Размещено на http://www.allbest.ru/

НаціональнА АКАДЕМІЯ НАУК України

інститут МАТЕМАТИКИ

УДК 517.9+517.7

ОБМЕЖЕНІ НА ВСІЙ ОСІ РОЗВ'ЯЗКИ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ЗІ ЗБУРЕННЯМИ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Бойчук Андрій Олександрович

Київ - 2004

АНОТАЦІЇ

Бойчук А.О. Обмежені на всій осі розв'язки систем звичайних диференціальних рівнянь зі збуреннями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-мате-матичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню умови існування обмежених на всій осі R розв'язків слабко збурених лінійних та нелі-нійних систем звичайних диференціальних рівнянь, лінійна частина яких є нетеровим оператором. Отримано умови існування множини об-межених на всій осі R = (-?, +?) розв'язків слабко збуреної лінійної системи звичайних диференціальних рівнянь у випадку, коли поро-джуюча однорідна система є експоненціально-дихотомічною на обох півосях R- = (- ?, 0] та R₊ = [0, + ?), а відповідна неоднорідна по-роджуюча задача не має розв'язків при довільних неоднорідностях. Дове-дено, що кількість лінійно незалежних обмежених на всій осі розв'язків збуреної лінійної системи дорівнює різниці між максимальною кількістю лінійно незалежних обмежених на всій осі розв'язків відповідної незбу-реної однорідної диференціальної системи та максимальною кількістю лінійно незалежних обмежених на всій осі розв'язків системи, спряженої до незбуреної однорідної диференціальної системи. Запропоновано спо-сіб відшукання обмежених на всій осі розв'язків у вигляді ряду Лорана за степенями е зі скінченним числом від'ємних степенів е та отримано умови збіжності відповідних рядів Лорана. Отримано умови існування обмежених на R розв'язків слабко нелінійних систем диференціальних рівнянь з нетеровою лінійною частиною в критичному випадку. Запро-поновано збіжні ітераційні алгоритми побудови обмежених на всій осі R розв'язків слабко нелінійних систем диференціальних рівнянь.

Ключові слова: експоненціальна дихотомія, обмежені на всій осі розв'язки, спряжена система, ряд Лорана, індекс оператора, системи зі збуреннями, псевдообернена матриця, ортопроектори.

Бойчук А.А. Ограниченные на всей оси решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с возмущениями. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-мате-матических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные урав-нения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2004.

Диссертационная работа посвящена исследованию условий суще-ствования и построению ограниченных на всей оси R решений слабо возмущённых линейных и нелинейных систем обыкновенных диффе-ренциальных уравнений, линейная часть которых есть нётеровый оператор. Критерием нётеровости таких задач есть, как известно из леммы Палмера, требование експоненциальной дихотомии на обеих полу-осях R- = (- ?, 0] и R₊ = [0, + ?) соответствующей невозмущённой линейной однородной дифференциальной системы.

Во вступлении обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследования и приводится короткий анализ современного состо-яния проблем, которые изучаются в диссертации. В первом разделе полу-чены условия возникновения хотя бы одного ограниченного на всей оси R решения у слабо возмущённой линейной системы обыкновенных диф-ференциальных уравнений в случае, когда соответствующая невоз-мущённая линейная однородная система является экспоненциально-ди-хотомичной на обеих полуосях R- = (- ?, 0] и R₊ = [0, + ?), а со-ответствующая невозмущённая линейная неоднородная система не имеет ограниченных на всей оси решений. Получены условия существования множества ограниченных на всей оси R решений. Доказано, что в этом случае число с линейно независимых ограниченных на всей оси реше-ний возмущённой линейной системы равно разности между макси-мальным числом r линейно независимых ограниченных на всей оси решений соответствующей невозмущённой однородной дифферен-циальной системы и максимальным числом d линейно независимых ог-раниченных на всей оси решений системы, сопряженной к невозмущён-ной однородной системы. Предложен способ построения ограниченных на всей оси решений в виде ряда Лорана по степеням е с конечным чис-лом отрицательных степеней е. Получены условия сходимости соответствующих рядов Лорана. Во втором разделе получены условия суще-ствования ограниченных на R решений слабо нелинейных систем диф-ференциальных уравнений с нётеровой линейной частью в критическом случае когда соответствующая невозмущённая линейная неоднородная система имеет r линейно независимых ограниченных на всей оси реше-ний. Предложены сходящиеся итерационные алгоритмы построения ог-раниченных на всей оси R решений слабо нелинейных систем диф-ференциальных уравнений.

