Крайова задача Рімана і сингулярні інтегральні рівняння з кусково-неперервними коефіцієнтами на спрямлюваних кривих

Размещено на http://allbest.ru

1

22

Размещено на http://allbest.ru

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Крайова задача Рімана і сингулярні інтегральні рівняння з кусково-неперервнимикоефіцієнтами на спрямлюваних кривих

1.ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Багато задач механіки і математичної фізики редукуються до сингулярних інтегральних рівнянь та до граничних задач теорії функцій комплексної змінної. Одним із типів сингулярних інтегральних рівнянь є сингулярні інтегральні рівняння з ядром Коші. З ними тісно пов'язана задача лінійного спряження, яку зазвичай називають крайовою задачею Рімана.

Крайова задача Рімана полягає у знаходженні аналітичної в комплексній площині з розрізом уздовж деякої орієнтовної кривої функції , граничні значення якої в точках кривої зліва і справа від задовольняють крайову умову

(1)

де , ? задані на функції. При маємо однорідну крайову задачу Рімана, а при ? неоднорідну крайову задачу Рімана.

Дослідження з теорії крайової задачі Рімана і сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Коші відображені в роботах і монографіях багатьох авторів, зокрема, Ф.Д. Гахова, М.І. Мусхелішвілі, І.Н. Векуа, С.Г. Міхліна, Б.В. Хведелідзе, М.В. Говорова, І.Ц. Гохберга і Н.Я. Крупника, І.І. Данилюка, Г.С. Литвинчука, Л.І. Чибрикової, П.Г. Юрова, А.А. Бабаєва і В.В. Салаєва, Б.А. Каца, Р.К. Сейфуллаєва, І.Б. Симоненка, В.М. Кокілашвілі і В.А. Пааташвілі, В.Б. Дибіна, В.Н. Монахова і Є.В. Семенко, В.Й. Островського та інших.

Незважаючи на велику кількість досліджень з теорії крайових задач для аналітичних функцій та пов'язаних з ними сингулярних інтегральних операторів, актуальною проблемою залишається вивчення впливу на розв'язність крайової задачі Рімана властивостей заданих функцій і кривої та побудова розв'язків задачі з різними особливостями у заданих функцій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в Інституті математики НАН України в рамках наукових тем "Дослідження з комплексного аналізу, теорії потенціалу, диференціальних та топологічних властивостей відображень і множин" (номер держреєстрації 0101U000700), і "Аналітичні та геометричні проблеми комплексного аналізу" (номер держреєстрації 0106U000156).

Мета і завдання дослідження. Об'єктом дослідження є крайова задача Рімана та пов'язані з нею сингулярні інтегральні рівняння з ядром Коші.

Предметом дослідження є вивчення впливу на розв'язність крайової задачі Рімана властивостей кривої та особливостей заданих функцій.

Метою дисертаційної роботи є розширення класів допустимих спрямлюваних кривих та заданих на них кусково-неперервних функцій в теорії крайової задачі Рімана і сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Коші.

Для досягнення цієї мети в роботі розв'язуються такі задачі:

- здійснюється дослідження граничних властивостей інтегралу типу Коші з кусково-неперервною щільністю;

- здійснюється дослідження асимптотичної поведінки інтегралу типу Коші з кусково-неперервною щільністю в околі особливих точок щільності;

- здійснюється дослідження впливу властивостей заданих функцій та кривої граничного спряження на розв'язок крайової задачі Рімана;

- встановлюється стійкість індекса і властивості нетеровості сингулярного інтегрального оператора з кусково-неперервними коефіцієнтами, який відповідає крайовій задачі Рімана, відносно певного класу збурень.

Зазначимо, що важливість розв'язання цих задач мотивується також їх застосуваннями в математичній фізиці, механіці та інших прикладних дисциплінах.

