Размещено на http://allbest.ru

Размещено на http://allbest.ru

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дискретно-неперервні крайові задачі для узагальнених квазідиференціальних рівнянь

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження реальних фізичних явищ і процесів, які враховують природну єдність дискретного й неперервного, приводить до необхідності створення адекватних математичних моделей. Багато зі згаданих моделей описуються диференціальними і квазідиференціальними рівняннями з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах.

У 60-х роках минулого століття в роботах І. С. Каца, М. Г. Крейна і Ф. Р. Гантмахера детально вивчались крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь другого й четвертого порядків, що описують відповідно вільні коливання струни та балки, які, крім неперервно розподіленої маси, несуть на собі зосереджені точкові маси.

Диференціальні рівняння такого типу, загалом, є некоректними, бо містять добутки узагальнених функцій на розривні, котрі (добутки), як відомо, не завжди існують у сенсі теорії узагальнених функцій. Використовуючи різні підходи до поняття розв'язку, важливий внесок у розвиток теорії узагальнених диференціальних та, пов'язаних з ними, інтегральних систем зроблено в роботах Ф. Аткінсона, Д. Векслера, Ю.В. Єгорова, С. Т. Заваліщина, Я. Курцвейля, Я. Лігези, Д. І. Мартинюка, Н. А. Перестюка, Ю. В. Покорного, Я. В. Радино, А. М. Самойленка, О. М. Сєсєкіна, В. Є. Слюсарчука, Т. Гільдебрандта, С. Швабіка та інших авторів.

В роботах Р. М. Тація та його учнів М. Ф. Стасюк, Б. Б. Пахолка, В. В. Кісілевича започатковано і розвинуто напрям у теорії узагальнених диференціальних рівнянь, для яких справджуються ефективні критерії коректності розв'язку. Розроблено основи теорії лінійних і квазілінійних систем з мірами у коефіцієнтах та вивчено елементи теорії стійкості таких систем. На основі розвитку концепції квазіпохідних та вивченні структури фундаментальної матриці побудована лінійна теорія скалярних і векторних квазідиференціальних рівнянь з коефіцієнтами-мірами і правими частинами - узагальненими похідними високих порядків від функцій локально обмеженої варіації. Для скалярних квазідиференціальних рівнянь парного порядку для одного класу крайових умов на скінченному проміжку отримано основні положення спектральної теорії.

Поряд з отриманими результатами залишились невивченими сингулярні крайові задачі для скалярних квазідиференціальних рівнянь непарного порядку, для рівнянь парного порядку з крайовими умовами загального вигляду, для систем квазідиференціальних рівнянь. Власне, ці задачі є предметом дослідження у дисертаційній роботі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження проведене в рамках плану наукової роботи кафедри будівельної механіки Національного університету “Львівська політехніка”.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є вивчення дискретно-неперервних крайових задач для узагальнених квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку у просторі вектор-функцій.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати такі задачі: 1) використовуючи відомі критерії, виділити класи коректних квазідиференціальних рівнянь і систем рівнянь довільного скінченного порядку з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах; 2) встановити умови існування розв'язків неоднорідних крайових задач для вказаних класів рівнянь і систем; 3) з'ясувати можливість розвинення “довільної” вектор-функції в ряд Фур'є за повною ортонормованою системою власних векторів; 4) здійснити граничний перехід у послідовності крайових задач, визначених на скінченному проміжку , з'ясувавши при цьому поведінку характеристичних та спектральних матриць вказаних задач.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано такі нові результати:

виділено класи коректних квазідиференціальних рівнянь і систем рівнянь довільного скінченного порядку з коефіцієнтами-мірами і правими частинами - узагальненими похідними високих порядків від функцій обмеженої варіації;

поширено на випадок векторних квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку і на випадок загальніших крайових умов відомі результати дослідження задач на власні значення для скалярних квазідиференціальних рівнянь парного порядку з коефіцієнтами-мірами; визначено порядок і рід розв'язків вказаних рівнянь як цілих функцій від спектрального параметра;

з допомогою запропонованого аналогу теорії Гільберта-Шмідта вперше отримано умови існування і побудовано зображення розв'язків неоднорідних крайових задач для систем диференціальних рівнянь першого порядку з мірами і для векторних квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах;

з'ясовано умови розвинення “довільної” вектор-функції в ряд Фур'є за повною ортонормованою системою власних векторів на скінченному проміжку; побудовано також формули обернення і рівність Парсеваля, що відповідають теоремі про розвинення для напівнескінченного інтервалу;

