Задачі для стаціонарних рівнянь та нерівностей зі змінними показниками нелінійності

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.95

ЗАДАЧІ ДЛЯ СТАЦІОНАРНИХ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ ЗІ ЗМІННИМИ ПОКАЗНИКАМИ НЕЛІНІЙНОСТІ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

ДОМАНСЬКА Олена Вікторівна

Львів 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник ? кандидат фізико-математичних наук, доцент Бокало Микола Михайлович, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Івасишен Степан Дмитрович, Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, завідувач кафедри математичної фізики;

доктор фізико-математичних наук, доцент Ільків Володимир Степанович, Національний університет “Львівська політехніка”, професор кафедри обчислювальної математики та інформатики.

Захист відбудеться 22 травня 2008 р. о год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “ 18 ” квітня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дисертація присвячена дослідженню коректності крайових задач для класів нелінійних диференціальних рівнянь, модельними прикладами яких є рівняння

(1)

у необмеженій області з відповідним набором показників нелінійності та варіаційних нерівностей, асоційованих з рівнянням (1).

У випадку обмеженої області різні узагальнення рівняння (1) зі сталими тобто лінійні та нелінійні рівняння еліптичного типу (як другого, так і вищих порядків) зі сталими показниками росту, достатньо повно досліджені в роботах багатьох математиків, зокрема, Ю.Шаудера, М.Вішика, В.Лянце, Є.Ландіса, О.Ладиженської, Н.Уральцевої, Ю.Дубінського, Ж.-Л.Ліонса, І.Скрипника. Асоційовані з такими рівняннями варіаційні нерівності також добре вивчені, зокрема, у роботах Ж.-Л.Ліонса, X.Брезіса, О.Ковалевського, Ф.Ніколозі, Д.Кіндерлерера, М.Шіпо, Ж.Стампак'ї, М.Руда, К.Шмідта.

Коли ж область ? необмежена, то відомо, що розв'язки крайових задач для рівняння (1) при єдині в класах функцій з певною (залежною від типу задачі та геометрії області) поведінкою на нескінченності, а існування вдається довести при обмеженнях на зростання вихідних даних на нескінченності. Такого роду результати для лінійних і багатьох квазілінійних рівнянь та систем отримано в працях Є.Ландіса, О.Олійник, Г.Йосіф'яна, А.Шишкова та інших. Відзначимо, що одним з найефективніших методів дослідження крайових задач у необмежених областях для лінійних та певних класів квазілінійних рівнянь виявився метод, який базується на аналозі відомого з механіки принципу Сен-Венана. Цей метод запропонований О.Олійник та Г.Йосіф'яном і розвинений у роботах А.Шишкова та його учнів. Можливості цього методу ще не вичерпані і тут поширюється його дія на інші класи нелінійних рівнянь.

У 1984 році Х.Брезіс для рівняння (1) при , i довів існування єдиного узагальненого розв'язку без будь-яких обмежень на його поведінку та зростання правої частини на нескінченності (ним також було дещо узагальнено цей результат). Пізніше інші рівняння зі сталими показниками нелінійності з такою властивістю знайдені в роботах О.Олійник, І.Діаза, Ф.Берніса, М.Бокала, Л.Бокардо, М.Бендамана, К.Карлсена, С.Лавренюка, І.Медведя. Ці рівняння здебільшого мають модельну структуру і природно виникає потреба розширити класи таких рівнянь, виділивши характерні ознаки, наявність яких гарантує однозначну розв'язність відповідних крайових задач без умов на нескінченності. Варто було б дослідити і неперервну залежність від вихідних даних розв'язків крайових задач для рівнянь з указаних класів.

Тут робиться спроба вирішити цю проблему. Крім того, описуються класи коректних нелінійних еліптичних нерівностей у необмежених областях без умов на нескінченності.

В останні десятиліття дуже активно вивчаються нелінійні диференціальні рівняння зі змінними показниками нелінійності, прикладами яких є рівняння (1). Це пов'язано з тим, що такі задачі виникають при математичному моделюванні різних типів фізичних процесів і, зокрема, описують потоки електрореологічних речовин, процеси відновлення зображень, електричний струм у кондукторі під впливом змінного температурного поля (задача про термістор) та інші процеси.

