Размещено на http://www.allbest.ru/

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Автореферат

Оптимiзацiя наближеного iнтегрування на деяких класах функцiй однiєї i багатьох змiнних

Бородачов Сергій Володимирович

Дніпропетровськ2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Дніпропетровського національного університету.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

БАБЕНКО Владислав Федорович,

Дніпропетровський національний університет,

завідувач кафедри математичного аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ТІМАН Майор Пилипович,

Дніпропетровський державний аграрний

університет, завідувач кафедри вищої математики;

доктор фізико-математичних наук, професор

ВАКАРЧУК Сергій Борисович,

Академія митної служби України, проректор з науково-

педагогічної роботи, начальник кафедри статистики.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса

Шевченка, кафедра математичного аналізу.

Захист відбудеться “ 21 ” червня 2005 року о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради К 08. 051. 06 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ 50, вул. Козакова, 18, к. 405.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ 50, вул. Козакова, 8.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. При розв'язуванні фiзичних, технiчних задач (зокрема задач механiки) часто виникає необхідність обчислення iнтегралiв від функцій однієї і багатьох змінних. У бiльшостi випадкiв отриманi iнтеграли не виражаються у елементарних функцiях. Тому виникає необхiднiсть їх наближеного обчислення, i як наслiдок - проблема вибору найкращого за тим чи iншим критерiєм методу наближеного iнтегрування.

Постановки задач про побудову оптимальних квадратурних формул за найменшим супремумом похибки на класі функцій, що розглядаються у дисертацiї, беруть свій початок від задачi, поставленої А.Н. Колмогоровим у кiнцi 40-х рокiв. Першi результати з оптимiзацiї квадратурних формул належать А. Сарду (1949 р., оптимiзацiя формул з фiксованими вузлами) та С.М. Нiкольському (1950 р., оптимiзацiя за вузлами та коефiцiентами). У подальшому задача оптимiзацiї наближеного iнтегрування на класах функцiй однiєї та декiлькох змiнних активно вивчалась у роботах М.П. Корнійчука, М.Ю. Лушпая, В.П. Моторного, А.О. Лигуна, Б.Д. Боянова, О.А. Женсикбаєва, К.І. Осколкова, В.Ф. Бабенка, Нгуен Тьхі Тх'єу Хоа та багатьма іншими математиками. інтегрування алгоритм обмеження формула

Зазначимо, що існують і інші критерії вибору оптимальних квадратурних формул, зокрема, знаходження формул з найвищою алгебраїчною точнiстю та задачi оптимiзацiї стохастичних алгоритмiв наближеного iнтегрування.

На даний час вiдомо багато результатiв з оптимiзацiї формул наближеного iнтегрування, однак, велика кiлькiсть задач, особливо на класах функцiй декiлькох змiнних, залишаються нерозв'язаними. З iншого боку, у останнi десятирiччя поряд iз задачами оптимiзацiї квадратурних формул, що використовують значення функцiй (або їх похiдних) у деяких точках, розглядаються задачi оптимiзацiї наближеного обчислення iнтегралiв за усередненнями функцiї вздовж досить малих iнтервалiв, розташованих у областi її визначення (т. зв. "iнтервальні" квадратури). Розгляд таких формул є природнiм, оскiльки у багатьох випадках результати вимiрювань є усередненями вiдповiдної величини вздовж деяких iнтервалiв. Узагальненням такої задачi на багатовимiрний випадок є задача про оптимальну формулу, що використовує усереднення функцiї по деяких областях малих розмiрiв (паралелепіпедах, кулях, тощо). Окрім цього, сучасні практичні застосування (такі як комп'ютерна томографія) вимагають використання також інших типів вихідних даних для наближеного інтегрування функцій кількох змінних. Наприклад, інформацією про функцію можуть бути її інтеграли вздовж множин меншої вимірності, ніж область визначення (гіперплощин, сфер, тощо). У цих напрямках вiдомо значно менше результатiв, нiж з оптимiзацiї "точкових" квадратурних формул.

Дана робота є продовженням дослiджень з оптимiзацiї квадратурних формул. Розглядаються задачi про побудову формул наближеного iнтегрування з найменшим супремумом похибки на рiзних класах функцiй однiєї та декiлькох змiнних. З огляду на сказане вище, тема дисертації є актуальною і обгрунтованою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась згідно із загальним планом досліджень кафедри математичного аналізу Дніпропетровського національного університету, згідно з науково-дослідними темами 09-95-98 "Екстремальні задачі аналізу та їх застосування", номер державної реєстрації - N 0198U003742, та 09-207-01 "Нерівності для похідних і екстремальні задачі аналізу", номер державної реєстрації - N 0101V001526. Здобувач працював у якості аспіранта. Дослідження проводились також у рамках науково-дослідної роботи, що виконується за рахунок другої половини робочого дня співробітників зазначеної кафедри за темами "Теорія апроксимації та підсумовування рядів та інтегралів" і "Апроксимація функцій та підсумовування рядів і інтегралів".

Мета i задачi дослiдження. Метою роботи є розв'язок задачі оптимізації формул наближеного інтегрування, які використовують різні типи інформації про підінтегральну функцію, на ряді класів функцій однієї та кількох змінних.

