Лінійні стаціонарні дисипативні системи розсіяння з Пк-просторами станів

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.9, 717.432

01.01.01- математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЛІНІЙНІ СТАЦІОНАРНІ ДИСИПАТИВНІ СИСТЕМИ

РОЗСІЯННЯ З Pk-ПРОСТОРАМИ СТАНІВ

Сапрікін Сергій Михайлович

Одеса - 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Південноукраїнському державному педагогічному університеті ім. К.Д. Ушинського

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор, Аров Дамір Зямович, Південноукраїнський державний педагогічний університет, професор кафедри математичного аналізу

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор, Горбачук Валентина Іванівна, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь в частинних похідних;

кандидат фізико-математичних наук, доцент, Деркач Володимир Олександрович, Донецький національний університет МОН України, доцент кафедри функціонального аналізу

Провідна установа:

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна МОН України

Захист відбудеться "25" березня 2003р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий "21" лютого 2003р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

Анотації

Сапрікін С.М. Лінійні стаціонарні дисипативні системи розсіяння з -просторами станів. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Інститут математики НАН України, м. Київ, 2003 р.

В дисертації вивчаються дисипативні системи розсіяння з -просторами станів та їх передавальні функції. Доведено теореми про належність передавальних функцій таких систем до узагальнених класів Шура, зокрема, рівність кількості від'ємних квадратів передавальної функції мінімальної системи з від'ємним індексом простору станів. Доведено, що будь-яку голоморфну в точці z=0 функцію узагальненого класу Шура можна реалізувати як передавальну функцію мінімальної оптимальної та мінімальної - оптимальної систем.

Отримані результати застосовані до дослідження множини самоспряжених оборотних розв'язків з невід'ємним, окрім к власних значень, спектром для узагальнених операторних нерівностей Калмана-Якубовіча-Попова та Ріккаті. дисипативний самоспряжений шура

Встановлений двосторонній зв'язок між отриманими результатами про дисипативні системи розсіяння з -просторами станів та розв'язками аналітичної задачі вкладення функції класу Sк(U,Y).

Ключові слова: мінімальні дисипативні системи, оптимальні системи, узагальнені класи Шура, нерівність Калмана-Якубовіча-Попова, нерівність Ріккаті.

Saprikin S.M. Linear dissipative time-invariant scattering systems with state -spaces. - Manuscript. Thesis to apply for scientific degree of candidate of physics and mathematics science in speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Institute of mathematics of NAN of Ukraine, Kyiv, 2003.

Dissipative scattering systems with state -spaces and its transfer functions are investigated in the thesis. There was proved that transfer functions of such systems belong to the Generalized Shur class, in particular, for minimal systems the number of negative squares of the transfer function and the negative index of the state space are coincide. Existing of a minimal restriction of any dissipative scattering system was proved and among all the restrictions the two special ones was underlined - so called the first and the second minimal restrictions. The notions of optimal and *-optimal systems were introduced. There was proved that every given holomorphic at zero operator-function from the Generalized Shur class can be represented as a transfer function of the minimal optimal and minimal *-optimal systems. These systems are defined by the operator-function up to unitary equivalence. Both of them can be received as the first and the second minimal restriction respectively of the simple conservative realization of the given function. There was also proved that the minimal and *-optimal realization is the adjoint system to the minimal optimal realization.

Received results are applied for investigation of the set of selfadjoint invertible solutions with the nonnegative spectrum, except eigenvalues, for generalized Kalman-Yakubovich-Popov and Riccati inequalities. There were received the necessary and sufficient conditions for mentioned inequalities to have generalized selfadjoint invertible (not necessary bounded or boundedly invertible) solutions with the nonnegative spectrum, except eigenvalues. Under these conditions there was proved the existence of the maximal and minimal generalized solutions among certain subset of the generalized solutions.

Two-sided connection between received results about dissipative scattering systems with state -spaces and the solutions of the analytic problem of embedding the operator-function и(z) from Sк(U,Y) in an operator-function of the wider Generalized Shur classes Sк(U,YY0) with separable Hilbert spaces Y0. The description of all solutions of the problem was received. The existing of the maximal solution and its uniqueness up to left constant unitary multiplier beyond some normalization conditions were proved. A correspondence between solutions of the embedding problem for the operator-function и(z) and dissipative scattering realizations of и(z) are established. Beyond this correspondence optimal systems correspond to the maximal solutions.

Keywords: minimal dissipative systems, optimal systems, Generalized Shur classes, Kalman-Yakubovich-Popov inequality, Riccati inequality.

Саприкин С.М. Линейные стационарные диссипативные системы рассеяния с -пространствами состояний.- Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Институт математики НАН Украины, м. Киев, 2003 г.

