Математичне моделювання квазістаціонарних та нестаціонарних температурних полів

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ КВАЗІСТАЦІОНАРНИХ ТА НЕСТАЦІОНАРНИХ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛІВ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

КИРИЛАХА Наталія Григорівна

Дніпропетровськ - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі вищої математики Кременчуцького державного політехнічного університету Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Ляшенко Віктор Павлович, Кременчуцький державний політехнічний університет Міністерства освіти і науки України, професор кафедри вищої математики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Тихоненко Микола Якович, Одеський національний університет ім. І.І. Мечнікова Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри математичного забезпечення комп'ютерних систем

кандидат фізико-математичних наук, доцент Говоруха Володимир Борисович, Дніпропетровський національний університет Міністерства освіти і науки України, доцент кафедри обчислювальної математики та математичної кібернетики

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка кафедра моделювання складних систем

Захист відбудеться “ 16 “ січня 2004 року о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.09 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: пр. Карла Маркса, 35, корп.3, ауд 25, м. Дніпропетровськ, 49044.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: вул. Козакова, 8, м. Дніпропетровськ, 49050.

Автореферат розісланий “ 15 “ грудня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради К 08.051.09 В.А. Турчина

АНОТАЦІЇ

Кирилаха Н.Г. “Математичне моделювання квазістаціонарних та нестаціонарних температурних полів”. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Дніпропетровський національний університет. Дніпропетровськ, 2003.

Робота присвячена побудові та дослідженню математичних моделей температурних полів рухомих і нерухомих ізотропних та анізотропних середовищ, в яких діють внутрішні джерела тепла. З огляду на умови теплообміну, розглядаються моделі у вигляді нелінійних крайових задач для рівняння теплопровідності. Вперше запропонована математична модель індукційного нагрівання рухомого середовища у вигляді задачі на спряження двох циліндрів з умовою імпедансного типу. Вперше стосовно задач, що розглядаються, пропонується замість однієї або двох крайових умов застосовувати нелокальну інтегральну умову. Показано ефективність застосування такої умови в різних задачах. При розв'язанні нелінійних модельних задач застосовуються чисельні та чисельно-аналітичні методи, такі як метод зведення задачі до відповідного інтегрального рівняння, метод квадратурних формул, метод Роте, різницевий метод. Досліджується збіжність побудованих чисельних алгоритмів, доведені відповідні теореми.

Ключові слова: нелінійна математична модель, температурний розподіл, нелінійна крайова задача, умова імпедансного типу, нелокальна інтегральна умова, інтегральні рівняння, дискретизація, адаптивні алгоритми, різницева схема, збіжність.

Кирилаха Н.Г. “Математическое моделирование квазистационарных и нестационарных температурных полей”. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. Днепропетровский национальный университет. Днепропетровск, 2003.

Работа посвящена построению и исследованию математических моделей температурных полей движущихся и неподвижных изотропных и анизотропных сред, в которых действуют внутренние источники тепла. Поскольку рассматриваются высокотемпературные процессы, предлагаются модели в виде нелинейных краевых задач теплопроводности. Во всех моделях предполагается наличие функции источников, зависящей от температуры.

Впервые предложена математическая модель индукционного нагрева подвижной среды. В этом случае среда предполагается двухслойной, во внешнем слое которой действуют внутренние источники, а во внутреннем тепло распространяется за счет теплообмена с внешним слоем. Поэтому рассматривается задача на сопряжение двух цилиндров с условием импедансного типа. Температура на границах зоны нагрева может быть как задана, так и частично неизвестна. В таких случаях предложено вместо одного или двух краевых условий применять нелокальное интегральное условие, которое следует из закона сохранения энергии в зоне нагрева. Показана эффективность применения такого условия в разных задачах. Для решения нелинейных модельных задач применяются численные и численно- аналитические методы, такие как метод построения интегрального уравнения с последующим численным решением, метод квадратурных формул, метод Роте, разностный метод. При выборе метода решения полученного нелинейного интегрального уравнения учитываются особенности задачи. Исследуется сходимость алгоритмов, ориентированных на решение интегральных уравнений Гаммерштейна с экспоненциальными ядрами и степенными нелинейностями. Метод Роте (дискретизация по времени) применяется при исследовании нестационарной задачи с переменной скоростью. Такие задачи описывают переходные процессы, которые имеют место при запуске и остановке двигателя. Применение этого метода позволяет снять некоторые трудности, связанные с построением решений нелинейных задач. Исходная задача приводится к системе обыкновенных уравнений, которую возможно решить численными методами. Доказана теорема о сходимости построенного алгоритма. При решении многомерных нелинейных задач с переменными параметрами используется конечноразностный метод. Исследуются устойчивость и сходимость построенных разностных схем, получены оценки сходимости. По всем решениям были построены алгоритмы и проведены численные эксперименты.

