Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладної математики і механіки

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.01.01 - Математичний аналіз

До теорії відображень, що зберігають міру

Очаковська Оксана Олександрівна

Донецьк 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, Рязанов Володимир Ілліч, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, завідувач відділу теорії функцій

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Вакарчук Сергій Борисович, Академія митної служби України, проректор з наукової роботи, начальник кафедри статистики

кандидат фізико-математичних наук, Заставний Віктор Петрович, Донецький національний університет, доцент кафедри математичного аналізу та теорії функцій

Провідна установа: Інститут математики НАН України (м. Київ), відділ комплексного аналізу та теорії потенціалу

Захист відбудеться 10.03.2005 р. о 15 годині на засіданні Спеціалізованої вченої ради К11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 09.02.2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Чані О.С.

1. Загальна характеристика роботи

багатовимірний підмножина інтеграл радіус

Актуальність теми. В останнє десятиріччя у роботах провідних спеціалістів з теорії відображень інтенсивно вивчаються різні класи відображень із скінченним спотворенням. Серед них можна виділити роботи К. Астала, Е. Віламора, Ф. Геринга, Т. Іванця, П. Коскелі, Дж. Манфреді, Т. Мартина, О. Мартіо, У. Сребро, В. Рязанова, Е. Якубова та ін. Відображення з () - властивістю, тобто відображення, що переводять множини нульової міри у множини нульової міри, були введені Н.І. Лузіним у 1915 році. Згодом відображення з () - властивістю вивчалися багатьма авторами та знайшли важливі застосування в теорії тригонометричних рядів, теорії інтеграла, а також при вивченні локальних геометричних характеристик різних класів відображень. Відображення, що зберігають міру довільної вимірної підмножини із області визначення, відіграють важливу роль в ергодичній теорії, теорії інформації та суміжних областях. У той же час клас таких відображень залишається маловивченим у контексті самої теорії відображень та представляє самостійний науковий інтерес.

У дисертації для широкого класу гомеоморфізмів з () - властивістю, що містить, зокрема, гомеоморфізми зі скінченним спотворенням, досліджується питання про мінімальні умови, при яких гарантується збереження міри при відображеннях зазначеного класу. Ця мета вимагає вивчення класу функцій, локально інтегрованих в області , які мають нульові інтеграли по всіх кулях із фіксованого радіуса . Цей клас прийнято позначати . Перший приклад ненульової функції з класу побудував Л. Чакалов у 1944 році. Опис різних класів таких функцій, а також їх узагальнення на класи розв'язків систем рівнянь згортки, було отримано Л. Зальцманом, К.А. Беренстейном, Р. Гейєм, Д. Смітом та ін. Багатьма авторами вивчалося питання про точні умови спадання функції на нескінченності, з яких випливає, що . Перші теореми єдиності такого виду належать Ф. Йону, Д. Сміту, А. Ситараму. Більш загальні і остаточні результати в цьому напрямку отримано В.В. Волчковим, який замість класу розглядав множину розв'язків рівняння згортки більш загального вигляду. Описані вище результати і методи, розроблені для їх доказів, знайшли в останній час численні застосування в інтегральній геометрії, теорії наближень, гармонічному аналізі, теорії диференційних рівнянь з частинними похідними та деяких питаннях комплексного аналізу. Таким чином, тема дисертації є вельми актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках теми “Дослідження актуальних проблем конструктивної теорії комплексної змінної та багатовимірного гармонічного аналізу” (шифр теми - 1.1.4.4, номер теми по плану Інституту - 4).

Мета і задачі дослідження. Об'єктом дослідження дисертаційної роботи є відображення багатовимірних областей, що зберігають міру. Предмет дослідження - критерії відображень, що зберігають міру, та функції, визначені в різних областях простору , для яких середнє по кулях фіксованого радіуса з довільним центром обертається на нуль. Мета роботи - знайти умови, за якими даний гомеоморфізм є відображенням, що зберігає міру. При проведенні досліджень використовувалися методи теорії аналітичних та квазіаналітичних функцій, а також деякі результати, пов'язані з рівнянням згортки на відкритих підмножинах в .