Об'єктом дослідження є множини формул наближеного інтегрування, означені на класах функцій однієї та кількох змінних ("точкові", "інтервальні", інших типів).

Предметом дослідження є формули з названих множин, що мають найменший супремум похибки на класах функцій однієї та декількох змінних.

Задачами дослідження є побудова оптимальних квадратурних формул на класах монотонних функцiй, класах функцій, які мають задані мажоранти модулів неперервності, а також на деяких соболевських класах диференційовних функцій, їх перетинах та узагальненнях.

Методи дослiдження. В роботі використовуються загальні методи розв'язування екстремальних задач теорії наближень і теорії квадратур, методи створені у роботах С.М. Нікольського, Дж. Кіфера, М.П. Корнійчука, С.А. Смоляка, Н.С. Бахвалова, В.П. Моторного, А.О. Лигуна, О.А. Женсикбаєва, В.Ф. Бабенка, а також загальні факти функціонального аналізу, теорії функцій, опуклого аналізу.

Наукова новизна одержаних результатiв. Усі результати дисертації є новими і полягають у наступному.

1. На класі функцій, обмежених на d-вимірному паралелепіпеді, і монотонних за кожною змінною, розв'язано ряд задач оптимізації "iнтервальних" квадратурних формул (d=1) та отримано найкращі кубатурні формули що використовують інформацію таких типів: значення у вузлах прямокутних сiток (d=2), значення у заданій множині вузлів та iнтеграли вздовж гiперплощин (d>1). Для цих класів функцій раніше у випадку d=1 була відома оптимальна "точкова" формула (Дж. Кіфер), і у випадку d>1 - оптимальнi за порядком кубатурнi формули з довiльними вузлами (А. Папагеоргіоу).

2. Знайдено найкращу "точкову" квадратурну формулу на перетинах класу з гомотетами класів та , rN, і класу W^rH^щ - з гомотетами класів та , r - непарне, щ - опуклий догори модуль неперервності. Одержано оптимальну "iнтервальну" формулу на класі H^щ, його несиметричних узагальненнях та на класі , 1<p<?, і найкращу "інтервальну" формулу на класі , r>1, що використовує усереднення функції та її похідних. На цей час були відомі оптимальна "точкова" формула на класах , , та W^rH^щ , r - непарне або 2, щ - опуклий догори (див. роботи М.Ю. Лушпая, В.П. Моторного, А.О. Лигуна, О.А. Женсикбаєва та ін.), а також найкраща "інтервальна" формула на класах (В.Ф. Бабенко) та (В.П. Моторний) і оптимальна "інтервальна" формула на класах та , що використовує усереднення похідних (В.П. Моторний).

3. На класі функцій, визначених на d-вимірній кулі B_d[,R], d>1, із заданою мажорантою для модуля неперервності та на класі функцій з обмеженим інтегралом від модуля градієнта з вагою p()=^1-d розв'язано задачу оптимізації формул наближеного інтегрування, що містять усереднення по n концентричних сферах. До цього кубатурні формули подібного типу розглядались з точки зору алгебраїчної точності. На першому з цих класів знайдено також оптимальну формулу з однією вузловою кулею.

4. Отримано найкращу кубатурну формулу з вузлами у прямокутних сітках на класах функцій fC_[d] , похідні ,…, яких є обмеженими, r_iN , i=1,…,d, r₁>1, або мають задані опуклі мажоранти модулів неперервності (r_i - непарні). На першому з цих класів та на класі функцій з C_[d], які за j-ою змінною належать до класу H, j=1,…,d, знайдено оптимальну формулу з вузловими паралелепіпедами, центри яких утворюють прямокутні сітки. Оптимальна формула з вузлами у прямокутних сітках відома для класів типу H^щ (М.П. Корнійчук), і для класів функцій двох змінних, з обмеженнями на змішані похідні (М.Ю. Лушпай, С.В. Переверзєв та ін.).

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Отримані результати являють собою самостійний науковий інтерес і можуть бути використані для подальших досліджень з теорії наближення, які проводяться у Інституті математики НАН України, Інституті математики і механіки НАН України, Київському, Дніпропетровському, Львівському, Одеському університетах. Разом з тим, результати дисертації можуть бути використані при наближеному обчисленні визначених інтегралів у випадках, коли треба мінімізувати найгіршу можливу похибку при заданих властивостях підінтегральної функції.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку досліджень і постановки усіх задач, розглядуваних у дисертації, належать науковому керівникові проф. Бабенку В.Ф.

Результати викладені у параграфах 1.2, 1.4, 2.3, 3.3, 3.5, пункті 3.4.3 отримано здобувачем самостійно.

Для результатів, викладених у параграфах 1.5, 2.4, 2.5, 2.6, 3.6, 3.7, пунктах 3.4.1 і 3.4.2, ідея доведення належить проф. Бабенку В.Ф., перевірка ідеї та виконання доведення належить здобувачеві.

