Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Узагальнення синтезу моделей конструкторсько-технологічних обводів методами аналізу їх інваріантних складових

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Загальна характеристика роботи

Сучасний рівень розвитку промисловості і науки характеризується тенденцією впровадження малоопераційних програмованих технологій для автоматизованих виробництв. У технологічній підготовці виробництва літальних апаратів ця тенденція знайшла відображення у створенні систем геометричного моделювання поверхонь виробів та виготовленні оснастки і деталей на обладнанні з ЧПУ.

Актуальність теми. Для автоматизації технологічної підготовки виробництва необхідно провести комплекс наукових досліджень з проблеми геометричного моделювання внутрішніх форм літальних апаратів, зокрема, поверхонь конструкцій об'ємних вузлів за даними теоретичних і конструкторських креслень та креслень технологічної оснастки.

Постановка цієї задачі випливає з того, що за останні тридцять років у галузях промисловості накопичено значний потенціал науково-технічних розробок і впроваджень, що дозволяє перейти від традиційних до нових виробничих технологій.

В літакобудуванні нові технології базуються на принципах створення уніфікованих моделей конструктивних форм та інтеграції з системами геометричного моделювання виробів провідних конструкторських бюро (КБ).

Перспективним напрямком у технологічній підготовці виробництва є впровадження програмно-методичних засобів аналітичної ув'язки обводів складальних одиниць та створення технологічних моделей поверхонь для безплазового виготовлення оснастки на обладнанні з ЧПУ.

Перехід до безплазового виробництва суттєво залежить від рівня методів геометричного моделювання, які використовуються на стадії конструкторської і технологічної розробки виробів. Найефективнішим виготовлення оснастки можливе за технологічними моделями поверхонь, створеними на етапі передачі конструкторської документації із КБ заводу. При цьому складною і трудомісткою залишається розробка технологічних моделей поверхонь конструкцій планера, зокрема, пройомів, дверей, люків, фонаря кабіни пілотів, рамп, створок, фітингів та інших вузлів і деталей внутрішнього набору агрегатів.

Згідно з прийнятим у літакобудуванні принципом зв'язаного утворення форм об'єктів виробництва, побудова силового набору конструкцій виконується в залежності від зовнішнього (теоретичного) обводу агрегату та з урахуванням вимог, сформульованих у конструкторських кресленнях. На практиці це означає, що просторові вузли і деталі силового каркасу задають дискретними наборами кривих ліній в окремих площинах перерізів поверхонь конструкцій. Технологічні можливості такого задання обмежені, використання його пов'язано з великими витратами часу на підготовку виробництва. У даній ситуації для забезпечення автоматизованої обробки оснастки доцільно перейти від дискретних до неперервних моделей поверхонь вузлів і деталей внутрішніх конструкцій.

Актуальність теми дисертації визначається необхідністю розробки нових інформаційних технологій для автоматизованих виробництв і виготовлення оснащення на обладнанні з ЧПУ. Створення нових технологій моделювання і відтворення поверхонь вузлів, деталей і оснастки значно зменшує номенклатуру плазів, шаблонів та витрати часу на підготовку виробництва. Тому розробка теоретичних основ і нових методів моделювання обводів конструкторсько-техноологічного призначення є актуальною задачею переходу до безплазового автоматизованого виробництва в промисловості.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано на кафедрі нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут» в рамках держбюджетної теми О102U002464.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка теоретичних основ геометричного моделювання конструкторсько-технологічних обводів складної форми для системи автоматизованого виготовлення оснащення незалежно від плазово-шаблонного методу та в інтеграції з автоматизованими системами конструювання виробів.

Основні задачі дослідження

1. Визначити структури геометричних моделей обводів конструкторського та технологічного призначення, встановити їх інваріантні складові.

2. На основі аналізу моделей обводів розробити методи їх уніфікації відповідно до вимог їх технологічного відтворення.

3. Розробити теоретичні основи векторно-параметричного простору як середовища синтезу уніфікованих моделей.

4. Розробити нові уніфіковані геометричні моделі, які не залежать від плазової доробки та використання шаблонів:

4.1. Інтерфейсні моделі зовнішніх поверхонь, які створені на базі уніфікованих моделей автоматизованих систем конструювання КБ;

4.2. Запрограмовані моделі зовнішніх обводів, які створені на основі базового комплексу геометричних задач (БКГЗ) та теоретичних креслень.

5. Розробити нові геометричні моделі внутрішнього набору агрегатів з урахуванням повноти геометричної інформації для їх відтворення:

5.1. Запрограмовані моделі обводів конструкторсько-технологічного призначення на основі БКГЗ, інформації теоретичних і конструкторських креслень та креслень технологічної оснастки;

5.2. Моделі внутрішніх обводів на базі опуклих сплайнів і порцій поліноміальних поверхонь;

5.3. Моделі внутрішніх обводів на базі дискримінантних кривих складної форми;

5.4. Моделі внутрішніх обводів на базі ротаційних кривих простої та складної форми;

5.5. Моделі зовнішніх та внутрішніх обводів конструкцій і оснастки, створених як лінійчасті «стрічкові» поверхні із застосуванням простору одиничних векторів.

Методи дослідження. Основним методом дослідження є системно-структурний аналіз інваріантних складових геометричних моделей, який дозволяє послідовно обмежити множину допустимих розв'язків за конструктивними властивостями і параметрами проектованого обводу. При розв'язанні поставлених у роботі задач використовувались також методи: геометричного моделювання; обчислювальної та нарисної геометрій; векторного аналізу і алгебри; обчислювальної математики; лінійного програмування; R-функцій Рвачова В.Л.; сферичної тригонометрії; теорії кривих ліній і поверхонь.

Інформаційною та теоретичною базою проведення досліджень є роботи вітчизняних і зарубіжних вчених:

- з теорії кривих ліній і поверхонь: І.І. Котова, В.В. Ваніна, В.Е. Михайленка, А.В. Павлова, В.М. Найдиша, С.М. Ковальова, О.Л. Підгорного, А.М. Підкоритова, В.С. Обухової, Л.М. Куценка, В.О. Надолинного, І.А. Скидана, М.С. Гумена, В.І. Якуніна, В.М. Корчинського, С.А. Фролова, Ю.М. Ковальова, А.В. Найдиша, П. Без'є, Д. Фергюсона, С. Кунса та інших;

- з методів геометричного моделювання і обчислювальної геометрії: В.А. Андреєва,

Ю.Б. Рабінського, А.Д. Тузова, В.В. Бабакова, Ю.І. Бадаєва, Ю.В. Давидова, В.Л. Рвачова,

Р. Лайминга, М. Пратта, А. Фокса та інших;

- з методів сплайн-функцій: Ю.С. Зав'ялова, В.А. Скороспелова, М.П. Корнійчука,

А.Д. Тузова, Ю.О. Дорошенка, В.К. Ісаєва, Е. Нилсона, Д. Уолша, Д. Алберга та інших.