Ключевые слова: экспоненциальная дихотомия, ограниченные на всей оси решения, сопряжённая система, ряд Лорана, индекс оператора, системы с возмущениями, псевдообратная матрица, ортопроэкторы.

Boichuk A.O. Solutions bounded on the whole line R for the systems of ordinary differential equations with perturbations. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate's of Physical and Mathematical Sciences degree by speciality 01.01.02 -Differential equation. Institute of mathematics, National аcademy of Science of Ukraine, Kyiv, 2004.

The thesis is devoted to obtaining conditions for existence of solutions bounded on whole line R of a weakly perturbed linear and nonlinear ordi-nary differential system under the assumption that the operator defined by the corresponding unperturbed linearized homogeneous system is of Fredholm type. Conditions for the bifurcation from the point е = 0 of a set of solutions bounded on the whole line R are obtained for a weakly perturbed linear systems of ordinary differential equations under the assumption that the corresponding unpertubed homogeneous linear differential system has an exponential dichotomy on both half-lines R- = (- ?, 0] and R₊ = [0, + ?) and the corresponding unperturbed linear nonhomogeneous system has no solutions bounded on the whole line R for an arbitrary nonhomogeneity. Conditions for existence of solutions bounded on the whole line R for a weakly nonlinear ordinary differential system are obtained under the assumption that the unperturbed linear homogeneous system is of Fredholm type and the corresponding unperturbed linear nonhomogeneous system has a set of linear independent solutions bounded on the whole line R.

Keywords: exponential dichotomy, solutions bounded on the whole line R, adjoint problem, Laurent series, Fredholm operator, index of operator, pseudo-inverse matrix, perturbed system.

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики Національної Академії наук України

Науковий керівник: академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор, Самойленко Анатолій Михайлович, Інститут математики НАН України, директор

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Яковець Василь Павлович Ніжинський державний педагогічний університет імені Миколи Гоголя, ректор

кандидат фізико-математичних наук, доцент Чуйко Сергій Михайлович Слов'янський державний педагогічний університет, проректор

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра математичної фізики

Захист відбудеться “ 14 ” грудня 2004 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м.Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України ( 01601, м.Київ, вул. Терещенківська, 3 ).

Автореферат розісланий'' 8 ''листопада 2004 р.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задачі про існування обмежених розв'язків виникли при розв'язуванні питання про існування періодичних розв'язків лінійних та нелінійних систем ще в класичних роботах О.М.Ляпунова та А.Пуанкаре. Питанням існування періодичних розв'язків різних класів функціонально-диференціальних рівнянь, імпульсних та різницевих рів-нянь присвячено велика кількість робіт.

Задача про існування неперіодичних, обмежених на всій осі розв'яз-ків лінійних систем звичайних диференціальних рівнянь почала інтенсив-но розвиватись після появи роботи А.Д.Майзеля та монографії Х.Массе-ри і Х.Шеффера. Відомі роботи Ю.Л.Далецького, М.Г.Крейна, В.А.Коп-пеля (W.A.Coppel), В.А.Плісса, А.М.Самойленка заклали основи теорії обмежених розв'язків та теорії експоненціальної дихотомії на всій осі лінійних систем. В подальшому ці проблеми досліджувались в роботах Д.Хенрі (D.Henry), А.Г.Баскакова, В.Ю.Слюсарчука, І.Д.Чуєшова - для систем диференціальних та різницевих рівнянь в банахових просторах; а також у роботах Ю.О.Митропольського, А.М.Самойленка, В.Л.Кулика - для систем звичайних диференціальних рівнянь та лінійних розширень динамічних систем на торі за допомогою знакозмінних функцій Ляпу-нова. Р.Сакер, Дж.Селл (R.J.Saker, G.R.Sell) досліджували ці задачі за допомогою спектральної теорії операторів. Для нелінійних систем зви-чайних диференціальних рівнянь ця теорія почала розвиватись після поя-ви відомої статті В.К.Мельникова. Цей напрямок досліджень в якісній те-орії диференціальних рівнянь інтенсивно розвивали С.Шоу, Дж.Хейл та Д.Мале-Паре (S.N.Chow, J.K.Hale, J.Mallet-Paret), Д.Гукенхеймер та П.Холмс (J.Guckenheimer, P.Holmes), Д. Груендлер (J.Gruendler). Ще один імпульс для розвитку задачі про обмежені на всій осі розв'язки дали роботи К.Палмера (K.J.Palmer). Відома лема К.Палмера про умови нете-ровості задачі про обмежені на всій осі розв'язки систем лінійних дифе-ренціальних рівнянь дозволила застосувати до дослідження цих задач до-бре розроблений апарат псевдообернених матриць.