Наукова новизна одержаних результатів визначається наступними положеннями:

· знайдено точні умови, за якими задане на півпросторі, зовнішності циліндра і на всьому просторі відображення, яке зберігає міру всіх куль фіксованого радіуса, є відображенням, що зберігає міру;

· знайдено точні умови на ріст функції, заданої на півпросторі, зовнішності циліндра і на всьому просторі, яка має нульові інтеграли по усіх кулях фіксованого радіуса, з яких випливає, що функція нульова;

· отримані аналоги деяких зазначених результатів про функції і відображення на гіперболічній площині.

Особистий внесок дисертанта: визначення загального плану напрямку досліджень дисертації і постановка задач належать науковому керівнику В.І. Рязанову. Формулювання та доведення всіх результатів дисертації проведено автором цілком самостійно.

Практичне значення одержаних результатів: дисертація носить теоретичний характер. Отримані результати та методика, яка була використана, можуть бути застосовані для подальших досліджень в теорії відображень і теорії функцій.

Апробація результатів дисертації:

Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на міжнародних конференціях:

- International Сonference on Аpproximation Тheory and its Аpplications dedicated to the memory of V.K. Dzjadyk, Kyiv, 1999;

- International Сonference dedicated to M.A.Lavrentyev, Kyiv, 2000;

- International Сonference on Functional Analysis and its Applications dedicated to the 110 anniversary of Stefan Banach, Lviv, 2002

та на науковій конференції Донецького національного університету, 2001 рік.

Результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались також на науковому семінарі Бар-Іланського університету (Ізраїль, 2001, 2004), керівником якого є один з провідних спеціалістів у цій галузі професор Л. Зальцман. Крім того, також неодноразово обговорювались на науковому семінарі у відділі теорії функцій ІПММ НАНУ - керівник В.І. Рязанов, на науковому семінарі кафедри математичного аналізу та теорії функцій ДонНУ - керівник професор Р.М. Тригуб.

Окремі результати дисертації вже цитуються в оглядах і монографіях вітчизняних та зарубіжних авторів.

Публікації. Основні результати дисертації своєчасно опубліковано в роботах [1-10] та тезах конференцій [11-14].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 122 сторінках і містить вступ, основну частину з трьох розділів, висновки, список літератури. Список використаної літератури складається з 86 джерел і розташований на 8 сторінках.

2. Основний зміст роботи

Дисертаційна робота складається із вступу та трьох розділів.

У першому розділі отримано ряд теорем єдиності для функцій з нульовими інтегралами по всіх кулях фіксованого радіуса , що містяться в області визначення. Ці теореми являють собою базу для результатів 2 та 3 розділів та мають самостійний науковий інтерес. У підрозділі 1.1 розглянуто випадки, коли такі функції задано на півпросторі при .

Теорема 1.1.1. Нехай - фіксовано. Тоді мають місце наступні твердження:

1) Якщо та при всіх

,

то .

2) Для кожного існує така ненульова функція , що

.

Як було підкреслено в твердженні 2) теореми 1.1.1, умову швидкого спадання вздовж змінної в загальному випадку не можна послабити. Однак, якщо додатково поставити вимогу на деяке спадання по інших змінних, то спадання по можна суттєво послабити.

Теорема 1.1.2. Для кожного фіксованого мають місце наступні твердження:

1) Нехай та виконані умови:

а) для майже всіх і всіх мультиіндексів

та, крім того,

, де .

б) .

Тоді .

2) Для кожної послідовності додатних чисел , такої, що

,

знайдеться ненульова функція , для якої виконано умову б) та

при всіх , .

Умова розбіжності ряду в першому твердженні теореми 1.1.2 є обмеженням на зріст послідовності при . Як показує твердження 2) теореми 1.1.2, це обмеження не може бути послаблено.

Далі наведено прості достатні умови, за якими функція задовольняє умовам а), б) твердження 1) теореми 1.1.2. З них, зокрема, випливає

Твердження 1.1.1. Нехай та існує таке , що для майже всіх виконано нерівність

,

де додатна функція , така, що . Тоді задовольняє умовам а), б) теореми 1.1.2.