В диссертации изучаются диссипативные системы рассеяния с -пространствами состояний и их передаточные функции. Доказаны теоремы о принадлежности функций таких систем обобщенным классам Шура, в частности, совпадение числа отрицательных квадратов передаточной функции минимальной системы с отрицательным индексом пространства состояний. Доказано, что произвольную голоморфную в точке z=0 функцию обобщенного класса Шура можно реализовать как передаточную функцию минимальной оптимальной и минимальной *-оптимальной систем.

Полученные результаты применены к исследованию множества самосопряженных обратимых решений с неотрицательным, кроме к собственных значений, спектром для обобщенных операторных неравенств Калмана-Якубовича-Попова и Риккати.

Установлена двусторонняя связь между полученными результатами о диссипативных системах рассеяния с -пространствами состояний и решениями аналитической задачи вложения функции класса Sк(U,Y).

Ключевые слова: минимальные диссипативные системы, оптимальные системы, обобщенные классы Шура, неравенство Калмана-Якубовича-Попова, неравенство Риккати.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В останні десятиліття при вивченні неунітарних операторів істотну роль відіграє поняття характеристичної функції лінійного оператора. Вперше поняття характеристичної функції оператора з'явилось в 40-х роках в роботах М.С Лівшиця і в подальшому еволюціонувало як в роботах самого Лівшиця, так і в роботах його послідовників та учнів. В процесі удосконалення поняття характеристичної функції у 60-х роках в роботах М.С. Бродського та В.М. Бродського з'явились поняття операторних вузлів та їх характеристичних функцій, зокрема, унітарного вузла =[A, B, C, D; X, Y], основним оператором A якого є лінійний оператор стиску. Було доведено, що характеристичні оператор-функції унітарних вузлів утворюють клас Шура S(U,Y) голоморфних стискувальних в одиничному колі оператор-функцій. Б. Секефальві-Надь та Ч. Фояш незалежно впровадили поняття характеристичної функції оператора стиску в гільбертовому просторі, користуючись дилатацією цього оператора. По суті, характеристичні функції оператора стиску за Б. С.-Надем та Ч. Фояшем є характеристичними функціями спеціальних унітарних вузлів, побудованих за цим оператором. О.В. Кужель запропонував поняття характеристичної функції для обмеженого оборотного оператора T, що діє у просторі з індефінітною метрикою, з властивістю dim(I-T*T)<, а згодом для довільного обмеженого оператора. Остання у випадку оператора стиску відрізняється лише знаком від характеристичної функції за Б. С.-Надем та Ч. Фояшем.

У 80-х роках було встановлено зв'язок унітарних вузлів з консервативними лінійними стаціонарними динамічними системами розсіяння з дискретним часом. Передавальні функції таких систем є характеристичними функціями відповідних вузлів. Ці функції носять фізичний зміст матриць розсіяння: вони збігаються з матрицями розсіяння відповідної схеми розсіяння Лакса-Філліпса. Зв'язок теорії Лакса-Філліпса з теорією характеристичних функцій стисків відображений в роботах Д.З. Арова та В.М. Адамяна. З подання Р. Калмана велика увага приділялась мінімальним лінійним системам. Мінімальним дисипативним лінійним системам з дискретним часом в гільбертових просторах та їх застосуванням присвячений ряд робіт Д.З. Арова, М.А Нудельмана, М.А. Каашука та Д.Р. Піка.

Характеристичні функції використовувались при дослідженні різноманітних властивостей операторів, в теорії прогнозування випадкових процесів, теорії керування, теорії розсіяння та ін.

В той же час, починаючи з робіт Л.С. Понтрягіна, ведеться дослідження просторів з індефінітною метрикою та операторів в них, а також унітарних операторних вузлів у просторах Крейна і Понтрягіна. Характеристичні оператор-функції унітарних вузлів у просторах Понтрягіна утворюють підклас к(U,Y) голоморфних в точці z=0 оператор-функцій узагальненого класу Шура Sк(U,Y). Теорія розсіяння Лакса-Філліпса у просторах Понтрягіна розглядалась в роботах С.О. Кужеля, який також, по суті, запровадив поняття характеристичної функції подвійно стискувального оператора в просторі Крейна.

Були побудовані функціональні моделі простих унітарних та деяких інших вузлів у просторах як Гільберта, так і Понтрягіна. Ці моделі наведено в роботах М.С Лівшиця, М.С. Бродського, Л. де Бранжа, Дж. Ровняка, Б. С.-Надя і Ч. Фояша та їх послідовників.

Протягом останнього десятиріччя Г. Лангер, Дж. Ровняк, Д. Алпай, А. Дііксма, Х. де Сноо, М. Дричел та інші ведуть активні дослідження унітарних операторних вузлів та їх характеристичних функцій (або, що те ж саме, консервативних систем розсіяння та їх передавальних функцій) в просторах Понтрягіна і Крейна. Природним продовженням цих досліджень є дослідження дисипативних систем розсіяння з -простором станів та їх передавальних функцій.