Задачу параграфу 1.3 проф. Бабенком В.Ф. було зведено до певної задачі комбінаторної геометрії, яку (лема 1.3.2) було розв'язано здобувачем. Рекомендації щодо спрощення доведення запропоновано проф. Бабенком В.Ф.

Апробація результатів дисертації. Результати, отримані у дисертації, були представлені на

- Другій школі "Ряди Фур'є: теорія і застосування" (Кам'янець-Подільський, 1997 р.);

- Міжнародній конференції "Теорія наближення і гармонійний аналіз" (Тула, 1998 р.);

- Міждержавній науково-методичній конференції "Комп'ютерне моделювання" (Дніпродзержинськ, 1999, 2000, 2001 рр.);

- Міжнародній конференції з теорії наближення функцій та її застосувань, присвяченій пам'яті В.К. Дзядика (Київ, 1999 р.);

- Міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю Н.І. Ахієзера "Теорія функцій та математична фізика" (Харків, 2001 р.);

- Всеукраїнському математичному конгресі, присвяченому 200-річчю М.В. Остроградського (Київ, 2001 р.);

- Міжнародній конференції з функціонального аналізу та його застосувань, присвяченій 110-річчю Стефана Банаха (Львів, 2002 р.);

- підсумкових конференціях кафедри математичного аналізу ДНУ 1998, 1999, 2000, 2001 рр.;

- наукових семінарах з теорії функцій у Дніпропетровському національному університеті (керівники - член-кор. НАН України, проф. Моторний В.П., проф. Бабенко В.Ф.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано у роботах [1-10] у фахових виданнях. Опубліковано також тези 9 доповідей на наукових конференціях, перелічених вище.

Структура і обсяг роботи. Дисертація загальним обсягом 160 сторінок машинописного тексту складається з переліку умовних позначень, вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 133 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено об'єкт та предмет дослідження, перелічено методи, використані при проведенні досліджень, висвітлено наукову новизну отриманих результатів, їх практичне значення, подано інформацію про особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації та публікації, описано структуру та зміст роботи.

Перший розділ дисертації присвячено оптимізації наближеного інтегрування класів F_d, dN, що складаються з функцiй f : [0,1]^d > [0,1], монотонно неспадних вздовж кожної змiнної. У підрозділі 1.1 наведено огляд відомих результатів у цьому напрямку, та строгі постановки розв'язуваних задач.

У підрозділі 1.2 доведено оптимальність "інтервальної" формули трапецій на класі F₁ серед формул з фіксованими та вільними вузловими інтервалами.

У підрозділі 1.3 на класі F₂(a,b) функцій f : [0,a][0,b] > [0,1], монотонно неспадних вздовж кожної змінної (a,b>0), розглядаються формули наближеного інтегрування вздовж прямокутника [0,a] [0,b] вигляду

S(f; X_n,m , C_n,m)=c₀+,(1)

де набір C_n,m складається з ваг c₀,c_i,jR, а множина X_n,m={(x_i,y_j) : i=1,…,n, j=1,…,m}[0,a][0,b] є такою, що 0?x₁<…<x_n ?a, 0?y₁<…<y_m?b. Покладемо

R(F₂(a,b); X_n,m ,C_n,m) =,

R_n,m(F₂(a,b)) =R(F₂(a,b); X_n,m ,C_n,m).(2)

Кубатурна формула S(·; вигляду (1) називається оптимальною на класі F₂(a,b), якщо набори вузлів та коефіцієнтів реалізують точну нижню межу у правій частині (2).

Теорема 1.3.1. Нехай n,mєN. Серед усiх квадратурних формул вигляду (1) оптимальною на класi F₂(a,b) є формула

,

де ={(ia/(n+1), jb/(m+1)) : i=1,...,n; j=1,...,m}. При цьому

R_n,m (F₂(a,b))=.

У підрозділі 1.4 на класі F_d, d>1, ми отримуємо оптимальну кубатурну формулу з вузлами у фіксованій n-елементній підмножині [0,1]^d. Якщо вузли утворюють прямокутну сітку, то найкращим є d-вимірний аналог правила трапецій.

У підрозділі 1.5 на класі F_d, d>1, отримано такий результат. Нехай nєN, - вектор з цілими невід'ємними координатами, такий, що , i - набiр, що складається з d розбиттiв ребер кубу [0,1]^d: , j=1,...,d (при деяких j розбиття вiдповiдних ребер можуть бути порожніми). Для xє[0,1] та 1?j?d нехай також

.

Кожні набiр та вектор ваг породжують кубатурну формулу вигляду

.

Нехай - множина усiх таких функцiоналiв S:F_d>R, де - довільний набір з , - будь-які. Для функціоналу покладемо

і позначимо

.

Треба знайти величину R_n,d(F_d) i оптимальнi кубатурнi формули, тобто формули , що реалiзують точну нижню межу у правiй частинi цієї рівності.

Теорема 1.5.1. Нехай d,nєN, d>1. Серед усiх кубатурних формул з множини оптимальними на класi є наступнi формули:

, j=1,...,d,

де - вектор з числом n на j-му мiсцi. При цьому

.

