Теорія розв’язності і наближене розв’язання сингулярних інтегральних рівнянь та їх систем у винятковому випадку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.02 - диференціальні рівняння

Теорія розв'язності і наближене розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь та їх систем у винятковому випадку

Ковальова Галина Володимирівна

Одеса - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Одеській державній академії будівництва та архітектури.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Тихоненко Микола Якович, Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова, завідувач кафедри математичного забезпечення комп'ютерних систем.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, доцент Керекеша Петро Володимирович, Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова, професор кафедри вищої математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Свяжина Наталія Миколаївна, Одеський державний економічний університет, доцент кафедри математичних методів аналізу економіки.

Провідна установа: Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, м. Харків.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Вітюк О.Н.

Анотація

Ковальова Г.В. Теорія розв'язності і наближене розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь та їх систем у винятковому випадку. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова, Одеса, 2003.

Робота присвячена питанням теорії розв'язності і обгрунтуванню методів наближеного розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь (СІР) з ядром Коші та їх систем у випадку, коли їх символи вироджуються на нескінченній множині точок контура міри нуль.

Побудовано нормалізуючі простори для повних СІР з ядром Коші та їх систем, а також для деяких класів СІР з дробово-лінійним зсувом Карлемана та комплексним спряженням при припущенні, що їх символ дозволяє спеціальну факторизацію. Встановлено достатні умови збіжності методів редукції та колокацій наближеного розв'язання СІР та їх систем у винятковому випадку на одиничному колі. Запропоновано метод, що дозволяє точно обчислити кількість лінійно незалежних розв'язків однорідної системи СІР з дробово-лінійним зсувом Карлемана, що змінює орієнтацію, та побудувати ці розв'язки.

Ключові слова: нормалізація, сингулярне інтегральне рівняння, факторизація, лінійно незалежний розв'язок, редукція, колокація.

Аннотация

Ковалева Г.В. Теория разрешимости и приближенное решение сингулярных интегральных уравнений и их систем в исключительном случае. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова, Одесса, 2003.

Работа посвящена теории разрешимости и обоснованию методов приближенного решения сингулярных интегральных уравнений (СИУ) с ядром Коши и их систем с символом, имеющим на контуре нули различного порядка на бесконечном множестве точек меры нуль. При этом предполагается, что логарифм модуля символа СИУ или системы СИУ интегрируем на контуре.

С этой целью в работе введено определение - факторизации функции, обращающейся в нуль на контуре, обобщающее понятие факторизации невырожденной функции. Построены нормализующие пространства для полных СИУ с ядром Коши и их систем при предположении, что их символ допускает специальную факторизацию. Получены формулы для нахождения индекса нормализованного СИУ. Кроме того, рассмотрена возможность построения различных нормализующих пространств для одного и того же сингулярного интегрального уравнения. Сформулированы некоторые необходимые условия нормальной разрешимости сингулярных интегральных уравнений и их систем в исключительном случае.

Задача нормализации решена также для некоторых классов систем СИУ с дробно-линейным сдвигом Карлемана и комплексным сопряжением, символ которых имеет бесконечно много точек вырождения на контуре. Построены нормализующие пространства и получены формулы для нахождения индекса нормализованных систем СИУ указанного вида.

В работе установлены достаточные условия сходимости методов редукции и коллокаций приближенного решения СИУ и их систем на единичной окружности в случае символов, имеющих нули произвольного конечного порядка на бесконечном множестве точек меры нуль.

Автором предложен метод, позволяющий точно подсчитать количество линейно независимых решений однородной системы СИУ с дробно-линейным сдвигом Карлемана, изменяющим ориентацию, и построить эти решения в явном виде. При помощи этого метода удалось также построить линейно независимые решения однородных систем СИУ с дробно-линейным сдвигом Карлемана, сохраняющим ориентацию, и комплексным сопряжением.

Ключевые слова: нормализация, сингулярное интегральное уравнение, факторизация, линейно независимое решение, редукция, коллокация.