В дослідженні використовуються методи теорії крайових задач аналітичних функцій, сингулярних інтегральних рівнянь і нетерових операторів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист:

1. Розв'язано в явному вигляді кусково-неперервну крайову задачу Рімана для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів замкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцій.

2. Розв'язано в явному вигляді характеристичне сингулярне інтегральне рівняння з ядром Коші для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів замкнених жорданових спрямлюваних кривих та кусково-неперервних коефіцієнтів.

3. Встановлено достатні умови нетеровості повного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші з кусково-неперервними коефіцієнтами на замкненій жордановій спрямлюваній кривій.

4. Розв'язано в явному вигляді крайову задачу Рімана для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів розімкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцій.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Одержані результати та розвинені в ній методи можуть бути використані в теорії сингулярних інтегральних рівнянь і операторів, в теорії крайових задач для аналітичних функцій та їх застосуваннях в математичній фізиці, теорії пружності, механіці та інших прикладних дисциплінах.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку та загального плану досліджень, формулювання робочих гіпотез належать науковому керівнику ? С.А. Плаксі. Доведення всіх основних результатів дисертації, які виносяться на захист, проведено особисто автором.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися в Інституті математики НАН України на наукових семінарах відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу (керівник ? доктор фіз.-мат. наук Ю.Б. Зелінський, 2005 ? 2007) і відділу теорії функцій (керівник ? доктор фіз.-мат. наук А.С. Романюк, 2008), на Львівському міському семінарі з математичного аналізу (керівники ? доктор фіз.-мат. наук, професор А.А. Кондратюк і доктор фіз.-мат. наук, професор О.Б. Скасків, 2008), у Кримській осінній математичній школі-симпозіумі "Spectral and Evolution Problems" (Севастополь, Україна, 2005), на Міжнародному семінарі "International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis" (Київ, Україна, 2005), на Міжнародній конференції з комплексного аналізу і теорії потенціалу "International Conference on Complex Analysis and Potential Theory Satellite to the International Congress of Mathematicians 2006" (Гебзе, Туреччина, 2006), на конгресі Міжнародного товариства з аналізу, його застосувань та обчислень ISAAC (Анкара, Туреччина, 2007), на Міжнародній конференції "International Conference on Complex Analysis and Wave Processes in Mechanics" (Житомир, Україна, 2007).

Публiкацiї. Результати дисертації опубліковано в роботах [1 ? 10], з яких три роботи [1 ? 3] надруковано у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, робота [4] ? у вигляді препринту Інституту математики НАН України та шість робіт [5 ? 10] ? в матеріалах міжнародних наукових конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі змісту, вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, в який включено 90 найменувань. Повний обсяг дисертації 120 сторінок, з них список використаних джерел займає 11 сторінок.

Подяки. Висловлюю щиру подяку моєму науковому керівнику доктору фізико-математичних наук С.А. Плаксі за постановку задач, постійний інтерес до роботи, обговорення результатів, корисні поради і зауваження.

2.ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі досліджень, коротко викладено зміст основної частини роботи та показано наукову новизну одержаних результатів, які виносяться на захист.

В розділі 1 зроблено огляд літератури, пов'язаної з тематикою досліджень, виконаних автором, та обгрунтовано напрямки досліджень дисертаційної роботи.

В розділі 2 досліджується кусково-неперервна крайова задача Рімана і сингулярні інтегральні рівняння з кусково-неперервними коефіцієнтами на замкненій жордановій спрямлюваній кривій.

Нехай ? замкнена жорданова спрямлювана крива в комплексній площині , і ? відповідно внутрішня і зовнішня області, обмежені кривою , , ? фіксований скінченний набір попарно різних точок кривої .

Нехай клас включає в себе всі голоморфні в функції (які мають також границю у нескінченно віддаленій точці у випадку класу ), які неперервно продовжуються на і задовольняють умову

(2)

де дійсна додатня стала не залежить від , ? деяке дійсне число з інтервалу , яке залежить від функції .