Ключевые слова: нелинейная математическая модель, температурное распределение, нелинейная краевая задача, условие импедансного типа, нелокальное интегральное условие, интегральные уравнения, дискретизация, адаптивные алгоритмы, разностная схема, сходимость.

Kirilaha N.G. “Mathematical model operation of quasistationary and non-stationary temperature fields”. Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.05.02 - mathematical modeling and computing methods. The Dniepropetrovsk national university. Dniepropetrovsk, 2003.

The operation is devoted to build-up and examination of mathematical models of temperature fields propellent both fixed isotropic and anisotropics mediums, in which the interior radiants of heat work. In view of requirements of heat exchange, the models as quasilinear and nonlinear boundary value problems of a thermal conduction are considered. Mathematical model of induction heat of a relative frame medium as a problem on conjugation of two cylinders to a requirement of an impedance type for the first time is offered. For the first time concerning problems, which are considered, it is offered instead of one, or two boundary requirements to apply a nonlocal integrated requirement. The effectiveness of application of such requirement in different problems is shown. At a solution of nonlinear problems the numerical methods, such, as a method of build-up of the relevant integral equation, method of the quadrature formulas, method of the Rothe, difference method are applied . Are explored a stability and convergence of the constructed numerical algorithms, the relevant theorems are proved.

Key words: nonlinear mathematical model, temperature fields, a nonlinear boundary value problem, requirement of an impedance type, nonlocal integrated requirement, integral equations, discretisation, adaptive algorithms, the difference plans, convergence.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Для проектування надійно працюючих систем управління процесами термічної обробки в металургії, машинобудуванні та інших галузях потрібне ретельне дослідження температурних режимів. Безпосередній вимір температурного поля в рухомому середовищі вимагає проведення витратних, трудомістких експериментів та в багатьох випадках є неможливим. Одержати необхідну інформацію можна тільки розрахунковим шляхом, досліджуючи відповідні математичні моделі. Побудові математичних моделей температурних розподілів в різних умовах і їх аналізу присвячені роботи багатьох вчених: М.М. Беляєва, А.А. Березовського, Б.М. Бублика, В.С. Дейнеки, Ю.М. Коляна, І.І. Ляшка, Г.І. Марчука, Ю.А. Митропольського, Я.С. Підстригача, І.В. Сергієнка, В.В. Скопецького, В.Л. Рвачева, А.А. Рядна, А.М. Тихонова та інших.

Потреби науково-технічного прогресу ставлять нові, підвищені вимоги до точності та адекватності моделювання. Тому на сьогоднішній день залишається актуальним створення математичних моделей, що найбільш повно враховують основні закономірності фізичних процесів в реальних системах. Зокрема, при проектуванні пристроїв індукційного нагрівання виникає потреба розробки моделі на спряження двох середовищ з дією внутрішніх джерел в поверхневому шарі. При проектуванні установок для волочіння постає проблема визначення високотемпературного розподілу в середовищі, що рухається, з урахуванням змінних фізичних властивостей середовища.

В математичному плані вказані проблеми приводять до розгляду нелінійних початково-крайових задач для рівняння теплопровідності. При розробці чисельних або чисельно-аналітичних методів розв'язання таких задач постають питання їх теоретичного обґрунтування, доведення існування та збіжності наближених розв'язків.