Другий розділ дисертації присвячено оптимізації наближеного інтегрування класів функцій, що мають задані мажоранти модулів неперервності. Перший підрозділ містить огляд літератури з цього питання та постановки розглядуваних задач. У другому підрозділі ми наводимо деякі відомі факти з теорії наближення.

Нехай B_d[0,R] - куля у R^d з центром у початку координат і радіусу R>0, - простір неперервних -періодичних функцій однієї змінної та , , - простір неперервних функцій d змінних, -періодичних за кожною змінною.

У підрозділі 2.3 отримано такий результат. Нехай щ₊, щ- - два модуля неперервностi та клас функцiй fєC, таких, що -щ-(t₁-t₂)?f(t₁)-f(t₂)?щ₊(t₁-t₂), t₁?t₂. Якщо, ми маємо клас. Позначимо через Q_n,h, nєN, hє (0,), множину квадратурних формул S:C>R вигляду

S(f)=S(f;h,X_n ,C_n) = ,

де C_n=(c₁,...,c_n), X_n=(x₁,..., x_n)Rⁿ, 0?x₁<…<x_n<2р. Нехай - деякий клас функцій, Q - деяка множина формул наближеного інтегрування вздовж [0,2р]. Для формули SQ покладемо

R(V;S)=,

R(V;Q)= R(V;S).(3)

Задача 1. Треба знайти величину (3) і Q-оптимальні квадратурні формули (тобто функціонали S^*Q, що реалізують точну нижню межу у правій частині (3)), якщо вони існують.

У випадку V= та Q= Q_n,h маємо наступний результат.

Теорема 2.3.1. Нехай , щ₊, щ- - довiльнi модулi неперервностi. Формула

(4) є оптимальню на класi серед формул з множини Q_n,h у сенсi задачi 1. Якщо щ₊ і щ- є опуклими догори, то

R(;Q_n,h)=n(1-)min{щ₊(t),щ- (- t)}dt.

У підрозділі 2.4 ми отримуємо оптимальну кубатурну формулу такого типу. Нехай =(n₁,...,n_d)N^d, d>1. Задамо d розбиттiв ребер кубу [0,2р]^d: 0?<…<?2р, ... , . Цi розбиття породжують множину R^d вигляду

: 1?i₁?n₁, …, 1?i_d?n_d}.(5)

Нехай задано вектор =(h₁,...,h_d)(0,)…(0,). Для заданих функцiї fC_[d] та точки =(x₁,…, x_d)R^d позначимо

Будь-якi множина вигляду (5), i d-вимiрна матриця коефiцiєнтiв породжують кубатурну формулу вигляду

Позначимо через множину формул вигляду (6), що вiдповiдають усiм можливим множинам вигляду (5) з даними і.

Якщо - деякий клас функцій і U - деяка множина формул наближеного інтегрування вздовж, то для формули покладемо

Задача 2. Треба знайти величину (7) і U-оптимальні формули (тобто функціонали, що реалізують точну нижню межу у правій частині (7)), якщо вони існують.

Нехай - клас функцій з C_[d], d>1, які вздовж j-ої змінної належать до класу, j=1,…,d. Наступна теорема дає розв'язок задачі 2 для випадку і.

Теорема 2.4.3. Нехай щ₁, …, щ_d - довiльнi модулi неперервностi. Кубатурна формула

є -оптимальною на класi.

У підрозділі 2.5 розглядається наступна задача. Нехай щ - заданий модуль неперервності, H^щB_d[0, R], d>1, клас, який складається з функцій f, неперервних на кулі B_d[0, R], таких, що |f(x) - f(y)|?щ(|x-y|), x,yєB_d[0, R]. На цьому класі отримано оптимальну кубатурну формулу, що відновлює інтеграл вдовж кулі B_d[0, R] за усередненням по одній кулі малого радіусу. Показано, що оптимальна вузлова куля розташована у центрі області інтегрування.

У підрозділі 2.6 отримано такий результат. Нехай d, d>1, позначимо

де S_d[0,с]- сфера з центром у початку координат і радіусу с, а поверхневий інтеграл - першого роду. Позначимо через множину формул наближеного інтегруваня вздовж кулі B_d[0, R] вигляду

де C_n=(c₁,…,c_n), =(R₁,…, R_n)єRⁿ і 0?R₁<…<R_n?R. Нехай H_d - деякий клас функцій, неперервних на кулі B_d[0, R]. Покладемо

Задача 3. Треба знайти величину (10) і -оптимальні формули на класі H_d (тобто набори, що реалізують інфінум у (10)), якщо вони існують.

Теорема 2.6.1. Нехай d,nєN, d>1, R>0, і щ - довільний модуль неперервності. Серед формул з множини оптимальною на класі H_d =H^щB_d[0, R] є формула

де є точкою мінімуму функції z_щ(x₁,…,x_n)=у_d

на множині Г_n=(x₁,…,x_n)єRⁿ : 0 ? x₁<…<x_n ? R, та. При цьому, R_n(H^щB_d[0,R])=z_щ().

Коли щ(t)=t, ми отримуємо рекурентні формули для обчислення.

У третьому розділі розглядаються задачі оптимізації наближеного інтегрування класів диференційовних функцій. У першому підрозділі наводяться визначення розглядуваних класів, у другому - постановки задач та огляд літератури.