Abstract

Kovalyova G.V. Theory of solvability and approximate solution of singular integral equations and their systems in non-normal case. Manuscript.

The dissertation is submitted for the scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.01.02 - differential equations. - Odessa I.I. Mechnikov National University, Odessa, 2003.

The dissertation deal with the problem of solvability and approximate solution of singular integral equations with Cauchy kernel and their systems with symbol vanishing on infinite set of zero measure on the contour.

Normalizing spaces for full singular integral equations with Cauchy kernel and their systems and for some classes of singular integral equations with Carleman shift and conjugation was constructed under assumption of special factorability of their symbols. Sufficient conditions for convergence of reduction and collocation methods for approximate solution of singular integral equations and their systems with symbol vanishing on infinite set of zero measure on unit circle was established.

Algorithm for counting of number and founding of linear independent solutions of homogeneous systems of singular integral equations with orientation-reversing Carleman shift and with orientation-saving Carleman shift and conjugation was proposed.

Key words: normalization, singular integral equation, factorization, linear independent solution, reduction, collocation.

1. Загальна характеристика роботи

проекційний коші карлеман лінійний

Актуальність теми. Широке коло прикладних задач теорії пружності та термопружності, аеро- та гідродинаміки, радіолокації та інш. приводять до розв'язання різних класів сингулярних інтегральних рівнянь (СІР) та їх систем, зокрема СІР з ядром Коші. В зв'язку з цим аналітичному дослідженню і розробці методів наближеного розв'язання різних класів СІР та їх систем були присвячені численні праці, в яких повністю побудована теорія розв'язності СІР з ядром Коші та їх систем з символом, що не має нулів на контурі, та з символом, що має на контурі скінченну кількість нулів цілого порядку, а також обгрунтовані різні методи їх наближеного розв'язання у цих випадках.

Випадок, коли символ СІР має на контурі нескінченну множину нулів нульової міри, розглядався у невеликому числі робіт, до того ж розглядалися СІР лише спеціального виду. Що ж до загального випадку СІР та їх систем, або СІР та їх систем зі зсувом Карлемана, символи яких мають на контурі нулі будь-якого порядку на нескінченній множині міри нуль, то до цього часу вони не були досліджені. Не обгрунтовані були й методи наближеного розв'язання цього випадку СІР та їх систем. З іншого боку, важливою задачею, яка має незаперечний теоретичний інтерес, є визначення точної кількості лінійно незалежних розв'язків однорідних СІР зі зсувом Карлемана та їх систем, а також побудова цих розв'язків у явному вигляді.

Таким чином, в області аналітичного дослідження і розробки методів наближеного розв'язання різних класів СІР та їх систем виявилось багато нерозв'язаних задач. Розв'язанню деяких з них і присвячена дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у рамках теми "Сингулярні інтегральні рівняння", яка розробляється на кафедрі вищої математики згідно з координаційним планом наукових досліджень Одеської державної академії будівництва та архітектури.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є:

- побудова теорії розв'язності і обґрунтування проекційних методів наближеного розв'язання СІР та їх систем з ядром Коші, а також СІР та їх систем зі зсувом Карлемана у випадках, коли їх символи мають на контурі нулі будь-якого порядку на нескінченній множині міри нуль;

- підрахунок точної кількості лінійно незалежних розв'язків лінійних однорідних СІР зі зсувом Карлемана та їх систем, а також побудова цих розв'язків у явному вигляді.

Вірогідність отриманих у дисертації результатів обумовлюється їх строгими математичними доведеннями. При цьому під час одержання та обґрунтування отриманих результатів використовувались сучасні ефективні методи деяких розділів конструктивної теорії функцій та функцій комплексної змінної, функціонального аналізу та інтегральних рівнянь, вищої алгебри та загальної теорії наближених методів.

