Математичне моделювання дифузійного перенесення тепла і маси у середовищах з тонкими покриттями та включеннями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача

УДК 517.958:519.6

Математичне моделювання дифузійного перенесення тепла і маси у середовищах з тонкими покриттями та включеннями

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Дяконюк Лілія Миколаївна

Львів 20003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Львівському національному університеті імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор Савула Ярема Григорович, Львівський національний університет імені Івана Франка завідувач кафедри прикладної математики, декан факультету прикладної математики та інформатики

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Михаськів Віктор Володимирович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача, провідний науковий співробітник

доктор технічних наук, професор Власюк Анатолій Павлович, Український державний університет водного господарства та природокористування Міністерства освіти і науки України, декан факультету прикладної математики та комп'ютерно-інтегрованих систем, завідувач кафедри прикладної математики

Провідна установа Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України (м. Київ)

Захист відбудеться “10” листопада 2003 р. о 15_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3 ”б”.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3 ”б”).

Автореферат розісланий “9” жовтня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради, кандидат фізико-математичних наук Шевчук П.Р.

математичний нестаціонарний дифузія теплопровідність

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Математичне моделювання є важливим методом вивчення фізичних процесів, який дозволяє виявити такі деталі і особливості, які важко виділити в експерименті. Значний вклад у розвиток математичного моделювання внесли Я.Й. Бурак, М.М. Беляєв, А.А. Рядно, А.П. Власюк, М.М. Войтович, Я.М. Григоренко, О.Я. Григоренко, В.С. Дейнека, Ж.Л. Ліонс, І.І. Ляшко, Г.І. Марчук, В.А. Осадчук, Я.С. Підстригач, О.А. Самарський, І.В. Сергієнко, В.В. Скопецький, Є.Я. Чапля та ін.

Моделювання процесу дифузії у неоднорідних середовищах є одним з важливих розділів сучасних інженерних досліджень в машинобудівній, енергетичній, атомній галузях, мікроелектроніці та приладобудуванні. У зв'язку з надзвичайно широким практичним застосуванням особливе місце займає моделювання процесів дифузійного перенесення при створенні мікроелектронної апаратури, в якій застосовані інтегральні схеми різного ступеня інтеграції. Відомо, що біля 50 % порушень в роботі мікроелектронної апаратури виникає через недопустимо великі деформації монтажних плат, порушення в лютованих з'єднаннях при механічних і термічних впливах. Специфіка сучасної апаратури полягає перш за все в тому, що поряд з традиційними конструкційними матеріалами для її виготовлення застосовують також і багатошарові неоднорідні матеріали для монтажних плат і підкладок, тонкоплівкові матеріали для електромонтажних з'єднань, а також різні герметизуючі покриття. Створення таких конструкцій вимагає різнобічного дослідження фізичних процесів в структурах типу шарувате середовище чи плівка-підкладка, які, зокрема, проводилися в роботах Т.Ю. Благовіщенської, Є.Г. Грицька, Л.М. Демченка, Ю.М. Коляно, Г.С. Кіта, І.І. Ляшка, С.І. Ляшка, Р.М. Мартиняка, Г.Є. Мистецького, Я.С. Підстригача, Н.П. Флейшмана, О.Ю. Чернухи, В.А. Шевчука, П.Р Шевчука, Р.М. Швеця, Є.Я. Чаплі, A. Quarteroni, J.T. Oden та б. ін.

У переважній більшості багатошарових середовищ характерною особливістю є наявність тонких шарів, що зумовлює труднощі для математичного моделювання, які пов'язані, перш за все з їх чисельною реалізацією. Це і проблеми побудови спеціальних адаптивних методів дискретизації, і жорсткі вимоги до аналізу накопичення обчислювальної похибки.

Дисертаційна робота присвячена вирішенню наукового завдання - побудові та дослідженню гетерогенної математичної моделі нестаціонарних процесів дифузії у неоднорідних тривимірних середовищах з тонкими включеннями, яка дозволяє враховувати малі товщини тонких шарів. У ній розвинений підхід, запропонований у роботах Я.Г. Савули, Є.Я. Чаплі, В.М. Кухарського для випадку тривимірного криволінійного середовища. Ця модель, створена на основі варіаційних методів, описується системою диференціальних рівнянь різної вимірності за просторовими змінними.

Існують альтернативні підходи до побудови таких моделей. Відомими у цьому напрямку є роботи Я.С. Підстригача, в яких вплив тонких шарів враховувався узагальненими умовами теплообміну, побудованими з застосуванням операторного методу, В.С. Дейнеки, І.В. Сергієнка, В.В. Скопецького, в роботах яких використано підхід, при якому шуканий розв'язок на поверхні тонких включень, допускає розрив за просторовими змінними та ін.

Для чисельного дослідження математичної моделі у роботі використаний один з найефективніших методів розв'язування початково-крайових задач - метод скінченних елементів (МСЕ) з застосуванням суперелементного підходу. Окремим об'єктом досліджень був вплив на отриманий чисельний розв'язок базисних функцій - “бульбашок”, що стало можливим завдяки ґрунтовним дослідженням у працях С.Г. Міхліна та І. Бабушки.

