 12 " січня 2006 року о 14 годині 30 хвилин на засіданні спеціалізованої вченої ради К 73.052.01 в Черкаському державному технологічному університеті за адресою: 18006, м. Черкаси, бул. Шевченка, 460.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Черкаського державного технологічного університету за адресою: 18006, м. Черкаси, бул. Шевченка, 460.

Автореферат розісланий " 8 " грудня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.В. Палагін

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одною з основних проблем дослідження статистичної теорії обробки сигналів є проблема синтезу методів та алгоритмів оптимального оцінювання інформаційних параметрів сигналів, що приймаються на тлі завад. Вирішенням цієї проблеми займалися всесвітньо відомі вчені Н. Вінер, К. Шенон, Д. Мідлтон, Г. Ван Тріс, Р. Фано, К. Хелстром і ряд інших. Велика увага приділялася розробці теорії оптимального оцінювання в колишньому Радянському Союзі. Вчені В.О. Котельников, І.Н. Аміантов, Л.С. Гуткін, Є. І. Куліков, Б.Р. Льовін, В.Г. Рєпін, Ю.Г. Сосулін, Г.П. Тартаковський, В.І. Тихонов, А.П. Трифонов та інші внесли значний вклад в теорію оцінювання. Великий внесок у розвиток даної теорії зробили також такі українські вчені, як Я.Д. Ширман, С.Є. Фалькович, В.М. Манжос, П.Є. Баранов, А.Я. Білецький, Т.К. Вінцюк, Я.П. Драган, Ю.П. Кунченко, В.О. Омельченко, М.О. Шутко, І.М. Яворський та інші.

Розробка ефективних методів та алгоритмів обробки сигналів, що приймаються при різних завадах, є важливою і актуальною проблемою в статистичній радіотехніці, радіолокації і системах зв'язку. Більшість задач, що розв'язуються в даний час, належать до синтезу оптимальних алгоритмів, коли сигнал приймається в присутності гауссівських завад. Проте гауссівські завади не охоплюють всього різноманіття завад, що реально існують в каналах зв'язку. Тому актуальним завданням є розробка методів та алгоритмів оцінювання параметрів сигналів, що приймаються в присутності негауссівських завад. Ця актуальність зростає в зв'язку з тим, що в загальнотеоретичному плані негауссівські завади дозволяють синтезувати точніші вимірювачі, в порівнянні з оптимальними вимірювачами параметрів сигналу, що приймаються при гауссівських завадах.

При синтезі оптимальних вимірювачів параметрів сигналів, що приймаються при негауссівських завадах, виникає ряд теоретичних проблем, які полягають в тому, що відсутній єдиний спосіб опису негауссівських завад і відсутня єдина теорія синтезу оптимальних вимірювачів параметрів при цих завадах. Одна з ефективних моделей негауссівських завад запропонована А.М. Малаховим - це моментно-кумулянтний опис випадкових величин. На підставі цього опису Ю.П. Кунченко запропонував три типи моделей близьких до гауссівських завад: асиметричні, ексцесні та асиметрично-ексцесні. Ці моделі дозволяють відійти від гауссівських і врахувати тонку структуру негауссівських завад. Ю.П. Кунченко запропонував також новий математичний метод оцінювання параметрів випадкових величин - метод максимізації полінома, заснований саме на їх моментно-кумулянтному описі.

Моментно-кумулянтний опис завад і наявність методу максимізації полінома ініціювали постановку і розв'язання актуальної задачі синтезу оптимальних вимірювачів параметра постійного сигналу, що приймається при адитивних негауссівських завадах. Постійним сигналом є найпростіший сигнал, який має постійне значення протягом часу спостереження. В радіотехніці, гідроакустиці та радіолокації це може бути або напруга, або струм, які вимірюються, наприклад, на виході детектора, коли на вхід приймального пристрою потрапляє високочастотне гармонічне коливання. Основна увага в дисертації спрямована на вивчення впливу негауссовості завади на точність оцінювання параметра постійного сигналу.

Отже, актуальність теми дисертації обумовлена необхідністю розробки методів та алгоритмів високоточних вимірювань параметра сигналу, що приймається на тлі адитивних негауссівських завад. Усе наведене є сукупністю невизначених сьогодні знань, відсутність яких не дозволяє вирішити задачу підвищення точності вимірювання параметрів сигналів при впливі негауссівських завад.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилася на кафедрі радіотехніки Черкаського державного технологічного університету відповідно до держбюджетної науково-дослідної роботи "Розробка математичних методів вимірювання параметрів постійного сигналу при мультиплікативних та адитивних негауссівських завадах" державна реєстрація № 0103U003681.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є підвищення точності оцінювання інформативного параметра постійного сигналу для математичної моделі адитивної суміші корисного сигналу та негауссівських завад різних типів шляхом розробки математичних моделей досліджуваних сигналів та методів оцінювання параметра сигналу.

Для досягнення мети дослідження необхідно розв'язати такі задачі:

Проаналізувати особливості постійних сигналів і негауссівських завад та розробити узагальнену математичну модель адитивної суміші корисного сигналу та негауссівської завади на основі моментно-кумулянтного опису.

Модифікувати метод синтезу вимірювачів параметрів - метод максимізації полінома, для оцінювання параметра сигналу при негауссівських завадах та розробки обчислювальних алгоритмів, що його реалізують.

Синтезувати нелінійні обчислювальні алгоритми знаходження оцінок параметра постійного сигналу при адитивному впливі негауссівських завад різних типів.