Наукова новизна. Побудована теорія розв'язності СІР та їх систем з ядром Коші на складному контурі Ляпунова у випадку, коли їх символи мають на контурі нескінченну множину нульової міри нулів такого порядку, що логарифм модуля символа інтегровний на контурі. Побудовано нормалізуючі простори для деяких класів СІР та їх систем зі зсувом Карлемана, коли їх символи мають на контурі нескінченну множину нульової міри нулів такого порядку, що логарифм модуля символа інтегровний на контурі. Запропоновано метод, що дозволяє точно підрахувати кількість та побудувати лінійно незалежні розв'язки однорідної системи СІР з дробово-лінійним зсувом Карлемана, що змінює орієнтацію, і однорідної системи СІР з комплексним спряженням та дробово-лінійним зсувом Карлемана, що зберігає орієнтацію. Установлено достатні умови збіжності методів редукції та колокацій наближеного розв'язання СІР та їх систем з ядром Коші на одиничному колі, коли їх символи мають на контурі нулі будь-якого скінченного порядку на нескінченній множині міри нуль.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертації результати можуть бути використані при подальшому дослідженні різних класів СІР та їх систем, а також при розробці та обгрунтуванні прямих методів їх наближеного розв'язання. Крім цього, отримані в дисертації результати можуть бути використані при розв'язанні різних прикладних задач науки та техніки, зокрема, задач теорії пружності та термопружності, аеро- та гідромеханіки, теорії антен та інш.

Особистий вклад здобувача. Всі результати, які виносяться на захист, отримані особисто автором дисертації. В роботах, які виконані в співавторстві, постановка задачі та основні ідеї її розв'язання належать В.Г. Кравченко, а формулювання основних результатів та їх доведення були проведені автором дисертації. А саме, усі теореми робіт [1, 8] отримані автором дисертації самостійно. В роботі [2] В.Г. Кравченко належать результати параграфу 1, а всі теореми параграфу 2 отримані автором самостійно.

Апробація роботи. Результати, які представлені у дисертаційній роботі, в міру їх отримання доповідались та обговорювались на наступних наукових конференціях та семінарах: ХІІ школі з теорії операторів у функціональних просторах (Тамбов-1987 р.), Республіканській конференції "Диференціальні та інтегральні рівняння та їх застосування" (Одеса-1987 р.), "Гаховські читання" (Одеса-1988, 1989 р.), Республіканському семінарі з комплексного аналізу та прикладних задач керування (Алушта-1989 р.), Розширеному семінарі Інституту прикладної математики ім. І.Н. Векуа Тбіліського державного університету (Тбілісі-1990 р.), VII Міжнародній конференції ім. ак. М. Кравчука (Київ-1998 р.), Міжнародній конференції "Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях" (Львів-1998 р.), Міжнародному симпозіумі "Питання оптимізації обчислень" (Київ-1999 р.), Міжнародній конференції "Диференціальні та інтегральні рівняння" (Одеса-2000 р.), Х Міжнародному симпозіумі "Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики" (Херсон-2001 р.), загальноміських (м. Одеса) наукових семінарах: "Крайові задачі та інтегральні рівняння" (науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Г.С. Літвінчук), "Рівняння типу згортки" (науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Ю.Й. Черський), "Загальна теорія наближених методів" (науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор М.Я. Тихоненко).

Публікації. За основними результатами дисертації опубліковано 9 наукових праць, з них 6 статей в наукових журналах з переліку фахових видань з фізико-математичних наук, затвердженого ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, розбитих на 12 підрозділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 67 найменувань. Повний обсяг дисертації становить 139 сторінок друкованого тексту.