Мета роботи - розвиток теорії мінімальних дисипативних систем розсіяння з дискретним часом з -простором станів, зокрема, оптимальних мінімальних та *-оптимальних мінімальних систем, а також застосування отриманих результатів до аналітичних задач вкладення, задач теорії оптимального керування, а саме, дослідження узагальнених розв'язків операторних нерівностей Калмана-Якубовіча-Попова та Ріккаті.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації отримані такі основні нові результати.

Доведено, що у довільної дисипативної системи розсіяння з простором станів класу рк існує консервативна дилатація така, що ії простір станів належить тому самому класу рк.

Доведено, що передавальна функція довільної дисипативної системи розсіяння У=(A,B,C,D;X,U,Y;к) належить до узагальненого класу Шура S (U,Y) з деяким к0? к.

Доведено, що передавальна функція мінімальної дисипативної системи розсіяння У=(A,B,C,D;X,U,Y;к) належить до узагальненого класу Шура Sк(U,Y).

Доведено, що у довільної дисипативної системи розсіяння У=(A,B,C,D;X,U,Y;к), передавальна функція якої иУ(z) к(U,Y), існує звуження, яке є мінімальною дисипативною системою розсіяння.

Доведено, що для довільної оператор-функції иУ(z) к(U,Y) існують та єдині з точністю до унітарної еквівалентності мінімальна оптимальна та мінімальна *-оптимальна дисипативні системи розсіяння, що є реалізаціями и(z).

Досліджена аналітична задача вкладення для довільної оператор-функції и(z) Sк(U,Y): отриманий опис всіх розв'язків, а також доведено, що серед розв'язків цієї задачі існує максимальний.

Встановлено двосторонній зв'язок розв'язків аналітичної задачі вкладення для довільної оператор-функції иУ(z) к(U,Y) із дисипативними реалізаціями цієї оператор-функції, при якому максимальним розв'язкам відповідають оптимальні системи.

Знайдено необхідні та достатні умови існування узагальнених самоспряжених оборотних (можливо, необмежено оборотних) з невід'ємним, окрім к власних значень, спектром розв'язків нерівностей Калмана-Якубовіча-Попова та Ріккаті.

Доведено, що якщо множина узагальнених розв'язків нерівностей Калмана-Якубовіча-Попова та Ріккаті непорожня, то в певній непорожній підмножині узагальнених розв'язків існують максимальний та мінімальний узагальнені розв'язки.

Особистий внесок здобувача. Результати, зазначені в пунктах 1-5 та 8-9, отримані здобувачем самостійно, а результати пунктів 6 та 7 - у співавторстві з науковим керівником Д.З. Аровим. Отримані здобувачем результати щодо дисипативних систем розсіяння були застосовані ним до розв'язання аналітичної проблеми вкладення (точне формулювання наведене в четвертому розділі), співавторові ж належать зворотні результати.

Практичне та теоретичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути застосовані:

· в теорії стискувальних операторів у просторах Понтрягіна;

· в теорії керування при розв'язанні проблем оптимального керування, питаннях абсолютної стійкості автоматичного регулювання систем з нелінійним зворотним зв'язком;

· в теорії мероморфних оператор-функцій, зокрема при дослідженні властивостей функцій узагальненого класу Шура.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на Міжнародній конференції з функціонального аналізу (м. Київ 2001 р.), Міжнародній конференції "Функціональний аналіз та його застосування" (м. Львів, 2002 р.), Київському міському семінарі з функціонального аналізу (2002 р., керівники - академік НАН України Ю.М. Березанський, член-корреспондент НАН України М.Л. Горбачук), а також неодноразово доповідались на Одеському міському семінарі з функціонального аналізу (керівник проф. Аров Д.З.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 4-х роботах у виданнях, включених у перелік ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із списку позначень та умовних скорочень, вступу, п'яти розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації - 106 сторінок. Список використаних джерел займає 5 сторінок і включає 47 найменувань.

Основний зміст роботи

Всі теореми автореферату нумеруються у відповідності з їх нумерацією в тексті дисертації.

У першому розділі наведено стислу історію розвитку теорії просторів з індефінітною метрикою та лінійних операторів в них, а також деякі відомі результати, що стосуються просторів з індефінітною метрикою, операторів, що діють у просторах Понтрягіна, та узагальнених класів Шура Sк(U,Y), які були суттєво використані в дисертації.

Підрозділ 1.1 містить історію розвитку теорії просторів з індефінітною метрикою та лінійних операторів в них.