Кусково-неперервна крайова задача Рімана полягає в знаходженні функцій і , які задовольняють умову граничного спряження (1) при всіх .

Для множини введемо підмножину , де , . Якщо , то множину будемо позначати через .

Всі інтеграли по кривій будемо розуміти у сенсі їх головного значення, тобто

де ? скінченна множина точок розриву функції .

В підрозділі 2.1 при розв'язанні кусково-неперервної крайової задачі Рімана припускається, що функція має вигляд , де , і використовується інтеграл типу Коші

(3)

У кожній точці визначимо дійсні числа

і, крім того, припустимо, що виконується співвідношення

(4)

де ? деяка стала. Це означає, що в кожній точці або , або , або числа і ? скінченні.

Визначимо індекс кусково-неперервної крайової задачі Рімана у такий спосіб. Якщо числа і ? скінченні для всіх , то

(5)

де

У випадку, коли серед значень є , але відсутнє , то ; а якщо для деякого , то .

Наступна теорема описує розв'язність кусково-неперервної однорідної крайової задачі Рімана на довільній замкненій жордановій спрямлюваній кривій і доводиться за схемою, яка використана в роботах Б.А. Каца.

Теорема 2.1.1. Нехай ? замкнена жорданова спрямлювана крива, функція має вигляд , де , і, крім того, виконується співвідношення (4). Тоді:

1) якщо , то однорідна крайова задача Рімана не має нетривіальних розв'язків;

2) якщо , то однорідна крайова задача Рімана має нескінченну множину лінійно незалежних розв'язків;

3) якщо , то однорідна крайова задача Рімана має лінійно незалежних розв'язків і її загальний розв'язок визначається формулою



де ? довільний поліном степеня, не вищого ніж .

Далі, в підрозділі 2.1 розглядається неоднорідна крайова задача Рімана у випадку скінченного індексу при додатковому припущенні, що при всіх скінченними є такі числа:

Будемо використовувати наступну метричну характеристику кривої , яка введена В.В. Салаєвим:

де , а означає лінійну міру Лебега на .

Для функції , яка задана на , і точки розглянемо введений С.А. Плаксою локальний центрований модуль гладкості першого порядку

який на відміну від модуля неперервності не є монотонною функцією від і тому враховує можливі коливання функції . Зауважимо, що функція неперервна в точці тоді і тільки тоді, коли при .

Позначимо через , граничні значення в точці функції (3) відповідно з областей , і , де .

Наступний результат описує розв'язність неоднорідної крайової задачі Рімана зі скінченним індексом при мінімальних припущеннях про коефіцієнт задачі.

Теорема 2.1.2. Нехай ? замкнена жорданова спрямлювана крива, яка задовольняє умову

(6)

де ; функція має вигляд , де , і для всіх числа , є скінченними; функція подається у вигляді , де , а функція ? голоморфна в , неперервна на і задовольняє умову

(7)

та для всіх виконуються оцінки

(8)

де стала не залежить від .

Тоді при неоднорідна крайова задача Рімана розв'язна, а при для її розв'язності необхідно і достатньо виконання умов:

(9)

Загальний розв'язок задачі задається формулою

(10)

де

а ? довільний поліном степеня, не вищого ніж , якщо , і , якщо .

У наступній теоремі вдається зняти умову (8) теореми 2.1.2 за рахунок додаткових умов на функцію .

Теорема 2.1.3. Нехай ? замкнена жорданова спрямлювана крива, яка задовольняє умову (6), де ; функція має вигляд , де , і задовольняє умову вигляду (7), а також мають місце оцінки:

в яких стала не залежить від ; крім того, для всіх числа є скінченними; функція подається у вигляді , де , а функція ? голоморфна в , неперервна на і задовольняє нерівність

,

де стала не залежить від .

Тоді при неоднорідна крайова задача Рімана розв'язна, а при для її розв'язності необхідно і достатньо виконання умов (9). Загальний розв'язок задачі задається формулою (10).