Наукова новизна одержаних результатів

1. Удосконалення апарату моделювання конструкторсько-технологічних обводів опуклими сплайнами шляхом аналізу множини сплайнів за конструктивними властивостями і параметрами проектованих ліній.

2. Удосконалення параметричного задання сегментів поліноміальних кривих шляхом розподілу їх параметричного інтервалу вузловими точками характеристичної ламаної на рівні частини в залежності від степеня полінома.

3. Удосконалення на базі сегментів опуклих сплайнів проектування складених квазігладких поверхонь за умовами збереження знаку кривини сітки ліній на поверхнях порцій.

4. Дістало подальший розвиток структурне і параметричне задання моделей поліноміальних поверхонь та їх перетворення згідно з вимогами згладжування стиків порцій складених технологічних обводів.

5. Дістало подальший розвиток дискримінантне задання кривих другого порядку за точками технічної кривої, розташування яких можливе як у трикутнику, так і поза трикутником дотичних; вперше запропоновано задання технічних обводів кривими складної форми на базі дискримінантних наборів кривих другого порядку.

6. Удосконалення задання просторових ліній об'ємних вузлів типу «пройоми, двері, люки» за допомогою кривих складної форми та косокутного проеціювання точок на відповідні грані формоутворюючої призми об'ємного вузла.

7. Дістали подальший розвиток геометричні побудови у просторі одиничних векторів: визначення компланарності векторів; побудова нормалей до площини та в площині двох векторів; моделювання ротаційної множини нормалей до прямої у просторі; побудова ліній-носіїв параметрів лінійчастих «стрічкових» поверхонь одиничних векторів.

8. Удосконалення моделювання просторових ліній ротаційними кривими простої і складної форми із застосуванням допоміжних поверхонь обертання та лінійчастих поверхонь нормалей до хорди проектованої кривої.

Достовірність і обґрунтованість одержаних результатів підтверджується доведенням властивостей, тверджень, аналітичними перетвореннями і побудовами та розрахунками прикладів, а також впровадженням у САПР технологічної підготовки серійного виробництва літальних апаратів.

Практичне значення одержаних результатів. Результати досліджень впроваджено у виробництво на підприємствах авіапромисловості при виготовленні літаків серії АН, ТУ334, А40, «Буран», Су30; вертольотів Мі34, КА26. За результатами досліджень розроблено бібліотеку інженерно-геометричних задач, яку впроваджено на підприємствах галузі. За участі автора розроблено САПР ГРАД Ї геометричного моделювання конструктивних форм, яку впроваджено у виробництво при освоєнні нових виробів.

Особистий внесок здобувача. Особисто автор виконав дослідження з теорії моделювання конструкторсько-технологічних обводів опуклими сплайнами, кривими другого порядку, поліноміальними кривими і поверхнями порцій, дискримінантними кривими складної форми, ротаційними кривими простої і складної форми із застосуванням простору одиничних векторів. На базі кривих складної форми розробив нові методи технологічного моделювання поверхонь крила та для об'ємних вузлів типу «пройом» виконав розробку технологічних моделей виготовлення штампу окантовки пройому фюзеляжу на обладнанні з ЧПУ.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації представлені доповідями на: наукових семінарах кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки НТУУ «КПІ» під керівництвом д.т.н. проф. В.В. Ваніна (Київ, 2003, 2004); наукових семінарах КНУБА під керівництвом академіка В.Е. Михайленка (Київ, 2000, 2001); міжнародній науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (Харків, 2001); міжнародній науково-практичній конференції «Современные проблемы геометрического моделирования» (Донецьк, 2000); ІІІ міжнародній науково-практичній конференції «Современные проблемы геометрического моделирования» (Мелітополь, 1996); республіканському семінарі «Использование автоматизированных систем в промышленности и строительстве» (Київ, 1983); галузевому семінарі «Автоматизация плазовых работ, проектирование и изготовление обводообразующей оснастки с применением ЭВМ» (Київ, 1982); науковому семінарі «Автоматизация проектирования в народном хозяйстве» (Київ, 1980); галузевому семінарі «Обработка на станках с ЧПУ обводообразующей оснастки и автоматизация геометрических расчетов» (Київ, 1977); республіканській конференції з прикладної геометрії і інженерної графіки (Київ, 1976); галузевому семінарі «Автоматизация плазово-шаблонных работ и изготовление обводообразующей оснастки» (Київ, 1975); галузевому семінарі «Автоматизация процессов изготовления деталей и оснастки» (Ташкент, 1971).

Публікації. За результатами досліджень опубліковано 33 роботи, з них 17 особисто.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, шести розділів, загальних висновків, списку використаних джерел, трьох додатків, має повний обсяг 465 сторінок, містить 187 найменувань бібліографії на 21 сторінці, 90 рисунків на 57 сторінках. Основна частина складає 318 сторінок друкованого тексту, в тому числі 9 таблиць.

Основний зміст роботи

геометричний обвід векторний

У вступі подано обґрунтування актуальності досліджень, сформульовані мета, задачі, наукова новизна і практичне значення роботи.

У першому розділі проведено аналіз існуючих методів аналітичного задання обводів складної форми, характерним представником яких є метод кривих другого порядку (МК2П). Наведено історичний огляд розвитку цього методу від задання поверхонь літаків за методикою

Р. Лайминга (США, 1944 р.) до сучасних розробок к.т.н. Рабінського Ю.Б., к.т.н. Андреєва В.А. та інших авторів. В результаті аналізу встановлено, що існуючі розробки забезпечують різні варіанти запису рівнянь кривих, з яких найбільш «технологічним» є афінний метод, оскільки дозволяє виконувати аналітичні розрахунки та графічні побудови на єдиній методичній основі. У 1969 році Бабаков В.В. доповнив плоску одиничну систему кривих другого порядку до просторової системи, що дозволило зв'язати афінний метод з відомою теорією конічних перерізів, найґрунтовніше дослідження яких було проведено Аполлонієм Пергським (ІІІ століття до н. е.).