При побудові моделі в умовах неповних або недостовірних даних про параметри процесу застосування крайових умов не завжди виправдане і не відповідає фізичному змісту задачі. В цьому разі доцільним є використання замість крайових умов нелокальних інтегральних умов. Такі умови виражають закон збереження енергії, тому моделі з їх використанням є більш фізично обґрунтованими і дозволяють врахувати взаємозв'язок усіх параметрів процесу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано на кафедрі вищої математики Кременчуцького державного політехнічного університету в межах індивідуального плану підготовки аспіранта. Вона пов'язана з науковими дослідженнями, що проводились на кафедрі, починаючи з 1995 року, за темами: “Розробка математичних моделей динаміки вільного тіла в системах надпровідної безконтактної левітації” (76В/02-ВМ, номер держреєстрації 0102U002630) і „Розробка чисельних та чисельно-аналітичних методів розв'язання крайових задач в металургії та електродинаміці” (103 B/03-BM, номер держреєстрації 0103U005002). Дослідження були викликані потребами металургійних підприємств промисловості України і регіону.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова та аналіз математичних моделей високотемпературного нагрівання внутрішніми джерелами тепла рухомих та нерухомих середовищ, розробка ефективних чисельних і чисельно-аналітичних методів розв'язання відповідних нелінійних крайових задач; проведення чисельних експериментів за отриманими розв'язками із застосуванням ЕОМ.

Поставлена мета визначає наступні основні задачі:

побудови та дослідження нелінійних математичних моделей процесів

високотемпературного нагрівання внутрішніми джерелами, щільність яких залежить від температури, рухомого середовища зі змінними теплофізичними характеристиками у вигляді нелінійних крайових задач для рівняння теплопровідності;

індукційного нагрівання рухомого середовища у вигляді задачі на спряження з дією внутрішніх джерел в поверхневому шарі;

нагрівання в умовах конвективного та радіаційного теплообміну нерухомих тривимірних осесиметричних середовищ з залежними від температури теплофізичними характеристиками у вигляді нелінійної параболічної початково-крайової задачі;

розробка та обґрунтування чисельних та чисельно - аналітичних методів та алгоритмів розв'язання нелінійних крайових задач теплопровідності, дослідження збіжності та отримання оцінок похибок наближених розв'язків;

застосування нелокальних інтегральних умов для визначення температурних розподілів при недостовірних або неповних даних;

розробка алгоритмів розв'язання задачі на спряження двох рухомих середовищ у випадках, коли задача поставлена з умовою імпедансного типу та з нелокальною інтегральною умовою;

чисельна реалізація побудованих алгоритмів на ЕОМ.

Об'єкт дослідження. Процеси високотемпературного нагрівання внутрішніми джерелами ізотропних та анізотропних середовищ зі складними умовами теплообміну на границях, математичне моделювання яких приводить до нелінійних початково-крайових задач для рівняння теплопровідності.

Предмет дослідження. Математичні моделі високотемпературного розподілу рухомих та нерухомих осесиметричних областей зі змінними теплофізичними параметрами та внутрішніми джерелами, щільність яких залежить від температури, можливості застосування нелокальної інтегральної умови та умови імпедансного типу, розробка та обґрунтування алгоритмів розв'язання відповідних задач.

Методи дослідження. Пошук аналітичних і чисельно-аналітичних розв'язків поставлених задач проводиться із застосуванням методів відокремлення змінних, інтегральних перетворень Фур'є, Ганкеля, зведення задачі до нелінійного інтегрального рівняння, методу квадратурних формул, ітераційних алгоритмів, різницевих методів, методу Роте.

Наукова новизна одержаних результатів. Побудовані нові, істотно удосконалені та досліджені існуючі математичні моделі високотемпературного розігріву рухомих та нерухомих середовищ, що достатньо повно відповідають реальним умовам протікання явища. У процесі дослідження автором одержано такі наукові результати:

вперше побудована модель індукційного нагрівання рухомого середовища у вигляді задачі на спряження двошарового рухомого циліндра з джерелами тепла, що діють в поверхневому шарі. Задача розв'язується з нелокальною інтегральною умовою та умовою імпедансного типу на границі середовищ;

дістала подальшого розвитку ідея використання нелокальної інтегральної умови; знайдені аналітичні і чисельні розв'язки задач з використанням цієї умови, проведені чисельні експерименти, показано, що застосування цієї умови дозволяє більш точно моделювати температурний розподіл і будувати модель в умовах невизначеності;

розроблена нова модель температурного розподілу при нагріванні внутрішніми джерелами рухомого середовища зі змінними теплофізичними характеристиками. Відповідна нелінійна параболічна крайова задача методом Роте зведена до системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, для якої сформульовані та доведені теореми існування, єдиності та збіжності розв'язків;

отримані оцінки похибок побудованих чисельних алгоритмів розв'язання нелінійних інтегральних рівнянь, до яких зведено нелінійні крайові задачі;

запропоновані і обґрунтовані нові адаптивні ітераційні методи розв'язання нелінійних інтегральних рівнянь, зокрема орієнтованих на розв'язок рівнянь типу Гаммерштейна з експонентними ядрами і степеневими нелінійностями;

побудовані нелінійні різницеві схеми для розв'язання модельних задач зі змінними параметрами і нелінійними крайовими умовами у випадку осесиметричних тривимірних областей, досліджено збіжність та визначено оцінки похибок різницевих розв'язків.