В обмеженій області крайові задачі для рівнянь зі змінними показниками нелінійності вивчались у роботах В.Жикова, Х.Фана, А.Хаміді, Й.Фу, С.Антонцева, С.Шмарєва та інших, а в необмеженій області ? у роботі Х.Хана, де встановлено лише існування розв'язку з обмеженням на його поведінку при Такі задачі в класах функцій з довільною поведінкою на нескінченності не вивчені.

Тому актуальним є виділити класи еліптичних рівнянь у необмежених областях зі змінними показниками нелінійності як другого, так і вищих порядків, для яких відповідні крайові задачі є коректними без умов на нескінченності, а також описати асоційовані з такими рівняннями варіаційні нерівності з такого ж типу коректністю. Тут пропонується вирішення цих задач. Також досліджуються крайові задачі для рівнянь та нерівностей еліптичного типу зі змінними показниками нелінійності, які близькі до лінійних, використовуючи аналог принципу Сен-Венана.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка. Дисертація виконана в рамках науково-дослідної державної теми “Розробка методів дослідження якісних характеристик математичних моделей, які описуються диференціальними рівняннями у частинних похідних” (номер держреєстрації 0106U001284).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є дослідження коректності нелінійних еліптичних задач зі змінними показниками нелінійності в необмежених областях.

Задачі, які розв'язуються для досягнення мети:

1) Розширити відомі класи нелінійних еліптичних рівнянь в необмежених областях, для яких задача Діріхле та Неймана мають єдиний узагальнений розв'язок без припущень на його поведінку та зростання вихідних даних на нескінченності, зокрема, за рахунок рівнянь зі змінними показниками нелінійності. Довести неперервну залежність від вихідних даних розв'язків задач для рівнянь з отриманих класів.

2) Дослідити класи нелінійних еліптичних варіаційних нерівностей, які є коректними без обмежень на поведінку розв'язку на нескінченності.

3) Вивчити класи коректності крайових задач (Діріхле, Неймана та зі змішаними граничними умовами) для нелінійних рівнянь зі змінними показниками нелінійності, на які поширюється аналог відомого з механіки принципу Сен-Венана. рівняння діріхле нейман нескінченність

Об'єкт дослідження. Нелінійні еліптичні рівняння та нелінійні еліптичні варіаційні нерівності в необмежених областях.

Предмет дослідження. Коректність крайових задач для нелінійних рівнянь та нелінійних варіаційних нерівностей зі змінними показниками нелінійності в необмежених областях.

Методи дослідження. У роботі використовуються методи та ідеї теорії нелінійних еліптичних рівнянь, зокрема, методи штрафу, монотонності, компактності та метод Гальоркіна. Крім того, використовується аналог відомого з механіки принципу Сен-Венана.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано такі нові результати:

1) досліджено класи заданих у необмежених областях еліптичних квазілінійних та анізотропних рівнянь і систем другого порядку зі змінними показниками нелінійності, для яких крайові задачі мають єдиний узагальнений розв'язок без умов на його поведінку та зростання вихідних даних на нескінченності. Цi класи містять усі відомі рівняння другого порядку (зі сталими показниками нелінійності) з такою властивістю. Доведено неперервну залежність від вихідних даних розв'язку досліджуваних задач;

2) розширено, зокрема, за рахунок рівнянь зі змінними показниками нелінійності клас нелінійних еліптичних рівнянь вищих порядків, для яких задача Діріхле однозначно розв'язна без умов на нескінченності. Доведена неперервна залежність від вихідних даних розв'язків неоднорідної задачі Діріхле;

3) досліджено класи коректних нелінійних варіаційних еліптичних нерівностей зі змінними показниками нелінійності в необмежених областях без умов на нескінченності;

4) поширено аналог принципу Сен-Венана на нелінійні еліптичні рівняння та нерівності зі змінними показниками нелінійності й отримано для них класи коректності крайових задач.