В підрозділі 2.2 теорема 2.1.3 застосовується до розв'язання характеристичного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші

(11)

у випадку, коли функції , , допускають розриви як першого, так і другого роду в точках набору і виконуються співвідношення

,(12)

при цьому сингулярний інтеграл Коші визначається рівністю

.

Розв'язок рівняння (11) шукається в класі , де ? множина всіх функцій , які обертаються на нуль у нескінченно віддаленій точці.

Припускаємо, що виконуються співвідношення

,(13)

де розуміється як довільна неперервна на вітка цієї функції. Тоді індекс рівняння (11) визначається формулою (5).

Теорема 2.2.1. Нехай ? замкнена жорданова спрямлювана крива, яка задовольняє умову (6), де ; функція подається у вигляді , де , , при цьому виконується нерівність

в якій стала не залежить від ; функції і задовольняють умову вигляду (7), а також оцінки вигляду

де , і крім того, виконуються співвідношення (12), (13).

Тоді при характеристичне рівняння (11) розв'язне в класі , а при для його розв'язності необхідно і достатньо виконання умов:



де . Загальний розв'язок рівняння (11) в класі має вигляд

де , а ? довільний поліном степеня, не вищого ніж при і при .

Відзначимо, що С.А. Плаксою описано розв'язність рівняння (11) для більш широких класів кривих і функцій , але при додатковому припущенні про те, що його коефіцієнти , неперервні на і задовольняють умову Діні.

Далі в підрозділі 2.2 досліджується повне сингулярне інтегральне рівняння з ядром Коші

де коефіцієнти , неперервні на і в точках набору мають розриви першого роду, при цьому задовольняють співвідношення (12) і додаткові умови, які задаються в термінах локального центрованого модуля гладкості першого порядку:



Умови на функцію задаються в термінах інтегрального з вагою центрованого модуля неперервності функції по першій змінній:

Будемо вважати, що точки набору занумеровані в тому порядку, в якому вони зустрічаються при обході кривої в додатному напрямку, починаючи від деякої з них, позначеної через .

Виділимо неперервну вітку функції , голоморфної поза кривою, яку проведено від точки спочатку вздовж в додатньому напрямку до точки , а потім ? в до нескінченності, при цьому . Нехай , де .

Нехай ? клас функцій , які задані на і задовольняють співвідношення

(14)

а також нерівності

в яких стала не залежить від . Функції класу неперервні на , а в точках набору , взагалі кажучи, не мають ні скінченних, ні нескінченних односторонніх границь, тобто допускають розриви типу осциляції.

Після введення норми

клас набуває структуру банахового простору.

Областю визначення оператора вважаємо множину , яка є неповним нормованим простором з нормою .

В теорії лінійних операторів нетеровим називають оператор , образ якого замкнений, а ядро і коядро ? скінченновимірні. При цьому різниця між розмірностями ядра і коядра називається індексом оператора (позначимо ).

В теоремі 2.2.2 наведено умови, достатні для нетеровості оператора . При цьому припускається, що крива задовольняє умову (6) при і додаткову умову

де ? дійсна стала і ? неперервна поза в околі точки вітка функції ; функції , мають розриви першого роду в точках набору , задовольняють умови вигляду (14) і



де стала не залежить від , а також виконується співвідношення (12); функція задовольняє умови

і крім того, існує сумовна на з вагою функція така, що виконується співвідношення

При зазначених умовах в теоремі 2.2.2 доведено, що оператор є нетеровим і .

Теорема 2.2.2 є аналогом результату, отриманого С.А. Плаксою у випадку, коли коефіцієнти , неперервні на і задовольняють умову Діні.

В розділі 3 досліджується крайова задача Рімана на розімкненій жордановій спрямлюваній кривій.

Нехай надалі ? розімкнена жорданова спрямлювана крива в комплексній площині з початком у точці і кінцем у точці . Позначимо .