Методи досліджень. Застосовуючи теорію псевдообернених мат-риць, методи Вішіка-Люстерніка та Ляпунова-Шмідта, в дисертації роз-роблено схему дослідження задач про існування та побудову обмежених на всій осі розв'язків слабко збурених лінійних (розділ І) та нелінійних (розділ ІІ) систем звичайних диференціальних рівнянь. Такий підхід дозволив покращити раніш відомі результати й отримати нові факти в теорії збурень лінійних та нелінійних задач про обмежені розв'язки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу зви-чайних диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту матема-тики НАН України в рамках держбюджетної теми № 0101U000526.

Мета і задачі дослідження. Метою цієї роботи є дослідження умов існування обмежених на всій осі розв'язків слабко збурених лінійних та нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь, лінійна частина яких є нетеровий оператор. Розробка алгоритмів побудови розв'язків таких задач.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Отримано умови існування обмеженого на всій осі розв'язку слабко збуреної лінійної системи звичайних диференціальних рівнянь у випадку, коли породжуюча однорідна система є експоненціально-дихо-томічною на обох півосях R- = (- ?, 0] та R₊ = [0, + ?).

2. Знайдено умови виникнення множини обмежених на всій осі R = (-?, +?) розв'язків слабко збуреної лінійної системи дифе-ренціальних рівнянь за умови, що породжуюча задача не має розв'язків при довільних неоднорідностях. Вказано кількість лінійно незалежних обмежених на всій осі розв'язків.

3. Запропоновано спосіб відшукання обмежених на всій осі роз-в'язків у вигляді ряду Лорана за степенями малого параметра е зі скін-ченим числом від'ємних степеней е.

4. Отримано умови існування обмежених на R розв'язків слабко нелінійних систем диференціальних рівнянь з нетеровою лінійною части-ною в критичному випадку.

5. Запропоновано збіжні ітераційні алгоритми побудови таких розв'язків.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в роботі результати носять теоретичний характер та можуть бути використані в класичній теорії нелінійних коливань, а також при дослідженні задач тео-рії стійкості руху. збурений лінійний диференціальний рівняння

Особистий внесок здобувача. По темі дисертації опубліковано 7 самостійних робіт автора та дві спільні роботи [3,4]з двома співавторами. Напрямок досліджень та постановка задач належать науковому керів-нику, обговорення результатів спільних робіт належить всім авторам. Результати ж дисертації, які виносяться на захист, одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювались:

1) на засіданнях семінару відділу диференціальних рівнянь і теорії коливань Інституту математики НАН України (2003, 2004 рр.) (керівник - академік НАН України, професор А.М.Самойленко);

2) на засіданні семінару кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2004 р.) (керівник - член-кореспондент НАН України, професор М.О.Перестюк);

3) на Міжнародній науковій конференції: Шестая Крымская Международная Математическая школа “Метод функций Ляпунова и его приложения” (Симферополь, сентябрь 2002 г.);

4) на Міжнародній науковій конференції: Fifth International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing - “CASC-2002”. Institute fur Informatik, Technische Universitat Munchen, Germany (Yalta, Ukraine, September 22-27, 2002);

5) на Міжнародній конференції “Асимптотичні методи в теорії диференціальних рівнянь” (Київ, НПУ імені М.П.Драгоманова, 26 грудня 2002 р.);

6) на Міжнародній науковій конференції “Dynamical System Modeling and Stability Investigation” (м.Київ, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 27-30 травня 2003 р.);

7) на Міжнародній науковій конференції “International Conference on Differential and Difference Equations and Applications” (м. Жіліна, Словаччина, 30.06-4.07. 2003 р.);

8) на Міжнародній науковій конференції “Шості Боголюбовські читання” (м.Чернівці, 26-30 серпня 2003 р.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 9 робіт, із них три - в провідних фахових періодичних наукових журналах, що входять до переліку № 1 ВАК України від 9.06.1999 р., одна - у рецензованому збірнику наукових праць Міжнародної наукової конференції “САSС-2002” (Технічний університет, Мюнхен, Німеччина) та п'ять - у збірниках тез Міжнародних наукових конференцій.

