Періодичні розв'язки різницевих рівнянь та їх властивості

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.02 - диференціальні рівняння

ПЕРІОДИЧНІ РОЗВ'ЯЗКИ РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

БОГАЙ Наталія Андріївна

Київ -2008

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

лінійний різницевий рівняння розв'язок

Актуальність теми. Різницеві рівняння однієї незалежної змінної відомі математикам більше 200 років. Довготривалий початковий період розвитку їх теорії характеризується великою кількістю праць, в яких було розроблено цілий ряд ефективних методів дослідження окремих класів різницевих рівнянь, що мали широкі практичні застосування в різних областях природознавства. Серед них почесне місце займають роботи таких видатних математиків, як Ейлер, Лагранж, Лаплас, Пуанкаре, Біркгоф.

Систематичне і детальне вивчення різницевих рівнянь починається, очевидно, після робіт Біркгофа, в яких були розроблені основи теорії лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом. Але особливо активний розвиток теорії різницевих рівнянь (перш за все рівнянь з дискретним аргументом) починається у 60-ті роки XX ст. у зв'язку з розвитком теорії імпульсних систем та широкими застосуваннями ЕОМ. Саме в ці роки різницеві рівняння знаходять широкі застосування в теорії автоматичного регулювання, автоматиці і телемеханіці, виділяється їх роль при описанні нелінійних явищ і процесів, що відбуваються в різноманітних реальних системах. Це, а також багатство і складність проблем, які виникли при їх дослідженні, стимулювало подальші дослідження різноманітних питань теорії різницевих рівнянь. При цьому все більше математиків вибирають такі рівняння в якості основного об'єкту дослідження. У результаті різкого зростання інтересу багатьох математиків до вивчення широких класів різницевих рівнянь, появилась велика кількість робіт, в яких вивчаються різноманітні питання самої теорії різницевих рівнянь. Серед них є, зокрема, ряд оригінальних статей і монографій Гельфонда О.О., Халаная А., Векслера Д., Митропольського Ю.О., Самойленка A.M., Мартинюка Д.І., Шарковського О.М., Майстренка Ю.Л., Романенко О.Ю., Agarwal R.P., Солдатова М.А., Миролюбова О.О., Слюсарчука В.Ю. та інших відомих математиків.

Не зважаючи на наявність великої кількості праць, що присвячені вивченню різницевих рівнянь, в сучасній їх теорії (особливо у випадку різницевих рівнянь з неперервним аргументом) є цілий ряд питань, які чекають свого дослідження. До них, зокрема, належать питання існування неперервних розв'язків широких класів різницевих рівнянь з неперервним аргументом і дослідження їх властивостей при t >, які мають важливе значення для подальшого розвитку теорії різницевих рівнянь. Саме ці питання і є основним об'єктом дослідження даної дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами, планами. Дослідження проводились у відділі диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України згідно плану науково-дослідних робіт за темами "Методи аналізу диференціальних, імпульсних та еволюційних рівнянь" (номер державної реєстрації 0198U001998) та "Теорія диференціальних рівнянь та нелінійних коливань" (номер державної реєстрації 0101U000526).

Мета і задачі дисертації. Об'єктом дослідження є різницеві рівняння з неперервним аргументом. Основною метою дослідження є:

– встановлення достатніх умов існування неперервних розв'язків систем лінійних і нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом;

– дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь;

– знаходження умов існування неперервних періодичних розв'язків систем різницевих рівнянь;

– дослідження асимптотичних властивостей неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом.

Методи дослідження. Використовуються основні методи теорії звичайних диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертації, які виносяться на захист, полягають в наступному:

– отримано достатні умови існування неперервних розв'язків систем лінійних і нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом і запізненнями;

– досліджено структуру множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом;

– встановлено достатні умови існування і єдиності неперервних періодичних розв'язків систем лінійних і нелінійних різницевих рівнянь та досліджено їх властивості;

– доведено існування глобальних розв'язків систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом і запізненнями;

– досліджено асимптотичні властивості неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом.