Позначимо через, 1?p??, rєN, клас 2р-періодичних функцій f, таких, що f^(r-1) є локально абсолютно неперервною і ¦f^(r)¦_p?1. Нехай W^rH^щ, де rєN, щ - модуль неперервності, клас 2р-періодичних r разів неперервно диференційовних функцій, що задовільняють нерівність |f(t)-f(s)|?щ(|t-s|), t,sєR. Нехай , rєN, - клас функцій f періоду 2р, таких, що f^(r-1) є локально абсолютно неперервною і.

У підрозділі 3.3 розглядається задача 1 для множини формул Q=Q_n,h і таких класів функцій. Нехай Р(f;t) = P(f₊;t) - P(f-;2р-t), де fєL₁, P(g;t) - спадне переставлення звуження невiд'ємної функцiї gєL₁ на перiод [0,2р]. Множина JL₁ називається переставно iнварiантною, якщо разом з функцiєю f вона мiстить i будь-яку функцiю gєL₁, таку, що Р(g;t)= Р(f;t). Нехай JL₁ - така множина. Через W¹J, позначимо клас 2р-періодичних локально абсолютно неперервних функцiй f, таких, що f'єJ.

Теорема 3.3.1. Нехай nєN, , JL₁ - переставно iнварiантна множина. На класi W¹J Q_n,h-оптимальною є формула (4). Зокрема, формула (4) є Q_n,h-оптимальною на класах,1<p<?.

У підрозділі 3.4 розглядається задача 1 для класів, що є перетинами деяких стандарнтних класів диференційовних функцій та таких множин квадратурних формул. Нехай Q[n,1], , - множина формул для наближеного інтегрування функцій з C вздовж періоду, вигляду

S(f)=S(f;X_n,C_2n)= (c_kf(x_k)+c_k'f'(x_k)),

де C_2n=(c₁,…,c_n,c₁',…,c_n')єR²ⁿ, X_n=(x₁,…,x_n)єRⁿ, 0?x₁<…<x_n<2р. Позначимо через Q_n сукупнiсть формул з Q[n,1], таких, що c_k'=0, k=1,…n. Коли h>0, множина формул Q_n,h переходить у множину Q_n. Має місце такий результат (див. Теореми 3.4.1--3.4.3).

Теорема. Нехай nєN, щ - опуклий модуль неперервностi. Формула

є оптимальною для класiв, 0<A<2рщ'(0), , , r - непарне, r?3, та для класів, рA>2, та, A>2, r=2,3,..., серед усiх формул з Q_n та Q[n,1]. Формула (11) є також Q_n-оптимальною на перелічених класах коли r=1.

У підрозділі 3.5 задачу 1 розв'язано у такій постановці.

Теорема 3.5.3. Нехай n,rєN, n>2r, , і Q - множина квадратурних формул вигляду

де 0?x₁<…<x_m<2р, с_k єZ, 0? с_k?2r-1, c_k,lєR для усiх k,l, і (с_k+1)?1. Тоді формула (4) є Q-оптимальною у смислi задачі 1 на класi, r?2.

У підрозділі 3.6 розглядається задача 3 на класі H_d=V¹B_d[0,R], який є замкненням у просторі C(B_d[0,R]) сукупності неперервно диференційовних функцій на B_d[0,R], d>1, таких що

Теорема 3.6.1. Нехай, d>1, R>0. Серед кубатурних формул з множини оптимальною на класi є формула вигляду (9) де, , k=1,…,n. При цьому .

У підрозділі 3.7 розглядається задача 2 у такій постановці. Нехай, d>1. Кожна множина вигляду (5) i d-вимiрна матриця коефiцiентiв породжують кубатурну формулу вигляду

Через позначимо множину формул вигляду (13) з вузлами в усiх можливих множинах вигляду (5) (така множина формул розгдядається у підрозділі 1.3 для d=2). Коли, формули з переходять у відповідні формули з. Нехай r_jєN, j=1,…,d, щ₁,…, щ_d - задані модулi неперервностi. Через позначимо клас функцiй fєC_[d], що мають обмежені узагальнені похiдні, j=1,…,d.

Нехай - клас функцiй fєC_[d], таких, що та має мажоранту модуля неперервності щ_j , j=1,…,d.

Теорема 3.7.2. Нехай dєN, d>1. Кубатурна формула

є -оптимальною на класi, r₁,...,r_dєN, r₁>1, i на класi, де r₁,...,r_d - непарні або дорiвнюють 2, щ₁,...,щ_d - опуклі догори модулі неперервностi.

Теорема 3.7.3. Кубатурна формула (8) є -оптимальною на класі.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО В РОБОТАХ

1. Бабенко В.Ф., Бородачев С.В. Об оптимизации приближеного интегрирования монотонных функций двух переменных // Укр. мат. журнал. - 1999. - Т. 51, № 7. - С. 881-889.

2. Бородачев С.В. Об оптимизации "интервальных" квадратурных формул на некоторых несимметричных классах периодических функций // Вiсник Днiпропетровського ун-ту. Математика. - 1999. - Вип. 4. - С. 19-24.