Нехай множина складається з усіх голоморфних в функцій , які мають границю у нескінченно віддаленій точці і граничні значення і при всіх відповідно зліва і справа від , а також для всіх допускають оцінку вигляду (2), в якій .

Розглянемо крайову задачу Рімана про знаходження функції , граничні значення і якої задовольняють умову граничного спряження (1) при всіх .

В підрозділі 3.1 міститься теорема 3.1.1, яка описує розв'язність однорідної крайової задачі Рімана на довільній розімкненій жордановій спрямлюваній кривій. Для доведення цієї теореми, яка є аналогічною теоремі 2.1.1, крайову задачу Рімана на розімкненій кривій відомим способом можемо звести до відповідної крайової задачі на замкненій кривій. Для втілення такої схеми потрібно скористатись лемою.

Лема 3.1.1. Нехай ? розімкнена жорданова спрямлювана крива. Тоді існує розімкнена жорданова спрямлювана крива така, що є замкненою жордановою спрямлюваною кривою.

В підрозділі 3.2 доведено ряд теорем про розв'язність неоднорідної крайової задачі Рімана зі скінченним індексом на розімкненій жордановій спрямлюваній кривій.

При для цілого невід'ємного числа і точки позначимо через відстань від до множини у випадку, якщо ця множина не порожня, а в іншому випадку приймемо за означенням . Позначимо тепер .

Теорема 3.2.1. Нехай ? розімкнена жорданова спрямлювана крива, яка задовольняє умову (6) при і додаткову умову

(15)

де ? ціле невід'ємне число, ? додатня стала, яка не залежить від . Нехай функція має вигляд , при цьому , і для всіх числа , є скінченними; крім того, при всіх мають місце оцінки:

(16)

(17)

в яких додатні сталі , , не залежать від . Крім того, нехай функція задовольняє умову вигляду (7) і для неї при всіх маємо оцінки:

(18)

(19)

де і стала не залежить від .

Тоді при неоднорідна крайова задача Рімана розв'язна, а при для її розв'язності необхідно і достатньо виконання умов:

(20)

де . Загальний розв'язок задачі задається формулою

(21)

де

а ? довільний поліном степеня, не вищого ніж , якщо , і , якщо .

Відзначимо, що у відповідних результатах Р.К. Сейфуллаєва, К. Кутлу, Д. Пени і Х.Б. Рейєса про розв'язність неоднорідної крайової задачі Рімана на розімкненій кривій виконуються всі умови теореми 3.2.1. Зокрема, крива задовольняє умову (6) при ; в цьому випадку умова (15) виконується автоматично. Нерівності (16) виконуються, принаймні при , де ? як завгодно мале додатне число, оцінка (17) має місце при , а в роботах Р.К. Сейфуллаєва і К. Кутлу, крім того, виконуються рівності .

У наступній теоремі послаблюється умова (15) на криву при одночасному підсиленні умови (6).

Теорема 3.2.2. Нехай ? розімкнена жорданова спрямлювана крива, яка задовольняє умови

(22)

де ? ціле невід'ємне число, ? незалежна від додатня стала. Нехай функція має вигляд , при цьому , і для всіх числа , є скінченними; крім того, при всіх мають місце оцінки (16), (17); функція задовольняє умову вигляду (7), а при всіх ? оцінки (18), (19), де . Тоді при неоднорідна крайова задача Рімана розв'язна, а при для її розв'язності необхідно і достатньо виконання умов (20). Загальний розв'язок задачі задається формулою (21).

Зауважимо, що у випадку, коли в теоремі 3.2.1 (або в теоремі 3.2.2) умова (15) (або відповідно умова (22)) виконується при , то умови (16), (17) на коефіцієнт крайової задачі Рімана можемо зняти. Це встановлено в теоремах 3.2.3 і 3.2.5.

Доведено також певні аналоги теореми 2.1.3 стосовно крайової задачі Рімана на розімкненій кривій (теореми 3.2.4 і 3.2.6), в яких послаблюються обмеження на функцію за рахунок додаткових припущень про функцію .