Теоретична та практична цінність. Дисертація має теоретичний характер. Одержані в ній результати розвивають і доповнюють результати робіт багатьох математиків, в яких вивчались подібні питання для різницевих рівнянь з неперервним аргументом. Вони сприятимуть подальшому розвитку теорії різницевих рівнянь і можуть бути використані при дослідженні задач радіофізики, теорії керування, біології та інших галузей науки і техніки.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. Постановка задач та визначення загального плану досліджень належать науковому керівникові Г.П. Пелюху.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на наступних конференціях та семінарах:

– Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (м. Київ, 2005);

– Міжнародній науковій конференції "Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування" (м. Ужгород, 2006);

– Міжнародній науковій конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (м. Чернівці, 2006);

– Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (м. Дрогобич, 2007);

– наукових семінарах відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 9 роботах, з яких 5 у спеціалізованих фахових журналах, 4 в збірниках тез наукових конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 66 найменувань. Повний обсяг роботи складає 120 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовується актуальність розглядуваних в дисертації задач, формулюються основні результати роботи і вказується на їх значення для подальшого розвитку теорії різницевих рівнянь.

В першому розділі дисертації розглядаються системи лінійних різницевих рівнянь із неперервним аргументом і запізненнями. При цьому основна увага звертається на дослідження питань існування неперервних розв'язків.

Теорема 1.1.1. Нехай всі елементи матриць А(t), В(t) і вектора F(t) є неперервними при функціями. Тоді система рівнянь (1.1.1) має сім'ю неперервних при розв'язків, яка залежить від двох довільних, неперервних при вектор-функцій, що задовольняють умов

Теорема 1.2.1. Нехай виконуються умови теореми 1.1.1 і всі елементи матриць A(t), В(t) і вектора F(t) є N - періодичними (N - ціле додатне число) функціями, а довільні, неперервні при вектор-функції задовольняють умови (1.1.2) і є розв'язками системи рівнянь

Тоді система рівнянь (1.1.1) має сім'ю неперервних при, N - періодичних розв'язків.

Теорема 1.2.3. Нехай виконуються умови теореми 1.2.1 і нерівність

Тоді система рівнянь (1.1.1) має єдиний неперервний при, N - періодичний розв'язок x(t).

Тут також досліджуються питання існування неперервних і неперервних N - періодичних (N - ціле додатне число) розв'язків. Крім цього, в підрозділі 1.3 вивчається структура множини неперервних розв'язків таких систем рівнянь і пропонується один підхід до побудови загального неперервного розв'язку. При цьому доведені наступні теореми.

Теорема 1.3.1. Якщо всі елементи матриць, і вектора F(t) є неперервними при функціями, то система рівнянь (1.3.1) має сім'ю неперервних при розв'язків, яка залежить від довільних, неперервних при, вектор-функцій, що задовольняють умовам

Якщо виконуються умови теореми 1.3.1 і,, де матриця має вигляд, то досліджено структуру множини неперервних розв'язків системи рівнянь (1.3.1) (теорема 1.3.2). Більше цього, при виконанні вказаних вище умов, в підрозділі 1.3 запропоновано один підхід до побудови загального неперервного розв'язку таких систем рівнянь.

Теорема 1.4.1. Якщо виконуються умови теореми 1.3.1 і всі елементи матриць, і вектора F(t) є N - періодичними функціями (N - ціле додатне число) і при всіх, де

Е - одинична - матриця, то система рівнянь (1.3.1) має єдиний неперервний, N - періодичний розв'язок.

Отримані при цьому результати стосуються дослідження питання існування неперервних, неперервних - періодичних розв'язків таких систем. Серед них відмітимо наступні теореми.

Теорема 1.4.3. Нехай всі елементи матриць, і вектора F(t) є неперервними T - періодичними функціями (T - ціле додатне число) і виконуються умови:

Теорема 1.4.4. Нехай матриця є постійною, всі елементи матриць, вектора F(t) є неперервними T - періодичними функціями (T - довільне додатне число) і виконуються умови:

Другий розділ дисертації присвячений дослідженню систем нелінійних різницевих рівнянь із неперервним аргументом і запізненнями. Одержані тут результати стосуються вивчення питань існування неперервних, періодичних і глобальних розв'язків таких систем рівнянь. Зокрема, в підрозділі 2.1 при дослідженні питання про існування неперервних при розв'язків системи рівнянь

Теорема 2.1.1. Якщо всі елементи вектора є неперервними при функціями, то система рівнянь (2.1.1) має сім'ю неперервних при розв'язків, яка залежить від довільних, неперервних при вектор-функцій, що задовольняють умовам

Неперервні періодичні розв'язки систем різницевих рівнянь з неперервним аргументом займають особливе місце в теорії таких рівнянь. В силу цього основною метою другого підрозділу є встановлення достатніх умов існування і єдиності неперервних, періодичних розв'язків системи рівнянь (2.1.1) та дослідження їх властивостей.