узагальнено теорію граничної точки і граничного круга Вейля на випадок систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку та квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з мірами у коефіцієнтах.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і є певним внеском у побудову теорії дискретно-неперервних крайових задач. Вони розширюють і доповнюють відомі результати у цьому напрямку та можуть бути використані при дослідженні математичних моделей реальних фізичних процесів і явищ дискретно-неперервного характеру: коливання і стійкість систем з дискретно-неперервним розподілом параметрів (зосереджені маси, моменти, узагальнені зовнішні зусилля і т.п.), теплопровідність тіл з точковими внутрішніми і зовнішніми джерелами тепла тощо.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних роботах [2-6, 8] науковому керівникові Р. М. Тацію належать постановки задач та огляди відомих результатів. В роботі [4] автору дисертації належать пункти 2 і 4, а співавторам М.Ф. Стасюк та В.В. Кісілевичу - пункт 3. У статті [5] автором дисертації проведено доведення теореми 1, сформульовано наслідок з неї та доведено теорему 2, співавтору М.Ф. Стасюк належить формулювання та ідея доведення теореми 1. В роботі [6] співавтором М.І. Копачем побудовано рекурентні співвідношення для визначення коефіцієнтів розвинення розв'язку розглянутої задачі в ряд за параметром, автором дисертації доведено теорему.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародній Боголюбівській конференції “Проблеми теоретичної та математичної фізики” (Київ, 4-6 жовтня 1999р.); на науковій конференції “Математика і механіка у Львівському університеті (історія і сучасні проблеми)” (Львів, 25-27 листопада 1999р.); на V Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів-Луцьк, 25-29 вересня 2000р.); на II всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 26-29 вересня 2000р.); на IX Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 16-19 травня 2002р.); на засіданнях Львівського міського семінару з диференціальних рівнянь (Львів, 1999-2002рр.); наукових семінарів кафедри обчислювальної математики і програмування та кафедри будівельної механіки НУ “Львівська політехніка” (Львів, 1998-2002рр.);

Публікації. За матеріалами проведених досліджень опубліковано 8 статей і тез конференцій. Серед публікацій 5 праць у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 120 найменувань (на 12 сторінках). Повний обсяг роботи становить 140 сторінок.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито суть і стан наукової проблеми, якій присвячене дисертаційне дослідження, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження.

У першому розділі окреслено основні етапи розвитку наукової думки за тематикою роботи, викладено загальну методику проведення дисертаційного дослідження і наведено деякі допоміжні відомості, що використовуються у наступних розділах.

Другий розділ присвячений дослідженню крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з мірами у коефіцієнтах і правих частинах.

У пункті 2.1.1 на відрізку розглядається неоднорідна крайова задача

, (1)

,(2)

де , - невідома вектор-функція,

- параметр, .

Припускається, що і матриця - неспадна на відрізку . Крім того, крайові матриці задовольняють умову , причому .

Під розв'язком диференціальної системи (1) розуміємо вектор-функцію з класу , що задовольняє рівняння (1) в сенсі теорії узагальнених функцій: .

Розв'язок існує у такому сенсі, якщо і тільки якщо для довільного виконуються умови коректності.

Задачу визначення розв'язку системи (1), що для деякого вектора v задовольняє крайові умови (2), називатимемо неоднорідною крайовою задачею. Відповідно задача на власні значення ставиться таким чином: знайти ті значення параметра , при яких однорідна система

У пункті 2.1.2 досліджуються властивості розв'язувального ядра задачі (1), (2), що має вигляд (4)

Теорема 2.2. Якщо і не є власними значеннями задачі (3), (2) то ядро за умови задовольняє резольвентне рівняння, а при - рівняння.

Нехай послідовність дійсних власних значень задачі (3), (2), - відповідна їй повна ортонормована (в тому сенсі, що ) система власних векторів

Теорема 2.3. Якщо не дійсне, то при та отримуємо, що (5)

У пункті 2.1.3 досліджуються умови розв'язності неоднорідної крайової задачі (1), (2) з допомогою методу, що базується на зведенні цієї задачі до еквівалентного навантаженого інтегрального рівняння типу Фредгольма-Стільтьєса.

Теорема 2.6. Нехай не збігається з жодним із власних значень задачі (3), (2). Тоді задача (1), (2) має єдиний розв'язок з класу , що зображається у формі Шмідта ,

до того ж ряд у правій частині є абсолютно і рівномірно збіжним на відрізку .

Якщо ж є власним значенням кратності , то неоднорідна задача (1), (2) має розв'язки якщо і тільки якщо (теорема 2.7) виконуються такі r умов:

У підрозділі 2.2 до розвинення (7) в ряд Фур'є за власними векторами, точніше до його еквіваленту - рівності Парсеваля, застосовано граничний перехід .

Найперше, у пункті 2.2.1 досліджується поведінка характеристичних матриць при , кожна з яких при фіксованих і належить до “геометричного місця”, яке можна розглядати у матричних термінах як аналог кола (теореми 2.8, 2.9).

