Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 515.2

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПОЛІВ

У НОРМАЛЬНИХ КОНІЧНИХ ТА НОРМАЛЬНИХ

ТОРОЇДАЛЬНИХ КООРДИНАТАХ

Спеціальність 05.01.01 -

Прикладна геометрія, інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

НЕСНОВ Дмитро Валерійович

Донецьк - 2004

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Донецькому національному технічному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор технічних наук, професор Скидан Іван Андрійович, завідувач кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки, Донецький національний технічний університет(м. Донецьк)

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор Куценко Леонід Миколайович, професор кафедри пожежної техніки, Академія пожежної безпеки України (м. Харків);

- кандидат технічних наук, доцент Несвідомін Віктор Миколайович, доцент кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки, Національний аграрний університет (м. Київ)

Провідна установа: Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, кафедра нарисної геометрії, інженерної і машинної графіки Міністерства освіти і науки України (м. Київ)

Захист відбудеться 06.05.2004р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.052.04 у Донецькому національному технічному університеті за адресою: 83000, Донецьк-00, вул. Артема 58, корп.6, ауд.6,202

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Донецького національного технічного університету за адресою: 83000, Донецьк-00, вул. Артема, 58, корп.2

Автореферат розісланий 05.04.2004р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради К 11.052.04

к.т.н., доц. Т.Г.Івченко



АНОТАЦІЯ

Неснов Д.В. Геометричне моделювання полів у нормальних конічних та нормальних тороїдальних координатах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - прикладна геометрія, інженерна графіка. - Донецький національний технічний університет, Донецьк, Україна, 2004.

Дисертацію присвячено визначенню диференціальних характеристик скалярних і векторних полів складної структури на основі використання положень теорії поля у загальних криволінійних координатах, що дозволяє складати геометричні моделі фізичних процесів. Дослідження проводились з метою підключення до моделювання засобів компютерної графіки та визначення умов зведення до просторово-одновимірної задачі інтегрування диференціальних рівнянь в частинних похідних, що моделюють процес.

В процесі досліджень були отримані результати, що мають наукову і практичну цінність. До головних результатів слід віднести: конкретизацію загальної теорії поля у криволінійних координатах на випадки нормальних конічних та нормальних тороїдальних координат; застосування засобів комп'ютерної графіки для вивчення скалярних полів шляхом візуалізації їхніх поверхонь рівня; визначення чинників, що викликають порушення гладкості диференціальних характеристик полів; формулювання умов спрощення диференціальних рівнянь в частинних похідних теорії поля, що полягають у такому виборі спеціальної системи віднесення поля, в якому б її координатні поверхні збігались з поверхнями рівня. На основі теоретичних досліджень було розроблено спосіб розрахунку розподілу температури у конічній та тороїдальній стінках, що був впроваджений у КБ космічних апаратів та систем ДКБ “Південне” (м. Дніпропетровськ) та в навчальному процесі в ДонНТУ на кафедрах промислової теплоенергетики та технічної теплофізики у курсах тепломасообміну та тепломасопередачі.

Ключові слова: нормальні конічні координати, нормальні тороїдальні координати, поверхні рівня, лапласіан, дивергенція, ротор.



АННОТАЦИЯ

Неснов Д.В. Геометрическое моделирование полей в нормальных конических и нормальных тороидальных координатах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - прикладная геометрия, инженерная графика. - Донецкий национальный технический университет, Донецк, Украина, 2004.

Диссертация посвящена определению дифференциальных характеристик скалярных и векторных полей сложной структуры в нормальных конических и нормальных тороидальных координатах на основе использования положений теории поля в общих криволинейных координатах, что позволяет составлять геометрические модели физических процессов. Исследования проводились с целью подключения к моделированию средств компьютерной графики и определения условий сведения к пространственно-одномерной задаче интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных, которые моделируют процесс. диференціальний векторний тороїдальний координата

В процессе исследований были получены результаты, которые имеют научную и практическую ценность. К главным результатам следует отнести: конкретизацию общей теории поля в криволинейных координатах на случаи нормальных конических и нормальных тороидальных координат; определение дифференциальных характеристик полей (производной по направлению, градиент, лапласиан, ротор, дивергенция); привлечение средств компьютерной графики для изучения скалярных полей путем визуализации поверхностей уровня; определение факторов, которые вызывают нарушение гладкости дифференциальных характеристик полей; формулирование условий упрощения дифференциальных уравнений в частных производных теории поля, суть которых в таком выборе специальной системы отнесения поля, в котором ее координатные поверхности совпадают с поверхностями уровня поля.