3. Бородачев С.В. О сравнении "интервальных" квадратурных формул, использующих производные с обычными "интервальными" формулами // Теорiя наближення та її застосування: Зб. наук. пр. Iнституту математики НАН України. - Т. 31. - К., 2000. - С. 56-62.

4. Бородачев С.В. Об оптимизации "интервальных" квадратурных формул на некоторых классах абсолютно непрерывных функций // Вісник Днiпропетровського ун-ту. Математика. - 2000. - Вип. 5. - С. 28-34.

5. Babenko V.F., Borodachov S.V. On optimization of quadrature formulae for intersections of certain classes of periodic functions // East J. Approx. - 2001. - Vol. 7, № 1. - P. 41-53.

6. Бородачев С.В. Об оптимизации интервальных и точечных квадратурных формул для класов монотонных функций // Укр. мат. журнал. - 2001. - Т. 53, № 7. - С. 847-854.

7. Бабенко В.Ф., Бородачев С.В. Об одной экстремальной задаче для классов функций, заданных на шаре // Вiсник Днiпропетровського ун-ту. Математика. - 2001. - Вип. 6. - С. 11-15.

8. Бабенко В.Ф., Бородачев С.В. Об оптимизации кубатурных формул на классах монотонных функций нескольких переменных // Вісник Днiпропетровського ун-ту. Математика. - 2002. - Вип. 7. - С. 3-7.

9. Babenko V.F., Borodachov S.V. On optimization of approximate integration over a d-dimensional ball // East J. Approx. - 2003. - Vol. 9, № 1. - P. 95-109.

10. Babenko V.F., Borodachov S.V., On optimization of approximate integration of multivariate periodic functions // North Holland Mathematics Studies. - Vol. 197. - Proceedings of the International Conference on Functional Analysis and its Applications dedicated to the 110-th anniversary of Stefan Banach, Lviv, Ukraine. - 2004. - P. 13-22.

11. Бабенко В.Ф., Бородачев С.В. Об оптимизации приближеного интегрирования монотонных функций двух переменных // II школа "Ряди Фур'є: теорiя i застосування". - Кам'янець-Подiльський. - 1997. - С. 9-11.

12. Бородачев С.В. Оптимизация приближенного интегрирования функций классов малой гладкости // Международная конференция "Теория приближений и гармонический анализ". - Тула, Россия. - 1998. - С. 55-56.

13. Borodachov S.V. Optimization of “interval” quadrature formulae for some classes of continuous functions of one and several variables // International Conference on Approximation Theory and Its Applications, dedicated to the memory of V.K. Dzyadyk. - Kyiv, Ukraine. - 1999. - P. 15.

14. Бородачев С.В. Оптимизация "интервальных" и "точечных" квадратурных формул для классов монотонных функций // Мiждержавна науково-методична конференція "Комп'ютерне моделювання". - Днiпродзержинськ, РВВ ДТТУ. -1999. - С. 11-12.

15. Бабенко В.Ф., Бородачев С.В. Об оптимизации квадратурных формул для некоторых классов дифференцируемых периодических функций // Мiждержавна науково-методична конференция "Комп'ютерне моделювання". - Днiпродзержинськ, РВВ ДТТУ. - 2000. - С. 7.

16. Бабенко В.Ф., Бородачев С.В. Об оптимизации приближеного интегрирования некоторых классов функций нескольких переменных // Всеукраїнський математичний конгрес, присвячений 200-рiччю з дня народження М.В. Остроградського. - Київ. - 2001. - С. 7.

17. Бабенко В.Ф., Бородачев С.В. Об оптимизации кубатурных формул на некоторых классах функций, заданных на шаре // Международная конференция "Теория функций и математическая физика", посвященная 100-летию Н.И. Ахиезера. - Харьков, ФТИНТ НАН Украины. - 2001. - С. 7-8.

18. Бабенко В.Ф., Бородачев С.В. Об оптимизации приближеного интегрирования некоторых классов периодических функций многих переменных // Мiждержавна науково-методична конференція "Комп'ютерне моделювання". - Днiпродзержинськ, РВВ ДДТУ. - 2001. - С. 7-8.

19. Babenko V.F., Borodachov S.V. On optimization of approximate integration of certain classes of multivariate periodic functions // International Conference on Functional Analysis and Its Applications, dedicated to the 110-th anniversary of Stefan Banach. - Lviv, Ukraine. - 2002. - P. 17-18.

ВИСНОВКИ

1. Досліджено задачу оптимізації формул наближеного інтегрування монотонних функцій однієї і багатьох змінних. Зокрема, доведено. що для класу монотонних функцій двох змінних серед кубатурних формул з вузлами у прямокутних сітках оптимальною є формула з рівновіддаленими вузлами (двовимірний аналог правила трапецій). Для монотонних функцій d змінних (d>1) розв'язано задачу про найкращі коефіцієнти формули з фіксованими вузлами.