У підрозділі 1.2 зібрані необхідні означення та факти теорії просторів з індефінітною метрикою (зокрема, просторів Понтрягіна), теорії операторів та унітарних вузлів у цих просторах. Наведені у цьому підрозділі теореми можна знайти, наприклад, у монографіях Азізова Т.Я. та Иохвідова І.С. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой.- М.: Наука, 1986. - 352 с., Аплая Д., Дііксми А., Ровняка Дж., де Сноо Х. Aplay D., Dijksma A., Rovnyak J., de Snoo H. Shur functions, operator colligations and reproducing kernel Pontryagin spaces// Oper. theory: Adv. Appl. - Vol. 96.-Basel-Boston: Birkhauser. - 1997. - 229 p., Дрічела М., Ровняка Дж. Dritchel M.A., Rovnyak J. Operators on indefinite inner product spaces, Lectures on Operator Theory and its Applications// Fields Institute Monographs. - vol. 3.- Providence (RI, USA): Amer. Math. Soc.- 1996.- 86 p..

У підрозділі 1.3 наведено означення та властивості певних класів аналітичних або мероморфних в одиничному колі оператор-функцій.

Через L(M,N) будемо позначати лінійний простір неперервних лінійних операторів, що діють з M в N, де M та N - простори Гільберта або Понтрягіна.

Усюди надалі U та Y - сепарабельні гільбертові простори. Множина голоморфних стискувальних в одиничному колі K = { z: |z| < 1} оператор-функцій зі значеннями в L(U,Y) називається класом Шура і позначається S(U,Y).

Нехай оператор-функція и(z) мероморфна в K із значеннями в L(U,Y). Позначимо через ЩиK область голоморфності и(z). Побудуємо за оператор-функцією и(z) ядро Kи(z,w):=. Нехай - невід'ємне ціле число. Кажуть, що ядро Kи(z,w) має від'ємних квадратів, якщо виконані дві умови:

· для всіх n1, для всіх Щи та U самоспряжена матриця {(Kи(zj,zk)uk,uj)} має не більш, ніж від'ємних власних значень, враховуючи їх кратності;

· принаймні для одного n1 та деяких наборів Щ та U самоспряжена матриця {(Kи(zj,zk)uk,uj)} має рівно від'ємних власних значень, враховуючи їх кратності.

Узагальненим класом Шура Sк(U,Y) називають множину таких мероморфних в K оператор-функцій и(z) зі значеннями в L(U,Y), для яких ядро Kи(z,w) має рівно від'ємних квадратів. Важливим інструментом для вивчення властивостей оператор-функцій узагальненого класу Шура є наступний результат М.Г. Крейна та Г. Лангера:

Теорема 1.37. Наступні твердження еквівалентні:

и(z) належить до Sк(U,Y);

для и(z) має місце факторизація

и= иr,

де иr Sк(U,Y), brS(U,U) - двосторонньо внутрішня функція степеня за Мак-Міллану, яка не має з иr спільних правих внутрішніх дільників (права факторизація Крейна-Лангера);

для и(z) має місце факторизація

и = иl,

де иl Sк(U,Y), brS(Y,Y) - двосторонньо внутрішня функція степеня за Мак-Міллану, яка не має з иl спільних лівих внутрішніх дільників (ліва факторизація Крейна-Лангера).

З теореми 1.37 безпосередньо випливає важлива властивість оператор-функцій узагальненого класу Шура мати стискувальні граничні значення на одиничному колі

T = { z: |z| = 1}:

Пропозиція 1.38. Нехай и(z) належить Sк(U,Y). Тоді існують радіальні граничні значення в сильному розумінні оператор-функції и(z) майже всюди на T, и(т)L?(U,Y) та ||и(т)||?1 м.в. на T.

Підклас класу Sк(U,Y) голоморфних в точці z=0 оператор-функцій позначимо:= { и(z) Sк(U,Y): 0 Щи}.

У другому розділі наведено необхідні означення стосовно лінійних стаціонарних систем з дискретним часом з -просторами станів та доведено твердження, на яких базуються доведення основних результатів наступного розділу, котрі мають також самостійний інтерес.

В підрозділі 2.1 наводяться означення, що стосуються лінійних стаціонарних систем з дискретним часом та з -просторами станів.

Розглянемо довільну лінійну стаціонарну систему с дискретним часом де AL(X,X), BL(U,X), CL(X,Y), DL(U,Y), X- простір класу к, x(n)X, u(n)U, y(n)Y, n=0,1,2,… Таку систему будемо позначати У=(A,B,C,D;X,U,Y;к). Надалі замість слів "лінійна стаціонарна система з дискретним часом" будемо писати просто "система"; X називається простором станів системи, U и Y - просторами вхідних та вихідних даних відповідно.