Показано, что нормальные конические координаты применимы для моделирования полей только в области , где - угол между осью и образующей конуса-определителя, u - лонгальная координата вдоль образующей, v - нормальная координата, направление которой от поверхности конуса-определителя до наружной текущей точки - положительное, до внутренней - отрицательное. Нарушение первого неравенства приводит к переходу от правой локальной системы к левой, а также к пересечению поверхностей уровня. Нарушение второго неравенства - к появлению конических точек на поверхностях уровня.

Поверхности уровня полей, отнесенных к тороидальным координатам, могут иметь особенности на оси тора (конические точки) и на линии центров образующего круга, которая является линией самопересечения.

Геометрическая модель скалярных полей, заданных в нормальных конических и нормальных тороидальных координатах некоторой функцией от соответствующих координат, представляет собой компьютерно-графическое изображение поверхностей уровня этого скалярного поля. Из определения поверхности уровня следует, что ее уравнение можно получить приравняв постоянной правую часть функции. Разрешив такое уравнение относительно одной из криволинейных координат, получим внутреннее уравнение семейства поверхностей уровня, параметром которого является постоянная предыдущего уравнения. Подстановкой правой части внутреннего уравнения в функции в функции зависимости ортогональных декартовых координат от криволинейных переходим к параметрическим уравнениям семейства поверхностей уровня, которые и представляют собой входные данные для построение поверхностей уровня средствами компьютерной графики.

Визуализация нескольких поверхностей уровня при равномерном интервале значений параметра позволяет визуально наблюдать структуру поля. Поле изменяется быстрее в тех местах, где поверхности уровня ближе подходят друг к другу.

На базе теоретических исследований был разработан способ расчета распределения температуры в конических и тороидальных стенках, а также технология безотходного раскроя полосового материала и расположения выкроек на поверхности тора. Эти результаты использованы при разработке термозащитных покрытий космических аппаратов “Океан-О”, “АУОС-СМ-КФ” КБ космических аппаратов и систем ГКБ “Южное” (г. Днепропетровск), а так-же в учебном процессе кафедр: промышленной теплоэнергетики, технической теплофизики, инженерной и компьютерной графики.

Ключевые слова: нормальные конические координаты, нормальные тороидальные координаты, поверхности уровня, лапласиан, дивергенция, ротор.



THE SUMMARY

Nesnov D.V. Geometrical modelling of fields in normal conic and normal torus coordinates. - Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of candidate technical science behind a speciality 05.01.01 - Applied geometry, engineering the graphics. - Donetsk national technical university, Donetsk, Ukraine, 2004.

The dissertation is devoted to definition of differential characteristics of scalar and vector fields of complex structure on the basis use positions the field theory in the general curvilinear coordinates that allows to make geometrical models of physical processes. Researches were carried out with the purpose of connection to modelling means computer graphics and definitions of conditions transformation to one-dimensional spaceproblem of integration the differential equations in derivatives, a given which a given model process.

During researches there were received results which have scientific and practical value. It is necessary to attribute to the main results: a concrete definition of the general theory of a field in curvilinear coordinates on cases of normal conic and normal torus coordinates; definition of differential characteristics of fields (derivative on a direction, gradient, laplas operator, rotation, divergense); attraction of means computer graphics for studying scalar fields by visualization of level surfaces; definition of factors which are caused with definition of smoothness of differential characteristics of fields; a formulation conditions of simplification the differential equations in partial derivatives the field theory, which essence in such choice of special system reference a field in which its coordinate surfaces coincide with level surfaces of the field .

It is shown, that normal conic coordinates are applicable for modelling fields only in region , where - a angle between an axis and forming a cone-determinant, u - long coordinate along generatrix, v - normal coordinate, which direction from surface a cone-determinant up to an external current point - positive, up to internal - negative. Infringement of the first inequality leads to transition from the right local system to left, and also to intersection of level surfaces . Infringement of the second inequality - to occurrence of conic points on level surfaces.

Level surfaces of the fields refer to torus coordinates, can have features on an axis torus (conic points) and on a line of the centers of a forming circle which is a line of self-intersection.