У підрозділі 1.2 вивчаються функції з нульовими інтегралами по кулях на зовнішності нескінченного циліндра

, , .

Для всякого позначаємо та пишемо . Нехай також

та для

.

Основним результатом підрозділу 1.2 є наступна теорема.

Теорема 1.2.1. Нехай - фіксовано. Тоді мають місце наступні твердження:

1) Нехай функція та задовольняє наступним умовам:

а) при майже всіх

б) існує таке , що для довільного

.

Тоді в .

2) Для кожного існує ненульова функція , така, що

для всіх ,

і для довільного

.

У підрозділі 1.3 отримано аналогічні результати для функцій класу . Основним результатом цього підрозділу є наступна теорема.

Теорема 1.3.1. Для кожного фіксованого виконані наступні твердження:

1) Нехай . Нехай також існує послідовність додатних чисел , для якої

,

та існує таке , що нерівність

виконується при майже всіх та всіх . Тоді .

2) Для довільного і кожної послідовності додатних чисел , такої, що

існує ненульова функція , що задовольняє умові

для майже всіх і всіх .

Далі наведено просту оцінку для , з якої випливають умови твердження 1) теореми 1.3.1.

Лема 1.3.3. Нехай та для майже всіх виконано нерівність

,

де сталі , не залежать від . Тоді існує послідовність додатних чисел , що задовольняє умовам твердження 1) із теореми 1.3.1.

У другому розділі розглянуто відображення, що зберігають міру. Нехай - відкриті підмножини . Позначимо через множину всіх гомеоморфізмів з () - властивістю, а через - множину всіх гомеоморфізмів , що відображають на . Крім того, нехай - множина всіх неперервно диференційованих відображень . Для вимірної по Лебегу множини позначимо її міру Лебега. Для позначимо . У підрозділі 2.1 вивчаються відображення півпростору при . Для формулювання результатів підрозділу 2.1 нам знадобляться деякі додаткові позначення. Нехай - функція Бесселя першого роду порядку . Нехай

.

Для позначимо .

Теорема 2.1.1. Нехай відображення задовольняє наступним умовам:

1) для всіх ;

2) існує додатне , таке, що

для кожного .

Тоді для довільної вимірної множини .

Наступний результат показує, що умови теореми 2.1.1 в загальному випадку послабити не можна.

Теорема 2.1.2. Мають місце наступні твердження:

1) для кожного існує біективне відображення , таке, що для будь-яких , , і для якоїсь кулі виконано .

2) для кожного і для кожного існує біективне відображення , для якого має місце збіжність інтеграла з умови 2) теореми 2.1.1, , і для якоїсь кулі виконано нерівність .

Розглянемо тепер випадок, коли умову 2) в теоремі 2.1.1 можна послабити при деяких додаткових обмеженнях.

Теорема 2.1.3. Нехай відображення задовольняє наступним умовам:

1) ;

2) існує таке додатне , що для майже всіх та всіх

та, крім того,

;

3) для зазначеного в умові 2) числа виконано

.

Тоді для довільної вимірної множини .

Далі в теоремі 2.1.4 показано, що розбіжність ряду в умові 2) теореми 2.1.3 усунути не можна.

У підрозділі 2.2 розглянуто аналогічні задачі для відображень зовнішності нескінченного циліндра в , Основним результатом параграфу 2.2 є наступна теорема, в формулюванні якої ми будемо використовувати позначення, які введені перед теоремою 1.2.1 вище.

Теорема 2.2.1. Нехай відображення задовольняє наступним умовам:

1)

2) існує додатне , таке, що при майже всіх

3) існує , таке, що

при кожному .

Тоді для довільної вимірної множини виконано .

Наступний результат показує, що умови теореми 2.2.1 не можна суттєво послабити.

Теорема 2.2.2. Для кожного і кожного існує біективне відображення , що задовольняє умовам 1), 2) теореми 2.2.1, для якого

при і довільному і для якоїсь кулі виконується .

У підрозділі 2.3 наведені теореми 2.3.1, 2.3.2, що стосуються відображень з в , .

У третьому розділі вивчаються аналоги розглянутих вище задач на гіперболічній площині.