Практичне значення одержаних результатів. Побудовані в роботі моделі з нелокальними умовами можуть бути застосовані при побудові таких моделей фізичних процесів, в яких необхідно враховувати закони збереження енергії.

Розроблені адаптивні ітераційні алгоритми розв'язання нелінійних інтегральних рівнянь можуть бути застосовані до широкого класу інтегральних рівнянь зі степеневими нелінійностями.

Побудовані моделі та алгоритми використовуються при проектуванні автоматизованих систем управління технологічними процесами термообробки в чорній і кольоровій металургії та машинобудуванні. Так, за побудованими алгоритмами проведено розрахунки температурних полів для конкретних технологічних процесів виробництва дроту, прутків та штапиків для Світловодського казенного комбінату твердих сплавів і тугоплавких металів Міністерства промислової політики України. Отримані результати дозволяють розробляти програмне забезпечення для знаходження оптимальних параметрів процесу термічної обробки.

Особистий внесок здобувача. Постановка задач належить науковому керівнику, а всі інші результати належать здобувачеві. У працях, що написані у співавторстві з Ляшенком В.П., дисертанту належать: у [1, 3-9] - розв'язання поставленої задачі, складання програми для проведення чисельного дослідження побудованої математичної моделі, аналіз результатів; [10-12] - пошук метода розв'язання поставленої задачі, формулювання і доведення теорем про умови збіжності чисельних розв'язків, проведення чисельного дослідження побудованої математичної моделі за допомогою ЕОМ, аналіз результатів.

Апробація результатів дисертації. За результатами дисертації зроблено доповіді на Міжнародному симпозіумі “Методи дискретних особливостей у задачах математичної фізики” (МДОЗМФ-2000, Орел 2000 р., МДОЗМФ-2001 Херсон 2001р.), Всеукраїнській конференції з нелінійних проблем математичної фізики (Кременчук, 2000 р.), Міжнародній науково - технічній конференції “Проблеми створення нових машин і технологій” (Кременчук, 2001 р.), Міжнародній конференції “DYNAMICAL SYSTEM MODELING AND STABILITY INVESTIGATION” (Київський національний університет 2001 р. та 2003 р.), Міжнародній конференції по математичному моделюванню МКММ-2002 (Херсон 2002 р.), на Одеському міжвузівському науковому семінарі “Загальна теорія наближених методів”.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 12 наукових працях. З них 4 - у виданнях, затверджених ВАК України, 2 - тези доповідей на наукових конференціях.

Обсяг і структура роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 90 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 130 сторінок, містить 1 таблицю, 15 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі , зміст якого відповідає першій частині автореферату, подано загальну характеристику роботи.

У розділі 1 наведено стислий огляд літератури за темою дисертації, сформульовані задачі дисертаційного дослідження.

У п.1.1 проводиться аналіз досягнень і проблем математичного моделювання температурних розподілів в рухомих і нерухомих, ізотропних та анізотропних середовищах. Приведено значну кількість прикладів побудови моделей сучасними авторами. Зазначено, що в більшості робіт потужність джерел тепла розглядалась як стала величина або функція, що залежить від координат та часу. Нехтування залежністю джерел тепла від самої температури середовища приводить до значних похибок у випадках, коли ця залежність дійсно існує (процеси електронагріву, хімічні реакції тощо).

У п. 1.2 проводиться аналіз останніх робіт з чисельних методів дослідження лінійних та нелінійних задач математичної фізики. Зазначено, що найбільш доцільними і універсальними на даний момент є різницеві методи, метод скінчених елементів та метод зведення задачі до еквівалентного інтегрального рівняння з послідуючим чисельним розв'язанням останнього.