Теорема 2.2.1. Нехай виконуються наступні умови

1) вектор-функція є неперервною при і N - періодичною відносно t;

2) вектор-функція задовольняє умові Ліпшіца

Тоді система рівнянь (2.1.1) має єдиний неперервний - періодичний розв'язок.

Теорема 2.2.5. Якщо вектор-функція є неперервною відносно всіх своїх змінних, - періодичною по і задовольняє умові Ліпшіца, то система рівнянь (2.2.20) має єдиний неперервний - періодичний розв'язок.

Теорема 2.3.1. Нехай виконуються умови

власні значення , матриці такі, що ;

Тоді при достатньо малому існує єдиний неперервний і обмежений при розв'язок системи рівнянь (2.3.1).

В останні два десятиріччя помітно активізувались дослідження різноманітних питань якісної теорії різницевих рівнянь. Особливо це стосується вивчення асимптотичних властивостей розв'язків таких рівнянь. Саме асимптотичні властивості неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом є основною метою дослідження третього розділу дисертації.

Теорема 3.1.1. Якщо виконуються умови 1) - 3), то система рівнянь (3.1.1) має сім'ю де - довільна неперервна 1-періодична вектор-функція, неперервних розв'язків, що задовольняють умові.

Теорема 3.1.2. Якщо виконуються умови 1) - 3) і - довільний неперервний і обмежений при розв'язок системи рівнянь (3.1.1), то існує неперервна при , 1-періодична вектор-функція така, що при виконується співвідношення

Теорема 3.3.1. Нехай виконуються умови:

1) існують неперервні, невід'ємні при функції такі, що мають місце співвідношення

2) ряди рівномірно збігаються при всіх і при .

Теорема 3.3.2. Нехай виконуються умови теореми 3.3.1. Тоді система рівнянь (3.3.1) має сім'ю неперервних і обмежених при розв'язків, які задовольняють умові (3.3.2).

Зауважимо, що якщо мають місце теореми 3.3.1, 3.3.2, то говорять, що система рівнянь (3.3.1) має неперервний при, 1-періодичний асимптотичний стан рівноваги.

Наявність у системи рівнянь (3.3.1) неперервного при , 1-періодичного асимптотичного стану рівноваги достатньо повно характеризує структуру множини неперервних і обмежених при розв'язків системи рівнянь (3.3.1).

ВИСНОВКИ

В дисертації вивчаються питання існування неперервних, неперервних періодичних розв'язків систем лінійних і нелінійних різницевих рівнянь із неперервним аргументом і запізненнями. При цьому отримані такі результати:

– отримано достатні умови існування неперервних розв'язків систем лінійних і нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом і запізненнями;

– досліджено структуру множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом;

– встановлено достатні умови існування і єдиності неперервних періодичних розв'язків систем лінійних і нелінійних різницевих рівнянь та досліджено їх властивості;

– доведено існування глобальних розв'язків систем нелінійних різницевих рівнянь із неперервним аргументом і запізненнями;

– досліджено асимптотичні властивості неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Пелюх Г.П., Богай Н.А. Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом // Нелінійні коливання. - 2005. - Т.8, №3. - С. 351-359.

2. Пелюх Г.П., Богай Н.А. Про неперервні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом // Доповіді НАН України. - 2006. - №3. - С. 17-21.

3. Пелюх Г.П., Богай Н.А. Про асимптотично періодичні розв'язки систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом // Доповіді НАН України. - 2006. - №11. - С. 19-22.

4. Богай Н.А. Неперервні розв'язки систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом і їх властивості // Нелінійні коливання. - 2007. - Т.10, №2. - С. 177-183.

5. Богай Н.А. Глобальні розв'язки систем нелінійних різницевих рівнянь і їх властивості // Нелінійні коливання. - 2007. - Т.10, № 3. - С. 291-297.

6. Пелюх Г.П., Богай Н.А. Про структуру множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом // Міжнародна конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування". - Київ, 2005. Тези доп. конф. - С. 82.

7. Богай Н.А. Властивості неперервних розв'язків систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом // Міжнародна наукова конференція "Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування". - Ужгород, 2006. Тези доп. конф. - С. 12-13.

8. Богай Н.А. Про глобальні розв'язки нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом // Міжнародна наукова конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування".- Чернівці, 2006. Тези доп. конф. - С. 15.

9. Богай Н.А. Асимптотичні властивості розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька.- Дрогобич, 2007. Тези доп. конф. - С. 32.

Размещено на Allbest.ru