У підрозділі 3.1 вводяться деякі допоміжні конструкції, пов'язані з моделлю Пуанкаре гіперболічної площини. Далі припускаємо, що гіперболічна площина реалізована у вигляді круга з гіперболічною відстанню

між точками . Відстань і міра

інваріантні відносно групи конформних відображень на себе . Гіперболічна міра множини має вигляд

.

Відомо, що всяке має вигляд

,

де дійсні числа визначаються однозначно. Для прийнято позначати .

Аналогом півплощини в гіперболічному випадку є множина

,

де . Ми також позначимо і

Множина являє собою коло, яке торкається границі у точці і проходить через точку . Таким чином, - це границя круга .

Для , позначимо

.

У підрозділі 3.2 отримана

Теорема 3.2.1. Нехай , - фіксовані, і виконані наступні умови:

1) для всіх ;

2) існує , таке, що для кожного і майже всіх виконано

і, крім того,

;

3) існує , таке, що для кожного

.

Тоді в .

Далі в підрозділі 3.2 містяться деякі більш прості достатні умови для поведінки в окрузі точки , з яких випливають умови 2) і 3) теореми 3.2.1. Наприклад, має місце

Лема 3.2.1. Нехай фіксовано, і існує таке , що

при .

Тоді задовольняє умовам 2) і 3) теореми 3.2.1.

У підрозділі 3.3 вивчаються відображення, що зберігають інваріантну міру на гіперболічній площині.

Нехай , і

.

Можна довести (див. лему 3.1.3), що при будь-якому фіксованому функція має нескінченно багато нулів. Крім того, всі її нулі є дійсними, простими і розташовані симетрично відносно точки . Позначимо , - відкрита підмножина .

Теорема 3.3.1. Нехай , - фіксовані і . Нехай також відображення задовольняє наступним умовам:

1) для всіх ;

2) існує , таке, що для кожного і майже всіх виконано

і, крім того,

;

3) існує , таке, що для кожного

.

Тоді для кожної вимірної множини .

Наступний результат стосується відображень, що зберігають міру гіперболічних куль фіксованого радіуса. Нехай - відкрита підмножина в .

Теорема 3.3.2. Нехай , >0 - фіксовані і . Нехай також відображення задовольняє наступним умовам:

1) для всіх ;

2) існує , таке, що для кожного і майже всіх

і, крім того,

;

3) існує , таке, що для кожного

.

Тоді для кожної вимірної множини .

Висновки

У процесі дослідження одержано такі основні результати:

· знайдено точні умови, за якими задане на півросторі, зовнішності циліндра і на всьому просторі відображення, яке зберігає міру всіх куль фіксованого радіуса є відображенням, що зберігає міру;

· знайдено точні умови на ріст функції, заданої на півпросторі, зовнішності циліндра і на всьому просторі, яка має нульові інтеграли по усіх кулях фіксованого радіуса, з яких випливає, що функція нульова;

· отримано аналоги деяких зазначених результатів про функції і відображення на гіперболічній площині.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Очаковская О.А. О проблеме носителя для функций с нулевыми шаровыми средними // Теорія наближення функції та її застосування. Праці ІМ НАН України. - 2000. - Т. 31.- с. 352-355.

2. Очаковская О.А. Новая теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса // Труды ИПММ НАН Украины. - 2000. - Т. 5. - с. 115-121.

3. Очаковская О.А. О функциях с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса на полупространстве // ДАН. - 2001. - Т. 381. - № 6. - с. 745-747.

4. Очаковская О.А. Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса на полупространстве // Труды ИПММ НАН Украины. - 2002. - Т. 7. - с. 156-161.

5. Очаковская О.А. О функциях с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2002. - Т. 9 . - № 3. - с. 493-501.

6. Очаковская О.А. Об отображениях, сохраняющих меру // Вестник ДНУ. - 2002. - № 7. - с. 58-60.

7. Очаковская О.А. Отображения со свойством сохранения меры // Труды ИПММ НАН Украины. - 2003. - Т. 8. - с. 95-100.