On the basis theoretical researches the way calculation distribution of temperature in conic and torus walls has been developed, and also technology without waste opening a strip material and an arrangement of patterns on a surface torus, these results are used by development termoprotection coverings of space apparatus “Океан-О”, “АУОС-СМ-КФ” design bureau of space apparatus and systems SDB "Південне" (Dnepropetrovsk), and as in educational process of faculties: industrial power system, technical thermophysics, engineering and computer graphics.

Keywords: normal conic coordinates, normal torus coordinates, level surface, laplas operator, rotation, derivative, differential characteristics.



загальна характеристика роботи

Одним з найважливіших чинників, що забезпечують економічний розвиток держави, є досягнення науки у цілому і особливо застосування комп`ютерних технологій у всіх сферах діяльності. Комп`ютер став справжнім прискорювачем науково-технічного прогресу. Комп`ютерне моделювання об`єктів, процесів, явищ у більшості випадків дозволяє затвердити чи відхилити наукову гіпотезу, замінити натуральне моделювання і натуральні випробування, скоротити термін проектування і підвищити його якість, керувати процесом вироблення, контролюючи його хід.

Як проведення наукових та проектних робіт, так і реалізація проектів, за велінням часу мусять здійснюватись з обов`язковою орієнтацією на комп`ютерні технології. Однією з найважливіших задач прикладних дисциплін є перекладання бази знань, отриманої в докомп`ютерний період, на мову програм з метою їх ефективного використання завдяки застосуванню комп`ютерних технологій.

Актуальність обраної теми. Більшість фізичних процесів та явищ моделюється із застосуванням математичного апарату теорії поля. Теорія поля у науковій літературі широко представлена у векторному викладенні у прямокутних декартових координатах.

Якщо джерело поля сконцентровано у точці, його характеристики зручніше описувати у сферичних координатах. Ізоповерхнями (поверхнями рівня) такого поля є концентричні сфери із центром у джерелі поля. Якщо джерело поля розподілено уздовж прямої, його характеристики отримують у циліндричних координатах. Поверхнями рівня такого поля є співосні циліндри. У цих двох випадках визначником поля і сім`ї його поверхонь рівня є джерело.

Саме поля з точковим та лінійним джерелом найглибше вивчені та висвітлені у науковій літературі. Чому? Відповідь на це запитання з одного боку надзвичайно проста, що і забезпечило концентрацію наукової думки на вивченні цих полів: математичний апарат базується у цьому випадку на використанні найпростіших, після декартових, класичних координатних систем - сферичної та циліндричної. З іншого боку - вона складна в зв`язку з необхідністю пошуку застав для спрощення математичної моделі полів, що мають складну структуру. Справа у тому, що поля з точковим та лінійним джерелом припускають вивчення проекційними методами або в повному обсязі, або в залученні цих методів для моделювання та отримання розв`язків диференціальних рівнянь в частинних похідних теорії поля, розв`язання яких іншими засобами проблематично.

Ускладнення математичного плану, що виникають при описі полів складної структури, наприклад, полів із джерелом та стоком більш складної форми, ніж точка та пряма, потребують нових підходів до вивчення процесів, що відбуваються у середовищі таких полів. Особливо це торкається випадків, коли деякий об`єкт ускладненої форми є одночасно стоком дії одного поля та джерелом іншого. Наприклад, в процесі взаємодії літавого апарату з атмосферою при значних швидкостях, його поверхня сприймає швидкісну течію повітря, яка силою тертя перетворюється у теплову енергію. В той же час відбувається процес теплопередачі енергії в тілі теплоізоляційного шару. Таким чином, підлягає вивченню векторне поле швидкісного напору та кількісне визначення ініційованого цим полем тепла. В цьому процесі поверхня теплоізоляційного шару є стоком названого поля. Одночасно зовнішня поверхня теплоізоляційного шару є джерелом скалярного теплового поля, результатом вивчення якого є визначення товщини теплоізоляційного шару в залежності від припустимої температури на поверхні літавого апарату, що захищається від нагріву.

Поза циліндрами та сферами, наступними за простотою елементами поверхонь літавих апаратів є конус та тор. Поверхнями рівня теплового поля із джерелом у вигляді зовнішніх конічних та торових поверхонь теплоізоляційного шару є сім`ї еквідистатних конусів та торів. Ці сім`ї не є координатними в жодній із загальних координатних систем, що є прихованою причиною ускладнень, які виникають при описі полів та визначенні їх характеристик.

