Всі ці результати отримано вперше.

на алгебраїчному семінарі Київського національного університету ім. Т.Г. Шевченка;

на семінарі "Групи та алгебри Лі" (під керівництвом Е. Б. Вінберга та А.Л. Оніщика) механіко-математичного факультету Московського університету (Москва, 2002 р.);

на міжнародній алгебраїчній конференції присвяченій пам'яті проф. Калужніна (м. Кенінгштайн, Німеччина,1993 р.);

на всеукраїнській науковій конференції "Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях", присвячена 70 - річчю від дня народження проф. П.С. Казимірського (М. Львів, 1995 р.);

на 2-й міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Великий Люблін, 1997р.);

на міжнародній алгебраїчній конференції ААА - 58 (м. Відень, Австрія, 1999 р. );

на 3-й міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Суми - 2001);

на розширеному алгебраїчному семінарі, присвяченому 25 - річчю кафедри алгебри та топології Львівського національного університету (м. Львів, 2001 р.);

на міжнародній математичній конференції присвяченій сторіччю від початку роботи Д.А. Граве (1863-1939) в Київському університеті (м. Київ, 2002 р.);

на міжнародній конференції з теорії груп (комбінаторні, геометричні і динамічні аспекти нескінченних груп, присвяченій 50-річчю Р. Григорчука (м. Гаета, Італія, 2003 р.);

на 4-й міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Львів, 2003 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 21-й науковій статті, а також в тезах 5 наукових конференцій.

Особистий внесок автора. В роботі “Група автоморфізмів нормалізатора силовської р-підгрупи симетричної групи” автору належить метод пошуку автоморфізмів. В статті “ Автоморфізми груп типу Жонк'єра над скінченними полями” автору належить зведення задачі до випадку простого скінченного поля. В іншій спільній роботі “Вычисления в силовской 2-подгруппе симметрической группы степени ” автором було отримано явний вигляд породжуючих групи.

Структура та об'єм дисертації. Робота складається із вступу, розділу “Попередні відомості”, який складається із чотирьох підрозділів, розділу “Алгебраїчна максимальність афінної групи”, що містить чотири підрозділи, розділу “Необмеженість степеня транзитивності дії для груп”, який складається із двох підрозділів, розділу “ Деякі класи поліноміальних перетворень”, що містить три підрозділи, розділу “ Про ізоморфізми вінцевих добутків груп”, який складається із двух підрозділів, розділу “ Автоморфізми груп”, який містить чотири підрозділи, висновків та списку використаних джерел, що складається із 86 назв. Загальний обсяг роботи - 251 сторінка.

ЗМІСТ РОБОТИ

В першому розділі подаються відомості з теорії нескінченновимірних алгебраїчних многовидів та груп, які використовуються в подальших дослідженнях. Наведено основні приклади, головним з яких є афінна група Кремони, та дано короткий огляд відомих властивостей оборотних поліноміальних перетворень афінних просторів. Вказано ряд найважливіших підгруп цієї групи. Крім того наводиться опис властивостей нескінченновимірних градуйованих алгебр Лі скінченного росту типу Картана, які відповідають афінній групі Кремони та її деяким підгрупам. Для довільної піднапівгрупи натуральних чисел вводяться в розгляд алгебри, які є прямими сумами компонент однорідності, степені яких належать. Зроблено огляд відомостей про вінцеві добутки груп перетворень.

Другий розділ дисертації починається з опису кореневої структури алгебр та її підалгебр: відносно абелевих підалгебр, які відповідають стандартним торам розмірності для і для. З використанням цієї структури одержано опис проміжних підалгебр, що містять нульову компоненту.

Теорема 2.2.1. Нехай проміжна алгебра Лі така, що, тоді одна з алгебр: для деякої піднапівгрупи.

Тут означає напівпрямий добуток, де - ідеал. Нехай - підалгебра, яка породжується компонентами додатного степеня градуювання.

Наслідок 2.2.3. Решітка підалгебр ізоморфна решітці піднапівгруп напівгрупи.

Наслідок 2.2.4. - максимальні підалгебри в та відповідно.

Ці результати для алгебр Лі отримані для довільного поля характеристики 0. Застосування згаданої теореми про відповідність між групами та алгебрами Лі вимагає алгебраїчної замкненості поля, тому наступні результати формулюються при цьому припущенні.

Теорема 2.4.1. Будь-яка замкнена підгрупа є або або для деякої піднапівгрупи.

Наслідок 2.4.3. є максимальною замкненою підгрупою.