Основним недоліком МК2П є «симетричність» дуг кривих в одиничній системі, що при моделюванні конструкторсько-технологічних обводів не забезпечує необхідної точності наближення аналітичних кривих до обводів реальних конструкцій. Для того, щоб уникнути цього недоліку, запропоновано перехід до кривих складної форми, які створюються у множині кривих другого порядку.

У математичну основу системи моделювання обводів конструкторсько-технологічного призначення можна покласти методи, що використовуються в системах автоматизованого проектування виробів, зокрема, методи на базі поліномів Бернштейна, кривих ліній і поверхонь Без'є, В-сплайнів, Фергюсона, Кунса та інших, а також із застосуванням поліноміальних сплайнів. Для того, щоб адаптувати ці методи до умов автоматизованого виробництва, необхідне доопрацювання їх математичного апарату. Наприклад, для квадратичних та кубічних сплайнів необхідно розглянути інваріантні складові моделі множини сплайнів та умови опуклості дуг кривих. Це дозволяє в області допустимих розв'язків проектувати опуклі сплайни простої і складної форми за конструктивними параметрами проектованої кривої.

У цьому ж розділі розглянуто проектування поверхонь Кунса в довільній області параметрів каркасу кривих за методикою д.т.н. Тузова А.Д. Сутність цієї методики полягає у відображенні прямокутної порції поверхні на непрямокутну область параметрів точок вихідного каркасу. На базі методу Кунса д.т.н. Тузов А.Д. запропонував форму запису рівнянь поверхонь для нерівномірної сітки параметрів. За участі автора цей метод було модифіковано у напрямку технологічної параметризації конструкторських поверхонь порцій при автоматизованому виготовленні оснастки криволінійного крила літака ТУ334 на Київському авіазаводі.

У другому розділі досліджено моделювання дискретно поданих обводів опуклими сплайнами. Для ряду точок Х₁, У₁,…, Х_і, У_і,…, Х_n, У_n розглянуто рівняння множини поліномів другого степеня

(1)

а також похідна (2)

при У?₁ = а. (3)

За умовами гладкості стикування дуг кривих сформульовані на базі (1), (2), (3) інваріантні складові моделі множини квадратичних сплайнів

(5)

де С_1і ч С_4і Ї сталі коефіцієнти, що визначаються за дискретними точками кривої.

З використанням (5) сформульовано умови опуклості дуг сплайнів:

(6)

де q_i Ї знак кривини, що визначається вихідною ламаною.

Для розв'язку (6) застосовано R-кон'юнкцію Рвачова В.Л. у вигляді

Ф((… ((f₁^f₂)^f₃ …) ^f_i) … ^f_n-1) = 0. (7)

Ліва частина (7) розраховується за формулами

Ф₂ = (f₁ + f₂ - |f₁ - f₂|),

Ф₃ = (Ф₂ + f₃ - |Ф₂ - f₃|),

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ф_і = (Ф_і-1 + f_і - |Ф_і-1 - f_і|),

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

і так далі до і = n - 1.

Якщо прийняти -100 ? а ? 100, то одержимо нижню і верхню границі інтервалу опуклих сплайнів: а_н = а_min = -100 - Ф(-100)_n-1; а_b = а_max = 100 + Ф(100)_n-1.

При а_н < a_b інтервал а_min ? а ? а_max (8) використовуємо для проектування опуклих сплайнів простої форми.

З використанням (4), (5), (8) запропоновано створення сплайнів простої форми за конструктивними параметрами У_і?, У_і?. Для цього необхідно в (4) (або (5)) підставити а_min, а_max, та в отриманому інтервалі задати значення конструктивного параметра, за яким знайти а_сп = а.

Якщо в (1) підставити праві частини (4), (5), то отримаємо вираз

(9)

що визначає складену поверхню множини сплайнів.

На базі (9), (4), (5), (8) запропоновано синтез моделей сплайнів складної форми за допомогою проеціюючих площин перерізів у системі 0 хуа. Доведено, що у вузлових точках сплайнів складної форми зберігаються властивості сплайнів простої форми за похідною. Це дозволило за ламаною, що розташована в площині 0 ха, будувати «гнучкі» сплайни за дотичними у декількох вузлових точках, а також здійснити спряження сплайнів простої і складної форми.

Досліджено властивості множини квадратичних сплайнів, з яких найбільш характерною є: кожний з граничних сплайнів включає відрізок вихідної ламаної відповідно до а_min, або а_max, множини опуклих сплайнів. Із застосуванням цієї властивості розроблено графічний спосіб побудови інтервалу опуклих сплайнів шляхом послідовного обмеження відрізку точок В₁ ланцюгами вихідної ламаної (рис. 1). На основі множини сплайнів запропоновано згладжування технічних кривих шляхом коригування ординат вихідних точок у напрямку розширення інтервалу опуклих сплайнів.

Для моделювання кривих ліній конструктивного набору виробів досліджено проектування параметричних квадратичних сплайнів. У цьому разі для кривих X=f₁(S), Y=f₂(S), Z=f₃(S) встановлюються інтервали опуклих сплайнів (рис. 2):

X'_{S1 min} ? X'_S1 ? X'_{S1 max,}; (10) Y'_{S1 min} ? Y'_S1 ? Y'_{S1 max}; (11) Z'_{S1 min} ? Z'_S1 ? Z'_{S1 max.} (12)

Якщо, згідно з (10) ч (12), вибрати комбінацію похідних у точці 1, то одержимо гладку криву, що складається з дуг квадратичних парабол у просторі.

Якщо вихідні точки кривої розташовані у площині загального положення И, то дуги парабол можна теж розташувати у цій площині. Розв'язання цієї задачі здійснюється при

а·X'_S1 + b·Y'_S1 + c·Z'_S1 = 0, (13)

де a, b, c Ї коефіцієнти рівняння площини И. Тоді у просторі 0xyz при перетині площиною И паралелепіпеду точок В₁ отримаємо трикутник, барицентричні координати якого визначають множину допустимих розв'язків, або чотирикутник, у межах якого визначаються необхідні розв'язки задачі (рис. 3, 4).