Проблема пошуку засобів запобігання ускладнень, що виникають при аналітичному описі скалярних та векторних полів внаслідок незбігання поверхонь рівня з координатними поверхнями системи його віднесення є актуальною.

Основна ідея роботи полягає у введенні для подання поля та визначення його характеристик нових або використання відомих координатних систем, відповідних умові збігання однієї з координатних сімей поверхонь з поверхнями рівня поля, що забезпечує запобігання згаданих ускладнень.

Звязок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалась у відповідності з планом наукових досліджень за спеціальністю “Прикладна геометрія, інженерна графіка” кафедри нарисної геометрії і інженерної графіки Донецького національного технічного університету.

Мета і задачі дослідження.

Мета - адаптувати теорію полів, віднесених до криволінійних координат, на їх подання у нормальних конічних та нормальних тороїдальних координатах і розробити основу їх геометричного моделювання із застосуванням засобів компютерної графіки.

Для досягнення мети необхідно розв'язати такі задачі:

- для скалярних полів, поданих у нормальних конічних та тороїдальних координатах, отримати вирази градієнта скалярної функції, оператора Лапласа, похідної за напрямом;

- запропонувати графічні засоби вивчення скалярного поля шляхом візуалізації поверхонь рівня з використанням комп'ютерної графіки;

- для векторних полів, поданих у нормальних конічних та тороїдальних координатах, отримати вирази дивергенції, лапласіана, ротора;

- отримати функції розподілу температури у конічній та тороїдальнії стінках у стаціонарному процесі теплопередачі на основі використання теорії поля в нормальних конічних та тороїдальних координатах;

- розробити схему розкрою смуги теплоізоляційного матеріала та технології одягання торової поверхні за умов мінімуму відходів;

- розробити рекомендації застосування результатів досліджень у інших галузях.

Обєкт дослідження - представлення полів у криволінійних координатах.

Предмет дослідження - геометричні моделі і диференціальні характе-ристики полів у нормальних конічних і нормальних тороїдальних координатах.

Методи досліджень. Робота базується на:

- положеннях загальної теорії поля у криволінійних координатах (Альпін Н.М., Булах Є.Г., Гольдфайн І.А., Дубнов Я.С., Мінаєв О.А., Кочін М.Ю., Лаптєв Г.Ф.);

- теорії параметризації геометричних фігур та умов ( Джапарідзе І.С., Котов І.І., Підгорний О.Л., Рижов М.М., Четверухін М.Ф.);

- досягненнях у галузі геометричного моделювання фізичних процесів та явищ (Ванін В.В., Куценко Л.М., Михайленко В.Є., Найдиш В.М., Підгорний О.Л., Хомченко А.Н. та іхні учні);

- нових спеціальних координаціях простору (Скидан І.А. та його учні).

Дослідження проведено переважно аналітичним методом. Для забезпечення наочності у вивченні теорії скалярного поля використано графічний метод, зокрема залучено засоби комп'ютерної графіки.

Наукова новизна одержаних результатів:

вперше отримано вирази характеристик скалярних і векторних полів у нормальних конічних та тороїдальних координатах, що дозволило розвязати у кінцевому вигляді диференціальне рівняння у частинних похідних стаціонарного температурного поля з граничними умовами на єквідистантних конусах і торових поверхнях;

розроблено нову технологічну схему безвідхідного розкрою смуги теплоізоляційного матеріалу та відповідну технологію “зодягання” торової поверхні.

Практичне значення отриманих результатів. Науково-технічний ефект від використання результатів досліджень полягає у аналітичному та комп`ютерному моделюванні фізичних процесів для специфічних джерел полів у вигляді конічної та тороїдальної поверхонь, у економії теплозахисного матеріалу завдяки застосуванню схеми розкрою та “зодягання”, запропонованої у роботі. Практичне впровадження результатів досліджень здійснено у КБ космічних апаратів та систем ДКБ “Південне” (м. Дніпропетровськ) при розробці термозахисних покриттів космічних апаратів “Океан-О” та “АУОС-СМ-КФ”.