Відповідний йому матричний круг при зростанні має характерну властивість містити в собі круги, що відповідають більшим значенням (теорема 2.10).

У пункті 2.2.2 з'ясовується гранична поведінка величин (8), (9), які можна переписати ще так:

Показано, що при фіксованому ці величини мають границі при , тому й матричний круг має границю. Можливими є такі два випадки: перетин кругів є кругом, або перетин кругів є точка. Перший випадок (“граничного круга”) має місце тоді, коли обидва радіуси відмінні від нуля, другий випадок (“граничної точки”) - коли один з них дорівнює нулеві.

Означення 2.1. Розв'язок системи (3) на інтервалі назвемо розв'язком з “інтегровним квадратом”. Встановлено, що у випадку граничного круга усі розв'язки системи (3) мають інтегровний квадрат на інтервалі .

Теорема 2.11. Нехай матриця має від'ємних і додатних власних значень. Тоді система (3) на інтервалі має принаймні лінійно незалежних розв'язків, що задовольняють умову (10), коли , і щонайменше таких розв'язків, коли .

У пункті 2.2.3 проведено розширення проміжку до інтервалу .

Теорема 2.14. Нехай вектор-функція інтегровна з квадратом у тому розумінні, що , а вектор-функція на інтервалі задовольняє рівняння за умови . Тоді існує спектральна матриця така, що для вектор-функції , яка перетворюється в нуль при достатньо великих , справджуються формули обернення та рівність типу Парсеваля .

Результат підрозділу 2.3 є ефективним засобом для розв'язання задач двох наступних розділів. На відрізку розглядається неоднорідна крайова задача У теоремі 2.15 з'ясовано умови, за яких крайова задача (11), (12) еквівалентна, задачі (1), (2). У третьому розділі результати попереднього розділу поширені на випадок векторних КДР парного порядку з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах.

У підрозділі 3.1 розглядається задача на власні значення

,(13)

,(14)

де , , - узагальнена матрична вага, - деякі числові матриці, для яких справджуються рівності (15)

- квазіпохідні

Крім того, вважаємо, що - неспадна матриця-функція і .

Рівняння (13) є коректним, бо з допомогою квазіпохідних (16) й на підставі припущень стосовно коефіцієнтів КДВ приводиться до коректної диференціальної системи з мірами:(17)

Означення 3.2. Під розв'язком КДР (13) розуміємо першу блокову компоненту вектор-розв'язку системи (17), що задовольняє його в сенсі теорії узагальнених функцій: .

Теорема 3.2. Усі власні значення задачі (13), (14) є дійсними й їх множина не має скінченної граничної точки . Власні вектор-функції , що відповідають різним власним значенням, ортогональні у тому розумінні.

Підрозділ 3.2 присвячений дослідженню неоднорідної крайової задачі для векторних КДР парного порядку з коефіцієнтами-мірами і правими частинами - узагальненими похідними високих порядків від функцій обмеженої варіації.

На відрізку розглядається неоднорідне векторне КДР

(19)

Теорема 3.4. Якщо не є власним значенням задачі (13), (14), то неоднорідна крайова задача (19), (14) має єдиний розв'язок з класу , що зображається у вигляді

де - матриця Гріна, яку побудовано в явному вигляді і досліджено її властивості (теорема 3.5).

У випадку, коли не збігається з жодним із власних значень задачі (13), (14), розв'язок задачі (19), (14), отримано (теорема 3.6) також у формі Шмідта, де ряд у правій частині збігається абсолютно і рівномірно на відрізку . Якщо ж є r-кратним власним значенням задачі (13), (14), то неоднорідна задача (19), (14) має розв'язки якщо і тільки якщо (теорема 3.7) виконуються такі r умов: .

Проблему розвинення вектор-функції на проміжку в ряд Фур'є за власними векторами задачі (13), (14) розв'язано у підрозділі 3.3.

Теорема 3.8. Нехай вектор-функція є абсолютно неперервною на відрізку , а вектор-функція задовольняє на цьому відрізку векторне КДР та крайові умови . Тоді ряд коефіцієнти якого обчислюються за формулами ,збігаючись на відрізку абсолютно і рівномірно, наближає функцію у такому розумінні:(23)

У підрозділі 3.4, зберігши фіксованим і крайову умову в точці , застосовано граничний перехід до аналогу рівності Парсеваля. Однак в цьому випадку замість розвинення в ряд (22) отримуємо інтегральне зображення вектор-функції (теорема 3.9). Це обумовлено, очевидно, тим, що спектр, крім дискретної, може містити також неперервну частину .