Об'єм і структура дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, двох розділів, висновку і списку цитованої літератури, що міс-тить 94 назви. Робота виконана на 109 сторінках машинописного тексту.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюється мета дослідження, дається короткий аналіз сучасного стану проблем, які вивча-ються в дисертації та наводиться анотація одержаних результатів.

В перших двох параграфах першого розділу наведено основні ві-домості з теорії псевдообернених матриць та деякі основні факти з тео-рії існування обмежених на всій осі розв'язків у незбурених систем лі-нійних неоднорідних звичайних диференціальних рівнянь за умови, що однорідна лінійна диференціальна система є експоненціально-дихотоміч-ною на півосях, що гарантує нетеровість відповідного лінійного операто-ра. В подальшому результати цих двох параграфів використовуються при отриманні основних результатів дисертації.

В параграфах 1.3 та 1.4 першого розділу отримано умови появи з точки е = 0 хоча б одного обмеженого на всій осі R розв'язку х = х(t,е) ВС¹(R) у слабко збурених систем звичайних лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь

(1)

у випадку, коли відповідна незбурена однорідна лінійна диференціальна система

(2)

є експоненціально-дихотомічною на обох півосях R₊ = [0, + ?) та R- = (- ?, 0], а неоднорідна система

(3)

не має обмежених на R розв'язків. ВС(R) - банаховий простір дійсних неперервних та обмежених на R функцій; ВС¹(R) - банаховий простір неперервно диференційованих на R функцій обмежених разом зі своєю похідною. Знайдено умову існування хоча б одного обмеженого на R розв'язку та запропоновано алгоритм його побудови. Розв'язано задачу про знаходження умов на збурюючий доданок, при яких однорідна сис-тема

(4)

буде або експоненціально-трихотомічною або експоненціально-дихотомічною на R = (-?, +?), тобто слабко регулярною або регулярною за термінологією А.М.Самойленка. Ці результати сформульовано та дове-дено в наступних твердженнях.

Теорема 1.3.1 (1.4.1). Нехай система (1) задовольняє вказані вище умови і породжуюча однорідна система (2) є експоненціально-дихото-мічною на R₊ та R- з проекторами Р та Q відповідно, а неоднорідна система (3) при довільних неоднорідностях f ВС(R) не має обмежених на всій осі розв'язків. Тоді, якщо виконана умова

або еквівалента їй умова (5)

то система (4) є е-трихотомічною на R ( е-дихотомічною на R, якщо d = r ), а система (1) при довільних f ВС(R) має хоча б один (точно один, якщо d = r) обмежений на R розв'язок у вигляді рівномірно збіжного за змінною для будь-яких фіксованих достатньо малих е ряду

(6)

де: - (7)

(d Ч r) - вимірна матриця, Х_r(t) - (n Ч r) - вимірна матриця, стовпці якої є повна система r лінійно незалежних обмежених на R розв'язків породжуючої однорідної системи (2), - (d Ч n) - вимірна матриця, стрічки якої є повна система d лінійно незалежних обме-жених на R розв'язків системи, спряженої до породжуючої однорідної системи (2); - ортопроектор на ядро .

Більш детальний аналіз дозволив визначити кількість лінійно неза-лежних обмежених на R розв'язків системи (1) й запропонувати алго-ритм їх відшукання.

В параграфі 1.5 першого розділу доведено наступне твердження, що узагальнює попередні.