Дослідити статистичні властивості отримуваних оцінок і ефективність розроблених обчислювальних алгоритмів на основі використання імовірнісних моделей близьких до гауссівських випадкових величин.

Провести комп'ютерне імітаційне моделювання з метою перевірки достовірності теоретичних результатів дослідження ефективності застосування отриманих алгоритмів знаходження оцінки.

Об'єкт дослідження - процес оцінювання інформативного параметра сигналу, що приймається на тлі негауссівських завад різних типів.

Предметом дослідження є моделі адитивної суміші корисного сигналу та негауссівської завади, засновані на моментно-кумулянтному описі.

Методи дослідження. Теоретичні дослідження ґрунтуються на використанні апарату теорії ймовірності, математичної статистики, теорії сигналів, а також загальних методів математичного аналізу і обчислювальної математики. Конкретні алгоритми, одержані в дисертаційній роботі, ґрунтуються на застосуванні модифікованого методу максимізації полінома з використанням стохастичних поліномів. Аналіз отриманих результатів проводився з використанням методів математичної статистики та з допомогою комп'ютерного моделювання об'єкта дослідження.

Достовірність отриманих наукових результатів і висновків перевірена порівнянням теоретичних положень з експериментальними даними, отриманими за допомогою комп'ютерного імітаційного моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів.

Одержані нові математичні моделі адитивної суміші постійного сигналу і негауссівських завад різних типів, засновані на моментно-кумулянтному описі досліджуваного сигналу до дванадцятого порядку, які за своїми статистичними властивостями близькі до гауссівських завад.

Удосконалено метод максимізації полінома для знаходження оцінок інформативного параметра постійного сигналу, що приймається на тлі негауссівських завад, який дозволяє підвищити точність оцінювання параметра постійного сигналу.

Вперше, на основі методу максимізації полінома, одержані нові нелінійні обчислювальні методи знаходження параметра постійного сигналу при адитивному впливі негауссівських завад різних типів для різних степенів полінома, які забезпечують синтез пристроїв для високоточних вимірювань параметрів сигналу та не мають аналогів.

Вперше отримані аналітичні вирази, що описують кількість добутої інформації про оцінювані параметри та асимптотичні дисперсії оцінок, які показують, що точність оцінювання параметрів за допомогою розроблених алгоритмів значно вище, в порівнянні з лінійною (ефективною) оцінкою, знайденою методом максимальної правдоподібності при гауссівських завадах. При цьому ефективність синтезованих обчислювальних алгоритмів зростає зі збільшенням степеня стохастичного полінома.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що

розроблена методика інженерного синтезу алгоритмів вимірювачів параметра постійного сигналу при близьких до гауссівських завадах;

розроблена методика дослідження точності синтезованих алгоритмів;

синтезовані нові алгоритми вимірювання параметра постійного сигналу при степені стохастичного полінома 1-6 при адитивних асиметричних завадах 1-го і 2-го типу, ексцесних завадах 1-го і 2-го типу та асиметрично-ексцесних завадах.

точність синтезованих алгоритмів значно перевершує точність відомих і широко використовуваних нині алгоритмів вимірювання аналогічних параметрів при гауссівських завадах.

Одержані в дисертації результати доцільно використовувати при проектуванні технічних пристроїв, призначених для вимірювання різного роду постійних складових.

Основні результати, здобуті при виконанні дисертаційної роботи, впроваджено інститутом радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова (м. Харків), Центром стратегічних досліджень еко-біотехнічних систем (м. Львів) та використовуються в навчальному процесі в спецкурсі “Основи теорії нелінійної статистичної радіотехніки”, що викладається в Черкаському державному технологічному університеті. Впровадження підтверджуються відповідними актами.

Особистий внесок здобувача. Наукові та практичні положення дослідження представлені в дисертаційній роботі, отримані особисто автором або при його особистій участі та підтверджені 5 індивідуальними [3, 11-13, 16] і 11 публікаціями у співавторстві. У спільних публікаціях дисертанту належить: вдосконалення методу максимізації полінома для синтезу вимірювачів постійного сигналу та розробка нових алгоритмів оцінювання параметра сигналу при асиметричних завадах [1, 15], при ексцесних завадах [5, 7, 14] та при асиметрично-ексцесних завадах [8]; дослідження статистичних властивостей синтезованих алгоритмів при асиметричних завадах [2, 4, 10], при ексцесних завадах [6, 7] та асиметрично-ексцесних завадах [9].

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на 7 науково-технічних міжнародних конференціях: на 7-ій Міжнародній науково-практичній конференції “Системы и средства передачи и обработки информации” (Одеса, 2003); On the IVth International Hutsulian Workshop on Mathematical Theories and their Applications in Physics & Technology (Timpani, 2004); на 8-му Міжнародному молодіжному форумі “Радиоэлектроника и молодежь в ХХІ веке”. (Харків, 2004); на 8-ій Міжнародній науково-практичній конференції “Системы и средства передачи и обработки информации” (Одеса, 2004); на 3-ій Міжнародній науково-практичній конференції „Динаміка наукових досліджень 2004” (Дніпропетровськ, 2004); на 1-ій Міжнародній науково-практичній конференції „Науковий потенціал світу `2004”. (Дніпропетровськ, 2004); на 9-ій Міжнародній науково-практичній конференції “Системы и средства передачи и обработки информации” (Черкаси, 2005).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 16 наукових роботах, у тому числі 9 статей у виданнях, що затверджені ВАК України як фахові.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 116 найменувань, та додатків. Робота містить 149 сторінок основного тексту, ілюстрованого 34 рисунками на 26 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність напрямку досліджень і доцільність роботи, сформульовані мета і задачі дослідження, відзначається наукова новизна і практична цінність одержаних результатів, наведені відомості про апробацію, публікації та використання результатів дослідження, а також викладена структура дисертації і зміст окремих розділів.