Якщо один із коефіцієнтів рівняння площини И дорівнює нулю, то визначимо криву у проеціюючій площині. Для задання ліній рівня (батоксів Z=const1, горизонталей Y=const2, шпангоутів X=const3) встановлюється комбінація похідних, дві з яких належать інтервалу опуклості, а третя дорівнює нулю.

У цьому ж розділі досліджено теоретичні основи проектування опуклих кубічних сплайнів та на їх базі сплайнів складної форми. Розглянуто множину кубічних поліномів

(14) та похідні: (15)

Y"_x = Y"_i + Y'''_i (X - X_i). (16)

Із застосуванням (14) ч (16) за умовами стикування дуг сплайнів за першою і другою похідними отримано при Y'₁ = a, Y''₁ = b:

Y??_i = C_4i + C_5i·a + C_6i·b; (17) Y?_i=C_7i + C_8i·a + C_9i·b; (18) Y?_i=C_10i + C_11i·a + C_12i·b. (19)

Запропоновано алгоритм визначення коефіцієнтів С_4і ч С_12і. Із застосуванням (18) сформульовано умови опуклості дуг кривих [q_i·(C_7i + C_8i·a + C_9i·b)] ? 0, (20) що задають систему n-обмежень параметрів a, b. При розв'язанні (20) отримано вузлові точки замкнутої ламаної, яка обмежує область допустимих розв'язків. Це дозволило розглянути відображення дотичних векторів у вузловій точці на моделі множини сплайнів наступним чином.

Якщо прийняти Y'_i = C_i, то з (19) отримаємо у системі 0ab рівняння прямої

, (21)

де є інваріантом перетворення дотичних і не залежить від С_і. Тоді (21) задає в залежності від С_і сім'ю паралельних прямих, нахилених під кутом б до осі 0а. За значенням С_і у системі 0ab проходить пряма, яка визначає геометричне місце точок задання сплайнів з властивістю Y'_i = const. На підставі цього твердження запропоновано метод знаходження інтервалу існування конструктивного параметра Y'_i у множині опуклих сплайнів.

За інваріантною складовою (19) знаходимо K = tgб та відповідні дотичні до багатокутника допустимих розв'язків в системі 0ab. В результаті отримуємо Y'_{і min} ? Y'_i ? Y'_{i max}. (22) Якщо в (22) зафіксувати значення конструктивного параметра, то перетинання прямої (21) з багатокутником допустимих розв'язків визначає відрізок з властивістю Y'_і = const. На базі цього відрізку визначається інтервал існування дотичної в іншій вузловій точці. Тоді точка перетину двох відповідних прямих задає а_сп, b_сп кубічного сплайна простої форми за двома конструктивними параметрами проектованої кривої.

Для переходу до сплайнів складної форми застосовано вектор-відрізок, розташований у багатокутнику допустимих розв'язків (рис. 5). Якщо задати точку A(a_A, b_A) з дистанцією X₁ та точку F(a_F, b_F) з дистанцією Х_n, то за вектором AF визначаємо лінійний сплайн складної форми при:

(24)

Побудова довільної точки цього сплайна здійснюється за Х_сп = Х (при Х₁ ? Х_сп ? Х_n), значення якого необхідно підставити в (23), (24). Тоді за отриманими а_сп, b_сп будуємо сплайн простої форми, для якого за Х_сп знаходимо ординату Y_сп сплайна складної форми.

Якщо пряму AF перетнути із багатокутником допустимих розв'язків, то отримаємо за вектором A₁F₁ смугу сплайнів простої форми при:

а_сп = а_A1 + (а_F1 - а_A1)· l_сп; (25) b_сп = b_A1 + (b_F1 - b_A1)·l_сп; (26)

l_сп = l₁ + (27) l₁= l_A, l_n= l_F, 0 ? l ? 1.

Якщо l прийняти за третю координату системи 0xyl, то рівняння поверхні сплайнів має вигляд

Це рівняння разом з (25) ч (27) задає сплайн складної форми за точками A₁, A, F, F₁ площини У. Для визначення довільної точки цього сплайна необхідно задати X=const та за (27), (25), (26) визначити параметри кубічного сплайна, для якого за Х знайти Y_сп.

Тоді у смузі кубічних сплайнів створюємо моделі кривих складної форми за схемами, аналогічними наведеним для моделей кривих у множині опуклих квадратичних сплайнів.

Запропоновано метод проектування сплайнів складної форми з урахуванням дотичних та радіусів кривини в кінцевих точках кривої. Сутність методу полягає у встановленні в множині опуклих сплайнів двох векторів-відрізків за значеннями похідних у кінцевих точках кривої. За рахунок вибору третього вектора-відрізка, що сполучає відповідні точки двох вихідних векторів-відрізків, встановлено опуклі сплайни з мінімальними та максимальними радіусами кривини проектованого обводу.

Одержані в розділі 2 результати теоретичних досліджень підтверджуються розрахунковими прикладами.

У третьому розділі досліджено форми задання кривих ліній складених обводів. Для дуг лінійних сплайнів, створених у множині квадратичних та кубічних сплайнів, встановлено форми представлення рівнянь поліномів третього та четвертого степеня за рядом Тейлора. Встановлено зв'язок між заданням кубічних поліномів за рядом Тейлора, в формах Фергюсона, Без'є-Бернштейна.

Запропоновано векторно-параметричну форму задання обводів, складених з дуг кривих другого порядку. Аналіз методу к.т.н. Андреєва В.А. показав, що в його основі покладена параметризація дуг кривих при 0 ? Х₀ ? 2; тоді в одиничній системі рівняння кривої другого порядку має вигляд:

(28)

(29)

при

Якщо в (28), (29) підставити то отримаємо параметризацію дуги за певним відрізком числової осі. Це дозволило виконати загальну параметризацію за t ліній, складених з дуг кривих другого порядку.

З використанням рівняння прямого кругового конуса (X₀-1)² - (Y₀-1)² + Z₀² =0 запропоновано за проміжною точкою T(X_0T, Y_0T) визначення дискримінанта

(30)

З використанням дискримінанта d розроблено спосіб апроксимації дуг кривих другого порядку симетричними кубічними В-поліномами зі збереженням характерних точок та дотичних в них.

На основі В-поліномів та рівнянь за рядом Тейлора встановлено загальну властивість параметризації поліноміальних кривих, яка полягає в тому, що вузлові точки характеристичної ламаної визначають розподіл параметричного відрізку дуги на рівні частини в залежності від степеня полінома.