2. Основний зміст роботи

У першому розділі дисертаційної роботи подано огляд літератури за обраною темою. Зазначено, що в наш час теорія СІР та їх систем з ядром Коші знаходить широке застосування в математичних та технічних дослідженнях. В тому числі задача Рімана з коефіцієнтом, що вироджується на контурі, давно привертала увагу дослідників. Вперше нормалізація СІР з ядром Коші була проведена Б.В. Хведелідзе у 1956 році. Спочатку дослідники припускали існування лише скінченної кількості нулів цілого порядку символа СІР. У ряді праць З. Прьосдорфа та Б. Зільбермана у 60-х та 70-х роках була повністю побудована теорія розв'язності цього випадку СІР та їх систем, а також були сформульовані достатні умови збіжності методів редукції та колокацій наближеного розв'язання цього випадку СІР. СІР з символом, що вироджується на нескінченній множині міри нуль, розглядалися в невеликій кількості робіт і лише у випадках спеціального розташування нулів символа, або спеціального контура, а також спеціального виду самого СІР. У докторській дисертації В.Г. Кравченко у 1986 році були у найбільш загальному вигляді сформульовані задачі нормалізації, а також отримані розв'язки цих задач для абстрактних операторів. У цій же роботі отримані результати були застосовані для дослідження задачі Рімана спеціального вигляду на одиничному колі, символ якої вироджується на нескінченній множині точок нульової міри. При цьому було розглянуто випадок задачі Рімана, коефіцієнт якої, за термінологією Ф.Д.Гахова, мав лише “нулі”, а полюсів не мав.

У другому розділі дисертаційної роботи отримано результати з нормалізації повних СІР з ядром Коші

(1)

де Г - складна ляпуновська крива, функції a₀(t) та b₀(t) належать простору L, а оператор є компактним, та системи таких рівнянь.

Припускається, що функції ц(t) та f(t) належать простору L_p(r), 1<p<, де r(t) - дійснозначна невід'ємна вага, що задовольняє умову Ханта-Маккенхаупта-Уїдена

(2)

Тут l - будь-яка дуга контура Г довжини |l|.

Як завжди, через та позначаємо образи проекторів Ріса у просторі L_p(r). Через позначаємо підпростір , де ?{1} - лінійна оболонка функції ц(t) 1.

Оскільки нормалізуючі простори залежать лише від розташування та порядку нулів символа, то введено дійснозначні невід'ємні обмежені на Г функції s(t), u(t), v(t) та w(t), що мають ті ж нулі, що й символ СІР. Це дозволяє розглядати водночас цілий клас СІР з символами, що мають спільне розташування та однакові порядки нулів на контурі. Припускається, що логарифми функцій s(t), u(t), v(t) та w(t) інтегровні на Г. Через s₊(t) (u₊(t), …) та s_-(t) (u_-(t), …) будемо позначати кутове граничне значення при zt, tГ, зовнішньої функції s₊(z) (u₊(z), …) і s_-(z) (u_-(z), …), модуль якого співпадає майже скрізь на Г зі значеннями функції s(t) (u(t), …). Сформулюємо означення (u₊,v_-)-факторизації функції у просторі L_p(r), 1<p<, що узагальнює означення факторизації невиродженої функції у просторі L_p(r). Будемо казати, що функція a(t), яка належить простору L на контурі Г, припускає (u₊,v_-)-факторизацію у просторі L_p(r), якщо функція u^-1v^-1a обмежена і не вироджується на Г, і функцію a(t) можна зобразити у вигляді: a(t)=a₊(t)t^ka_-(t), де k - ціле число, a₊(t), a_-(t), до того ж ua₊^-1L_q(r^-1) та v_-a_-^-1 або ua₊^-1 та va_-^-1 L_p(r) і оператор va_-^-1P-a_-^-1uI обмежений у просторі L_p(r), де числа p і q зв'язані співвідношенням p^-1+q^-1=1. Під невиродженністю функції f(t), що належить простору L на Г, будемо розуміти те, що ess inf f(t)>o. t

Спочатку розглянуто випадок, коли функції a(t)=a₀(t)+b₀(t) та b(t)=a₀(t)-b₀(t) не мають спільних нулів на Г. Побудовано нормалізуючі простори для СІР (1). Введений розширений простір розв'язків



з нормою

.