Теорема 1.6.1. Нехай система (1) така, що породжуюча система (2)є експоненціально-дихотомічною на R₊ та R- з проекторами Р та Q відповідно, а система (3) при довільних неоднорідностях

f ВС(R) не має обмежених на всій осі розв'язків. Тоді, якщо виконана умова (5), то для достатньо малих е :

1) оператор L_е : BC¹(R) >BC(R), означений за формулою

є нетеровим з індексом с

ind L_е = dimker L_е - dimker = с = r - d,

ind L₀ = dimker L₀ - dimker = с = r - d;

де оператор є спряженим до L_е ( dimker L₀ = r, dimker = d );

2) однорідна задача (2) має с - параметричну множину обмежених на R розв'язків х(t, е) = х₀(t, е, с_с) з простору:

у вигляді ряду

(8)

3) задача, спряжена до (4), має лише тривіальний обмежений розв'язок ( dimker = 0 , е ) ;

4) для довільних f ВС(R) система (1) має с - параметричну множину обмежених на R розв'язків х(t, е) = х(t, е, с_с) з простору:

у вигляді ряду

(9)

Ряди (8) та (9) є рівномірно збіжними за змінною для будь-яких фіксованих достатньо малих , де

а коефіцієнти визначаються за формулами:

(10)

Відмітимо, що у випадку, коли оператор L₀ є фредгольмовим, тобто коли indL₀ = 0, r = d, умову (5) е-дихотомії на всій осі системи (1) от-римано в роботах В.Зенга (W.Y.Zeng). При цьому для доведення е-ди-хотомії використовувався інший підхід, який не дозволяє будувати обме-жені на всій осі розв'язки системи (1). У випадку, коли умова (5) не вико-нується, обмежені на всій осі розв'язки системи (1) необхідно шукати у вигляді ряду (6) з від'ємними степенями е, які менші ніж -1. Отже, дос-татня умова (5) е-дихотомії на всій осі системи (4) є найкращою в тому сенсі, що при її виконанні і тільки при ній обмежений на всій осі роз-в'язок системи (1) існує у вигляді ряду (6), який починається з е у мінус першому степені. Коли ж умова (5) не виконується, то ряд, що може пре-дставляти обмежений на всій осі розв'язок системи (4), обов'язково буде містити доданки з е у степенях -2, -3 і так далі.

Отримані в першому розділі результати проілюстровано та пояснено на прикладах, наведених в параграфі 1.6.

Другий розділ дисертації присвячений питанням існування та побу-дови обмежених на всій осі розв'язків слабко збурених нелінійних сис-тем звичайних диференціальних рівнянь за умови, що відповідна поро-джуюча однорідна лінійна диференціальна система є експоненціально-дихотомічною на півосях. Для нелінійної системи

(11)

знайдено умови існування обмежених на R розв'язків х = х(t, е)

які при е = 0 перетворюються в один з породжуючих розв'язків х₀(t, с_r) :

 (12)

породжуючої для (11) системи (3), яку отримуємо з (11) при е = 0. Як і раніше, припускаємо, що однорідна породжуюча задача (2) є е-дихото-мічною на R₊ та R- з проекторами Р та Q відповідно.

Нелінійна вектор-функція Z(x, t, е) є неперервно диференційовною по першому аргументу в достатньо малому околі породжуючого розв'яз-ку, неперервною та обмеженою на R по другому аргументу та неперер-вною по третьому аргументу в достатньо малому околі точки е = 0 :

де q та е₀ - достатньо малі константи.

В параграфі 2.2 наведено необхідну умову існування обмеженого розв'язку.

Теорема 2.2.1 (НЕОБХІДНА УМОВА). Припустимо, що система (2) є е-дихотомічною на R₊ та R- з проекторами Р та Q, відповідно. Нехай система (11) має обмежений на R розв'язок

,

який при е = 0 перетворюється в один з породжуючих розв'язків

х₀(t,с_r) (12) системи (2) з векторноюконстантою

Тоді вектор задовольняє рівняння

(13)

Рівняння (13) узагальнює відповідне рівняння для випадку періо-дичної крайової задачі. Тому за аналогією з періодичним випадком, дос-лідженим І.Г.Малкіним та Ю.О.Рябовим, рівняння (13) названо рів-нянням для породжуючих амплітуд задачі про обмежені на всій осі роз-в'язки системи (11). Якщо рівняння (13) не буде мати дійсного розв'язку, то задача (11) в досліджуваних просторах не буде мати обмеженого на R розв'язку х = х(t, е) :

.