Особистий внесок здобувача. У наукових статтях, опублікованих у співавторстві, внесок співавторів обмежувався постановкою задач та контролем достовірності отриманих результатів. Щодо проведення досліджень, вони в повній мірі здійснювались здобувачем.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень доповідались здобувачем на V міжнародній молодіжній науково-практичній конференції “Людина і космос" (м. Дніпропетровськ, 16 - 18 квітня 2003р), на VIII міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Мелітополь, 18 - 22 червня 2003р.), на міжнародній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Львів, 20-23 жовтня 2003р.).

Структура та обсяг роботи. Робота складається із вступу, 4 розділів, заключення, списку використаних джерел із 181 найменування, 4 додатків. Її обсяг - 200 сторінок тексту, в тому числі 94 рисунка.



Зміст роботи

Вступ містить загальну характеристику роботи: обґрунтування актуальності обраної теми, формулювання мети та задач дослідження, які необхідно розв`язати для її досягнення, формулювання наукової новизни і практичної цінності отриманих результатів.

У першому розділі наведено огляд наукових праць, виконаних у галузі геометричного моделювання скалярних та векторних полів.

Більшість робіт присвячено геометричному моделюванню світлового та звукового полів на основі використання законів відбиття, дифракції, заломлення та поляризації стосовно розв`язанню задач будівельної фізики (О.Л.Підгорний та його учні). Авторами розглядається як промениста, так і хвильова складові відповідного поля.

Фокусуванню енергії випромінювання присвячено роботи Куценка Л.М. та Дворецького О.Т. Головним об`єктом дослідження тут виступає форма приймача енергії. Крім згаданих законів в роботах Куценка Л.М. та його учнів використовується метод RP - проекцій, в якому обчислення інтегрального виразу локального кутового коефіцієнта випромінювання здійснюється за його геометричною моделлю.

Вивченню полів, що виникають у потоці рідини, присвячено роботи Ваніна В.В. та його учнів.

Наведені роботи в галузі прикладної геометрії базуються на конструктивному геометричному моделюванні полів поза використанням аналітичної теорії поля. Щодо робіт з інших галузей науки, присвячених вивченню полів з позицій визначення їхніх основних диференціальних характеристик, то зусилля в них спрямовано на пошук способів числового розв`язання диференціальних рівнянь в частинних похідних, які, як правило, не мають розв`язку у кінцевому вигляді.

Помічено, що найбільшого успіху було досягнуто у вивченні тих полів, координатні системи віднесення яких мають безпосередній зв`язок з джерелом поля та його поверхнями рівня. Так, вісь циліндричної системи координат збігається з прямолінійним джерелом поля, точкове джерело поля є початком координат сферичної системи координат. В обох випадках поверхні рівня координатних систем збігаються з поверхнями рівня полів.

Основна ідея роботи полягає у спрощенні виразів диференціальних характеристик полів за рахунок вибору такої системи координації простору, яка безпосередньо зв`язана із джерелом чи стоком поля або з поверхнями, на яких подають граничні умови для визначення поля.

Оскільки робота базується на застосуванні спеціальних криволінійних координат, у першому розділі наведено загальні вирази диференціальних характеристик скалярного і векторного полів у будь-якій прямокутній криволінійній системі.

У другому розділі наведено методи досліджень нормальних конічних координат.

Досліджено нормальні конічні координати, що були введені О.А.Коломієць, на предмет їх використання в теорії поля. Показано, що використання обох порожнин конуса-визначника системи для віднесення поля неможливе за причини протилежної орієнтації локального репера. Звідси перше обмеження на область правильної координації простору (u0). Порушення цього обмеження приводить до появи самоперетинів поверхонь рівня скалярного поля.

Друге обмеження на координату v (v-utg). Його порушення приводить до появи у поверхонь рівня конічних точок, розташованих на осі конуса-визначника.

Вирази диференціальних характеристик полів, наведені у першому розділі для будь якого поля у будь-якій системі віднесення, конкретизовано на випадок віднесення поля до системи нормальних конічних координат, яка вводиться функціями



x=(u sin+v cos)cost, y=(u sin+v cos)sint, z=u cos-v sin

(u0, -u tgv, 0t2) з врахуванням виявлених обмежень.

Показано, що система нормальних конічних координат є триортогональною, тобто, пари поверхонь рівня цієї системи перетинаються по лініях кривини.