Визначення груп може бути зроблено двома способами. Розглянемо підгрупу стабілізатор нуля, яка має спадний ланцюг нормальних дільників тут нормальний дільник складається з перетворень виду , де - однорідні форми степеня а є позначенням для доданків вищого степеня. Зокрема маємо розклад у напівпрямий добуток. Найпростіші приклади елементів з дають однопараметричні підгрупи. При цьому фактор-групи є скінченновимірними уніпотентними алгебраїч-ними групами, а ізоморфні прямим сумам адитивної групи поля. В цьому сенсі можна сказати, що група є проскінченно-вимірною. Нехай канонічні гомоморфізми. Для довільної піднапівгрупивизначимо підгрупи, які породжуються сім'єю однопараметричних підгруп, спряжених між собою за допомогою елементів з Покладемо . В теорії скінчен-новимірних алгебраїчних груп добре відома теорема, яка стверджує що група породжена довільною сукупністю незвідних алгебраїчних підгруп є незвідною алгебраїчною. Оскільки всі групи є однопара-метричним групами ізоморфними адитивній групі поля, то з цієї теореми випливає замкненість і незвідність як підгруп. Тоді групи, як перетини прообразів замкнених підгруп є замкненими в. Оскільки ці підгрупи є інваріантними відносно дії спряженням гомотетій, то вони є ще й незвідними. Другий спосіб визначення через рівняння, яким мають задовольняти коефіцієнти наборів поліномів, які є афінними координатами цих елементів. Нехай і. Тоді для кожного можна записати скінченну систему рівнянь для коефіцієнтів мономів поліномів:

Ці рівняння визначають скінченновимірний підмноговид у афінному просторі і група є індуктивною границею цих многовидів.

Лема 2.4.2.

Групи, , є замкненими незвідними підгрупами;

всі неодиничні елементи груп мають вигляд, де ненульова однорідна вектор-форма степеня, а +… означає доданки, які не містять мономів степеня, що не перевищує ;

, зокрема групами типу вичерпуються всі замкнені незвідні підгрупи, інваріантні відносно дії спряженням групи;

для довільної вектор-форми такої, що,існує елемент;

якщо замкнена підгрупа така, що, то існують елемент і число такі, що.

З теореми 2.4.1 маємо також

Наслідок 2.4.2. Решітка замкнених підгруп ізоморфна решітці піднапівгруп напівгрупи натуральних чисел.

Доведення теореми 2.4.1 спирається на теорему І.Р. Шафаревича про зв'язок між незвідними замкненими нескінченновимірними алгеб-раїчними групами та відповідними підалгебрами Лі. Легко переконатися, що підгрупи, що є інваріантними при дії спряженням гомотетіями, є незвідними, зокрема такими є замкнені підгрупи, що містять. Для підгруп, що містять, ситуація дещо складніша, адже вони можуть бути і незв'язними.

Теорема 2.4.2. Нехай замкнена підгрупа:. Має місце одне з двох:

i) група містить трансляцію з і є однією з груп, де підгрупа матриць, визначник яких належить скінченній підгрупі;

ii) група не містить трансляцій, тоді існує піднапівгрупа така, що або або для деякої скінченної підгрупи.

Отже, незв'язність “знаходиться” лише у лінійній частині.

Перейдемо тепер до груп симплектичних поліноміальних перетворень.

Незважаючи на суттєву відмінність в будовах решіток коренів алгебр та , для останньої отримано абсолютно аналогічні результати.

Теорема 2.3.1. Для довільної підалгебри або, або існує піднапівгрупа така, що.

Наслідок 2.3.1. є максимальною підалгеброю в .

Для відповідних груп отримана

Теорема 2.4.3. Будь-яка замкнена підгрупа є або, або для деякої піднапівгрупи .

Наслідок 2.4.6. є максимальною замкненою підгрупою.

Третій розділ дисертації присвячений вивченню дії надгруп афінної групи на відповідному афінному просторі. Ще одним аналогом теореми Б. Мортимера для афінних груп над нескінченним полем характеристики 0 є наступна теорема.

Теорема 3.2.1 Нехай є проміжна підгрупа:, тоді діє транзитивно на для будь-якого натурального.

Доведення цієї теореми, якому присвячено весь третій розділ, проводиться шляхом використання нелінійних трансвекцій перетворень, що спряжені із звичайними трансвекціями в групі , які діють тотожно на відповідній алгебраїчній гіперповерхні, еквівалентній гіперплощині, і однозначно визначаються образом однієї точки поза нею. Якщо доведено, що група діє транзитивно і треба довести транзитивність цієї дії, то для цього можна обрати довільну множину з точок і показати, що поточковий стабілізатор цієї множини діє транзитивно на решті точок. Якщо існує гіперповерхня, еквівалентна деякій гіперплощині, то для будь-якої пари точок існує відповідна нелінійна трансвекція:. Отже, якщо мати процедуру, яка дозволяє для будь-яких двох точок будувати таку гіперповерхню, то задача буде вирішена. Не втрачаючи загальності, можна вважати, що точки з множини лежать на прямій , що є першою координатною віссю. Якщо обидві точки не належать цій прямій, то можна обрати гіперплощину, що містить і не містить вказаних точок, і скористатися звичайною лінійною трансвекцією відносно цієї гіперплощини. Якщо ж принаймні одна з точок належить , то це перетворення не підходить, і слід користуватися нелінійними транс-векціями. Якщо побудовано гіперповерхню, то для побудови з потрібними властивостями використовується процедура "склеювання" гіперплощин з прямою. Нехай гіперплощина з пучка гіперплощин, що містять фіксовану пряму, і гіперповерхня, що містить криву, причому. Для кожної гіперповерхні виберемо точки