2. Для ряду класів функцій однієї і багатьох змінних розв'язано задачу оптимізації "інтервальних" формул наближеного інтегрування та їх багатовимірних узагальнень. Зокрема, знайдені оптимальні "інтервальні" формули для одновимірних класів H^щ, , , 1<p<?, монотонних функцій. Крім того, для класів функцій однієї та багатьох змінних проведено порівняння формул наближеного інтегрування, які використовують усереднення по інтервалах (паралелепіпедах) функції і її похідних, з формулами, які використовують тільки усереднення функції.

3. Досліджена задача оптимізації наближеного інтегрування за допомогою формул, які використовують інтеграли по перетинах області визначення з гіперплощинами, сферами, кулями. Зокрема, доведено, що серед алгоритмів наближеного обчислення інтегралу вздовж d-вимірної кулі за усередненнями вздовж n вкладених сфер, оптимальним на класі H^щB_d[0,R] є алгоритм з концентричними вузловими сферами, радіуси яких розподілені як вузли оптимальної вагової квадратурної формули на одновимірному класі H^щ[0,R] (з вагою ). На класі монотонних функцій, визначених на кубі [0,1]^d, розв'язано задачу оптимізації кубатурних формул, що використовують інтеграли вздовж його перетинів з n гіперплощинами.

4. Доведено загальну теорему про оптимальне відновлення деяких функціоналів, означених на класі функцій багатьох змінних, по значенням функцій у вузлах прямокутних сіток (або усередненням по паралелепіпедах з центрами у вузлах прямокутних сіток). За допомогою цієї теореми знайдені оптимальні кубатурні формули з вузлами у прямокутних сітках для ряду природніх класів неперервних і диференційовних функцій багатьох змінних. Зокрема, на класах періодичних функцій d змінних, похідні даних порядків яких вздовж кожної змінної є обмеженими або мають задані опуклі мажоранти модулів неперервності і непарний порядок, доведено оптимальність формули з рівновіддаленими вузлами. Одержано також "інтервальний" аналог цього результату для випадку обмежених частинних похідних.

АНОТАЦІЇ

Бородачов С.В. Оптимізація наближеного інтегрування на деяких класах функцій однієї і багатьох змінних. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2004 р.

Дисертацію присвячено дослідженню задач оптимізації формул наближеного інтегрування, що використовують інформацію різних типів, на ряді класів функцій однієї та багатьох змінних. На класі монотонних функцій d змінних знайдено найкращу “інтервальну” формулу з довільними та фіксованими вузлами (d=1) і оптимальні кубатурні формули з вузлами у прямокутних сітках (d=2), у n заданих точках (d>1) та n гіперплощинах (d>1).

Одержано найкращу “інтервальну” формулу на класах . На класі періодичних функцій d змінних, що за кожною змінною належать до деякого класу H^щ, знайдено найкращу “інтервальну” кубатурну формулу центри вузлових паралелепіпедів якої утворюють прямокутні сітки. На класах функцій, визначених на d-вимірній кулі із даною мажорантою модуля неперервності, одержано оптимальні формули з однією вузловою кулею та n вузловими сферами.

Знайдено найкращу “інтервальну” формулу на класі , 1<p<?. Отримано оптимальну “точкову” квадратурну формулу на перетинах деяких стандартних класів періодичних диференційовних функцій однієї змінної. На класі , , одержано найкращу “інтервальну” формулу, що використовує усереднення похідних. Знайдено оптимальний алгоритм наближеного відновлення інтегралу вздовж d-вимірної кулі, що має n вузлових сфер, на класі диференційовних функцій, що мають певне інтегральне обмеження на градієнт. На деяких класах періодичних функцій d змінних знайдено оптимальну кубатурну формулу з вузлами у прямокутних сітках та її “інтервальний” аналог.

Ключові слова: найкраща квадратурна формула, клас функцій, похибка на класі, вузли та коефіцієнти оптимальної формули.

Бородачёв С.В. Оптимизация приближенного интегрирования некоторых классов функций одной и многих переменных. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2004 г.

Диссертация посвящена исследованию задач оптимизации формул приближенного интегрирования, использующих информацию разных типов, на ряде классов функций одной и многих переменных. Для классов монотонных функций d переменных найдены наилучшая “интервальная” формула с произвольными и фиксированными узлами (d=1) и оптимальные кубатурные формулы с узлами в вершинах прямоугольных сеток (d=2), в n заданных точках (d>1) и n гиперплоскостях (d>1).

Получена наилучшая “интервальная” формула на классах. На классе периодических функций d переменных, которые как функции каждого своего аргумента принадлежат некоторому классу H^щ, найдена наилучшая “интервальная” кубатурная формула, центры узловых параллелепипедов которой образуют прямоугольные решетки. На классах функций, определенных на d-мерном шаре с данной мажорантой модуля непрерывности, получены оптимальные формулы с одним узловым шаром и n узловыми сферами.

Найдена наилучшая “интервальная” формула на классе, 1<p<?. Получена оптимальная “точечная” квадратурная формула на пересечениях некоторых стандартных классов периодических дифференцируемых функций одной переменной. На классе, получена наилучшая “интервальная” формула, использующая усреднения производных. Найден оптимальный алгоритм приближенного восстановления интеграла вдоль d-мерного шара, имеющий n узловых сфер, на классе дифференцируемых функций, с интегральным ограничением на градиент. На некоторых классах периодических функций d переменных получены оптимальная кубатурная формула с узлами в прямоугольных сетках и ее “интервальный” аналог.