ВИСНОВКИ

задача ріман сингулярний рівняння

В дисертації досліджуються крайова задача Рімана на жорданових спрямлюваних кривих та пов'язані з нею сингулярні інтегральні рівняння з ядром Коші.

Основні результати дисертації такі:

1. Розв'язано в явному вигляді кусково-неперервну крайову задачу Рімана для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів замкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцій.

2. Розв'язано в явному вигляді характеристичне сингулярне інетгральне рівняння з ядром Коші для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів замкнених жорданових спрямлюваних кривих та кусково-неперервних коефіцієнтів.

3. Встановлено достатні умови нетеровості повного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші з кусково-неперервними коефіцієнтами на замкненій жордановій спрямлюваній кривій.

4. Розв'язано в явному вигляді крайову задачу Рімана для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів розімкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцій.

Дисертаційна робота має теоретичний характер. Одержані результати та розвинені в ній методи можуть бути використані в теорії сингулярних інтегральних рівнянь і операторів, в теорії крайових задач для аналітичних функцій та їх застосуваннях в математичній фізиці, теорії пружності, механіці та інших прикладних дисциплінах.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Vasil'eva Ju.V., Plaksa S.A. Singular integral equations with piecewise - continuous coefficients on a rectifiable curve// Зб. праць Ін-ту математики НАН України. ? Київ ? 2005.? 2, №.3.? С. 59 ? 66.

2. Васильева Ю.В., Плакса С.А. Кусочно-непрерывная краевая задача Римана на спрямляемой кривой // Укр. мат. журн.? 2006.? 58, № 5. ? C. 616 ? 628.

3. Васильева Ю.В. Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. ? 2006. ? 3, №.4. ? C. 309 ? 321.

4. Васильева Ю.В., Плакса С.А. Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой // Краевые задачи для потенциальных полей.? Киев, 2007.?С. 1?31. ? (Препр./ НАН Украины. Ин-т математики; 2007.2).

5. Васильева Ю.В., Плакса С.А. Кусочно-непрерывная краевая задача Римана на замкнутой спрямляемой кривой // Spectral and Evolution Problems, Sevastopol, Laspi, September 18 ? 29, 2005: Proceedings of the Sixteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium, 2005. ? P. 123 ? 127.

6. Vasil'eva Yu.V. Piecewise-continuous Riemann boundary value problem on a rectifiable curve // International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis, Kiev, September 25?30, 2005: Abstr.? Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2005.? P. 41.

7. Vasil'eva Yu.V. Riemann boundary value problem on an open Jordan rectifiable curve // International Conference on Complex Analysis and Potential Theory Satellite to the International Congress of Mathematicians 2006, Gebze, Turkey, September 8 ? 14, 2006: Abstr. ? Gebze: Gebze Institute of Technology, 2006. ? P. 30 ? 31.

8. Vasil'eva Yu.V. Piecewise Continuous Riemann Boundary Value Problem on a Closed Jordan Rectifiable Curve //Complex Analysis and Potential Theory, Gebze Institute of Technology, Turkey, September 8 ? 14, 2006: Proceedings of the Conference Satellite to ICM 2006. ? P. 249 ? 255.

9. Vasilieva Ju.V. Riemann boundary value problem on an open rectifiable curve// 6-th Intern. ISAAC Congress, Ankara, August 13 ? 18, 2007: Abstr. ? Middle East Technical University, Ankara, Turkey, 2007. ? P. 26.

10. Vasil'eva Yu.V. Riemann boundary value problem on an open rectifiable Jordan curve // Bogolubov Readings 2007 Dedicated to Yu.A. Mitropolskii on the Occasion of His 90-th Birthday, Zhitomir ? Kiev, 19 August ? 2 September 2007: Abstr.? Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007.? P. 55.

Размещено на Allbest.ru