Теорема 1. Нехай функції a(t)=a₀(t)+b₀(t) та b(t)=a₀(t)-b₀(t) належать простору L і не мають спільних нулів на контурі Г. Нехай, крім цього, функція u^-1a обмежена і не вироджується на Г, функція u₊a^-1b припускає v_--факторизацію у просторі L_p(r), 1<p<, і оператор K: L_p(r) припускає компактне замикання. Тоді СІР (1), де права частина f(t) належить простору L_p(r), а розв'язок ц(t) відшукується у просторі , є нормально розв'язним. При цьому, якщо u₊a^-1b =d₊t^kd_- - v_--факторизація функції u₊a^-1b, та d₊(t)=₁|d₊|₊, d_-(t)=₂^-1|d_-|_- - зовнішньо-внутрішні факторизації функцій d₊(t) і d_-(t), то індекс вказаного СІР дорівнює: k+deg₁-deg₂.

Для того, щоб нормалізувати СІР (1), також можна звузити простір правих частин. Введемо простори

з нормою

,

де інфімум беремо по всім зображенням функції f₊+f₁, та

з нормою

,

де інфімум беремо по всім зображенням функції f₂+f_-.

Теорема 2. Нехай функції a(t)=a₀(t)+b₀(t) та b(t)=a₀(t)-b₀(t) належать простору L і не мають спільних нулів на контурі Г. Нехай, крім цього, функція u^-1a обмежена і не вироджується на Г, функція u₊a^-1b припускає (w₊,v_-) - факторизацію у просторі L_p(r), 1<p<, і оператор u₊a^-1K: припускає компактне замикання. Тоді СІР (1), де права частина f(t) така, що функція u₊a^-1f належить простору, а розв'язок ц(t) відшукуємо у просторі , є нормально розв'язним. Крім цього, якщо u₊a^-1b=c₊t^kc_- - (w₊,v_-)-факторизація функції u₊a^-1b, та c₊(t)=₁|c₊|₊, c_-(t)=₂^-1|c_-|_- - зовнішньо-внутрішні факторизації функцій c₊(t) і c_-(t), то індекс вказаного СІР дорівнює k+deg₁-deg₂.

Теорема 3. Нехай функції a(t)=a₀(t)+b₀(t) та b(t)=a₀(t)-b₀(t) належать простору L і не мають спільних нулів на контурі Г. Нехай, крім цього,функція v^-1b обмежена і не вироджується на Г, функція v_-b^-1a припускає (u₊,s_-)-факторизацію у просторі L_q(r^-1), 1<q<, і оператор v_-b^-1K:, p^-1+q^-1=1, припускає компактне замикання. Тоді СІР (1), де права частина f(t) така, що функція v_-b^-1 f належить простору , а розв'язок ц(t) відшукується у просторі , є нормально розв'язним. При цьому, якщо v_-b^-1a=c₊t^kc_- - (u₊,s_-)-факторизація функції v_-b^-1a, та c₊(t)=₁|c₊|₊, c_-(t)=₂^-1|c_-|_-, - зовнішньо-внутрішні факторизації функцій c₊(t) і c_-(t), то індекс вказаного СІР дорівнює -k-deg₁+deg₂.

Також отримано деякі необхідні умови для нормальної розв'язності СІР у винятковому випадку, наприклад:

Теорема 4. Нехай Г - проста замкнута ляпуновська крива, функції b(t) та w^-1v^-1b належать простору L на Г, і СІР

t, (3)

де права частина f(t) належить простору , а розв'язок ц(t) відшукуємо у просторі , є нормально розв'язним. Тоді функція w^-1v^-1b не вироджується на Г.

Якщо ж СІР (3) має скінченний індекс, то функція b(t) дозволяє (w₊,v_-)-факторизацію у просторі L_p(r).

Крім цього, сформульовано достатні умови для того, щоб для одного й того ж СІР можна було побудувати різні нормалізуючі простори, а також розглянуто випадок, коли функції a(t)=a₀(t)+b₀(t) та b(t)=a₀(t)-b₀(t) мають спільні нулі.

Результати, отримані для скалярного СІР (1), узагальнено для випадку системи СІР (1).

У третьому розділі дисертаційної роботи розглянуто СІР та їх системи виду

 (4)

де Г₀ - одиничне коло, (t) - дробово-лінійний зсув Карлемана, що змінює орієнтацію на Г₀,

||>1.