Огляд показав, що потребують подальших досліджень наступні напрямки: побудова моделей з урахуванням закону збереження енергії в зоні розігріву, застосування нових різновидів крайових умов, зокрема, умов імпедансного типу, побудова моделей високотемпературного розігріву рухомих середовищ з дією внутрішніх джерел, щільність яких залежить від температури. З урахуванням вищезазначеного сформульовано напрямок досліджень в даній роботі, який полягає в удосконаленні математичного моделювання високотемпературних процесів та методів розв'язання відповідних нелінійних задач.

У розділі 2 поставлено за мету побудова моделей нагрівання внутрішніми джерелами тепла рухомого середовища.

У п.2.1 проведено побудову нелокальної інтегральної умови. Такою умовою виражається закон збереження енергії в області. Тому за допомогою вказаного типу умов можливо будувати математичні моделі явища при неповній або недостовірній інформації.

Коли досліджується температурний розподіл в циліндричному середовищі, що рухається зі швидкістю , умова (1) приймає вигляд:

У п.2.2 на основі аналізу теплофізичних процесів, що відбуваються в середовищі під дією електричного струму, запропоновано розглядати математичні моделі у вигляді початково-крайових задач теплопровідності із функцією джерел, що залежить від температури. Оскільки робота присвячена моделюванню високотемпературних процесів, розглядаються нелінійні крайові умови. В загальному формулюванні враховується також і залежність теплофізичних параметрів від температури.

У п. 2.3 розглянуто процеси індукційного нагрівання. В силу того, що при нагріванні індукційним способом середовище одночасно нагрівається внутрішніми і зовнішніми джерелами тепла, запропоновано розглядати модель цього процесу у вигляді задачі на спряження двох циліндрів: зовнішнього - порожнистого і внутрішнього - суцільного. Зовнішній циліндр із товщиною стінки розігрівається внутрішніми джерелами тепла потужністю

а внутрішній - теплопровідністю від зовнішнього циліндра.

При постановці задачі на спряження двох циліндрів, коли в зовнішньому циліндрі товщиною діють внутрішні джерела тепла, на поверхні сполучення внутрішнього і зовнішнього циліндрів побудована крайова умова, що разом з нормальною похідною містить першу і другу дотичні похідні:

У розділі 3 ставиться за мету дослідження моделей нагрівання внутрішніми джерелами тепла середовища, що рухається через зону нагрівання.

У п.3.1 модель квазістаціонарного температурного поля зони нагрівання рухомого термічнотонкого середовища зведена, за допомогою оператора усереднення, до наступної крайової задачі для звичайного нелінійного диференціального рівняння:

У п. 3.2 задача (8)-(9) зведена до нелінійного інтегрального рівняння типу Гаммерштейна:

У п.3.3, з метою побудови оптимального алгоритму розв'язання рівняння (10), досліджується збіжність алгоритмів, орієнтованих на розв'язок інтегральних рівнянь Гаммерштейна з експонентними ядрами і степеневими нелінійностями вигляду:

Теорема 3.1. Якщо виконуються умови:

;

ядро має усереднений модуль неперервності , визначений для за формулою:

що прямує до нуля при : ;

функції - неперервні на прямокутнику , тобто , ;

функція , задана на , задовольняє по другій змінній умові Ліпшица з константою ,

тоді при дискретизації інтегрального рівняння (11) за допомогою квадратурної формули, на му кроці ітераційного процесу

Оскільки при дослідженні збіжності чисельного алгоритму розв'язку інтегрального рівняння було застосовано поняття усереднених модулів неперервності, то запропоновано використовувати їх для оцінки похибок чисельного інтегрування для розв'язків інтегральних рівнянь. Новим у цих оцінках є те, що вони встановлюються без додаткових обмежень на функції, що інтегруються, крім тих, які необхідні для застосування відповідної квадратурної формули. Порядок знайдених оцінок завжди є точним. Ці оцінки можна сформулювати як наслідки з теореми 1.

Означення 3.2. Усередненим модулем гладкості - порядку для обмеженої і вимірної функції , , називається функція

яка залежить від .