У першому розділі приведений аналіз робіт, присвячених дослідженню різного роду сигналів та завад, розглядається і обґрунтовується важливість оцінки параметрів при впливі завад. Математичні моделі взаємодії корисного сигналу і завад можуть бути різними, але історично склалося так, що в якості основної моделі завади використовувалася модель у вигляді гауссівського випадкового процесу (гауссівської завади). Використання в якості математичної моделі адитивної суміші корисного сигналу і гауссівської завади є одним із головних підходів при розв'язанні статистичних задач і в теперішній час. Але з інтенсивним розвитком різноманітних електронних технологій, виникає потреба підвищення точності вимірювань, що, в свою чергу, викликає більший інтерес до негауссівських процесів.

Зростання зацікавленості негауссівськими процесами пов'язано з необхідністю опрацювання й аналізу сигналів, що пройшли через випадково-неоднорідні або нелінійні середовища, коли процес поширення хвиль може описуватися стохастичними диференційними рівняннями. В якості прикладу може розглядатися загоризонтна радіолокація, гідроакустика, космічний радіозв'язок через іоносферу і міжпланетну плазму, зв'язок через турбулентну атмосферу. Крім того після нелінійних або безінерційних перетворень вхідного випадкового сигналу різноманітними технічними пристроями сигнал, що спостерігається, неможливо уявити у вигляді адитивної суміші з гауссівськими процесами. Тому розробка математичних моделей негауссівських сигналів і завад, а також методів виявлення сигналів і оцінки їхніх параметрів, заснованих на цих описах, представляє актуальну і важливу науково-технічну задачу.

В цьому розділі також розглядається декілька практичних прикладів вимірювання певних величин з застосуванням їх перетворення в електричний сигнал, а саме застосування п'єзоелектричних перетворювачів, зокрема, для вимірювання тиску і ваги та вимірювання температури за допомогою термопар. Ці приклади пояснюють необхідність використання постійного сигналу, який залежить від деякого параметра в якості досліджуваної величини. Запропонована математична модель постійного сигналу дозволяє врахувати найбільш поширені на практиці випадки залежності отриманого сигналу від досліджуваного параметра.

Взаємодія різноманітних завад з реальним корисним сигналом може носити різний характер. У даній роботі використовується тільки одна взаємодія - адитивна, що адекватно описує більшість випадків, які виникають у багатьох реальних технічних системах, а саме, коли в результаті взаємодії завади з корисним сигналом виникає сигнал , який дорівнює сумі корисного сигналу і завади. При цьому сигнал на вході вимірювального пристрою має вигляд

(1)

У зв'язку з широким використанням цифрових методів обробки сигналів, сигнали виду (1) використовуються рідко. Зазвичай на вході інформаційно-вимірювальних пристроїв застосовуються аналого-цифрові перетворювачі (АЦП), на виході яких спостерігається послідовність значень

(2)

де - -е значення негауссівської завади з нульовим математичним сподіванням.

Ці значення можна інтерпретувати в такий спосіб. Нехай спостерігається випадкова величина

(3)

де є випадковою величиною з нульовим математичним сподіванням, тобто завадою. І нехай є вибірка обсягом з цієї величини. В даному випадку кожне вибіркове значення є випадковою величиною і має вид (2), а крок квантування вибрано таким, що випадкові вибіркові значення є незалежними й однаково розподіленими випадковими величинами.

Негауссівська завада описується скінченною послідовністю кумулянтів вищих порядків і відноситься до одного з класів близьких до гауссівських завад - асиметричної, ексцесної або асиметрично-ексцесної завади. Необхідно по вибірці (2) обсягом розробити алгоритми оцінки інформативного параметра і дослідити статистичні властивості розроблених алгоритмів.

Для рішення поставленої задачі можуть бути використані різні статистичні методи знаходження оцінок параметрів, наприклад, непараметричний метод, метод максимальної правдоподібності і новий метод - метод максимізації полінома. Однак непараметричний метод у даному випадку застосовувати не доцільно, тому що при його використанні практично не використовується апріорна інформація у вигляді скінченної послідовності кумулянтів. Метод максимальної правдоподібності так само не може бути застосований, тому що він заснований на використанні щільності розподілу, а не на знанні кумулянтів. Тому для розв'язання поставленої задачі найбільш доцільним буде адаптувати метод максимізації полінома, у якому саме в якості апріорної інформації використовується тонкий опис негауссівських завад у вигляді скінченної послідовності кумулянтних функцій вищих порядків.

З огляду на те, що за допомогою методу максимальної правдоподібності можна знаходити ефективні оцінки параметрів, наводиться короткий опис цього методу і з його допомогою знайдено оцінку інформативного параметра постійного сигналу при гауссівських завадах.

У другому розділі, насамперед, наведено вирази для початкових моментів адитивної суміші постійного сигналу та асиметричної завади 1-го та 2-го типів, які виражені через постійний сигнал, кумулянт другого порядку та кумулянтні коефіцієнти певного порядку, залежно від типу завади.