Практичне значення одержаних результатів. Результати досліджень мають теоретичний характер. Методи, які розвиваються у роботі, можуть бути застосовані для подальшого дослідження коректності нелінійних еліптичних крайових задач та варіаційних нерівностей у необмежених областях.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором особисто. У спільних із науковим керівником роботах [1-3], [6] М.М. Бокалу належить постановка задачі й аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники: д.ф.-м.н., професор, член-кор. НАН України Б.Й.Пташник, д.ф.-м.н., професор М.І.Іванчов, д.ф.-м.н., професор П.І.Каленюк), на Міжнародній конференції, присвяченій 125-річчю Ганса Гана (м. Чернівці, 27 червня ? 3 липня 2004 р.), на XII Всеукраїнській науковій конференції, присвяченій 70-річчю проф. Ю.В.Людкевича (м. Львів, 4-6 жовтня 2005 р.), на XI Міжнародній конференції ім. Кравчука (м. Київ, 18-20 травня 2006 р.), на Міжнародній конференції з диференціальних рівнянь, присвяченій 100-річчю Я.Б.Лопатинського (м. Львів, 12-17 вересня 2006 р.), на Міжнародній конференції, присвяченій 60-річчю кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету ім. Ю.Федьковича (м. Чернівці, 11-14 жовтня 2006 р.), на Всеукраїнській науковій конференції молодих учених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченій 100-річчю Я.Б.Лопатинського (м. Донецьк, 6-7 грудня 2006 р.), на Міжнародній конференції, присвяченій 150-річчю О.М.Ляпунова (м. Харків, 24-30 червня 2007 року), на літній школі “Topics in Nonlinear PDEs” (м. Коімбра, Португалія, 22-27 липня 2007 р.), на Міжнародній конференції “Nonlinear Partial differential equations”, присвяченій пам'яті І.В.Скрипника (м. Ялта, 10-15 вересня 2007 р.), на Міжнародній математичній конференції ім. В.Я.Скоробогатька (м. Дрогобич, 24-28 вересня 2007 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 6 працях [1-6] у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, і додатково висвітлено у 10 матеріалах і тезах наукових математичних конференцій [7-16].

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації складає 156 сторінок, список використаних джерел складає 10 сторінок і містить 103 найменування. Результати роботи, що винесені на захист, викладені в розділах 2-5.

Особлива подяка науковому керівнику Миколі Михайловичу Бокалу за вміле спрямування, допомогу та слушні поради при написанні дисертації.

Основний зміст роботи

Введемо спочатку використовувані тут позначення. Всюди в роботі ? необмежена область в просторі з кусково-гладкою межею ; де, ? відкриті множини на (одна з них може бути порожньою), Для довільного позначаємо через зв'язну компоненту множини таку, що Нехай ? підпростір, який складається з функцій, носії яких є обмеженими множинами ; ? підпростір простору, елементами якого є фінітні функції (тобто, функції, які зануляються в околі ); ? підпростір простору, елементами якого є функції, які приймають нульові значення в околі ; ? замикання простору за топологією лінійного опуклого простору, яка визначена системою півнорм: (, де ? область в, ? простір Соболєва, який складається з елементів простору які мають узагальнені похідні з до -го порядку включно); ? відповідно замикання просторів та за топологією простору. Для довільної функції для м.в. і будь-якого числа під розумітимемо узагальнений простір Лебега, отриманий поповненням лінійного простору за нормою де а ? банахів простір, отриманий поповненням простору за нормою Через позначимо замикання простору за топологією, породженою системою півнорм: а ? замикання простору за топологією лінійного опуклого простору, визначеною системою півнорм:

У вступі обґрунтовується актуальність теми, вказується мета та задачі дослідження, наукова новизна, апробація одержаних результатів та їх практичне значення.

У розділі 1 подається огляд тих праць, які безпосередньо стосуються теми дисертаційної роботи.

У розділі 2 дисертації досліджено крайові задачі для квазілінійних еліптичних рівнянь та їх систем, модельним прикладом яких є рівняння (1) при для м. в., а також системи квазілінійних еліптичних варіаційних нерівностей, асоційованих з такими рівняннями. При визначенні класів коректності цих задач не накладаються обмеження на поведінку розв'язку на нескінченності і припущення на зростання вихідних даних на нескінченності.

У підрозділі 2.1 розглядаються крайові задачі для квазілінійних еліптичних рівнянь та їх систем.

Нехай для майже всіх Якщо то через позначатимемо функцію таку, що для майже всіх.

Нехай ? деяке натуральне число, ? евклідів простір, складений з вектор-стовпчиків дійсних чисел розмірності, ? стандартний скалярний добуток в, Через позначимо лінійний нормований ( ? позначення норми) простір дійсних матриць розмірності.

Нехай,, ? множина впорядкованих наборів вектор-функцій які задовольняють умови:

1) для кожного вектор-функція є каратеодорівською;

2) для майже всіх і будь-яких де

3) для м. в. і будь-яких

Під де розумітимемо лінійний простір, складений з наборів вектор-функцій де Скажемо, що послідовність збігається до в, якщо для будь-якого (тут і далі під розумітимемо декартів степінь простору, елементи якого записуються у вигляді вектор-стовпчиків).