Оператор-функція

иУ(z): = D + zC(IU - zA)-1B

називається передавальною функцією системи У.

Система У називається реалізацією функції и(z), якщо и(z)= иУ(z) у деякому околі точці z=0.

так, що

A=PX|X, B = PX, C=|X,

EE, E*E*, E={0}, *E* E*.

При цьому система У називається звуженням .

Припускається, що присутні у розкладі (4) компоненти E а E* регулярними підпросторами простору. При цьому, звичайно, E[]E* є простором Понтрягіна класу, так що ?к. Умова =к рівносильна тому, що E та E* - гільбертові підпростори простору.

Передавальні функції системи та її дилатації збігаються у деякому околі точці z=0.

Введемо наступні позначення для системи (A,B,C,D;X,U,Y;к):

Im(A|B):={ лінійна оболонка {AnBU}, n?0},

Ker (A|C):= KerCAn,

:=AnBU,

:= (A*)nC*Y,

де символом позначається замкнена лінійна оболонка відповідних лінеалів.

Система У називається керованою, якщо:=X, і спостережуваною, якщо:=X, простою, якщо =X.

Система називається мінімальною, якщо вона є водночас керованою та спостережуваною.

Зауважимо, що в теорії лінійних стаціонарних систем з дискретним часом і гільбертовим простором станів наведене означення еквівалентне наступному Аров Д.З. Пассивные линейные стационарные динамические системы // Сибирский математический журнал. - 1979. - Т. 20, №2. - С.211-228.: система називається мінімальною, якщо вона не є дилатацією жодної іншої системи. У випадку систем з -просторами станів ці означення вже не є еквівалентними: відповідний приклад наведено в підрозділі 2.5.

У підрозділі 2.2 розглядаються дисипативні та консервативні системи розсіяння.

Для системи У=(A,B,C,D;X,U,Y;к) чотириблочний оператор, визначений формулою

MУ=L(X[]U,X[]Y)

називається матрицею системи У.

Система У називається стискувальною (відповідно ізометричною, *-ізометричною, унітарною), якщо матриця системи MУ є -стискувальним (відповідно, -ізометричним, -*-ізометричним, -унітарним) оператором.

Стискувальні (унітарні) системи також називаються дисипативними (консервативними) системами розсіяння.

Умова дисипативності системи У еквівалентна тому, що при будь-яких n?0 і u(k)U, k=1,...,n, та x(0)X виконуються нерівності

||u(n)||2-||y(n)||2?[x(n+1),x(n+1)]X-[x(n),x(n)]X, (5)

де [,]X - індефінітний скалярний добуток в просторі X. Надалі [h,h]X будемо позначати через EX(h).

У випадку консервативної системи нерівність (5) треба замінити на рівність, і аналогічна рівність повинна виконуватись для спряженої системи У*= (A*,C*,B*,D*;X,Y,U;к). Символ "*" означає -спряження, якщо відповідний оператор діє у просторах, принаймні один з яких оснащений індефінітною метрикою, і звичайне спряження, якщо оператор діє в гільбертових просторах.

Консервативні системи розсіяння, ізометричні та *-ізометричні системи досліджувались багатьма математиками. Дисертація присвячена дослідженню дисипативних систем розсіяння.

Дві системи Уj= (Aj,Bj,Cj,Dj;Xj,Y,U;к), j=1,2, назвемо подібними, якщо

D1=D2

та існує неперервно оборотний оператор RL(X1,L2) такий, що

A2R=RA1, B2=RB1, C2R=C1.

Якщо, окрім того, оператор R є -унітарним, то ці системи називаються унітарно еквівалентними.

Якщо системи

Уj= (Aj,Bj,Cj,Dj;Xj,Y,U;к), j=1,2,

унітарно еквівалентні, то к1=к2. Але для подібних систем ця рівність може не виконуватись.

Теорема 2.57. Будь-яка дисипативна система розсіяння У=(A,B,C,D;X,U,Y;к) має консервативну дилатацію.

Теорема 2.59. Нехай У=(A,B,C,D;X,U,Y;к) - довільна дисипативна система розсіяння. Тоді иУ(z) (U,Y) для деякого ?к.

В дисертації далі розглядаються тільки такі дисипативні системи У=(A,B,C,D;X,U,Y;к), у яких иУ(z) (U,Y), тобто =к. Відомо, що таку властивість задовольняють прості унітарні, керовані ізометричні, спостережувальні *-ізометричні системи. У наступному підрозділі 2.3 доведено, що таку властивість задовольняють також мінімальні дисипативні системи:

Теорема 2.63. Якщо У=(A,B,C,D;X,U,Y;к) - мінімальна дисипативна система розсіяння, то иУ(z) (U,Y).