Використовуючи звичайну лінійну трансвекцію, що діє тотожно на, і нелінійну, можна отримати пучок гіперповерхонь, кожна з яких містить криву. Легко бачити, що з одного боку, а з іншого. Виявляється, що шляхом вибору вказаних точок “майже завжди” можна досягти того, що. Побудований пучок гіпер-поверхонь параметризується елементами відкритої по Зариському підмножини певного скінченновимірного алгебраїчного многовиду, саме це і означають слова “майже завжди”. Більш того, можна побудувати нес-кінченну послідовність точок таку, що “майже завжди” ця процедура може бути продовжена таким чином, що кожна з гіперповерхонь містить криву, для якої і для довільних точок. Ці міркування складають ідею доведення транзитивності дії групи. Наслідок 2.4.3 та теорема Б. Мортимера є підгрунтям для постановки питання про максимальність афінної підгрупи (як абстрактної групи) в афінній групі Кремони. При, враховуючи структуру амальга-мованого добутку, легко побудувати, але не описати надгрупи в. Це можна зробити у такий спосіб: нехай, тоді група містить всі унітрикутні елементи виду, але не містить унітрикутних елементів, у яких. Елементи першого типу легко отримати, беручи комутатори з трансляціями виду. Що стосується унітрикутних елементів, для яких, то наявність їх у групі означає, що їх можна подати як ітеровану композицію та афінних перетворень, а це суперечить однозначності розкладу елемента в амальгамованому добутку, де ототожнюються елемен-ти перетину. При, враховуючи гіпотезу Нагати, природно поставити питання про максимальність в групі ручних перетворень. Остання може бути визначена, як група породжена підгрупами та, тобто. Виявляється, що в цій формулі вся група може бути замінена на лише одне довільне нелінійне трикутне перетворення, тобто має місце

Теорема 4.1.2 Нехай довільний трикутний нелінійний автоморфізм, тоді .

Спочатку твердження доводиться в розмірності для найпростіших нелінійних трикутних перетворень. Підбираються три пари матриць таким чином, що добуток трьох трикутних елементів був трикутним елементом виду. Звідси легко отримати, що групі належить елемент. Повторюючи з ним аналогічну процедуру, можна отримати елементи

Це означає, що групі належать всі елементи виду, де довільний поліном. Використовуючи перетворення, отримуємо, що містить підгрупу З іншого боку, застосуванням перетворення можна отримати всі унітрикутні елементи виду . Неважко переко-натися, що отримані перетворення разом з підгрупою породжують усю групу унітрикутних перетворень, отже, звідки, тобто.

В загальному випадку слід показати, що якщо група містить довіль-ний трикутний елемент, то вона містить і елемент. Ці міркування складають базу індукції, яка проводиться по розмірності . Виконання індукційного кроку завершує доведення теореми 4.1.2. Саме ця теорема вказує на те, що питання про максимальність у є непростим. У цьому ж розділі дисертації вказано ряд класів поліноміальних перетворень, таких як 1-параболічні, бітрикутні, біпараболічні, 3-три-кутні, для яких також має місце рівність. Найпрос-тіше це отримати для 1-параболічних елементів, які мають вид

Комутатор такого елемента з відповідною трансвекцією є нелінійним трикутним елементом виду , і резуль-тат випливає з теореми 4.1.2.

Означення 1.2.3 Перетворення назвемо k-трикутним, якщо його можна подати у вигляді, де, і більш короткий запис цього елемента у вказаному вигляді є неможливим (тобто він не є k-1 - трикутним). При цьому число k будемо називати композиційно-трикутною довжиною.

Отже, елементи з та мають композиційно-трикутну довжину 0 та 1 відповідно. Елементи, що мають композиційно-трикутну довжину рівну 2 будемо називати бітрикутними.

Теорема 4.2.1. Нехай довільне бітрикутне перетворення афінного простору.