Для позначимо через лінійний простір Введемо на систему півнорм: Послідовність елементів з збігається в, якщо для будь-якого послідовність збігається в.

Нехай і,,, якщо Задача QP формулюється так: для кожного і, знайти множину SQP функцій таких, що виконується рівність для будь-якої функції ? обмежена множина.

Скажемо, що задача QP є однозначно розв'язною, якщо для кожного і будь-яких та множина SQP є одноелементною.

Скажемо, що задача QP є коректною, якщо вона є однозначно розв'язною і для кожного і будь-яких елементів, та послідовностей, таких, що в в маємо.

Ми шукаємо множину і простори,,, такі, щоб відповідна задача QP була коректною. Звернемо увагу, що ми не хочемо накладати якихось умов на зростання елементів множин, на нескінченності.

Нехай Позначимо через підмножину елементи якої мають вигляд.

Для кожного під розумітимемо підмножину множини, складену з тих елементів, для яких виконуються ще три умови:

4) для м. в. функція є ліпшицева;

5) існують сталі такі, що для майже всіх і будь-яких виконується нерівність

причому, якщо то

6)

Скажемо, що послідовність збігається до в, якщо набори функцій задовольняють умови 4), 5) і

Теорема 2.1. Правильними є такі твердження.

1) Задача QP, ? однозначно розв'язна і для будь-яких та функція SQP для довільних задовольняє оцінку де і якщо а при і ; ? довільне число, а ? деякі сталі.

2) Задача QP ? коректна.

Для доведення використовуються методи Гальоркіна та монотонності.

У підрозділі 2.2 розглядається задача VI (,,,, якщо, де ? множинa опуклих замкнених підмножин які містять , а ), яка формулюється так: для кожних , знайти множину SVI функцій, які задовoльняють нерівність при будь-яких і.

Теорема 2.2. Задача VI є однозначною і, якщо SVI для деяких ,, то для SVI та будь-яких виконується нерівність (3).

Нехай ? підмножина, будь-який елемент якої визначається так: існує замкнений підпростір простору такий, що i на ? підмножинa де

Теорема 2.3. Задача VI є коректною.

Для доведення використовуються методи Гальоркіна, штрафу та монотонності.

У розділі 3 розглядаються крайові задачі для еліптичних рівнянь та їх систем, а також варіаційні нерівності та їх системи, які мають степеневі нелінійності і показники нелінійності відносно різних похідних різні і змінні. У підрозділі 3.1 встановлюється однозначна розв'язність крайових задач для анізотропних рівнянь у класах функцій з довільною поведінкою на нескінченності та доводиться неперервна залежність від вихідних даних їх розв'язків.

Тут для м. в. Під, де, розумітимемо множину, елементами якої є впорядковані набори з дійснозначних функцій, які задовольняють умови:

1) для кожного функція,, ? каратеодорівська;

1?) для майже всіх

2) для кожного та майже всіх існує похідна і виконується нерівність

де, ? деякі сталі;

3) для м. в. існує похідна і виконуються нерівності

де, ? деякі додатні сталі, а ? функція з.

Для кожного покладемо

Під розумітимемо лінійний простір, отриманий замиканням простору за топологією.

На лінійному просторі введемо таке поняття збіжності послідовностей за яким послідовність збіжна до в, якщо.

Факторизуємо отриманий простір зі збіжністю за таким відношенням еквівалентності: два елементи і є еквівалентними, якщо на в сенсі сліду. Фактор-простір, отриманий з за цим відношенням еквівалентності, позначимо через.

Нехай і,, якщо Задача PA,, формулюється так: для кожного і,, знайти множину SPA функцій таких, що виконується рівність для будь-яких ? обмежена множина.

Скажемо, що задача PA,, є слабко коректною, якщо вона є однозначно розв'язною і для кожного і будь-яких елементів, та послідовності такої, що в, маємо в де SPA,, SPA.

Ми шукаємо множину і простори такі, щоб відповідна задача PA,, була або однозначною, або однозначно розв'язною, або слабко коректною. Звернемо увагу, що ми не хочемо накладати якихось умов на зростання елементів множин на нескінченності.

Нехай ? підмножина елементи якої задовольняють умови, де.

Для кожного розглянемо множину наборів функцій, для яких сталі в умові 2) такі, що.

Позначимо через підмножину, елементи якої мають вигляд.