Підрозділ 2.4 присвячений слабко подібним системам.

Дві системи

Уj= (Aj,Bj,Cj,Dj;Xj,Y,U;к), j=1,2,

називаються слабко подібними, якщо

D1=D2

і існує замкнений оборотний (необов'язково неперервно оборотний) оператор R:X1>X2 зі щільною областю визначення domR та з щільним образом ranR такий, що

A1domRdomR, A2ranRranR, B1UdomR,

A2R=RA1|domR, B2=RB1, C2R=C1|domR.

Дві голоморфні в точці z=0 оператор-функції и1(z) та и2(z) називаються еквівалентними, якщо вони збігаються у деякому околі точці z=0.

Наступна теорема була відома у випадку систем із гільбертовим простором станів і знадобиться при доведенні результатів п'ятого розділу.

Теорема 2.66. Якщо мінімальні системи Уj= (Aj,Bj,Cj,Dj;Xj,Y,U;к), j=1,2 мають еквівалентні передавальні функції, то вони слабко подібні. Більш того, оператор R, який здійснює слабку подібність, може бути вибраний так, щоб він був замиканням свого звуження R|Im(A|B) на Im(A|B).

Зауважимо, що твердження, зворотне до першого твердження теореми 2.66, очевидне.

Підрозділи 2.5 та 2.6 присвячені відповідно першому та другому мінімальним звуженням довільної дисипативної системи розсіяння.

Теорема 2.68. Нехай У=(A,B,C,D;X,U,Y;к) - довільна дисипативна система розсіяння з передавальною функцією иУ(z)(U,Y). Нехай також

X1:= [], X2:=, X3:=[]?.

Тоді

X=X1[]X2[]X3,

Ця теорема говорить про те, що довільна дисипативна система розсіяння У=(A,B,C,D;X,U,Y;к) з передавальною функцією иУ(z) (U,Y) є дилатацією дисипативної системи розсіяння Уres,1=(A22,B2,C2,D;X2,U,Y;к). Остання система є мінімальною і називається першим мінімальним звуженням системи У=(A,B,C,D;X,U,Y;к). Тому будь-яка дисипативна система розсіяння У=(A,B,C,D;X,U,Y;к) з передавальною функцією иУ(z)(U,Y) є дилатацією мінімальної дисипативної системи розсіяння Уres,1. Друге мінімальне звуження Уres,2 може бути отримане як спряжена система до першого мінімального звуження системи У*, тобто Уres,2=((У*)res,1)*.

В третьому розділі, а саме, в підрозділі 3.1 доведено основний результат дисертації стосовно мінімальних оптимальних реалізацій довільної оператор-функції класу (U,Y). Результати цього розділу узагальнюють результати, отримані Д.З. Аровим, з випадку на випадок довільного цілого невід'ємного .

Нехай и(z) (U,Y). Дисипативна система розсіяння У0=(A0,B0,C0,D0;X0,U,Y;к) з передавальною функцією и(z) називається оптимальною, якщо для будь-якої іншої дисипативної системи розсіяння У=(A,B,C,D;X,U,Y;к) з передавальною функцією и(z), для довільних векторів u(n)U, n=0,1,2,..., для всіх N?1 виконується нерівність

E(A0nB0 u(N-n-1))?EX(AnBu(N-n-1)).

Теорема 3.76. Для довільної оператор-функції и(z) (U,Y) існує єдина з точністю до унітарної еквівалентності оптимальна мінімальна система У0=(A0,B0,C0,D0;X0,U,Y;к) з передавальною функцією и(z).

Виявляється, що такою системою буде перше мінімальне звуження простої консервативної реалізації оператор-функції и(z).

Підрозділ 3.2 присвячений *-оптимальним системам.

Нехай и(z)(U,Y). Дисипативна спостережувана система розсіяння У*=(A*,B*,C*,D*;X*,U,Y;к) з передавальною функцією и(z) називається *-оптимальною, якщо для будь-якої іншої спостережуваної дисипативної системи розсіяння У=(A,B,C,D;X,U,Y;к) з передавальною функцією и(z), для довільних векторів u(n)U, n=0,1,2,..., для всіх N?1 виконується нерівність

E(A*nB* u(N-n-1))?EX(AnBu(N-n-1)).

Теорема 3.80. Для довільної оператор-функції и(z)(U,Y) існує єдина з точністю до унітарної еквівалентності *-оптимальна мінімальна система У*=(A*,B*,C*,D*;X*,U,Y;к) з передавальною функцією и(z).

Теорему 3.80 можна довести аналогічно доведенню теореми 3.76, але в дисертації вона доведена за допомогою наступного результату.

Теорема 3.81. Система У *-оптимальна і мінімальна тоді й тільки тоді, коли спряжена система У* оптимальна і мінімальна.