Наслідок 3.3. Для квадратурної формули Сімпсона має місце наступна оцінка похибки розв'язку інтегрального рівняння:

У п. 3.4 запропоновані та досліджені на збіжність два адаптивні ітераційні методи розв'язання інтегральних рівнянь Гаммерштейна, які враховують специфіку степеневої нелінійності, тобто адаптовані до такої нелінійності:

Теорема 3.2. Послідовність яка будується за схемою (14), збігається рівномірно до єдиного неперервного розв'язку рівняння (11) з лінійною швидкістю збіжності

Теорема 3.3. Послідовність , що будується при за схемою (15) збігається рівномірно до єдиного неперервного розв'язку рівняння (11) з квадратичною швидкістю збіжності

Розв'язок рівняння отримано методом квадратурних формул, за допомогою якого задача зведена до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь.

За побудованим алгоритмом розв'язання задачі (8)-(9) проведені чисельні експерименти з використанням ЕОМ. На рис.1 показано результати цих експериментів на прикладі процесу високошвидкісного нагрівання електричним струмом. Як бачимо, ігнорування нелінійної складової може привести до значних похибок в визначенні температурного розподілу.

У п.3.5 проведено подальший аналіз моделі (8)-(9). Зокрема, в реальних технологічних процесах значення температури на границі зони нагрівання, тобто при , не завжди відоме.

Тобто замінити крайову умову при нелокальною інтегральною умовою, яку можна отримати з (2) при допущеннях, що функція джерел лінійно залежить від температури. За отриманими в роботі розв'язками задачі (8),(18) проведені чисельні експерименти, результати яких наочно показують переваги застосування запропонованої умови.

У п. 3.6 будується математична модель температурного розподілу в середовищі в перехідний період, коли швидкість руху середовища через зону нагрівання змінюється від нуля до деякого заданого значення. Математична модель запропонована у вигляді нелінійної початково-крайової задачі, яка після переходу до безрозмірних координат та параметрів прийме вигляд:

У п.3.7 розв'язок задачі (19)-(21) побудовано методом Роте в просторі з нормою

.

Задача зведена до системи крайових задач

Для доведення теореми існування і збіжності чисельних розв'язків задачі (23)-(25) на кожному часовому шарі, ця задача зведена до лінійного інтегрального рівняння Фредгольма

Теорема 3.4. Якщо виконуються умови (22) і має місце співвідношення

,

то рівняння (26) має єдиний розв'язок при кожному , який може бути знайдено методом послідовних наближень.

Позначимо - точний розвязок задачі (19)-(21) при .

Теорема 3.5. При умовах обмеженості за нормою параметрів вихідної задачі (19)-(21) розвязки задачі (23)-(25) збігаються в просторі до розвязків вихідної задачі, і має місце наступна оцінка збіжності

Застосування методу Роте дозволяє зняти труднощі, пов'язані з побудовою розв'язків нелінійних багатовимірних задач, зменшити розмірність задачі. За отриманими розв'язками проведено чисельні експерименти.

Далі досліджуються задачі визначення температурного розподілу в двошаровому циліндрі з джерелами тепла, що діють у поверхневому шарі.

У п. 3.8 досліджується задача на спряження, яка з використанням умови імпедансного типу (7), після переходу до безрозмірних координат.

Після заміни ця задача за допомогою перетворення Фур'є зводиться до системи задач Коші для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. В просторі зображень розв'язки її мають вигляд

У п. 3.9 до задачі (28)-(30) застосовано нелокальну інтегральну умову. Це дозволило виключити дві крайові умови і звести задачу до наступної.

У розділі 4 розглядаються та досліджуються математичні моделі температурних розподілів в нерухомих середовищах, для яких застосування оператора усереднення приводить до розв'язків, які не описують температурний розподіл по радіусу. В той час як коливання температур в поперечному перерізі можуть бути значними. Тому для підвищення точності математичної моделі варто розглядати задачі для тривимірних областей та враховувати втрати тепла за рахунок випромінювання і змінний характер теплофізичних параметрів. Така модель буде мати вигляд нелінійної крайової задачі зі змінними параметрами

У п. 4.1 та 4.2 на першому етапі досліджень припускається, що область - осесиметрична, а теплофізичні параметри , , - сталі. В цьому випадку задача (35)-(36) допускає аналітичний розв'язок. Для їх побудови використовувалися інтегральні перетворення Фур'є і Ганкеля. У результаті в просторі зображень задачі зведені до звичайних диференціальних рівнянь. Результати чисельних розрахунків за отриманими розв'язками добре погоджуються з даними експерименту та піддаються фізичній інтерпретації. В практичному застосуванні ці розв'язки дозволяють отримати прості методики визначення оптимальних параметрів процесу. Вони можуть також стати тестовими при подальших дослідженнях нелінійних задач.