Для синтезу алгоритмів виміру параметра постійного сигналу при негауссівських адитивних завадах буде застосований метод максимізації полінома з використанням стохастичних поліномів до 6-го порядку.

Нехай є вибірка обсягом незалежних однаково розподілених вибіркових значень з генеральної сукупності значень випадкової величини (3), де мають вид (2).

У виразі (2) в якості корисного сигналу розглядається деяка функція від параметра , що має постійне значення протягом часу спостереження. Негауссівська завада описується послідовністю кумулянтів і в найпростішому випадку є асиметричною випадковою величиною 1-го типу, тобто дисперсія і коефіцієнт асиметрії відмінні від нуля, а інші з розглянутих кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків дорівнюють нулю.

Відповідно до методу максимізації полінома, оцінка інформативного скалярного параметра при відомих істинних значеннях неінформативних параметрів і знаходиться з розв'язку стохастичного рівняння максимізації полінома степеня , що має вигляд:

(4)

де - незалежні й однаково розподілені вибіркові значення з розглянутої випадкової величини , ,

- початкові моменти порядку випадкової величини ,

- невідомі коефіцієнти, що знаходяться з розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

 (5)

де - центровані корелянти розміру , знайдені через початкові моменти за формулою

Розв'язок системи рівнянь (5) відшукується по методу Крамера

, , (6)

де , - об'єм часткового тіла розміром ,

- визначник, отриманий із заміною -го стовпця на стовпець вільних членів системи рівнянь (5).

В виразах 4-6 і надалі першою цифрою в індексах кумулянтних коефіцієнтів позначено порядок кумулянтного коефіцієнта, а друга означає, що вони апріорно відомі.

Підставляючи знайдені оптимальні коефіцієнти, а також вирази для моментів у рівняння (4), отримаємо степеневе рівняння відносно корисного сигналу . Оцінку параметра можна знайти з розв'язання рівняння

(7)

яке може бути лінійним, квадратичним, синусоїдальним, або будь-якого іншого вигляду.

Отже дотримуючись наведеного вище алгоритму, в даному розділі були знайдені рівняння максимізації полінома для степенів стохастичного полінома, починаючи з першого і закінчуючи шостим. Такі розрахунки були проведені для асиметричних 1-го та 2-го типу завад. При дослідженні впливу на корисний сигнал асиметричних завад 2-го типу, в розрахунках з'явився ще один параметр, тобто окрім параметрів , і оптимальні коефіцієнти та інші функції стали залежати також від кумулянта 5-го порядку .

Отримані рівняння максимізації полінома є степеневими рівняннями відносно , причому вирішити їх аналітично можна тільки для квадратних та кубічних рівнянь. Тому для дослідження їхніх статистичних властивостей розглядається асимптотичний випадок, коли об'єм вибірки прямує до нескінченності.

При дослідженні асимптотичних властивостей оцінок, згідно методу максимізації полінома, необхідно знайти кількість добутої інформації, яка в загальному випадку буде дорівнювати

(8)

та дисперсію оцінки параметра , яка буде асимптотично дорівнювати

(9)

При порівнянні дисперсії оцінки, знайденої методом максимізації полінома при впливі асиметричної першого типу завади і степені стохастичного полінома з дисперсією аналогічної оцінки при впливі гауссівських завад, отримали відмінність, яка виражається коефіцієнтом зменшення дисперсії

(10)

Саме коефіцієнт (10), який залежить від коефіцієнта асиметрії, характеризує ефективність знайденої оцінки. Якщо , то ніякого зменшення дисперсії не відбувається.

В загальному випадку формула для знаходження коефіцієнта зменшення дисперсії має такий вигляд

(11)

де , - кількість добутої інформації при різних степенях полінома і . При дисперсія оцінки, знайденої методом максимізації полінома співпадає з дисперсією при гауссівських завадах. Теж саме стосується і кількості добутої інформації. Параметр , позначений в дужках, означає, що відповідні функції знайдені для випадку оцінки параметра постійного сигналу.

Розглянувши коефіцієнти зменшення дисперсії при різних степенях полінома (рис. 1) можна помітити, що 1) при прямуванні коефіцієнта асиметрії до межі області допустимих значень дисперсія оцінки прямує до нуля; 2) зі зростанням степені полінома дисперсія оцінки зменшується і залишається меншою від дисперсії, знайденої при впливі на корисний сигнал гауссівської завади.

Рис. 1. Залежність коефіцієнта зменшення дисперсії від коефіцієнта асиметрії при різних степенях полінома

Теж саме можна сказати і у випадку взаємодії постійного сигналу з асиметричною 2-го типу завадою. Відмінність полягає в тому, що коефіцієнти зменшення дисперсії будуть залежати від двох параметрів ( та ), а їх графічне зображення буде мати об'ємний вигляд (рис. 2).

Для більшої наочності, крім тривимірних графіків, паралельно будуть приводитися проекції ліній рівнів цієї функції на площину. Причому більш темні області на рисунках характеризують проекції більших значень .

а) б)

Рис. 2. Залежність коефіцієнта зменшення дисперсії від кумулянтних коефіцієнтів та : а) тривимірний графік, б) проекції ліній рівнів функції на площину

З рис. 2 видно, що дисперсія оцінки параметра постійного сигналу при асиметричних другого типу завадах досягає мінімального значення при максимальних значеннях кумулянтних коефіцієнтів 3-го та 5-го порядку, за умови від'ємності одного з параметрів.