Коефіцієнти Ляме для нормальних конічних координат

H_t=u sin+v cos, H_u=1, H_v=1. (2)

Скалярне поле у нормальних конічних координатах подається функцією

F (t, u, v)=0, (3)

його вектор-градієнт

. (4)

Похідна скалярного поля за напрямком

, (5)



Лапласіан скалярного поля

(6)

Векторне поле у нормальних конічних координатах подається функцією

(t, u, v)= a_t(t, u, v)e_t+a_u(t, u, v)e_u+a_v(t, u, v)e_v (7)

Дивергенція векторного поля

(8)

Ротор (вихор) векторного поля

(9)

Наведено численні приклади подання скалярних і векторних полів складної структури та визначення їхніх диференціальних характеристик. Особливу увагу приділено вивченню скалярних полів за допомогою їхніх поверхонь рівня, внутрішнє рівняння яких отримується розв`язанням рівняння сім`ї поверхонь рівня F (t, u, v)=С відносно однієї із змінних t, u, v. Підстановка правої частини внутрішнього рівняння до функцій, що подають нормальні конічні координати, приводить до параметричних рівнянь поверхонь рівня. За останніми засобами комп`ютерної графіки будуються аксонометричні проекції цих поверхонь.

На рис.1 показано поверхні рівня скалярного поля, поданого в нормальних конічних координатах з параметром =0,52 функцією

.

Наведено методику “читання” внутрішніх рівнянь поверхонь рівня скалярного поля, що дозволяє керувати їх формою.

В третьому розділі наведено методи досліджень нормальних тороїдальних координат.

Наведені диференціально-геометричні характеристики скалярних і векторних полів в нормальних тороїдальних координатах, що подаються такими ж за виглядом функціями, що і в нормальних конічних координатах.

Нормальні тороїдальні координати введені О.А.Коломієць. Їх подають функціями

x=(R+(r+v)cosu) cost, y=(R+(r+v)cosu)sint, z=(r+v)sinu. (10)

Встановлено, що при

та при v=-r правильність координації простору нормальними тороїдальними координатами порушується. В першому випадку при



поверхні рівня скалярних полів матимуть конічну точку, розташовану на осі 0z. У другому при v=-r вони будуть перетинатись по лінії центрів тора-визначника системи. Глобальний базис e_x, e_y, e_z та локальний базис e_t, e_u, e_v праві, ортогональні.

Коефіцієнти Ляме нормальних тороїдальних координат

H_t=R+(r+v)cosu, H_u=r+v, H_v=1. (11)

Вектор-градієнт скалярного поля

(12)

Похідна скалярного поля за напрямком .

(13)

.

Лапласіан скалярного поля

(14)



Дивергенція векторного поля

(15)

Ротор (вихор) векторного поля

Робота також містить вирази лапласіанів векторного поля як в нормальних конічних, так і в тороїдальних координатах.

Наведено приклади числового і графічного вивчення полів, поданих в нормальних тороїдальних координатах, а також методика “читання” внутрішніх рівнянь їх поверхонь рівня.

В четвертому розділі наведено конкретні приклади застосувань теорії поля в нормальних конічних та в нормальних тороїдальних координатах.

Відомі з наукової та навчальної літератури функції розподілу температури в плоских, циліндричних та сферичних стінках отримані при їх

віднесенні відповідно до прямокутних декартових, циліндричних і сферичних координат. Завдяки збіганню граничних поверхонь, на яких подаються граничні умови, а також поверхонь рівня теплового поля з координатними поверхнями відповідної координатної системи задача розподілу температури у згаданих стінках зводиться до просторово-одновимірної.

Цю ідею спрощення диференціального рівняння у частинних похідних продовжено на випадки стінок конічної та торової стінок, віднесених відповідно до нормальних конічних та нормальних тороїдальних координат.

Теплове поле подають функцією температури від нормальної координати v

T=T(v). (17)

Іншу координату u будемо уявляти параметром диференціального рівняння стаціонарного теплового поля, яке, як відомо, представляється нульовим значенням лапласіана функції T=T(v).