8. Очаковская О.А. Об отображениях с условием сохранения меры // Вестник ДНУ. - 2003. - № 8. - с. 81-86.

9. Очаковская О.А. Отображения со свойством сохранения гиперболической меры // Вестник Донецкого Университета. - серия “А” природничі науки. - 2003. - вип. 1. - с. 365-367.

10. Ochakovska O. On Some Classes of Mappings Preserving of Measure // Functional Analysis and its Applications. - 2004. - v.197. - p. 205-208.

11. Очаковская О.А. О проблеме носителя // International Conference on Approximation Theory and its Applications dedicated to the memory of V.K. Dzjadyk: Abstracts. - Kyiv. - 1999. - p. 63.

12. Очаковская О.А. Теоремы единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса // International Conference dedicated to M.A.Lavrentyev on the occasion of his birthday Centenary: Abstracts. - Kiev. - 2000. - p. 78-79.

13. Очаковская О.А. О функциях с нулевыми шаровыми средними // Праці наукової конференції Донецького національного ун-ту: тези. - Донецьк. - 2001. - с. 6.

14. Оchakovska О.А. On Some Classes of Mappings Preserving of measure // Proceeding of International Conference on Functional Analysis and its Applications Dedicated to the 110 anniversary of Stefan Banach: Abstract. - Lviv. - 2002. - p. 152.

Аннотация

Очаковская О.А. К теории отображений, сохраняющих меру. - Рукопись.

В диссертации рассматриваются отображения многомерных областей, которые сохраняют меру любого измеримого подмножества из области определения, а также связанные с ними задачи из теории функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса. Для широкого класса гомеоморфизмов с () - свойством, изучается вопрос о минимальных требованиях, при которых гарантируется сохранение меры всех множеств при отображениях из указанного класса. При исследовании данной проблемы потребовалось получить ряд теорем единственности для класса функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса. К основным результатам диссертационной работы относятся следующие:

· найдены неулучшаемые условия, при которых заданное на полупространстве, внешности бесконечного цилиндра и на всем пространстве отображение, которое сохраняет меру всех шаров фиксированного радиуса, является отображением, сохраняющим меру;

· найдены точные условия на рост функции, заданной на полупространстве, внешности бесконечного цилиндра и на всем пространстве и имеющей нулевые интегралы по всем шарам фиксированного радиуса, из которых следует, что функция нулевая;

· получены аналоги некоторых указанных результатов для функций и отображений на гиперболической плоскости.

Метод доказательства позволяет также исследовать подобные задачи для некоторых многомерных областей, отличных от перечисленных, и может быть использован в дальнейших исследованиях в теории отображений и теории функций.

Ключевые слова: отображения с сохранением меры, () - свойство, объемная производная, средние по шарам, уравнение свертки.

Анотація

Очаковська О.О. До теорії відображень, що зберігають міру. - Рукопис.

Дисертація присвячена дослідженню відображень багатовимірних областей, які зберігають міру довільної вимірної підмножини з області визначення, а також пов'язаних з ними задач з теорії функцій, які мають нульові інтеграли по усіх кулях фіксованого радіуса. Для ряду областей знайдено непокращувані умови, за якими заданий на них гомеоморфізм з () - властивістю є відображенням, що зберігає міру. Отримано ряд теорем єдиності для деяких класів функцій з нульовими інтегралами по усіх кулях фіксованого радіуса. Розглянуто аналоги деяких з таких результатів про функції і відображення на гіперболічній площині.

Ключові слова: відображення, що зберігають міру; () - властивість; об'ємна похідна; середні по кулях; рівняння згортки.

Summary

Ochakovska O.O. On the theory of measure-preserving transformations. - Manuscript.

The thesis are devoted to investigations of measure-preserving transformations and related problems for functions with zero integrals over all balls of fixed radius. For a broad class of domains, the precise conditions under which a given homeomorphism with () - property is a measure-preserving transformation have been obtained. A number of uniqueness theorems for some classes of functions with zero integrals over all balls of fixed radius are obtained. Some related problems on hyperbolic plane are investigated.

Key words: measure-preserving transformations, () - property, volume derivative, ball means, convolution equation.

Размещено на Allbest.ru