Далі задачу (35)-(36) поставлено для області в циліндричних координатах

Запропоновано два підходи до розв'язання задачі (37)-(39). У п.4.3, після застосування перетворення Кірхгофа, стаціонарну крайову задачу зведено до інтегрального рівняння з ядром у вигляді функції Гріна

Інший підхід полягає в застосуванні різницевого методу.

У п. 4.4 на для усередненої за радіусом моделі маємо задачу

Шукаємо розв'язок задачі (40)-(42) в банаховім просторі функцій, визначених на з нормою . Будується консервативна різницева схема. Задача зведена до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь, які розв'язуються методом Ньютона-Канторовича. За побудованим алгоритмом проведені чисельні експерименти з використанням ЕОМ. Результати порівнюються з результатами розрахунків за тестовими задачами з п.4.1.

У п. 4.5 проводиться дослідження стійкості та збіжності побудованої різницевої задачі в . Введено банахів простір функцій, заданих на сітці з нормою .

Теорема 4.1. Нехай виконуються умови (42). Тоді початково-крайова задача (40)-(41) має єдиний розв'язок в . На кожнім часовім шарі існує в єдиний розв'язок відповідної різницевої задачі. Її наближені розв'язки , отримані за методом Ньютона-Канторовича, збігаються до розв'язку задачі (40)-(41) на вузлах сітки зі швидкістю

де -значення шуканої функції на вузлах сітки.

У п. 4.6 розглянуто задачу в області

де - нелінійний оператор, заданий в ,

функції невід'ємні і

Цю задачу отримано після переходу до безрозмірних координат і параметрів в (37)-(39). Розв'язок (44)-(46) шукаємо в банаховому просторі функцій, визначених на з нормою . Введено банахів простір - функцій, заданих на сітці

з нормою

.

Різницева схема для задачі (44)-(46) запишеться у вигляді:

Початкові умови апроксимуються так: . Крайові умови першого роду апроксимуються точно .

У тривимірному випадку побудовано апроксимацію для нелінійних крайових умов третього роду.

При використанні неявного шаблона , різницева схема на кожному часовому шарі приймає вигляд системи (M-1)(N+1) нелінійних алгебраїчних рівнянь. Були досліджені питання існування та збіжності розв'язків різницевої задачі.

Теорема 4.2. Нехай виконуються умови (47). Тоді початково-крайова задача (44)-(46) має єдиний розв'язок в . На кожнім часовім шарі існує в єдиний розв'язок сіткової задачі (48)-(50). Її наближені розв'язки , отримані за методом Ньютона-Канторовича, збігаються до розв'язку задачі (44)-(46) на вузлах сітки зі швидкістю

Проведені чисельні експерименти за розв'язками різницевих задач, результати яких представлені на рис 4, 5 приводять до висновку, що вплив досліджуваних факторів може бути значним. Крім того, тривимірна модель дозволяє з високою точністю простежити перепад температур у радіальному напрямку, що дуже важливо в практичних застосуваннях.

математичний моделювання температурний поле

ВИСНОВКИ

Побудовані і досліджені математичні моделі нагрівання внутрішніми джерелами тепла рухомих та нерухомих ізотропних та анізотропних середовищ, які мають вигляд нелінійних квазістаціонарних та нестаціонарних крайових задач для рівняння теплопровідності. В усіх моделях враховується, що щільність джерел тепла і теплофізичні параметри залежать від шуканої функції температури.

Вперше побудовано модель температурного розподілу в двошаровій рухомій області з дією внутрішніх джерел в поверхневому шарі. Модель запропоновано в двох варіантах: з умовою імпедансного типу на границі шарів та з нелокальною інтегральною умовою.

Побудовано та досліджено моделі із використанням нелокальної інтегральної умови, що виражає закон збереження енергії в області. Показано, що у випадках, коли значення шуканої функції на границях невідоме, застосування цієї умови є більш виправданим, ніж застосування крайових умов.

Побудовано алгоритм розв'язання квазістаціонарної задачі з нелінійними крайовими умовами шляхом переходу до нелінійного інтегрального рівняння з ядром у вигляді функції Гріна. Проведено дослідження чисельних методів розв'язання рівнянь такого класу. Отримані оцінки швидкості збіжності алгоритмів, в яких проводиться дискретизація рівняння.