Теорія розв'язності нормального випадку СІР зі зсувом Карлемана та спряженням та їх систем була побудована ще у 70-ті роки Г.С.Літвінчуком та іншими авторами. Система СІР (4), де a₀(t), b₀(t), c₀(t), d₀(t) - неперервні матриці-функції порядкуm, нормально розв'язна, якщо матриця-функція

, (5)

a(t)=a₀(t)+c₀(t),

a(t)=a₀(t)-c₀(t),

b(t)=t_-^-1(t)(b₀(t)+d₀(t)),

d(t)=t_-^-1(t)(b₀(t)-d₀(t)),

,

невироджена на Г₀. Проте питання про кількість та вид лінійно незалежних розв'язків однорідної системи СІР (4) у загальному випадку залишалось відкритим. Була відома лише оцінка цієї кількості, отримана у 1975 році М.Л. Василевським та Г.С. Літвінчуком.

Нехай матриця-функція

C(t)=A^-1(t)eA[(t)]e, (6)

де , E_m - одинична матриця порядку m, дозволяє факторизацію у класі неперервних функцій, тобто

C(t)=C₊(t)(t)C_-(t), (7)

де (t)=diag{t^k1, t^k2,…, t^k2m}, k₁k₂…k_2m - цілі числа, а матриці-функції C(t) неперервні на Г₀.

Введемо матрицю-функцію

H_-(t)=C_-(t)eC₊[(t)][_--(t)]. (8)

У дисертаційній роботі показано, що факторизацію (7), якщо вона існує, можна вибрати так, що відповідна матриця-функція H_-(t) буде діагональною, і всі її діагональні елементи будуть дорівнювати 1. Тоді підрахунок кількості лінійно незалежних розв'язків системи СІР (4) здійснюється таким чином:

Теорема 5. Нехай матриця-функція A(t) виду (5) неперервна та невироджена на Г₀, і матриця-функція C(t), визначена (6), дозволяє факторизацію (7). Тоді однорідна система СІР (4), де розв'язок (t) відшукуємо у просторі L_p^m, 1<p<, має наступну кількість лінійно незалежних розв'язків:

0, якщо числа k₁, k₂, …, k_2m недодатні;

0,5, якщо k₁…k_l>0k_l+1k_2m;

0,5(k₁+k₂+…+k_2m), якщо числа k₁, k₂, …, k_2m невід'ємні.

Тут _j - j-тий діагональний елемент діагональної матриці-функції H_-(t) (8).

У третьому розділі також знайдені у явному вигляді лінійно незалежні розв'язки однорідної системи СІР (4):

Лема 1. Нехай виконані умови теореми 5. Тоді

якщо числа k₁, k₂, …, k_2m недодатні, то однорідна система СІР (4) має лише тривіальний розв'язок;

якщо k₁…k_l>0k_l+1k_2m, то лінійно незалежними розв'язками однорідної системи СІР (3) є такі вектор-функції:

а) якщо lm,

Тут (9)

j=1,…, l, знак "Т" означає транспонування,

(10)

де - блоки порядку m матриці-функції C₊(t), тобто ;

б) якщо l>m,



Тут визначені рівнянням (9),j=1, …, m , а

, (11) j=1, …, l-m;

якщо числа k₁, k₂, …, k_2m додатні, то лінійно незалежними розв'язками однорідної системи СІР (4) є такі вектор-функції:

де функції та визначені відповідно рівняннями (9) та (11).

У третьому підрозділі третього розділу дисертаційної роботи також знайдено у явному вигляді лінійно незалежні розв'язки однорідної системи СІР виду

 (12)

де (t) - дробово-лінійний зсув Карлемана, що зберігає орієнтацію на Г₀,

||<1.

Крім цього, у третьому розділі побудовано нормалізуючі простори для деяких класів систем СІР (4) та систем СІР (12) з символом, що вироджується на нескінченній множині точок міри нуль, та отримано формули для обчислення їх індексу.