В параграфі 2.3 отримано достатню умову існування обмеженого розв'язку, а саме доведено наступне. Спочатку зроблено заміну змінних в (11) за співвідношенням

в результаті чого приходимо до задачі про знаходження достатніх умов існування обмеженого на R розв'язку у = у(t, е)

у системи

(14)

де є один з коренів рівняння (13) для породжуючих амплітуд задачі про обмежені на всій осі розв'язки системи (11). Враховуючи неперервну диференційовність вектор-функції Z(x, t, е) за змінною х та її непе-рервність за змінною е в околі точки е = 0, виділяємо доданки лінійні за у та доданки нульового степеня за е :

(15)

Де

Застосовуючи лему, доведену в параграфі 1.2 першого розділу до (14), отримано такі результати. За умови, що

для знаходження одного з обмежених на R розв'язків у = у(t, е) задачі (14)

приходимо до такої операторної системи:

(16)



Операторна система (16) належить до класу систем вигляду

зі стискуючим оператором S в достатньо малому околі точки

Для розв'язування таких систем може бути застосовано метод простих ітерацій, який збіжний для всіх та достатньо малих

В параграфі 2.4 наводиться ітераційний алгоритм відшукання обмеженого розв'язку та формулюється таке твердження.

Теорема 2.4.1 (ДОСТАТНЯ УМОВА). Припустимо, що для слабко нелінійної системи (11) виконуються умови зазначені вище так, що сис-тема (2) є е-дихотомічною на R₊ та R- з проекторами Р та Q від-повідно, а породжуюча неоднорідна лінійна система (3) має r-пара-метричну множину (12) породжуючих розв'язків х₀(t,с_r) обмежених на R . Тоді, для будь-якого вектора який задовольняє рівняння для породжуючих амплітуд (13), в припущенні, що виконується умова

або еквівалентна їй умова (17)

існує принаймні один обмежений на R розв'язок системи (11):



Цей розв'язок при е = 0 перетворюється в породжуючий розв'язок (12), а х_k(t,е) визначається за допомогою методу простих ітерацій (18), який буде збігатися в достатньо малому околі породжуючого розв'язку та для достатньо малих :

, (18)

У випадку, коли число лі-нійно незалежних обмежених на R розв'язків системи (2) дорівнює числу лінійно незалежних обмежених на R розв'язків системи, спряженої до системи (2), з умови випливає така умова , а отжеdetB0 ? 0;

D = P - (I - Q).

В параграфі 2.5 доведено, що в цьому випадку з теореми 2.4.1 ми отримаємо наступне твердження.

Теорема 2.5.1 (ДОСТАТНЯ УМОВА). Припустимо, що для слабко нелінійної системи (11) виконуються умови зазначені вище так, що система (2) є е-дихотомічною на R₊ та R- з проекторами Р та Q відповідно, а породжуюча неоднорідна лінійна система (3) має r параметричну множину (12) породжуючих розв'язків х₀(t,с_r), обме-жених на R . Тоді, для будь-якого вектора який є прос-тим коренем рівняння для породжуючих амплітуд (13), існує єдиний об-межений на R розв'язок системи (11). Цей розв'язок перетворюється при е = 0 в породжуючий розв'язок (12), а х_k(t, е) визначається за допомогою методу простих ітерацій (18), який буде збіжним в достатньо малому околі породжуючого розв'язку та для достатньо малих .

Відмітимо, що якщо оператор є фредгольмовим, а система (3) має однопараметричну множину обмежених на всій осі роз-в'язків, тобто виконана умова r = 1, то з теореми 2.5.1 отримуємо добре відомий результат К.Палмера (K.Palmer).

У випадку ж, коли L₀ є фредгольмовим оператором та має властивість експоненціальної трихотомії на R, з теореми 2.4.1 ми отримуємо відомий раніше результат С.Елаіді та О.Хаєка (S.Elaidy, O.Hajek).

Далі, в параграфах 2.6 та 2.7 наведено приклади, які ілюструють доведені теореми, обговорюються отримані результати та їх зв'язок з раніш відомими результатами та формулюються висновки.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджено умови існування обмежених на всій осі R розв'язків слабко збурених лінійних та нелінійних систем зви-чайних диференціальних рівнянь, лінійна частина яких є нетеровий опе-ратор. Критерієм нетеровості таких задач є, як відомо з леми Палмера, вимога експоненціальної дихотомії на обох півосях R- = (- ?, 0] та R₊ = [0, + ?) відповідної незбуреної лінійної однорідної диференціальної системи.