У третьому розділі для знаходження оцінки параметра постійного сигналу, прийнятого при ексцесних адитивних завадах, також застосовується метод максимізації полінома. Ексцесна завада може бути двох типів. Для ексцесної завади першого типу характерно те, що вона залежить тільки від кумулянта другого порядку і від коефіцієнта ексцесу . У той час як ексцесна завада другого типу залежить як від кумулянта та коефіцієнта ексцесу , так і від коефіцієнта , що також характеризує ексцес розподілу.

При дослідженні використовується моментно-кумулянтний опис адитивної суміші постійного сигналу і ексцесних першого та другого типу негауссівських завад. Тому наводяться вирази для початкових моментів до 12-го порядку адитивної суміші сигналу та негауссівської завади для обох типів завад через кумулянтні коефіцієнти. Для синтезу алгоритмів знаходження оцінки до степеня полінома також необхідно знати вирази для центрованих корелянтів до , які наведені для обох типів завад.

Алгоритми знаходження оцінки параметра при впливі ексцесних першого та другого типу завад дуже схожі на запропоновані в другому розділі. Відмінність полягає в тому, що в виразах (4), (5) та (6) всі функції залежать від параметрів та для випадку впливу на корисний сигнал ексцесної 1-го типу завади або від параметрів , та для випадку впливу на сигнал ексцесної 2-го типу завади. Завдяки цій відмінності отримані результати будуть новими і відрізнятимуться від попередніх.

Необхідно відмітити, що оцінки корисного сигналу при ексцесній 2-го типу заваді при степенях полінома і рівні внаслідок рівності оптимальних коефіцієнтів і , оскільки , та співпадають з аналогічними оцінками при ексцесній 1-го типу заваді. Вищезазначені оцінки також не відрізняються від оцінки постійного сигналу при асиметричних завадах при степені стохастичного полінома і мають такий вигляд

(12)

Отже, вони співпадають з оцінкою у вигляді вибіркового середнього, отриманою для випадку адитивного впливу на постійний сигнал гауссівської завади. нелінійний алгоритм кумулянтний опис

Для дослідження статистичних властивостей оцінок параметра постійного сигналу, знайдених методом максимізації полінома при різних степенях полінома і при впливі негауссівської завади , що є ексцесною випадковою величиною 1-го типу, використовуються вирази (8), (9) та (11). Але використані в цих виразах функції будуть мати інший вигляд і залежатимуть від параметрів ексцесної завади. Особливістю даного типу завади є рівність нулю непарних початкових моментів завади, внаслідок чого деякі коефіцієнти зменшення дисперсії оцінки досліджуваного сигналу рівні між собою (рис. 3).

Рис. 3. Залежність коефіцієнтів зменшення дисперсії , , , від коефіцієнта ексцесу

При дослідженні впливу ексцесної другого типу завади в розрахунках з'являється кумулянтний коефіцієнт шостого порядку і тому графічне зображення коефіцієнтів зменшення дисперсії має об'ємний вигляд (рис. 4).

а) б)

Рис. 4. Залежність коефіцієнта зменшення дисперсії від кумулянтних коефіцієнтів та : а) тривимірний графік, б) проекції ліній рівнів функції на площину

З графіків видно, що найменшого значення дисперсія досягає при найбільших значеннях коефіцієнтів та з їх області допустимих значень.

Четвертий розділ присвячений синтезу алгоритмів знаходження оцінки параметра постійного сигналу при впливі асиметрично-ексцесної завади та дослідженню статистичних властивостей цих оцінок.

В цьому розділі, як і в двох попередніх, для знаходження оцінки параметра застосовується модифікований метод максимізації полінома, який ефективно використовується для знаходження оцінок, коли прийнятий сигнал описується за допомогою послідовності кумулянтів вищих порядків. Особливістю асиметрично-ексцесної завади є те, що вона залежить як від коефіцієнта асиметрії , так і від коефіцієнта ексцесу , які відповідно характеризують асиметричність розподілу і його ексцес. Для синтезу алгоритмів вимірювання параметра постійного сигналу при впливі на нього асиметрично-ексцесної завади необхідно знати початкові моменти до 12-го порядку випадкової величини через кумулянти. Тому, насамперед, приведено моментно-кумулянтний опис сигналу, що спостерігається, а також отримані вирази для центрованих корелянтів при даному типі завади.

Відповідно до методу максимізації полінома, оцінка інформативного скалярного параметра при відомих істинних значеннях неінформативних параметрів , і знаходиться з розв'язку стохастичного рівняння максимізації полінома степеня , що має вигляд:

(13)

При степені полінома оцінка параметра буде така ж сама, як і аналогічна оцінка при асиметричній першого типу заваді.

При зростанні степеня стохастичного полінома для знаходження оцінки сигналу , а також і самої оцінки , необхідно чисельними методами вирішити рівняння -го степеня, що містить апріорні значення параметрів , і асиметрично-ексцесної завади а також, вибіркові степеневі статистики , .

Враховуючи складність розрахунку і громіздкість результату вирази для в явному вигляді не наводяться. При практичній реалізації отриманого алгоритму, необхідно створювати спеціалізований розв'язувальний пристрій, за допомогою якого буде здійснюватися розв'язання цього рівняння.