У четвертому розділі досліджено проектування технологічних моделей на базі поверхонь порцій. Сформульовано вимоги до створення технологічних моделей поверхонь:

- спрощення моделювання складених обводів за рахунок зменшення числа параметрів, за якими утворюється просторовий обвод;

- розробка методів проектування квазігладких поверхонь порцій зі збереженням знаку кривини сітки ліній вихідного каркасу;

- згладжування стиків порцій шляхом перетворення поверхонь та ліній вихідного каркасу;

- перетворення аналітичних моделей у технологічні моделі поверхонь шляхом загущення сітки точок та конгруенції нормалей.

Для заповнення клітинок порціями поверхонь запропоновано метод Кунса у найпростішій формі:

F_j(u, w) = f_j (0, w)·C₀(u) + f _j(1, w)·C₁(u) + f_j (u, 0)·C₀ (w) + f_j (u, 1)·C₁(w) - f_j (0,0)·C₀(u)·C₀ (w) - f_j (0,1)·C₀ (u)·C₁ (w) - f _j (1,0)·C₁ (u)·C₀ (w) - f _j(1,1)·C₁ (u)·C₁ (w), (31)

де С₁ (u) = u, C₁ (w) = w, C₀ (u) = 1-u, C₀ (w) = 1-w Ї змішувальні функції;

f_j (0, w), f_j (1, w), f_j (u, 0), f_j (u, 1) Ї граничні функції

при: j = 1 F₁(u, w) = X; j = 2 F₂(u, w) = Y; j = 3 F₃(u, w) = Z.

На підставі (31) отримано поліноміальні рівняння лінійчастої квадратичної, лінійчастої кубічної, біквадратичної, бікубічної поверхонь. Для біквадратичної та бікубічної поверхонь шляхом аналізу рівнянь встановлено загальні умови збереження знаку кривини сітки ліній.

Запропоновано технологічну параметризацію та перетворення моделей поверхонь у технологічні моделі, які використовуються при програмній обробці оснастки.

На основі властивостей параметричного задання дуг поліноміальних кривих досліджено перетворення характеристичних ламаних зі збереженням координат точок вихідних кривих. Розроблено векторно-параметричні структури моделей біквадратичних, квадратично-кубічних, бікубічних та поверхонь з сіткою 4х4.

На базі квадратичних сплайнів розроблено спосіб квазігладкого заповнення клітинок каркасу біквадратичними поверхнями та згладжування стиків порцій шляхом переходу до бікубічної форми задання поверхонь. У наведеному прикладі здійснювалось подальше згладжування порцій шляхом переходу до поверхонь з сіткою 4х4. За рахунок встановлення спільних нормалей на границях порцій гладкість стиків поліпшується в 4-6 разів, що достатньо для практичного застосування способу.

Аналогічно на базі кубічних сплайнів запропоновано створення бікубічних поверхонь та згладжування порцій шляхом переходу до поверхонь з сіткою 4х4.

У п'ятому розділі сформульовано вимоги до задання внутрішніх форм виробів і оснастки:

- зберігання зв'язку з традиційним заданням обводів кривими другого порядку (К2П);

- параметризація ліній і поверхонь згідно з методом К2П та сплайновими моделями кривих ліній у просторі;

- модифікування метода К2П у напрямку наближення аналітичних моделей до обводів реальних конструкцій;

- розробка нових методів моделювання просторових ліній внутрішніх конструкцій для аналітичного задання обводів об'ємних вузлів, деталей і оснастки.

Для підвищення точності задання обводів внутрішніх конструкцій запропоновано проектування кривих складної форми за допомогою графіків дискримінантів d = f (X₀). (32)

Якщо графік (32) задати прямою, що нахилена під кутом б₀ до осі 0х₀, то отримаємо за двома проміжними точками асиметричну криву складної форми.

Ця крива має характеристичну ламану А₀В_А0В_С0С₀ і визначається двома параметрами форми:

Запропоновано створення кривих складної форми з квадратичним графіком дискримінантів за трьома проміжними точками. У цьому разі крива визначається трьома параметрами форми л_ВА, л_Е, л_ВС. Досліджено взаємне перетворення параметрів форми кривих другого порядку, кривих складної форми з лінійними та квадратичними графіками дискримінантів. Це дозволило модифікувати сегменти поверхонь, заданих кривими другого порядку, у напрямку задання їх кривими складної форми з підвищенням точності наближення до контурів конструкцій. Враховуючи складність аналітичного опису еквідистантних кривих класичними методами, запропоновано метод моделювання дуг еквідистант кривих другого порядку кривими складної форми з квадратичним графіком дискримінантів; при цьому наведено приклад моделювання еквідистанти дуги еліпса (рис. 9).

Для безплазового виготовлення оснастки розроблено проекційний метод задання просторових ліній конструкцій об'ємних вузлів кривими складної форми (КСФ). Сутність методу полягає в ортогональному проеціюванні лінії перетину поверхонь конструкцій на базову площину И₁ об'ємного вузла (пройому, дверей, люка, блистера тощо). Тоді лінія-проекція задається дугами КСФ₁; при цьому хорда А₁С₁ дуги визначає грань призми, яка нормальна до площини И₁. В проекції на площині грані одержуємо хорду А₂С₂ та проміжні точки, за якими будуємо КСФ₂. Для визначення дотичних в точках А₂С₂ будуються плоскі перерізи А₁В₁, С₁В₁ поверхні вузла (рис. 17).

При моделюванні обводів конструкцій за методом К2П часто виникають випадки некомпланарності дотичних векторів в граничних точках А, С дуги кривої. Для того, щоб спроектувати миттєвий трикутник А_іВ_іС_і, розглянуто простір одиничних векторів (ПОВ) і операції визначення у ньому параметрів ротаційних кривих. Оскільки у ПОВ кінцеві точки векторів створюють сферу l² + m² + n² = 1 (33), то кутове положення векторів 1, 2 задано функцією скалярного добутку (ФСД) F [SP(б)] = (l₂ - l₁)² + (m₂ - m₁)² + (n₂ - n₁)². (34) Якщо у площині П задати вектор 3, протилежний вектору 1, то отримаємо спряжені пари векторів з центральними кутами б, в і значеннями F [SP(б)], F [SP(в)] для цих кутів.

Досліджено властивості функції скалярного добутку одиничних векторів.