Виявляється, що *-оптимальною і мінімальною системою буде друге мінімальне звуження простої консервативної реалізації оператор-функції и(z).

Четвертий розділ присвячений розв'язанню наступної аналітичної проблеми вкладення.

В підрозділі 4.1 формулюється задача вкладення EP(и,к):

для довільної функції и(z) узагальненого класу Шура Sк(U,Y) описати множину E(и,к) оператор-функцій ц

E(и,к)= ц: Sк(U,YYц),

де Yц - сепарабельні гільбертові простори.

Теорема 4.82. Нехай и(z) - оператор-функція із Sк(U,Y). В множині E(и,к) розв'язків задачі вкладення EP(и,к) існує максимальна оператор-функція ц0, тобто така оператор-функція, що для довільної оператор-функції з множини E(и,к) вірне співвідношення Щц і для всіх z має місце нерівність

(z)ц0(z)? ц*(z)ц (z).

Для деякого z0Щ, і така функція ц0=ци визначається оператор-функцією и з точністю до лівого унітарного множника. Множина E(и,к) всіх розв'язків задачі вкладення EP(и,к) описується формулою

ц=sци,

де sS(Y,Yц).

У випадку к=0 твердження теореми було відоме Аров Д.З. Устойчивые диссипативные линейные стационарные динамические системы рассеяния // Journal operator theory. - 1979. -№2. - С.95-126. і є наслідком відповідних результатів більш загальної задачі Сёкефальви-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве: Пер. с фр.- М.:Мир. - 1970.- 430 с., розділ V, пропозиція 4.2.

В підрозділі 4.2 наводиться доведення теореми 4.82, яке зводить задачу вкладення EP(и,к) до випадку к=0 за допомогою правої факторизації Крейна-Лангера: якщо и= иr - права факторизація Крейна-Лангера оператор-функції и, то оператор-функція ц буде розв'язком задачі вкладення EP(и,к) тоді й тільки тоді, коли ц=цrb для деякого розв'язку цrS(U,Y) задачі вкладення EP(и,0).

В підрозділі 4.3 розроблена процедура, що дозволяє при и(z)к(U,Y) за будь-яким розв'язком ц задачі EP(и,к) побудувати дисипативну реалізацію Уц оператор-функції и(z) і навпаки, за дисипативною реалізацією У оператор-функції и(z) будується певний розв'язок цУ задачі EP(и,к). Мають місце наступні твердження.

Наслідок 4.85. Нехай и - довільна оператор-функція з к(U,Y) і ц - довільний розв'язок задачі EP(и,к). Тоді розв'язок ц максимальний тоді й тільки тоді, коли Уц - оптимальна система.

Наслідок 4.86. Нехай и - довільна оператор-функція з к(U,Y) і У - дисипативна система розсіяння з передавальною функцією и. Тоді система У оптимальна тоді й тільки тоді, коли цУ - максимальний розв'язок задачі EP(и,к).

Ці два наслідки, з одного боку, дають альтернативне доведення теореми 3.76, а з іншого - альтернативне доведення першого твердження теореми 4.82, але лише у випадку и(z)к(U,Y). Загальний випадок и(z)Sк(U,Y) зводиться до цього заміною змінної.

П'ятий розділ присвячений узагальненим розв'язкам нерівностей Калмана-Якубовіча-Попова та Ріккаті. Результати цього розділу узагальнюють результати, отримані Д.З. Аровим, М.А. Каашуком та Д.Р. Піком, з випадку на випадок довільного цілого невід'ємного .

В підрозділі 5.1 наведена класична нерівність Калмана-Якубовіча-Попова.

В дисертації надано означення узагальнених розв'язків цієї нерівності та знайдені необхідні і достатні умови їх існування при умові мінімальності системи .

В підрозділі 5.2 визначений клас H обертаємих (необов'язково неперервно обертаємих) самоспряжених операторів, спектр яких лежить на невід'ємній дійсній осі, за винятком скінченого числа власних значень загальної кількості , враховуючи кратність.

Наступна лема дозволяє дати означення узагальнених розв'язків в класі H нерівності Калмана-Якубовича-Попова.

Лема 5.90. Оператор H: XX, що діє в сепарабельному гільбертовому просторі X належить до класу H тоді й тільки тоді, коли існує -простір X та такий щільно визначений замкнений оператор R: X X зі щільним образом та нульовим ядром, що H=R*R і R є замкненням свого звуження на domH. Оператор R визначається за H з точністю до лівого -унітарного множника.