Нехай розмірність лінійного многовиду розв'язків КДР (13) з “інтегровним квадратом” на інтервалі .

Теорема 3.10. Для справджується оцінка . До того ж, якщо для деякого комплексного , то для всіх комплексних .

У четвертому розділі на основі результатів розділу 2 досліджено крайові задачі для векторних КДР непарного порядку з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах.

Підрозділ 4.1 присвячений вивченню задачі на власні значення (теореми 4.1- 4.3).

У підрозділі 4.2 вивчається неоднорідна крайова задача. Остання приводиться до задачі (11), (12), для якої на підставі теореми 2.15 можна використати результати підрозділу 2.1. Доведено існування та єдиність розв'язку неоднорідної задачі з простору , коли не є власним значенням; в інших випадках знайдено необхідні й достатні умови існування розв'язків (теореми 4.4-4.7).

У підрозділі 4.3 з'ясовано умови розвинення вектор-функції в ряд Фур'є за власними векторами на проміжку . При цьому встановлено також характер наближення функції та спосіб обчислення її коефіцієнтів Фур'є.

У підрозділі 4.4 побудовано формули обернення й рівність Парсеваля, що відповідають теоремі про розвинення на інтервалі (теореми 4.8, 4.9). Встановлено оцінки для кількості розв'язків з “інтегровним квадратом” на інтервалі (теорема 4.10).

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню дискретно-неперервних крайових задач для деяких класів диференціальних рівнянь і систем рівнянь з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах. У дисертації отримано такі результати:

досліджено задачі на власні значення для векторних квазідиференціальних рівнянь парного і непарного порядків з коефіцієнтами-мірами при загальних крайових умовах; визначено порядок і рід розв'язків як цілих функцій від спектрального параметра, що входить лінійним чином;

з допомогою запропонованого аналогу теорії Гільберта-Шмідта вивчено неоднорідні крайові задачі для систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з мірами і для векторних квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах. У випадку, коли спектральний параметр не збігається з жодним із власних значень доведено єдиність розв'язку, в інших випадках встановлено необхідні й достатні умови існування розв'язків;

отримано зображення розв'язків неоднорідних крайових задач в інтегральній формі (з допомогою конструктивно побудованої матриці Гріна) та у формі Шмідта. Досліджено властивості матриці Гріна;

з'ясовано умови розвинення “довільної” вектор-функції в ряд Фур'є за повною ортонормованою системою власних векторів на скінченному проміжку, встановлено характер наближення функції та спосіб обчислення її коефіцієнтів Фур'є; побудовано також формули обернення та рівність Парсеваля, що відповідають теоремі про розвинення для напівнескінченного інтервалу;

узагальнено теорію граничної точки і граничного круга Вейля на випадок систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку та квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з мірами у коефіцієнтах;

отримано двосторонні оцінки для розмірності лінійного многовиду розв'язків з "інтегровним квадратом" на інтервалі .

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

дискретнний неперервний квазідиференційний рівняння

1.Мазуренко В.В. Про звідність дискретно-неперервної крайової задачі до узагальненої схеми Аткінсона // Доповіді НАН України. - 2001. - №8. - С. 19-22.

2. Тацій Р.М., Мазуренко В.В. Дискретно-неперервні крайові задачі для квазідиференціальних рівнянь парного порядку // Математичні методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - 44, №1. - С. 43-53.

3. Тацій Р.М., Мазуренко В.В. Дискретно-неперервні крайові задачі для квазідиференціальних рівнянь непарного порядку // Математичні студії. - 2001. - Т. 16, №1. - C. 61-75.

4. Тацій Р.М., Стасюк М.Ф., Кісілевич В.В., Мазуренко В.В. Узагальнені дискретно-неперервні крайові задачі для векторного квазідиференціального рівняння четвертого порядку // Вісник НУ ”Львівська політехніка”: сер. Прикладна математика. - 2000. - №407. - С. 21-27;

5. Тацій Р.М., Стасюк М.Ф., Мазуренко В.В. Про порядок зростання розв'язків звичайного диференціального рівняння з узагальненими коефіцієнтами як функцій параметра // Вісник НУ ”Львівська політехніка”: сер. Прикладна математика. - 2000. - №411. - С. 311-317;

6. Тацій Р.М., Копач М.І., Мазуренко В.В. Про аналітичну залежність від параметра розв'язків узагальненого квазідиференціального рівняння другого порядку// Вісник Прикарпатського університету: Математика.Фізика.Хімія. - 1999. - Вип.2. - С. 3-6.

7. Мазуренко Віктор. Про коливання балок з дискретно-неперервним розподілом параметрів // Матеріали V Міжнародної наукової конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. - Т.2. - Львів: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача. - 2000. - С. 255-259.

Размещено на Allbest.ru