Властивість 1. F [SP(б)] + F [SP(в)] = 4 Ї сума значень функції скалярних добутків спряжених пар одиничних векторів, які побудовані на спільному діаметрі кола одиничного радіуса, дорівнює квадрату діаметра одиничної сфери.

Наслідок 1 (з властивості 1). SP(б) + SP(в) = 0 Ї сума скалярних добутків спряжених пар одиничних векторів, які побудовані на спільному діаметрі кола одиничного радіуса, дорівнює нулю.

Наслідок 2 (з властивості 1). Вирази [SP(б)]² - [SP(в)]² = 0, [SP(в)]² - [SP(б)]² = 0 вірні, тому що містять загальний множник [SP(б) + SP(в)] = 0.

Властивість 2. 0,5· F [SP(б)] + 0,5·F [SP(б)]= 2 Ї сума проекцій відрізків, які сполучають кінцеві точки спряжених пар векторів, дорівнює діаметру сфери одиничного радіуса.

Наслідок 1 (з властивості 2). (К₁К₂)_пр1 = 0,5·F [SP(б)] або (К₂К₃)_пр3 = 0,5·F [SP(в)] Ї довжина проекції відрізка, який сполучає у ПОВ кінцеві точки двох векторів, на одному з векторів дорівнює половині значення функції скалярного добутку цих векторів.

Наслідок 2 (з властивості 2). 0,5·F [SP(б)] + SP(б) = 1 або 0,5·F [SP(в)] +SP(в) = 1 Ї алгебраїчна сума половини значення функції скалярного добутку і значення скалярного добутку для будь-якої пари одиничних векторів дорівнює радіусу одиничної сфери.

З використанням ФСД векторів розв'язана задача побудови вектора, нормального до площини двох векторів. Звичайно така задача розв'язується з використанням поняття векторного добутку, перейнятого з механіки. Завдяки застосуванню ПОВ розглянуто перетинання трьох сфер; в результаті отримано два протилежно спрямованих одиничних нормальних вектора.

З використанням властивостей функції (34) розроблено метод побудови нормалі у площині двох векторів. При цьому результуючий вектор орієнтовано за напрямом до одного з вихідних векторів.

Досліджено моделювання ротаційної множини нормалей до прямої у просторі; в результаті отримано опис множини нормалей у параметричній формі. Досліджено геометричні моделі трійок компланарних векторів. В результаті аналізу ФСД пар векторів встановлено базові геометричні моделі, які використовуються при визначенні компланарності векторів.

Із застосуванням операцій у ПОВ та метода К2П запропоновано побудову ротаційних кривих, що спрягають одиничні вектори у просторі. Результуючу ротаційну криву розташовано на поверхні обертання та створено за рахунок інтерполяції параметрів вихідних дотичних векторів. Запропоновано спосіб визначення дискримінанта ротаційної кривої за проміжною лінією (рис. 10). Суть способу полягає у знаходженні на лінії Х_М = f₁(S), Y_M = f₂(S), Z_M = f₃(S) точки визначення дискримінанта за загальним параметром Х₀ для дуги К2П у системі (рис. 11) та дуги кола одиничного радіуса у ПОВ. Для цього за точками М_і будуються графіки зміни параметра Х₀ в площині меридіана та у ПОВ. Точка перетину графіків задає X_0d (рис. 12), що дозволило визначити шуканий дискримінант.

На базі ротаційних кривих наведено проектування сегментів спрягаючих кінематичних поверхонь.

Запропоновано метод моделювання дуг ротаційних кривих з використанням поверхонь одиничних нормалей до хорди кривої. Цей метод базується на принципі обертання векторів вихідних точок навколо хорди та суміщенні їх з площиною меридіана допоміжної поверхні обертання складної форми (рис. 13). Результуючу криву задано графіком дискримінантів твірної поверхні обертання d = f₁(X₀) та графіком зміни положення просторових нормалей до хорди кривої с = f₂(X₀) (рис. 14).

Досліджено проектування у ПОВ ліній-носіїв параметрів лінійчастих «стрічкових» поверхонь, які використовуються при програмній обробці об'ємних вузлів (зокрема, каркасу фонаря кабіни пілотів). У наведеному прикладі задання ліній-носіїв параметрів l, m, n здійснювалось на поверхні сфери (33), де за допомогою квадратичних сплайнів визначено графіки зміни параметрів сферичної кривої (рис. 15).

У шостому розділі розглянуто впровадження результатів досліджень у виробництво та перспективні напрямки розвитку роботи.

Впровадження розробок здійснювалось на підприємствах у напрямках:

- створення бібліотеки інженерно-геометричних задач та базового комплексу програмних модулів розрахунку геометричних параметрів виробів;

- створення інтерфейсів передачі геометричної інформації виробів від автоматизованих систем конструювання в КБ до технологічних систем обробки оснастки на обладнанні з ЧПУ;

- геометричної ув'язки об'ємних вузлів (пройомів, дверей, люків, фонаря та інших) при обробці оснастки і деталей на обладнанні з ЧПУ.

При освоєнні нових виробів створені технологічні моделі поверхонь:

Таганрозький авіазавод (літак А40 Ї крило, мотогондола, «лодка» та інші агрегати);

Ростовський вертолітний завод (вертольот КА50 Ї хвостова балка);

Київський авіазавод Ї АНТК «АНТОНОВ» (літак АН70 Ї еталон і оснастка фонаря кабіни пілотів);

Київський авіазавод Ї АНТК «ТУПОЛЕВ» (літак ТУ334 Ї еталони пройомів, дверей, клапанів; виклеєчна оснастка для деталей крила; еталон і деталі фонаря кабіни пілотів);

Тушинський-Воронезький авіазаводи (орбітальний літак «Буран» Ї деталі каркасу фонаря кабіни космонавтів);

Закарпатський вертолітний завод (вертольот Мі34 Ї технологічні моделі поверхонь фюзеляжу, хвостової балки, лопаті);

Іркутський авіазавод (літак Су30 Ї моделі обводів оснастки крила, флаперона).

Впровадження розробок у виробництво підтверджується статтями в журналах «Авиационная промышленность». М., «Технология и организация производства». К., СТП, РТМ, актами технічного впровадження, довідками та іншими документами підприємств.