Теорема 3.1. Правильними є такі твердження.

1) Задача PA,, однозначно розв'язна і для будь-яких i,, функція SPA для довільних задовольняє оцінку

де ? довільне число, >0 ? деякі сталі.

2) Задача PA,, ? слабко коректна.

У підрозділі 3.2 аналогічний результат встановлено стосовно крайових задач для системи рівнянь.

У підрозділі 3.3 розглянуто анізотропні варіаційні нерівності. Під, де розумітимемо множину опуклих замкнених підмножин локально опуклого простору, які містять 0.

Задача VIA формулюється так: для кожного і , знайти множину SVIA функцій таких, що виконується нерівність для будь-яких і.

Теорема 3.3. Задача VIA,, є однозначною і, якщо SVI для деяких i,,, то для SVIA i будь-яких виконується нерівність (6) з

Нехай ? лінійний підпростір простору, який складається з функцій, носії яких є обмеженими в, а ? спряжений до простір. Дію елемента на елемент позначимо через. Нехай,, ? підмножина множини яка складається з таких елементів для яких існує оператор такий, що

Теорема 3.4. Правильними є такі твердження.

1) Задача VIA,, ? однозначно розв'язна.

2) Задача VIA,, ? слабко коректна.

У підрозділі 3.4 встановлено аналогічний результат для системи варіаційних нерівностей.

У підрозділі 3.5 доведено однозначну розв'язність крайових задач для еліптичних рівнянь, модельним прикладом яких є рівняння (1) при для м. в., заданих у необмеженій квазіциліндричній області (означення квазіциліндричної області таке ж, як у підрозділ 5.1).

У розділі 4 розглядаються крайові задачі для еліптичних квазілінійних рівнянь вищих порядків та квазілінійні еліптичні варіаційні нерівності вищих порядків.

У підрозділі 4.1 встановлюється коректність крайових задач для еліптичних квазілінійних рівнянь вищих порядків у класах функцій з довільною поведінкою на нескінченності.

Нехай , ? підмножина множини така, що, а. Позначимо через ? кількість мультиіндексів, довжини яких є елементами множини . Позначимо через вектор, компонентами якого є похіднi ,, функції .

Нехай множина така ж, як у розділі 2. Під розумітимемо множину, елементами якої є впорядковані набори з визначених на дійснозначних функцій, які задовольняють умови, подібні до умов 1) - 3) розділу 2. Нехай ? множина, елементами якої є впорядковані набори з визначених на дійснозначних функцій таких, що.

На просторі введемо таке відношення еквівалентності: два елементи і є еквівалентними, якщо. Фактор-простір, отриманий з за цим відношенням еквівалентності, позначимо через.

Нехай і,, якщо Задача BP,, така: для кожного і,, знайти множину SBP функцій таких, що виконується рівність для будь-яких, ? обмежена множина.

Ми шукали множину і простори , такі, щоб задача BP,, була однозначно розв'язною чи коректною і на поведінку елементів при не накладалися обмеження.

Нехай множина така ж як у другому розділі, а ? підмножина множини , елементи якої задовольняють ще умови, подібні до умов 4) - 5) другого розділу. Позначимо через підмножину множини , яка складається з елементів , які задовольняють додаткову умову: для довільних і майже всіх та деякої функції.

Теорема 4.1. Правильними є такі твердження:

1) Задача BP,, є однозначно розв'язна і для будь-яких,,, функція SBP для довільних задовольняє оцінку

де ? який-небудь елемент множини ; , якщо, і при ; ? довільне число; ? деякі додатні сталі.

2) Задачi BP,,, BP,, ? коректні.

У підрозділі 4.2 розглянуто квазілінійні варіаційні нерівності вищих порядків.

У розділі 5 розглянуто крайові задачі для нелінійних еліптичних рівнянь та нелінійні еліптичні варіаційні нерівності (які містять, відповідно, лінійні рівняння та нерівності) в узагальнених анізотропних просторах Лебега-Соболєва, заданих у квазіциліндричних областях.

У підрозділі 5.1 встановлюється однозначна розв'язність крайових задач при певних умовах на поведінку розв'язку на нескінченності та припущеннях на вихідні дані на нескінченності.