В підрозділі 5.3 дається наступне означення: оператор H=R*R H називається узагальненим розв'язком нерівності Калмана-Якубовіча-Попова, якщо виконані наступні умови:

BUdomR

AxdomR для всіх xdomR

нерівність

qH(x,u)=[Rx,Rx] + (u,u) - [RAx,RAX] - (Cx,Cx) - [RBu,RAx] - (Du,Cx)- -[RAx,RBu]- (Cx,Du) - [RBu,RBu]- (Du,Du) ? 0

здійснюється для всіх xdomR та всіх uU.

Позначимо для мінімальної системи У через M множину всіх узагальнених розв'язків з H нерівності Калмана-Якубовича-Попова, а через - множину всіх таких узагальнених розв'язків H=R*RM, що R є замиканням свого звуження на Im(A|B). Введемо також частковий порядок в H наступним чином:

якщо H1=R1*R1 та H1=R2*R2

належать до H, то будемо писати H1? H2, якщо domR2 domR1 та [R1x,R1x]1?[R2x,R2x]2 для всіх xdomR2.

В підрозділі 5.4 доведено таку теорему.

Теорема 5.94. Нехай У=(A,B,C,D;X,U,Y) - мінімальна лінійна стаціонарна система з дискретним часом і гільбертовим простором станів. Для цієї системи M? тоді й тільки тоді, коли передавальна функція иУ еквівалентна деякій функції класу к(U,Y). Більш того, у цьому випадку множина теж не порожня і в ній є максимальний та мінімальний розв'язки H0 та H*, тобто такі H0, H*, що для всіх H виконується нерівність H0?H?H*.

В підрозділі 5.5 результати стосовно узагальнених розв'язків нерівності Калмана-Якубовіча-Попова застосовано до алгебраїчної нерівності Ріккаті

H-A*HA-C*C-(C*D+A*HB)(IU-D*D-B*HB)-1(D*C+B*HA)?0,а саме, оператор H=R*RH називається узагальненим розв'язком нерівності Ріккаті, якщо

BUdomR

AxdomR для всіх xdomR

дУ(H):=IU-D*D-(RB)*(RB)?0

(D*C+(RB)*(RA))XдH(U)

[Rx,Rx]-[RAx,RAx]-(Cx,Cx)?||д (H)(D*C+(RB)*(RA))x||2,

де д (H) - оператор, псевдообернений до д1/2 (H).

Виявляється, що множина узагальнених розв'язків нерівності Ріккаті збігається з множиною M узагальнених розв'язків нерівності Калмана-Якубовіча-Попова. Тому з теореми 5.94 випливає

Теорема 5.97. Нехай

У=(A,B,C,D;X,U,Y) -

довільна мінімальна лінійна стаціонарна система з дискретним часом і гільбертовим простором станів. Тоді множина узагальнених розв'язків нерівності Ріккаті M? тоді й тільки тоді, коли передавальна функція иУ еквівалентна деякій функції класу к(U,Y) . Більш того, у цьому випадку множина теж непорожня і в ній є максимальний та мінімальний розв'язки H0 та H*, тобто такі H0, H*, що для всіх H виконується нерівність H0?H?H*.

Висновки

Показано, що передавальна функція дисипативної лінійної стаціонарної системи розсіяння з дискретним часом з -простором станів належить класу (U,Y) з деяким к0?к.

Доведено, що передавальна функція мінімальної дисипативної системи розсіяння з дискретним часом з -простором станів належить до класу к(U,Y)

Отримані мінімальна оптимальна та мінімальна *-оптимальна дисипативні системи розсіяння із заданою передавальною функцією класу к(U,Y).

Отримані результати застосовано до дослідження множини самоспряжених оборотних розв'язків, з невід'ємним, окрім к власних чисел, спектром узагальнених операторних нерівностей Калмана-Якубовіча-Попова та Ріккаті.

Встановлений двосторонній зв'язок між отриманими результатами стосовно дисипативних систем розсіяння з -просторами станів та розв'язками певної аналітичної задачі вкладення функції класу Sк(U,Y).

Публікації автора за темою дисертації

Arov D.Z., Saprikin S.M. Maximal solutions for embedding problem for a Generalized Shur function and optimal dissipative scattering systems with Pontryagin state spaces // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2001. - Vol. 7, №4. - P. 69-80.

Саприкин С.М. Теория диссипативных линейных стационарных систем рассеяния с дискретным временем с -пространствами состояний // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2001. - Т. 282, Исследования по линейным операторам и теории функций №29. - С.192-215.

Саприкин С.М. Теория линейных стационарных пассивных систем рассеяния с пространствами состояний Понтрягина // Доп. Нац. Ак. наук України. 2002.- №7.- С. 30-34.

Saprikin S.M. Generalized invertible selfadjoint solutions of Kalman-Yakubovich-Popov inequality and Riccati inequality with finite negative spectrum // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2002. - Vol. 8, №3. - P. 72-84.

Размещено на Allbest.ru