У четвертому розділі дисертації, використовуючи схему, запропоновану З.Прьосдорфом, обгрунтовано збіжність методів редукції та колокацій наближеного розв'язання СІР (1) на одиничному колі, символ якого має нескінченну множину нулів скінченного порядку міри нуль. Отримані, наприклад, такі результати:

Теорема 6. Нехай функції a(t)=a₀(t)+b₀(t) та b(t)=a₀(t)-b₀(t) припускають зображення , , де a_l, l=1, …, r, та b_j, j=1, …, s, - попарно різні точки контуру Г₀, _l0, l=1, …, r, і _j0, j=1, … , s, - цілі числа, a₁(t) та b₁(t) - невироджені функції класу C^k,, 0<<1, k=max{_l, _j}. Нехай, крім цього, функції |u_-(t)| і |v₊(t)| задовольняють умову Ханта-Маккенхаупта-Уїдена (2), 1<p<, до того ж, функції u_-u₊^-1 та v₊v_-^-1 належать класу C^k,, ind a₁(t)=ind b₁(t)=0, оператор припускає компактне замикання, і однорідне СІР (1) має лише тривіальний розв'язок.

Тоді до СІР (1), де права частина f(t) належить простору , а розв'язок ц(t) відшукується у просторі , застосовний метод редукції.

Теорема 7. Нехай функції a(t)=a₀(t)+b₀(t) та b(t)=a₀(t)-b₀(t) припускають зображення , , де a_l, l=1, …, r, та b_j, j=1, …, s, - попарно різні точки контуру Г₀, _l0, l=1, …, r, і _j0, j=1, … , s, - цілі числа, a₁(t) та b₁(t) - невироджені функції класу C^k+1, де k=max{_l, _j}, а функції |u_-(t)| і |v₊(t)| задовольняють умову Ханта-Маккенхаупта-Уїдена (2), 1<p<, до того ж, функції u_-u₊^-1 та v₊v_-^-1 алежать класу C^k+1. Нехай також ind a₁^-1b₁=0, оператор 0<<1припускає компактне замикання, і однорідне СІР (1) має лише тривіальний розв'язок.

Тоді до СІР (1), де права частина f(t) належить простору C^k,, а розв'язок ц(t) відшукуємо у просторі , застосовний метод колокацій.

Тут C^k - простір функцій, які мають похідні до порядку k включно, C^k, - простір функцій з C^k , k-та похідна яких задовільняє умову Гьольдера з показником , - простір функцій, які мають узагальнені похідні до порядку k включно, що належать простору L_p.

Якщо тільки одна з функцій a(t)=a₀(t)+b₀(t) та b(t)=a₀(t)-b₀(t) має нулі на контурі Г₀, до СІР (1) можна застосувати метод редукції при інших припущеннях щодо коефіцієнтів, як це показано у наступній теоремі:

Теорема 8. Нехай a(t)=a₀(t)+b₀(t) - кусково-неперервна, невироджена на Г₀ функція, що припускає аналітичне продовження у внутрішність одиничного кола, функція a^-1b, де b(t)=a₀(t)-b₀(t), обмежена і припускає v_--факторизацію у просторі L_p,1<p<, з нульовим індексом, крім цього, функція v_-^-1b неперервна, а функція |v_-^-1(t)| задовольняє умову Ханта-Маккенхаупта-Уїдена (2). Нехай також оператор K:L_p є компактним, і однорідне СІР (1) має лише тривіальний розв'язок.

Тоді до СІР (1), де права частина f(t) належить простору , а розв'язок ц(t) відшукується у просторі , застосовний метод редукції.

Також обґрунтована збіжність методу редукції для випадку, коли функція a(t)=a₀(t)+b₀(t) вироджується на Г₀, а функція b(t)=a₀(t)-b₀(t) невироджена. У другому і третьому підрозділах четвертого розділу отримано узагальнення цих результатів на випадок систем СІР (1) та систем СІР виду (4) і систем СІР виду (12) з символом, що вироджується.