1. Отримано умови існування обмеженого на всій осі R = (-?, +?) розв'язку слабко збуреної лінійної системи звичайних диференціальних рівнянь у випадку, коли породжуюча однорідна система є експоненціально-дихотомічною на обох півосях R- = (- ?, 0] таR₊ = [0, + ?).

2. Знайдено умови виникнення множини обмежених на всій осі R розв'язків слабко збуреної лінійної системи диференціальних рівнянь за умови, що породжуюча задача не має розв'язків при довільних неоднорідностях.

3. Доведено, що кількість с лінійно незалежних обмежених на всій осі розв'язків збуреної лінійної системи дорівнює різниці між максимальною кількістю r лінійно незалежних обмежених на всій осі розв'язків відповідної незбуреної однорідної диференціальної системи та максимальною кількістю d лінійно незалежних об-межених на всій осі розв'язків системи, спряженої до незбуреної однорідної диференціальної системи.

4. Запропоновано спосіб відшукання обмежених на всій осі роз-в'язків у вигляді ряду Лорана за степенями е зі скінченим числом від'ємних степенів е .

5. Отримано умови збіжності відповідних рядів Лорана, за до-помогою яких побудовано обмежені на всій осі розв'язки збу-рених лінійних систем звичайних диференціальних рівнянь.

6. Отримано умови існування обмежених на R розв'язків слабко нелінійних систем диференціальних рівнянь з нетеровою ліній-ною частиною в критичному випадку.

7. Запропоновано збіжні ітераційні алгоритми побудови обмежених на всій осі R розв'язків слабко нелінійних систем диферен-ціальних рівнянь.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Самойленко А.М., Бойчук А.А., Бойчук Ан.А. Ограниченные на всей оси решения линейных слабо возмущенных систем // Укр. матем. журн.- 2002.- 54, № 11. - С. 1517-1530.

2. Бойчук А.О. Множина обмежених на всій осі розв'язків лінійних слабко збурених систем // Нелінійні коливання. - 2003. - 6, № 3. - С. 309 - 318.

3. Бойчук А.О. Обмежені на R розв'язки слабко нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь // Нелінійні коливання. - 2003. - 6, № 4. - С. 439-447.

4. Samoilenko A.M., Boichuk A.A. and Boichuk An.A. Pseudo-Inverse Matrices and Solutions Bounded on R of Linear and Nonlinear Systems // Proceedings of the Fifth International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing - “CASC-2002” (22-27 September 2002, Yalta, Ukraine) - Institut fur Informatik, Technische Universitat Munchen, Germany. - P. 269 - 278.

5. Бойчук Ан.А. Дихотомия и трихотомия линейных слабо возмущенных систем // Шестая Крымская Международная Математическая школа “Метод функций Ляпунова и его приложения”, Крым, Алушта, 8-15 сентября 2002 г. Тезисы докладов. Симферополь, 2002. - С. 34.

6. Бойчук Ан.А. Ограниченные на R решения слабо нелинейных диф-ференциальных систем // Міжнародна конференція “Асимптотичні методи в теорії диференціальних рівнянь”, Київ, 26 грудня 2002 р. Тези доповідей. К.: Національний педагогічний університет імені М.П.Драгоманова. - С. 44.

7. Бойчук Ан.А. Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем // International Conference “Dynamical System Modeling and Stability Investigation - Modeling & Stability”, Thesis of Conference Reports, 27-30 May 2003/ Kyiv. - P. 33.

8. Boichuk Andrij O. Bounded solutions of perturbed linear and nonlinear ordinary differential systems // International Conference on Differential and Difference Equations and Applications (CDDEA), 30.06-4.07. 2003, Zilina, Slovak Republic. - P. 14.

9. Бойчук Ан.О. Умови існування обмежених на всій осі розв'язків лінійних збурених систем // Міжнародна наукова конференція “Шості Боголюбовські читання”, Чернівці, 26-30 серпня 2003 р. Тези доповідей. Київ. - С. 38.

Размещено на Allbest.ru