Запропоновано і досліджено на збіжність нові адаптивні ітераційні алгоритми розв'язання інтегральних рівнянь зі степеневими нелінійностями. Сформульовані та доведені відповідні теореми.

Побудовано нову модель перехідного процесу, коли швидкість руху середовища змінюється від нуля до заданої величини. Відповідна нестаціонарна задача зі змінною швидкістю руху середовища і змінними параметрами розв'язується методом Роте. Доведено теореми про існування і збіжність чисельних розв'язків.

Побудовано аналітичні розв'язки задачі визначення температурного розподілу осесиметричних ізотропних тривимірних тіл з внутрішніми джерелами тепла.

При розв'язанні нелінійних модельних задач для анізотропних тривимірних тіл побудовано багатовимірне нелінійне інтегральне рівняння і різницеві схеми. Досліджені питання існування, стійкості і збіжності різницевих розв'язків.

Проведено серію обчислювальних експериментів, які були спрямовані на дослідження запропонованих моделей високотемпературного розподілу рухомих та нерухомих середовищ при змінних теплофізичних параметрах. Вивчено вплив на температурний розподіл нелінійних параметрів моделі.

Теоретичні результати та алгоритми, отримані в дисертації, можна рекомендувати для використання при створенні автоматизованих систем управління технологічними процесами термообробки в металургії, машинобудуванні та інших галузях.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ляшенко В.П., Кирилаха Н.Г. Расчет температурного поля с переменным коэффициентом теплоотдачи // Сборник научных трудов Кременчугского государственного политехнического института. - 1998.- Вып.2.- С. 182-184.

2. Кирилаха Н.Г. Температурное поле движущейся проволоки //Сборник научных трудов Кременчугского государственного политехнического института.- 1999. - Вып.2. - С. 283-286.

3. Ляшенко В.П., Кирилаха Н.Г. Решение некоторых краевых задач теплопроводности // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - К.: Ин-т математики НАН Украины. - 1999. - С.153-159.

4. Ляшенко В.П., Кирилаха Н.Г. Температурное поле при спекании штабиков из порошковых материалов // Сборник научных трудов Кременчугского государственного политехнического университета. - 2000. - Вып.2.- С. 362-365.

5. Ляшенко В.П., Кирилаха Н.Г. Решение одной нелинейной задачи теплопроводности // Труды IX Междунар. симпозиума “ Методы дискретных особенностей в задачах математической физики ”. - Орел, 2000. - С. 293-296.

6. Ляшенко В.П., Кирилаха Н.Г. Нестационарное температурное поле при разогреве внутренними источниками тепла изотропного тела // Труды X Междунар. симпозиума “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики”. - Херсон. - 2001. - С. 203-207.

7. Ляшенко В.П., Кирилаха Н.Г. Применение интегральных преобразований при решении одной задачи теплопроводности //Thesis of international conference reports “Dynamical systems modelling and stability investigation”-Kyiv.-2001.-C. 302.

8. Ляшенко В.П., Кирилаха Н.Г. Побудова математичної моделі термічної обробки тривимірних осесиметричних тіл // Вісник Київського національного університету. Сер. фіз.-мат. науки. - 2001. - Вип.№5. - С. 169-176.

9. Ляшенко В.П., Кирилаха Н.Г. Математична модель індукційного нагріву рухомого тіла // Вісник Запорізького державного університету. Фіз.-мат. науки. - 2002. - №3. - С. 64-69.

10. Ляшенко В.П., Кирилаха Н.Г. Застосування кінцево - різницевого методу для побудови розв'язку однієї нелінійної задачі теплопровідності // Thesis of international conference reports “Dynamical system modelling and stability investigation ” - Kyiv.- 2003. - C. 331.

11. Ляшенко В.П., Кирилаха Н.Г. Застосування методу Роте до розв'язання однієї нелінійної задачі теплопровідності // Вестник Херсонского государственного технического университета. - 2003. - №3(19). - С. 235-239.

12. Ляшенко В.П., Кирилаха Н.Г.Дослідження однієї різницевої схеми для нелінійної задачі теплопровідності // Вісник Харківського національного університету. Сер. Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління. Вип. 1. - 2003.- № 590. - С. 169-176.

Размещено на Allbest.ru