Для дослідження ефективності отриманих оцінок розглядається асимптотичний випадок, коли обсяг вибірки прямує до нескінченності. При цьому знаходиться кількість добутої інформації, а також асимптотичні дисперсії оцінок при різних степенях стохастичного полінома. В якості критерію ефективності використовується коефіцієнт зменшення дисперсії, який залежить від коефіцієнтів асиметрії та ексцесу асиметрично-ексцесної завади. Аналізуючи коефіцієнт зменшення дисперсії, наприклад при степені , можна помітити, що дисперсія оцінки досягає мінімального значення при максимальних значеннях коефіцієнтів та модуля (рис. 5).

а) б)

Рис. 5. Залежність коефіцієнта зменшення дисперсії від кумулянтних коефіцієнтів та : а) тривимірний графік, б) проекції ліній рівнів функції на площину

В п'ятому розділі дисертації запропоновано шляхи розв'язання рівняння максимізації полінома при степені полінома більше двох, а також проводиться імітаційне моделювання роботи алгоритмів, які синтезовані у попередніх розділах, та аналізу його результатів, що полягають у порівнянні експериментальних значень точності з теоретичними розрахунками.

Проблема імітаційного моделювання розглядається в двох аспектах. По-перше, це організація безпосередньо самого експерименту, для проведення якого використовуються створені програмним шляхом генератори негауссівських псевдовипадкових послідовностей із можливістю задати в якості вихідної інформації значення певного числа моментів або кумулянтних коефіцієнтів. Методика побудови подібних генераторів базується на застосуванні моделі полігауссівської випадкової величини, густина розподілу ймовірностей якої описується законом

, (14)

де , - параметри окремих гауссівських компонент;

- коефіцієнти, що вказують на пропорцію внеску вибіркових значень кожної -ї гауссівської складової в результуючу вибірку.

Суть методу полягає в пропорційному змішуванні вибіркових значень, що генеруються кількома стандартними генераторами з розрахунковими параметрами гауссівського розподілу.

Використання бігауссівської та тригауссівської випадкової величини дозволило формувати псевдовипадкову послідовність із необхідними значеннями моментів або кумулянтів відповідно до 4-го і 6-го порядків.

Отримані результати в цілому підтверджують достовірність теоретичних висновків про ефективність використання синтезованих алгоритмів визначення оцінок параметра постійного сигналу при негауссівських завадах, що ґрунтуються на застосуванні модифікованого методу максимізації поліному.

ВИСНОВКИ

1.Проведені дослідження і розроблені математичні моделі, спрямовані на підвищення точності вимірювань, підтверджують ефективність оцінок параметра постійного сигналу з врахуванням складної структури завад, що являють собою близькі до гауссівських випадкові величини.

2.Одержані алгоритми є абсолютно новими та істотно відрізняються від класичної оцінки у вигляді вибіркового середнього, що широко використовується при практичних розрахунках. При цьому, використовуються вибіркові степеневі статистики вищих порядків.

3.Моментно-кумулянтний опис досліджуваного сигналу, що являє собою адитивну суміш корисного сигналу та завади, дозволяє врахувати ступінь негауссовості завади, яка визначається кумулянтними коефіцієнтами вищих порядків.

4.Вплив кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків проявляється починаючи з степеня полінома або , залежно від типу завади, і підвищується з подальшим зростанням степеня стохастичного полінома. За умови, якщо їх значення вважаються відомими, то дисперсія оцінки параметра постійного сигналу зі збільшенням степеня полінома зменшується. Це свідчить про ефективність знайдених оцінок.

5.Дисперсії оцінок параметра постійного сигналу, отриманих за допомогою методу максимізації поліному, не перевищують дисперсії оцінок аналогічного параметру, знайдених методом максимальної правдоподібності при гауссівських завадах. Найбільшого зменшення дисперсія досягає при наближенні значень кумулянтних коефіцієнтів негауссівської завади до меж області їх допустимих значень. При певних значеннях кумулянтних коефіцієнтів дисперсія оцінок асимптотично прямує до нуля.

6.Проведено імітаційне моделювання роботи синтезованих алгоритмів оцінювання параметрів. Характер отриманих залежностей емпіричних значень коефіцієнтів зменшення дисперсій оцінок практично відповідає результатам теоретичних розрахунків, що підтверджує достовірність висновків про ефективність використання синтезованих нелінійних алгоритмів оцінювання параметра постійного сигналу при впливі негауссівських завад різного типу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Кунченко Ю.П., Гавриш О.С., Гончаров А.В. Алгоритми вимірювання параметра постійного сигналу, оптимальні в класі поліноміальних перетворень при асиметричній заваді 1-го типу // Вісник ЧДТУ. - 2003. - №2. - С. 23-28.

2. Кунченко Ю.П., Гончаров А.В. Асимптотичні властивості оцінок параметра постійного сигналу при адитивній взаємодії з асиметричною 1-го типу завадою // Вісник ЧДТУ. - 2003. - №4. - С. 59-62.

3. Гончаров А.В. Синтез рівнянь максимізації полінома для оцінки параметра постійного сигналу при адитивній асиметричній заваді 2-го типу // Вісник ЧДТУ. - 2004. - №1. - С. 53-57.

4. Кунченко Ю.П., Гончаров А.В. Статистичні властивості оцінок параметра постійного сигналу при адитивній взаємодії з асиметричною завадою 2-го типу // Вісник ЧДТУ. - 2004. - №2. - С. 119-124.