Ключевые слова: наилучшая квадратурная формула, класс функций, погрешность на классе, узлы и коэффициенты оптимальной формулы.

Borodachov S.V. Optimization of approximate integration on certain classes of functions of one and many variables. - Manuscript.

Thesis for the Kandidat nauk degree in Physics and Mathematics, specialization 01.01.01 - mathematical analysis. Dnepropetrovsk National University, Dnepropetrovsk, 2004.

The thesis investigates the problems of optimization of formulas of approximate integration, which use information of various types, for classes of univariate and multivariate functions which are monotone along each variable, for classes of functions having given majorant for their moduli of continuity and for classes of differentiable functions.

In the first chapter the following results are obtained for classes of bounded functions defined on a d-dimensional cube and monotone along each variable. We show, that the trapezoid rule is the best “interval” formula with free and fixed nodes in the case d=1. For d=2 we consider cubature formulas with nodes at vertices of rectangular nets and find formula with the best nodes and coefficients. The formula with equally spaced nodes turns out to be optimal. To get this result we solve one minimax problem about the “corridors” which is of an interest itself. In the case d>1 we obtain a cubature formula with nodes in a given set which has optimal coefficients. When the nodes are arranged in a rectangular net, the d-dimensional analog of the trapezoid rule will be optimal.

Another problem considered on this class for d>1, is related to computer tomography, when the density of a three-dimensional body is recovered using two-dimensional information. We solve the problem of computing the mass of the body using the two-dimensional mass of its cross-sections. It is proved, that optimal cubature formula using as information n integrals along (d-1)-dimensional sections possibly parallel to different faces of the cube, has equally spaced nodes which are parallel to the same face.

We solve the following problems on classes of functions having given majorants for their moduli of continuity. We extend one result of N.P. Korneychuk for the classes to the case of “interval” formulas and to the case of different moduli of continuity restricting increase and decrease. The “interval” analog of the rectangular rule has the best nodes and coefficients.

We prove a general theorem on optimal recovery of certain functionals defined on a class of multivariate functions, using as information their values at the nodes of rectangular nets (or the mean values along parallelepipeds centered at the nodes of such nets). With the help of this theorem and known optimization results for univariate classes we find optimal cubature formulas using information of the above-mentioned types for a number of natural classes of continuous and differentiable multivariate functions. For the class of d-variate periodic functions, which belong to a class as functions of their j-th variable, j=1,…, d, the best “interval” cubature formula whose node parallelepipeds are centered at the vertices of rectangular nets, is obtained. It is constructed as the tensor product of optimal one-dimensional formulas for the classes, j=1,…, d.

Let щ be a modulus of continuity. For the class of functions defined on a d-dimensional ball of radius R such that |f(x)-f(y)|?щ(|x-y|) for every x and y, the following results are obtained. We find an optimal formula of approximate calculation of the integral along the ball using integrals along n concentric spheres. The radii of the node spheres of the optimal formula are distributed as the nodes of the optimal quadrature formula for the class for integration with the weight p(t)=t^d-1. We also find the best algorithm of recovering the integral along a ball in R^d of radius R, using the integral along one ball of a smaller radius. The optimal position of the node ball is in the center.

The following results are obtained for classes of differentiable functions. We show that the rectangular rule is the best “interval” quadrature formula for classes of locally absolutely continuous periodic functions whose first derivatives form a rearrangement invariant set. This is true in particular for classes, 1<p<?, and their non-symmetric analogs.

We find the optimal “pointwise” formula for the following classes of univariate periodic functions:.

We compare “interval” quadrature formulas, which use information about derivatives and the ones using only mean values of the function for classes of functions with compact sets of derivatives. As a consequence of this result and the known results on optimization of “interval” formulas we prove that for the class, the rectangular rule remains optimal among “interval” formulas, using the means of the functions and their derivatives.

The problem of optimization of algorithms of approximate integration along B_d[0,R] (d-dimensional ball of radius R), which use integrals of the function along n concentric spheres, is considered. We prove, that for the class of continuously differentiable functions defined on this ball such that the radii of the optimal algorithm are the d-th roots of equally spaced points. This optimization problem is reduced to the problem of the best approximation of a power function by piece-wise ones in the uniform metric.

Given integers r₁,…,r_d, for the class of 2р-periodic functions of d variables, whose derivatives, satisfy the condition, j=1,…,d, we obtain the best cubature formula with nodes at rectangular nets (r₁>1) and the best ”interval” formula which uses mean values along parallelepipeds centered at the vertices of rectangular nets.

Let щ₁,…,щ_d be convex moduli of continuity and r₁,…,r_d be odd. For the class of d-variate 2р-periodic functions, whose derivatives, are continuous and , j=1,…,d,

the optimal cubature formula with nodes at rectangular nets is obtained.

Key words: The optimal quadrature formula, class of functions, worst-case error over a class, optimal nodes and coefficients.

Размещено на Allbest.ru