У випадку нормальних конічних координат це рівняння має вигляд

(18)

Його інтегрування з граничними умовами T=T_w1 при v=v₁, T=T_w2 при v=v₂ дає функцію розподілу температури у конічній стінці

(19)

У випадку нормальних тороїдальних координат -

(20)



Інтегрування цього диференціального рівняння з тими ж граничними умовами дає функцію розподілу температури у тороїдальній стінці у вигляді

Як бачимо, закон розподілу температури по товщині стінок нелінійний, при поданих температурах зовні стінки (Tw₁) та усередині (Tw₂). Показано, що ізотермічними поверхнями конічної стінки є конуси, еквідистантні конусу-визначнику системи. У випадку тороїдальної стінки відносне відхилення ізотермічних поверхонь від поверхонь рівня нормальної тороїдальної системи координат не перевищує 2%. Розрахунки було виконано при різних співвідношеннях .

Закономірність розподілу температури у конічній та тороїдальній стінках та рекомендації по термозахисту тороїдальних фрагментів було впроваджене у КБ космічних апаратів та систем ДКБ “Південне”.

Певний зв`язок з розглянутими питаннями теорії поля має впровадження, яке можна віднести до галузі технології термозахисту. Йдеться про спосіб розкрою термозахисного смугового матеріалу і технологію зодягання тора.

Осьовими півплощинами поверхня тора розбивається на 4n конгруентних відсіки, які апроксимуються 2n циліндрами. На основі властивості поверхні тора: сума довжин паралелей, що належать одній площині є величина стала, пропонується координувати розгортку, почергово розташовуючи на осі абсцис екваторіальну і горлову паралель. При цьому бічні крайові контури розгорток збігаються. Таким чином, розгортка складається із n клаптиків, що матимуть лінію стика на горловій лінії, n - 1 клаптика, що стикуються уздовж екваторіальної лінії, та двох клаптиків, що представляють розрізаний надвоє уздовж розгортки лінії меридіана клаптик попередньої групи.

Розгортки усіх клаптиків розташовуються на смузі прямокутної форми довжиною 2R та висотою

2(r+v)

де R - радіус кола центрів меридіональних перерізів, r - радіус меридіана, v - товщина смуги теплозахисного шару.

Збігання площі розгортки і площі торової поверхні дозволяє назвати технологію розкрою та зодягання тора у теплозахисний матеріал безвідхідною.

Зайво було б сподіватися на відсутність зморшок при зодяганні. Їх кількість та їх розміри залежать від n, а також від інших параметрів R, r та v. Припуски на неточність апроксимації та технологію усунення зморшок слід визначити при конкретних значеннях названих параметрів.

Закінчується четвертий розділ рекомендаціями по розвитку досліджень та їх застосувань.



ОСНОВНІ ВИСНОВКИ

1. Дисертація містить теоретичне узагальнення і нове вирішення наукової задачі геометричного моделювання полів, віднесених до нормальних конічних та нормальних тороїдальних координат, із застосуванням засобів комп'ютерної графіки.

2. Відштовхуючись від положень теорії поля у криволінійних координатах та від функцій введення нормальних конічних та нормальних тороїдальних координат, в роботі вперше отримані вирази диференціально-геометричних характеристик скалярних і векторних полів, поданих у згаданих координатних системах: для скалярного поля - вирази градієнта, похідної за напрямком, лапласіана; для векторного - дивергенції, лапласіана, ротора.

3. Вперше висвітлено шляхи застосування засобів комп'ютерної графіки у геометричному моделюванні скалярних полів складної структури, поданих у криволінійних координатах: визначено переходи від функції, що подає поле, до внутрішнього рівняння і від нього до параметричних рівнянь сім'ї поверхонь рівня, за якими засобами комп'ютерної графіки здійснюється наочне розшарування поля.

4. Виявлено чинники, що викликають появу особливих точок та ліній на поверхнях рівня. В нормальних конічних координатах при v=-utg матимемо конічні точки, при u<0 - система з правої переходить до лівої. В нормальних тороїдальних координатах при

матимемо конічні точки, при v=-r - лінію самоперетину поверхонь рівня. Розроблено засоби запобігання порушень їх гладкості у вигляді обмежень на значення координат.

5. Розроблено методику “читання” внутрішніх рівнянь поверхонь рівня, що дозволяє керувати структурою поля значеннями сталих параметрів, що входять до функцій подання поля та введення відповідної спеціальної системи координат.