5. Кунченко Ю.П., Гончаров А.В., Салипа С.В. Поліноміальна оцінка параметра постійного сигналу при адитивній взаємодії з ексцесною завадою 1-го типу // Вісник ЧДТУ. - 2004. - №3. - С. 80-84.

6. Кунченко Ю.П., Гончаров А.В., Салипа С. В. Статистичні властивості оцінок параметра постійного сигналу при адитивній взаємодії з ексцесною завадою 1-го типу // Вісник ЧДТУ. - 2004. - №4. - С. 62-65.

7. Кунченко Ю.П., Гончаров А.В., Салипа С.В. Поліноміальні алгоритми вимірювання параметра постійного сигналу при впливі ексцесної завади 2-го типу // Вісник ЧДТУ. - 2005. - №1. - С. 56-61.

8. Кунченко Ю.П., Гончаров А.В. Синтез поліноміальних алгоритмів вимірювання параметра постійного сигналу при адитивній взаємодії з асиметрично-ексцесною завадою // Вісник Інженерної академії України. - 2004. - №2. - С. 21-30.

9. Кунченко Ю.П., Гончаров А.В. Асимптотичні властивості оцінок параметра постійного сигналу при адитивному впливі асиметрично-ексцесної завади // Вісник Інженерної академії України. - 2005. - №2. - С. 103-109.

10. Кунченко Ю.П., Гончаров А.В. Асимптотические свойства оценок параметра постоянного сигнала при негауссовской асимметричной 1-го типа помехе // Труды 7-ой Международной научно-практической конференции “Системы и средства передачи и обработки информации” (ССПОИ 2003). - Одесса: ОНАС им. А. С. Попова, 2003. - С. 42.

11. Гончаров А.В. Полиномиальная оценка третей степени параметра постоянного сигнала при асимметричной второго типа помехе // Материалы 8-го Международного молодежного форума “Радиоэлектроника и молодежь в ХХІ веке”. - Харьков: ХНУРЭ, 2004. - Ч. 1. С. 38.

12. Гончаров А.В. Алгоритми вимірювання параметра постійного сигналу при ексцесних завадах // Матеріали ІІІ Міжнародної науково-практичної конференції „Динаміка наукових досліджень `2004”. Том 63. Технічні науки. - Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2004. - С. 13-14.

13. Гончаров А.В. Вимірювання параметра постійного сигналу при ексцесних завадах 2-го типу // Матеріали І Міжнародної науково-практичної конференції „Науковий потенціал світу `2004”. Том 61. Технічні науки. - Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2004. - С. 9-11.

14. Кунченко Ю.П., Гончаров А.В., Салыпа С.В. Синтез полиномиальных алгоритмов измерения параметра постоянного сигнала при аддитивной эксцессной 1-го типа помехе // Труды 8-ой Международной научно-практической конференции “Системы и средства передачи и обработки информации” (ССПОИ 2004). - Одесса: ОНАС им. А. С. Попова, 2004. - С. 156-158.

15. Gavrish O.S., Honcharov A.V., Kunchenko Y.P. Polynomial parameter estimations of a constant signal received at the first-type skewness interferences // Proceedings of the IVth International Hutsulian Workshop on Mathematical Theories and their Applications in Physics & Technology. - Kyiv: TIMPANI, 2004. - P. 287-298.

16. Гончаров А.В. Проведення імітаційного моделювання функціонування алгоритмів оцінки параметра постійного сигналу при впливі негауссівських завад // Труды 9-ой Международной научно-практической конференции “Системы и средства передачи и обработки информации” (ССПОИ 2005). - Черкассы: ЧДТУ, 2005. - С. 138-140.

АНОТАЦІЯ

Гончаров А.В. Оцінка параметра постійного сигналу при близьких до гауссівських адитивних завадах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Черкаський державний технологічний університет. - Черкаси, 2005.

Дисертаційна робота присвячена розробці принципово нових обчислювальних методів та алгоритмів оцінювання інформативного параметра постійного сигналу для математичної моделі адитивної суміші корисного сигналу та близьких до гауссівських завад. При побудові алгоритмів використовується модифікований метод максимізації полінома, який дозволяє відшукувати оптимальні алгоритми оцінювання параметра сигналу, маючи апріорну інформацію про параметри завади.

Синтезовані обчислювальні алгоритми оцінювання параметра постійного сигналу є принципово новими, при цьому використовується моментно-кумулянтний опис досліджуваного сигналу. Проведено порівняльний аналіз точності отриманих оцінок з оцінкою аналогічного параметру, знайденою методом максимальної правдоподібності при гауссівських завадах. Показано, що синтезовані обчислювальні алгоритми в цілому є ефективними, а оптимальні вимірювачі, побудовані на їх основі дозволяють підвищити точність вимірювання. Ефективність отриманих алгоритмів підтверджена імітаційним комп'ютерним моделюванням.

Ключові слова: обчислювальні алгоритми, оцінка, близькі до гауссівських завади, моментно-кумулянтний опис.

АННОТАЦИЯ

Гончаров А.В. Оценка параметра постоянного сигнала при близких к гауссовским аддитивных помехах. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Черкасский государственный технологический университет. - Черкассы, 2005.

Диссертационная работа посвящена разработке принципиально новых вычислительных методов и алгоритмов оценки информативного параметра постоянного сигнала для математической модели аддитивной смеси полезного сигнала и близких к гауссовским помех следующего типа: асимметричных 1-го и 2-го типа, эксцессных 1-го и 2-го типа и асимметрично-эксцессных. При построении алгоритмов используется модифицированный метод максимизации полинома, который позволяет находить оптимальные, в смысле минимума дисперсий, алгоритмы оценки параметра сигнала при имеющейся априорной информации о параметрах помехи.