Подальший розвиток роботи доцільно вести у напрямку створення проблемно-орієнтованих підсистем геометричного моделювання: агрегатів типу «крило»; пройомів, дверей, люків; деталей і оснастки фонаря кабіни пілотів; виклеєчних форм для виготовлення деталей із композитних матеріалів та сотових наповнювачів; інтер'єрів салонів пасажирських літаків тощо.

Наведено приклад технологічного моделювання обводів крила літака АН із застосуванням кривих складної форми. На підставі табличних даних носки крила задано за відсіками однорідної інформації верху та низу крила (рис. 16). Шляхом загущення точок вихідних нервюр створено технологічну модель носової частини крила.

Наведено приклад моделювання обводів об'ємного вузла типу «пройом» та створення технологічних моделей обробки поверхонь штампу окантовки пройому на обладнанні з ЧПУ.

Для моделювання поверхонь оснастки використовувались дані попередньої ув'язки контурів деталей в обмеженій кількості січних площин вузла (рис. 17). За допомогою кривих складної форми виконано аналітичне задання ліній точок Т, М, що дозволило загустити базову лінійчасту поверхню пройому. З використанням даних конструкторських креслень створено інформаційну модель перехідної поверхні штампу окантовки пройому (рис. 18). При цьому спряження контурів окантовки колами конструктивних радіусів здійснювалось у площинах перерізів із застосуванням простору одиничних векторів (рис. 19). На основі загущеної інформаційної моделі перехідної поверхні розроблено таблиці технологічних моделей обробки штампу.

Наведено приклад технологічної параметризації поверхонь порцій криволінійного крила літака ТУ334, яка використовувалась при програмній обробці оснастки на Київському авіазаводі. Ця параметризація виконувалась при збереженні даних точок конструкторської моделі

S, T, u, w, X, Y, Z, X_U, Y_U, Z_U, X_W, Y_W, Z_W, X_UW, Y_UW, Z_UW

для порцій поверхонь r (u, w) = F(u)·Q (u, w)·F^T(w),

де F(u) = [a₀(u), a₁(u), в₀(u), в₁(u)] містить змішувальні функції за u,

F(w) = [a₀(w), a₁(w), в₀(w), в₁(w)] містить змішувальні функції за w,

Q (u, w) Ї матриця 4х4, яка враховує нерівномірність параметричної розбивки точок вихідного

каркасу поверхні при .

У вузлових точках каркасу параметри S, T вибирались у вигляді послідовності чисел натурального ряду, що дозволило спроектувати програми обробки оснастки за даними конструкторських моделей поверхонь.

Висновки

У дисертації досліджено теоретичні основи геометричного моделювання конструкторсько-технологічних обводів для їх автоматизованого відтворення при виготовленні технологічної оснастки на обладнанні з ЧПУ.

При проведенні досліджень моделей обводів складної форми отримані наступні результати:

1. Одержано геометричну модель однопараметричної множини опуклих квадратичних сплайнів, що дозволило розробити гнучкі методи проектування сплайнових моделей кривих простої і складної форми.

2. Розроблено нові методи практичного застосування опуклих квадратичних сплайнів: моделювання плоских і просторових кривих параметричними сплайнами; згладжування точок дискретно представлених кривих.

3. Одержано геометричну модель двопараметричної множини опуклих кубічних сплайнів, що дозволило розробити нові методи створення сплайнових моделей кривих за конструктивними властивостями і параметрами проектованого обводу.

4. Досліджено форми задання дуг лінійних обводів за рядом Тейлора, методами Фергюсона, Без'є-Бернштейна. Запропоновано загальну параметризацію лінійних обводів, складених з дуг кривих другого порядку, та спосіб апроксимації кривих другого порядку кубічними В-поліномами; встановлено нові властивості параметризації дуг поліноміальних кривих.

5. Розроблено нові методи задання поліноміальних поверхонь зі збереженням знаку кривини сітки ліній вихідного каркасу кривих; встановлено структури геометричних моделей порцій біквадратичних, квадратично-кубічних, кубічних та поверхонь з сіткою 4х4.

6. Розроблено нові методи перетворення моделей поліноміальних поверхонь та згладжування стиків порцій у складі технологічних моделей просторових обводів.

7. Запропоновано уніфіковану форму представлення інформаційної сітьової моделі поверхні, яка використовується при програмній обробці оснастки на обладнанні з ЧПУ.

8. Розроблено новий метод дискримінантного задання кривих складної форми, що дозволило модифікувати метод кривих другого порядку у напрямку наближення аналітичних моделей до обводів реальних конструкцій. На базі кривих складної форми запропоновано нові методи апроксимації еквідистант та контурів плоских перерізів поверхонь.

9. Запропоновано проекційний метод задання просторових ліній конструктивних вузлів типу «пройом» кривими складної форми при створенні технологічних моделей обробки оснастки на обладнанні з ЧПУ.

10. Встановлено властивості простору одиничних векторів, на базі яких розроблено нові геометричні операції з векторами: визначення компланарності векторів; побудова нормалей до площини та в площині двох векторів, визначення ліній-носіїв параметрів «стрічкових» лінійчастих поверхонь одиничних векторів.

11. Розроблено нові методи моделювання просторових ліній і поверхонь ротаційними кривими простої і складної форми із застосуванням поверхонь обертання та поверхонь одиничних векторів.

12. Із застосуванням нових методів наведено приклади: моделювання поверхні крила; створення технологічних моделей обробки поверхонь штампу окантовки пройому фюзеляжу; технологічної параметризації конструкторських поверхонь порцій при виготовленні оснастки літака на обладнанні з ЧПУ.

13. Результати досліджень впроваджено у виробництво при виготовленні літаків і вертольотів.

Основний зміст дисертації опублікований в роботах

1. Шепель В.П. Синтез наборів кубічних кривих у множині квадратичних сплайнів // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Ї Мелітополь: ТДАТА, 2003. Ї Вип. 4. Ї Т. 19. Ї С. 87-90.

2. Шепель В.П. Моделювання дуг просторових кривих з використанням поверхонь одиничних векторів // Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомчий науково-технічний збірник. Вип. 72. Ї Київ, 2003. Ї С. 106-110.

3. Шепель В.П., Ванин В.В. Моделирование ротационного множества нормалей в пространстве единичных векторов // Прикладная геометрия и инженерная графикаЇ Мелитополь: ТГАТА, 1999. Ї Вып. 4. ЇТ.5. Ї С. 33-35.