6. Дістало подальшого розширення на конічні та тороїдальні стінки розв'язання задачі стаціонарного розподілу температури у плоских циліндричних та сферичних стінках за поданими її значеннями зовні і усередині стінки. До просторово-одновимірної задачу зведено наданням ролі параметра одній із двох координат, що входять до виразу лапласіана функції температурного поля.

7. Розв'язано задачу покриття тора термоізоляційним шаром, яка не має безпосереднього зв'язку з предметом дослідження, але через посередництво використання нормальних тороїдальних координат та задачі теплопровідності деякий зв'язок усе ж просліджується. Розв'язок полягає у визначенні способу безвідхідного розкрою смугового матеріалу та технології розміщення викройок на поверхні тора.

8. Спосіб розрахунку температури у конічних та тороїдальних стінках впроваджено в навчальний процес курсу тепломасообміну, що викладається кафедрами промислової теплоенергетики та технічної теплофізики ДонНТУ, спосіб розкрою термоізоляційного матеріалу та покриття тора теплозахисним шаром - у програму викладання курсу “Нарисна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка”. (Див. Додаток А).

9. Практичні результати, названі у висновках 6 та 7 впроваджено у КБ космічних апаратів та систем ДКБ “Південне” при розробці термозахисних покриттів космічних апаратів “Океан-О” та “АУОС-СМ-КФ” (Див. Додаток Б).

10. У розширеному вигляді рекомендації подальшого розвитку досліджень і впровадження отриманих результатів представлені у четвертому розділі. Наведемо лише їх перелік:

10.1. В галузі аналітичного моделювання полів: адаптації теорії поля у криволінійних координатах на інші форми джерел, стоків, граничних поверхонь і на відповідні триортогональної системи координат;

10.2. В галузі геометричного моделювання полів складної структури: візуалізація засобами комп'ютерної графіки поверхонь, трубок та ліній струму векторного поля, як поверхонь конгруенції, трансверсальних та фокальних поверхонь і ліній конгруенції.

10.3. Виявлені чинники появи небажаних порушень гладкості поля можуть здатися об'єктом вивчення теорії катастроф (біфуркацій).

10.4. Можливість керування структурою поля значеннями сталих параметрів, що входять до функції подання полів та до функцій введення відповідних координатних систем, перспективна у застосуванні до технічного формоутворення.

10.5. Крім галузі теплообміну, приклад застосування в якій наведено у роботі, результати досліджень застосовні у інших галузях: в аєро- та гідродинаміці, в теорії суцільного середовища, зокрема в теоріях пружності і пластичності, в теорії електричних та електромагнітних полів.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Публікації - за темою дисертації у фахових виданнях, затверджених ВАК України:

1. Неснов Д.В. Теорія поля в нормальних конічних координатах // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія та інженерна графіка. - Мелітополь: - 2001. - Т.14, Вип.4. - С. 91-98.

2. Неснов Д.В. Теорія поля в нормальних тороїдальних координатах // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Київ: КНУБА. - 2002. - Вип.71. - С. 213-216.

3. Неснов Д.В. Безвідхідний розкрій та одягання у теплоізоляційний матеріал тора // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Прикладна геометрія та інженерна графіка. - Мелітополь: - 2003. - Т.21, Вип.4. - С. 85-88.

Допоміжні публікації:

1. Скидан І.А., Неснов Д.В. Безвідхідний розкрій та одягання тора з врахуванням товщини одягу // Геометричне та комп'ютерне моделювання. Збірник наукових праць, присвячений 75-річчю від дня народження професора Михайленка Всеволода Євдокимовича. - Харків: - 2002. - Вип. 1. - С. 27-30.

- автору належить комп'ютерна побудова розкрою елементів тора.

2. Неснов Д.В. Розрахунок стаціонарної теплопровідності торового тіла // Сучасні роблеми геометричного моделювання. Матеріали міжнародної науково-практичної конференції. - Львів: - 2003. - С. 200-201.

3. Неснов Д.В. Теплоизоляционный расчет и раскрой поверхности тора // V міжнародна молодіжна науково-практична конференція “Людина і космос”. - Дніпропетровськ: - 2003. - С. 46.

4. Баранов Д.А., Неснов Д.В. Комп'ютерне моделювання формозміни графіту при деформації високоміцного чавуну // Металознавство та обробка металів. - Київ: - 2002. - Вип. 4. - С. 13-17.

- автору належить побудова тривимірних моделей формозміни графіту.

Размещено на Allbest.ru