Висновки

В дисертації побудовано теорію розв'язності СІР з ядром Коші та їх систем на складних контурах Ляпунова, коли символи СІР та їх систем мають на контурі нескінченну множину нульової міри нулів такого порядку, що логарифм модуля символа інтегровний на контурі. Побудовано простори розв'язків таких СІР та їх правих частин, отримано формули для обчислення їх індекса.

Побудовано нормалізуючі простори для деяких класів СІР та їх систем зі зсувом Карлемана, коли їх символи мають на контурі нескінченну множину нульової міри нулів такого порядку, що логарифм модуля символа інтегровний на контурі.

Обчислено кількість лінійно незалежних розв'язків однорідних СІР та їх систем з дробово-лінійним зсувом Карлемана, що змінює орієнтацію, а також СІР та їх систем з дробово-лінійним зсувом Карлемана, що зберігає орієнтацію, та комплексним спряженням. Лінійно незалежні розв'язки цих СІР та їх систем побудовано в явному вигляді.

Обгрунтовано проекційні методи (редукції та колокацій) наближеного розв'язання СІР та їх систем на одиничному колі у винятковому випадку, коли їх символ має нескінченну множину нульової міри нулів скінченного порядку на контурі.

Отримані в дисертації результати можуть бути використані при побудові теорії розв'язності СІР з ядром Коші та їх систем на дійсній осі, а також рівнянь типу згортки та їх систем. Крім цього, отримані результати можть бути використані при розв'язанні прикладних задач математичної фізики, теорії пружності, гідро- та аеродинаміки та інш. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані в наукових дослідженнях Дніпропетровського, Київського, Львівського, Одеського, Харківського Національних університетів, Інституту математики НАН України, Інституту кібернетики НАН України, Інституту прикладних проблем механіки та математики ім. Я. Підстригача НАН України та інших навчальних та наукових закладах і наукових центрах України.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Дрекова Г.В., Кравченко В.Г. Размерность и структура ядра и коядра сингулярного интегрального оператора с дробно-линейным сдвигом Карлемана и сопряжением // ДАН СССР. - 1990. - Т. 315, № 2. - С. 271-274.

2. Дрекова Г.В., Кравченко В.Г. К теории нормализации задачи Римана // Изв. вузов. Матем. - 1991. - Т. 9. - С. 20-28.

3. Ковальова Г.В. Застосування методу редукції до наближеного рішення сингулярних інтегральних рівнянь з коефіцієнтом, що вироджується // Вісник держ. ун-ту "Львівська політехніка". Прикладна математика. - 1998. - № 337. - С. 115-118.

4. Ковалева Г.В. О дефектных числах матричного сингулярного интегрального оператора с дробно-линейным сдвигом Карлемана и сопряжением // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. - К.: Ін-т математики НАН України, 1998. - Вип. 2. - С. 116-122.

5. Ковальова Г.В. До наближеного розв'язання сингулярних інтегральних рівнянь у винятковому випадку // Теорія обчислень: Зб. наук. пр. - К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 1999. - С. 211-214.

6. Ковалева Г.В. Нормализация систем сингулярных интегральных уравнений // Диф. уравнения. - 2001. - Т. 37, № 10. - С. 1434-1435.

7. Дрекова Г.В. Нормализация краевой задачи Римана на произвольном контуре // Республиканская научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения": Тезисы докладов. - Одесса. - 1987. - Ч. 1. - С. 84-85.

8. Дрекова Г.В., Кравченко В.Г. О дефектных числах сингулярного интегрального оператора с дробно-линейным сдвигом Карлемана и сопряжением // Республиканское совещание-семинар по комплексному анализу и прикладным задачам управления: Тезисы докладов. - К.: Ин-т математики АН УССР. - 1989. - С. 18.

9. Ковалева Г.В. О дефектных числах системы сингулярных интегральных уравнений с дробно-линейным сдвигом Карлемана, изменяющим ориентацию // Труды Х Международного симпозиума МДОЗМФ-2001. - Харьков. - 2001. - С. 170-173.

Размещено на Allbest.ru