4. Шепель В.П. Перетворення кривих другого порядку на криві складної форми // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Ї Мелітополь: ТГАТА, 2002.Ї Вип. 4. Ї Т. 16. Ї С. 84-87.

5. Шепель В.П., Костюк А.І. Проектування спрягаючих плоских кривих складної форми з використанням наборів кривих другого порядку // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Ї К.: КНУБА, 2000..Ї Вип. 67. Ї С. 136 - 139.

6. Шепель В.П. Згладжування кривих квадратичними сплайнами // Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомчий науково-технічний збірник. Вип. 71. Ї К., 2002. Ї С. 211-213.

7. Шепель В.П., Ванін В.В. Геометричні моделі трійок компланарних одиничних векторів // Прикладная геометрия и инженерная графика. Ї Мелитополь: ТГАТА, 1999. Ї Вып. 4. Ї Т.10. Ї С. 23-25.

8. Шепель В.П. Побудова нормалей в просторі одиничних векторів // Прикладна геометрія та інженерна графіка.Ї К.: КНУБА, 1999. Ї Вип. 66. Ї С. 162 - 164.

9. Шепель В.П., Ванин В.В. Построение нормали в плоскости единичных векторов с использованием функции их скалярного произведения // Прикладная геометрия и инженерная графика. Ї Мелитополь: ТГАТА, 1999. Ї Вып. 4. Ї Т.7. Ї С. 8-11.

10. Шепель В.П., Ванін В.В., Костюк А.І. Геометричні параметри ротаційних кривих, спрягаючих одиничні вектори у просторі. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Ї Мелітополь: ТДАТА, 2000. Ї Вип. 4. ЇТ. 11. Ї С. 53-57.

11. Шепель В.П. Моделювання контурів перерізів поверхонь на базі кривих складної форми // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Ї Мелітополь: ТДАТА, 2002. Ї Вип. 4. ЇТ. 15. Ї С. 66-70.

12. Шепель В.П., Костюк А.І. Проектування гладких сферичних кривих у просторі одиничних векторів // Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомчий науково-технічний збірник. Ї К., 2001. Ї Вип. 69. Ї С. 66-69.

13. Шепель В.П., Костюк А.І. Дискримінантне задання дуг ротаційних кривих // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Ї Мелітополь: ТДАТА, 2001. Ї Вип. 4. Ї Т. 13. Ї С. 103-107.

14. Шепель В.П. Моделювання направляючих обводів пройому літака кривими складної форми // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Ї Мелітополь: ТДАТА, 2003. Ї Вип. 4. Ї Т. 18. Ї С. 73-77.

15. Шепель В.П., Костюк А.І. Моделювання дуг еквідистант на базі дискримінантних наборів кривих другого порядку // Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомчий науково-технічний збірник. Ї К.: КНУБА, 2001. Ї Вип. 68. Ї С. 91-94.

16. Шепель В.П. Параметризация и расчет на ЭВМ составных обводов, заданных кривыми второго порядка // Авиационная промышленность. Ї 1976. Ї №8. Ї С. 14-15.

17. Шепель В.П. Способ объединения каркасов разнопараметризованных сетевых моделей поверхностей // Прикладная геометрия и инженерная графика.Ї К.: КГТУСА, 1996. Ї Вып. 59. Ї С. 122-124.

18. Шепель В.П. Способ машинного определения области существования выпуклых параболических сплайнов // Прикладная геометрия и инженерная графика. Ї К.: Будівельник, 1979. Ї Вып 27. Ї С. 19-21.

19. Шепель В.П. Разработка программы автоматического конструирования выпуклых параболических сплайнов // Авиационная промышленность. Ї 1978. Ї №8. ЇС. 3-5.

20. Шепель В.П., Климентьев В.И., Гаврилова С.Г. Проектирование на ЭВМ пространственных линий внутреннего конструктивного набора изделий // Авиационная промышленность. Ї 1980. Ї №7. Ї С. 10-11.

21. Шепель В.П., Гаврилова С.Г. Конструирование продольных обводов изделий методами линейного программирования // Авиационная промышленность. Ї 1978. Ї №3. Ї С. 7-8.

22. Шепель В.П. Геометрична інтерпретація функції скалярного добутку одиничних векторів простору // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Ї К.: КНУБА, 1999. Ї Вип. 65. Ї С. 125 - 127.

23. Климентьев В.И., Шепель В.П., Веревкин М.В. Подготовка на ЭВМ математических моделей линейчатых поверхностей деталей и агрегатов изделий // Авиационная промышленность. Ї 1981. Ї №3. Ї С. 27-29.

24. Медведев Б.А., Караванов Ю.И., Смоляр А.А., Шепель В.П., Гончаров Б.К. Разработка диалоговой системы геометрического моделирования и расчета конструктивных форм изделий // Авиационная промышленность. Ї 1985. Ї №11. Ї С. 2-5.

25. Шепель В.П. Расчет на ЭВМ «Наири2» пространственных углов методами сферической тригонометрии // Авиационная промышленность. Ї 1976.Ї №1.Ї С. 20-21.

26. Шепель В.П., Шевцов А.Г., Гаврилова С.Г. Разработка библиотеки универсальных программ решения инженерно-геометрических задач на ЭВМ «Наири2» // Авиационная промышленность. Ї 1976. Ї №7.Ї С. 16-17.

27. Шепель В.П., Ванін В.В., Костюк А.І. Спосіб дискримінантного задання точок кривих складної форми // Збірка праць міжнародної науково-практичної конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання». Ї Харків, 2001. Ї С. 78-80.

28. Бачурин Ю.Д., Шепель В.П. Опыт внедрения ЭВМ «Наири-2» в плазово-шаблонном цехе Киевского авиационного завода // Технология и организация производства. Ї К.: УкрНИИНТИ, 1973. Ї №8. Ї С. 14-17.

29. Шепель В.П. Моделирование линий-границ вырезов на каркасе сетевой поверхности // Сборник трудов ІІІ международной конференции «Современные проблемы геометрического моделирования». Ї Ч. 1. Ї Мелитополь, 1996. Ї С. 36-37.

30. Шепель В.П., Гаврилова С.Г. Анализ функций векторных операций при пересечении прямой с участком билинейной поверхности // Сборник трудов ІІІ международной конференции «Современные проблемы геометрического моделирования». Ї Ч. 1. Ї Мелитополь, 1996. Ї С. 38-39.