Нехай ? необмежена квазіциліндрична область в просторі тобто з точністю до нумерації змінних множина ? обмежена для кожного і для будь-якого множина ? необмежена хоча б для одного значення. Крім того, припускатимемо, що 0 належить . Через для довільного позначатимемо зв'язну компоненту множини, що містить Нехай межа області кусково-гладка і така, що для будь-якої неперервної на функції виконується рівність де ? елемент площі поверхні

Нехай для м.в. Припустимо, що вихідні дані задовольняють такі умови:

1) функція, є каратеодорівською;

1'), , для майже всіх ;

2) для кожного м. в. і виконується нерівність

Під розумітимемо підпростір простору елементи якого мають нульовий слід на .

Означення 5.1. Узагальненим розв'язком задачі (10), (11) назвемо функцію яка задовольняє інтегральну рівність для будь-якої функції.

Вважаючи, що

4) ..., для м. в. ,

ми шукаємо додаткові умови на вихідні дані, при яких узагальнений розв'язок задачі (10), (11) існує та єдиний в класі функцій з певною поведінкою на нескінченності.

Нехай виконуються ще такі умови:

5) для майже всіх та будь-яких і

6) для кожного м. в. та будь-яких і

де ? деякі неперервні та невід'ємні на функції, причому

7) існує неперервна додатна функція така, що де інфімум береться по всіх неперервно диференційовних в околі функціях;

Розглянемо задачу Коші для звичайного диференціального рівняння.

Розв'язок цієї задачі визначається рівністю. Покладемо

Теорема 5.1. Нехай виконуються умови 1) - 7). Тоді в класі функцій з які задовольняють умову при задача (10), (11) може мати не більше одного узагальненого розв'язку.

Покладемо

Теорема 5.2. Нехай, крім умов 1) - 7), виконуються ще дві умови:

8) для майже всіх і будь-яких

де

9)

де ? сталі, які від не залежать.

Тоді існує узагальнений розв'язок задачі (10), (11), який належить класу єдиності, визначеному в теоремі 5.1. Більше того, цей розв'язок задовольняє оцінку де ? стала, яка залежить тільки від і .

При доведенні використовується комбінація методу, який базується на аналозі відомого в теорії пружності принципу Сен-Венана та методу монотонності.

У підрозділі 5.2 отримано аналогічний результат для варіаційних нерівностей.

Висновки

Дисертація присвячена питанню коректності крайових задач для нелінійних еліптичних рівнянь в необмежених областях зі змінними показниками нелінійності та асоційованих з ними варіаційних нерівностей.

До цього часу проблема коректності крайових задач в необмежених областях розглядалась практично тільки у випадку рівнянь зі сталими показниками росту, а для нерівностей зі змінними показниками нелінійності в необмежених областях ця проблема не досліджувалась.

З відомих результатів стосовно коректності крайових задач для стаціонарних рівнянь у необмежених областях можна зробити висновок, що є два види рівнянь. Один з них складається з тих рівнянь, крайові задачі для яких є однозначно розв'язними при певних припущеннях на поведінку розв'язку та зростання вихідних даних на нескінченності. До них, зокрема, належать лінійні рівняння. Одним з ефективних методів дослідження питання однозначної розв'язності крайових задач для рівнянь першого виду є запропонований О.Олійник та Г.Йосіф'яном і розвинений А.Шишковим метод, який базується на аналозі принципу Сен-Венана. Тут (розділ 5) цей метод поширюється на нелінійні еліптичні рівняння зі змінними показниками нелінійності, а також на варіаційні нерівності, асоційовані з цими рівняннями. До другого виду рівнянь належать ті, крайові задачі для яких однозначно розв'язні без будь-яких умов на нескінченності. Ці рівняння описані в роботах Х.Брезіса, Ф.Берніса та інших. У даній роботі узагальнюються ці рівняння, а також доповнюються рівняннями зі змінними показниками нелінійності з такими ж властивостями. У результаті отримано три класи рівнянь: квазілінійні рівняння та системи другого порядку (розділ 2), анізотропні рівняння та системи другого порядку (розділ 3) та квазілінійні рівняння вищих порядків (розділ 4). Крім того, доведена неперервна залежність розв'язку від вихідних даних (коефіцієнтів, вільних членів та граничних функцій) досліджуваних задач. Аналогічні результати отримані для нелінійних варіаційних нерівностей.

У проведених тут дослідженнях використовуються певні модифікації відомих методів, зокрема, описаних у роботах А.Шишкова, Ф.Берніса. Також важливою підставою для отримання результатів цієї роботі є теорія узагальнених просторів Лебега та Соболєва.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Бокало М.М., Кушнір О.В. Про коректність крайових задач для квазілінійних еліптичних систем в необмежених областях // Математичні Студії. 2005. Т. 24, № 1. С. 69-82.