Измерение параметров полезных сигналов при наличии помех является традиционной и в то же время одной из наиболее актуальных задач в разных отраслях науки и техники. В связи с этим возникла необходимость детального исследования помех, которые влияют на полезный сигнал. Основоположниками данной теории В.А. Котельниковым и Л. Шенноном были поставлены вопросы об оптимальном приеме и выделении сигналов на фоне помех, об объединении подходов, которые учитывают влияние помех, с классической теорией измерений, о количественной мере данных в сигнале.

Математические модели взаимодействия полезного сигнала и помех могут быть разными, но исторически сложилось так, что в качестве основной модели помехи использовалась модель в виде гауссовской помехи. В статистической радиотехнике и теории информационно-измерительных систем наиболее широкое распространение получила модель принятого сигнала в виде аддитивной смеси полезного сигнала и помехи. Использование в качестве математической модели аддитивной смеси полезного сигнала и гауссовской помехи является одним из главных подходов при решении статистических задач и в настоящее время. Применение этой модели имело огромное влияние на развитие теории и практики статистической проработки сигналов. Это связано с тем, что она во многих случаях достаточно адекватно отображает реальную помеховую ситуацию, а ее использование значительно упрощает разработку методов и алгоритмов оптимальной обработки стохастических сигналов. Именно для этой модели удалось найти функционал отношения правдоподобности, на основе которого были развитые современные методы оптимального обнаружения сигналов и оценивания их параметров.

Несмотря на то, что в подавляющем большинстве работ, посвященных теории оценок параметров сигнала, используется модель в виде гауссовской помехи, попытки применить модели исследуемых сигналов в виде негауссовских процессов начались еще в ранних работах по статистической радиотехнике. Уже тогда появилась мысль, что гауссовские модели не исчерпывают всего многообразия реальных сигналов и помех, которые присутствуют в информационных каналах, и начали разрабатываться методы оптимального приема сигналов на фоне негауссовских помех.

В наше время, с интенсивным развитием разнообразных электронных технологий, возникает потребность повышения точности измерений, что, в свою очередь, вызывает больший интерес к негауссовским процессам.

Увеличение заинтересованности негауссовскими процессами связано с необходимостью обработки и анализа сигналов, которые прошли через случайно-неоднородные или нелинейные среды, когда процесс распространения волн может описываться стохастическими дифференциальными уравнениями. В качестве примера может рассматриваться загоризонтная радиолокация, гидроакустика, космическая радиосвязь через ионосферу и межпланетную плазму, связь через турбулентную атмосферу. Кроме того, после нелинейных или безинерционных преобразований случайного входного сигнала разнообразными техническими устройствами принимаемый сигнал невозможно представить в виде аддитивной смеси с гауссовскими процессами. Поэтому разработка математических моделей негауссовских сигналов и помех, а также методов обнаружения сигналов и оценки их параметров, основанных на этих описаниях, представляет актуальную и важную научно-техническую задачу.

Синтезированные алгоритмы оценивания параметра постоянного сигнала являются принципиально новыми, при этом используется моментно-кумулянтное описание исследуемого сигнала. В конечном итоге задача нахождения оценок сводится к решению стохастического степенного уравнения относительно оцениваемого параметра, содержащего степенные статистики различного порядка.

Проведен сравнительный анализ точности полученных оценок с оценкой аналогичного параметра, найденной методом максимального правдоподобия при аддитивном воздействии на сигнал гауссовской помехи. Показано, что синтезированные алгоритмы в целом является эффективными, а оптимальные измерители, построенные на их основе, позволяют повысить точность измерения. Степень уменьшения дисперсии оценки зависит от вероятностного характера помехи, то есть от значений коэффициентов асимметрии, эксцесса, а так же кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков. Эффективность полученных алгоритмов подтверждена имитационным моделированием, проведенным на персональном компьютере.

Ключевые сова: вычислительные алгоритмы, оценка, близкие к гауссовским помехи, моментно-кумулянтное описание.

SUMMARY

Honcharov A.V. Parameter Estimation of the Constant Signal at the Additive Close to Gaussian Interferences. - Manuscript.

Thesis to obtain the scientific degree Candidate of Technical Sciences in speciality 01.05.02 - mathematical modelling and numerical methods. - Cherkasy State Technological University. - Cherkasy, 2005.

The dissertation is devoted to development on principle new computational methods and algorithms of informing parameter estimations of the constant signal for the mathematical model of the additive mixture of the useful signal and close to the Gaussian interferences. the modify method of polynomial maximization which allows to search for the optimum algorithms of evaluation of parameter of signal, having a priori information about the parameters of the interferences, is used for the construction of the algorithms.

The synthesized computational algorithms of the parameter estimations of the constant signal are principle new; moments-cumulant description of the explored signal is here used. The comparative analysis of exactness of the got estimations with the estimation of the similar parameter, found by the method of maximum likelihood at the Gaussian interferences is executed. It is shown that the synthesized computational algorithms on the whole are effective, and the optimum measuring devices built on their basis allow promoting measuring exactness. The efficiency of new algorithms is confirmed by the computer simulation modelling.

Key words: computational algorithms, estimation, close to Gaussian noises, moments-cumulant description.

Размещено на Allbest.ru