Як випливає з означення, бітрикутний елемент має вид. Використовуючи факторизацію, приходимо до висновку, що група містить нелінійний елемент виду, де. Скористаємося роз-кладом Брюа: де нижньотрикутні, а підстановочні матриці. Тоді не втрачаючи загальності, можна вважати, що містить нелінійний бітрикутний елемент виду. Оскільки -унітрикутний елемент, то він комутує з трансляцією . Тоді комутатори та

є трикутними елементами, і результат повинен випли-вати з теореми 4.1.2. Але існують численні випадки, коли ці комутатори є лінійними елементами, і застосування цієї теореми є неможливим. Типовим тут є випадок, коли транспозиція, а, де уні-трикутний елемент, а - є симетрія відносно коорди-натної гіперплощини. Цей випадок потребує особливого підходу, який по-лягає в аналізі вигляду елемента , при якому одночасно обидва вказані комутатори та елемент є лінійними трикутними елментами. Показано, що це можливо лише за умови, коли За цієї умови слід скористатися діагональною матрицею і отримати елемент, який внас-лідок підбору коефіцієнтів є унітрикутним. Причому, він може бути ліній-ним для довільного значення лише при умові, що початковий елемент має 1-параболічний вид. Загальний випадок теореми: зводиться до вищерозглянутого. Природним узагальненням бітрикутного елемента є поняття біпараболічного елемента, який має вид:, де мають 1-параболічний вид.

Теорема 4.2.2. Нехай довільне біпараболічне перетворення афінного простору, тоді для всіх

Аналогічні міркування приводять до висновку, що містить елемент виду, до якого слід застосувати певну редук-цію - домножити зліва на певне афінне перетворення та, в разі потреби, здійснити перерозклад співмножників. Для комутатора отриманого елемента з трансляцією по першій координаті будемо мати елемент 1-параболічного типу. Якщо має форму, то умови, за яких отриманий елемент може належати афінній підгрупі, мають вид: де невироджена матриця, а константи. Аналіз цих спів-відношень приводить до висновку, що включення можливе, лише якщо початковий елемент мав таку форму де трикутний, , а елемент 1-параболічного типу. Для елемента наведені міркування можна повторити і прийти до висновку, що після редукції елемента з умови буде випливати, що є композицією лінійного перетворення, трикутного елемента та елемента типу. Отже, одночасне виконання умов для редукованих елементів означає наявність у групі нелінійного еле-мента виду де трикутні елементи, а має вид, вказаний вище. Оскільки два останні співмножника комутують з трансвекцією то маємо. Отриманий елемент має бітрикутний вигляд, належить до, і він мо-же бути лінійним, лише якщо він одиничний. Якщо він не такий, то ре-зультат випливає з теореми 4.2.1. Якщо ж елементи та комутують, то це означає, що елемент є насправді 1-параболічним, а не біпараболічним.

Описана вище техніка допускає застосування і до 3-трикутних елемен-тів. Справді, можна вважати, що група містить елемент виду, де трикутні елементи, а підстановочні матриці. Комутатор цього елемента з відповідною трансляцією (яка комутує з) має також 3-трикутний вид:, але висота трикутного елемента в дужках зменшилась. Продовжуючи цю процедуру, можна врешті-решт отримати бітрикутний елемент. При цьому, як і вище, слід розбирати численні випадки, коли отримані комутатори можуть виявитися лінійними. Їх повний розбір вдалося зро-бити лише в розмірності 3.

Теорема 4.3.1 Нехай довільний 3- трикутний елемент, тоді.

Обчислення комутаторів трансляцій з 4-трикутними елементами приво-дить, взагалі кажучи, до 5-трикутних елементів і описана техніка взагалі перестає працювати, а питання про існування проміжних підгруп залишається відкритим.

П'ятий розділ дисертації повністю присвячений доведенню теореми про ізоморфізм вінцевих добутків груп перетворень, яка є узагальненням згаданої вище відомої теореми Пітера Неймана про ізоморфізм стан-дартних вінцевих добутків груп. Нагдаємо, що вінцевим добутком групи перетворень з абстрактною групою називають напівпрямий добуток групи на групу всіх функцій, який визна-чається гомоморфізмом. Такий вінцевий добуток називають декартовим. Якщо розглядається лише підгрупа функцій із скінченними носіями, то вінцевий добуток називають прямим. Отримане узагальнення теореми П. Неймана для вінцевих добут-ків транзитивної групи підстановок з абстрактною групою формулюється наступним чином.

Теорема 5.2.1 Нехай транзитивні групи підстановок і ізоморфізм декартових (прямих) вінцевих добутків з базами та (та) відповідно. Тоді справедливе тільки одне з наступних тверджень:

, тоді, і існує автоморфізм декартового добутку;

, тоді можна продовжити розклад і в декартові (прямі) вінцеві добутки:, де транзитивні групи підстановок. За допомогою асоціативності операції вінцевого добутку груп підстановок цей випадок зводиться до випадку 1.

. Заміною цей випадок зводиться до випадку 2.