2. Бокало М.М., Кушнір О.В. Варіаційні нелінійні еліптичні нерівності зі змінними показниками нелінійності // Науковий вісник Чернівецького університету. Математика. 2006. Вип. 288. С. 28-38.

3. Бокало М.М., Кушнір О.В. Варіаційні нелінійні еліптичні нерівності вищих порядків зі змінними показниками нелінійності // Вісник Львів. ун-ту. Cерія мех.-мат. 2006. Вип. 66. С. 20-35.

4. Доманська О.В. Крайові задачі для нелінійних еліптичних рівнянь вищих порядків без умов на нескінченності // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2007. Т. 50, № 4. C. 19-33.

5. Доманська О.В. Нелінійні еліптичні рівняння в квазіциліндричних областях // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. 2007. Вип. 67. С. 104-118.

6. Bokalo M., Domanska O. On well-posedness of boundary problems for elliptic equations in general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces // Mathematychni Studii. 2007. Vol. 28, № 1. P. 77-91.

7. Бокало М.М., Кушнір О.В. Крайові задачі для слабо нелінійних еліптичних систем в необмежених областях // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана. Чернівці, 27 червня 3 липня 2004 р. Тези доповідей. Чернівці: Рута. 2004. С. 20-21.

8. Бокало М.М., Кушнір О.В. Варіаційні нелінійні еліптичні нерівності зі змінними показниками нелінійності // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: XII Всеукраїнська наукова конференція. Львів, 4-6 жовтня 2005 р. Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. 2005. С. 37-38.

9. Бокало М.М., Кушнір О.В. Про коректність крайових задач для нелінійних еліптичних рівнянь вищих порядків зі змінними показниками нелінійності // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука. Київ, 18-20 травня 2006 р. Матеріали конференції. К.: НУТУ “КПІ”. 2006. С. 333.

10. Бокало М.М., Кушнір О.В. Варіаційні нелінійні еліптичні нерівності вищих порядків зі змінними показниками нелінійності // Differential Equations: International Conference. Lviv, September 12-17, 2006. Book of abstracts. Львів: Видавничий центр Львівського національного університету імені Івана Франка. 2006. С. 13-14.

11. Бокало М.М., Кушнір О.В. Про коректність крайових задач для нелінійних еліптичних рівнянь в анізотропних просторах // Диференціальні рівняння та їх застосування. Чернівці, 11-14 жовтня, 2006р. Тези доповідей. Чернівці: Рута. 2006. С. 17.

12. Доманська О.В. Варіаційні еліптичні нерівності в анізотропних узагальнених просторах Лебега-Соболєва // Всеукраїнська наукова конференція молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвячена 100-річневому ювілею Я.Б.Лопатинського. Донецьк, 6-7 грудня 2006 р. Тези доповідей. Донецьк: Видавництво Донецького національного університету. 2006. С. 55-56.

13. Доманська О.В. Крайові задачі для нелінійних еліптичних рівнянь у псевдоциліндричних областях // Міжнародна математична конференція ім. В.Я.Скоробогатька. Дрогобич, 24-28 вересня, 2007р. Тези доповідей. Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”. 2007. С. 96.

14. Domanska O. On well-posedness of boundary problems for systems of elliptic equations in general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces // Lyapunov Memorial Conference. International conference on the occasion of the 150th birthday of Aleksandr Mikhailovich Lyapunov. Kharkiv, June 24-30, 2007. Book of abstracts. Kharkiv: Verkin Institute of Low Temperature Physics and Engineering of NASU, 2007. P. 39-40.

15. Domanska O. Nonlinear elliptic equations in unbounded domains // Topics in Nonlinear PDEs: CIM/UC Summer School. Coimbra (Portugal), July 22-27, 2007. Coimbra: CMUC, 2007. P. 12-13.

16. Domanska O. Systems of elliptic variational inequalities with anisotropic nonlinearity // Nonlinear Partial differential equations: International Conference dedicated to the memory of I.V.Skrypnik. Yalta, September 10-15, 2007. Donetsk, 2007. P. 24-25.

Анотація

Доманська О.В. Задачі для стаціонарних рівнянь та нерівностей зі змінними показниками нелінійності. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2008.

Дисертація присвячена дослідженню коректності крайових задач для нелінійних еліптичних рівнянь в необмежених областях зі змінними показниками нелінійності та асоційованих з ними варіаційних нерівностей. Для нелінійних еліптичних рівнянь зі змінними показниками нелінійності (які можуть містити лінійні рівняння), а також для варіаційних нерівностей, асоційованих з цими рівняннями, встановлено однозначну розв'язність відповідних задач при певних припущеннях на поведінку розв'язку та зростання вихідних даних на нескінченності. Також отримано три класи рівнянь: квазілінійні рівняння та системи другого порядку, анізотропні рівняння та системи другого порядку та квазілінійні рівняння вищих порядків, крайові задачі для яких однозначно розв'язні без будь-яких умов на нескінченності. Крім того, доведена неперервна залежність розв'язків досліджуваних задач від вихідних даних (коефіцієнтів, вільних членів та граничних функцій). Аналогічні результати отримані для нелінійних варіаційних нерівностей.

Ключові слова: крайова задача, нелінійне еліптичне рівняння, необмежена область, змінні показники нелінійності, однозначна розв'язність, узагальнений анізотропний простір Лебега-Соболєва, варіаційні нерівності.

Annotation

Domanska O.V. The problems for static equations and inequalities with variable indices of nonlinearity. - Manuscript.

The thesis for Candidate of Sciences (Physics and Mathematics) degree (Ph. D), specialization 01.01.02 - Differential Equations. Ivan Franko Lviv National University. Lviv, 2008.

Thesis is devoted to investigation of well-posedness of boundary problems for nonlinear elliptic equations given in unbounded domains with variable indices of nonlinearity and to variational inequalities associated with such equations. We established the one-valued solvability of boundary problems for nonlinear elliptic equations with variable indices of nonlinearity (including linear ones) and variational inequalities associated with such equations under some conditions on solution's behaviour and initial data's growth at infinity. We also obtained three classes of equations (second order quasilinear equations and systems, second order anisotropic equations and systems, higher order quasilinear equations) such that the boundary problems for them are one-valued solvable without restrictions at infinity. Moreover, we prove the continuous dependence of solutions to investigated problems on initial data (coefficients, free term and boundary function). Similar results are obtained for variational inequalities.

Key words: boundary problem, nonlinear elliptic equation, unbounded domain, variable indices of nonlinearity, one-valued solvability, Lebesgue-Sobolev general anisotropic space, variational inequalities.

Аннотация

Доманская А.В. Задачи для стационарных уравнений и неравенств с переменными показателями нелинейности. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2008.

Диссертация посвящена исследованию корректности краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений в неограниченных областях с переменными показателями нелинейности, а также ассоциированных с ними вариационных неравенств.

Найдены условия существования единственного решения краевых задач для нелинейных эллиптических вариационных неравенств (содержащих, соответственно, линейные уравнения и неравенства) в неограниченных квазицилиндрических областях. Среди этих условий ? условия на поведение решения и исходных данных на бесконечности. При этом используется комбинация метода, который базируется на аналоге принципа Сен-Венана и метода монотонности.

Исследованы краевые задачи для квазилинейных эллиптических уравнений и их систем второго порядка, а также системы квазилинейных эллиптических вариационных неравенств второго порядка в неограниченных областях, которые имеют единственное решение в классах функций с произвольным поведением на бесконечности и при этом исходные данные растут как угодно быстро на бесконечности. С помощью метода Галеркина доказывается разрешимость таких задач в ограниченных областях, а на основе метода монотонности осуществляется предельный переход к бесконечности. Доказана непрерывная зависимость решений таких задач от исходных данных (свободного члена, коэффициентов и граничных функций).

Также установлена такого типа корректность относительно краевых задач для эллиптических уравнений и их систем второго порядка, показатели нелинейности у которых относительно разных производных разные и переменные, а также для вариационных неравенств ассоциированных з такими уравнениями. Кроме того, изучены краевые задачи для квазилинейных эллиптических уравнений высших порядков, а также квазилинейные эллиптические вариационные неравенства высших порядков. Для этих задач доказаны существование единственного решения и непрерывная зависимость решения задачи от исходных данных без ограничений на поведение решения и исходных данных на бесконечности.

Ключевые слова: краевая задача, нелинейное эллиптическое уравнение, неограниченная область, переменные показатели нелинейности, однозначная разрешимость, обобщенное анизотропное пространство Лебега-Соболева, вариационные неравенства.

Размещено на Allbest.ru