Отже, побудова та дослідження математичних моделей процесів дифузії в неоднорідних середовищах з врахуванням малих товщин складових є важливою та актуальною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами, планами. Дисертаційна робота виконана в рамках планів наукових досліджень та держбюджетної тематики кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка, а саме

Плану робіт з теми ПП-114 Б ”Математичне моделювання і чисельне дослідження фізико-механічних полів в середовищах з малими неоднорідностями”, яка виконується згідно з Координаційним планом №44 “Створення теорії, методів математичного моделювання і чисельного аналізу процесів деформування твердих тіл та складних механічних систем”, затвердженого наказом МО України №37 від 13.02.97 у пріоритетному напрямку “Перспективні інформаційні технології, прилади комплексної автоматизації, системи зв'язку” (ДР 0197U018116);

Плану робіт за темою Пп-396Б “Моделювання переносу забруднень в екосистемі вода-повітря-грунт”, яка виконується згідно з Координаційним планом №40 “Моделювання складних соціально-економічних, екологічних та технічних систем на основі перспективних інформаційних технологій”, затвердженого наказом МО України №37 від 13.02.97 у пріоритетному напрямку “Перспективні інформаційні технології, прилади комплексної автоматизації, системи зв'язку” (ДР 0198U004838).

Плану робіт за державною бюджетною темою Пп-84Б “Розробка математичних моделей і чисельних схем для дослідження процесів у неоднорідних середовищах” (ДР 0101U001433).

Наукового проекту №01.07/128 Науково-учбового центру математичного моделювання ІППММ НАН України та Львівського національного університету імені Івана Франка “Фізико-механічне моделювання та дослідження нерівноважних процесів багатокомпонентних твердих тіл”.

Мета роботи і основні завдання. Мета роботи полягає у побудові та дослідженні математичної моделі для нестаціонарних процесів дифузії в багатошаровому тривимірному середовищі з врахуванням малих товщин окремих шарів.

Для досягнення поставленої мети в процесі досліджень розв'язувались такі задачі:

1. Виведенння рівнянь теплопровідності пониженої вимірності для тонкого шару.

2. Побудова нової математичної моделі нестаціонарної дифузії в неоднорідних багатошарових середовищах з тонкими включеннями та покриттями.

3. Формулювання варіаційної задачі та дослідження її коректності.

4. Розробка алгоритму чисельного розв'язування варіаційної задачі.

5. Побудова програмного комплексу для розв'язування поставлених задач.

6. Оцінка точності та збіжності запропонованих обчислювальних схем.

7. Чисельне розв'язування конкретних задач та аналіз отриманих результатів.

Загальна методика досліджень ґрунтується на використанні варіаційних методів математичної фізики, методів функціонального аналізу та диференціальної геометрії.

Наукова новизна результатів. Слід зазначити, що у даній дисертаційній роботі отримано наступні нові результати:

вперше сформульовано тривимірну математичну модель нестаціонарної теплопровідності в багатошаровому середовищі з тонкими покриттями та включеннями в тривимірному просторі, яка складається з диференціальних рівнянь в частинних похідних різної вимірності за просторовими змінними;

на основі варіаційних методів та МСЕ запропоновано алгоритм побудови чисельного розв'язку цієї системи;

обґрунтовано питання існування та єдиності слабких розв'язків запропонованої математичної моделі;

розроблено програмний комплекс для чисельного дослідження задачі;

проведено детальний аналіз точності та збіжності запропонованих чисельних схем напіваналітичного методу скінченних елементів для низки конкретних задач.

Практична і теоретична цінність роботи. Результати, отримані в дисертаційному дослідженні, можуть бути використані при розв'язуванні широкого класу практичних задач, які описуються рівняннями теплоперенесення, дифузійного масоперенесення та ін. Запропонований підхід може бути також застосований для дослідження задач термопружності багатошарових тіл з шарами різних товщин.

На основі створеного програмного комплексу можна проводити розрахунки значень температури або концентрацій речовини при дифузії речовини для різних початково-крайових умов. Це програмне забезпечення може бути також використане як ядро системи автоматизованих розрахунків.

Достовірність отриманих результатів забезпечується строгими теоретичними викладками, які базуються на основних положеннях теорії дифузії тепла і маси, застосуванням відомих числових методів, а також узгодженням результатів тестових прикладів з відомими аналітичними розв'язками.

Особистий внесок здобувача. Основні наукові результати, включені в дисертацію, отримані автором самостійно. В опублікованих із співавторами роботах особистий внесок здобувача полягає в участі в формулюванні задач та проведенні математичних викладок - [1,2,10], розробці числових алгоритмів - [6,9,11], програмній реалізації та аналізі числових результатів - [5,9], побудові розв'язку лінеаризованої задачі - [7].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались

§ на семінарах кафедри прикладної математики Львівського національного університету імені Івана Франка,

§ на семінарі Науково-учбового центру математичного моделювання ІППММ НАН України (2002, м. Львів),

§ на семінарі кафедри прикладної математики Українського державного університету водного господарства та природокористування (2002, м. Рівне),

§ в школі-семінарі “Прикладні проблеми математики та інформатики” (1996, м. Рівне),

§ на науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (1996, м. Івано-Франківськ),

§ на Всеукраїнській науковій конференції "Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях" (1996, м. Львів),

§ на 5-ій Міжнародній науково-технічній конференції “Досвід розробки і застосування САПР мікроелектроніки” CADM 99 (1999, м. Львів),

§ на V Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур (2000, м. Луцьк),

§ на відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України (2001, м. Львів),

§ на VI Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (2003, м. Львів),

§ на семінарі Інституту кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України (2003, м. Київ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1-11], з яких журнальні статті у виданнях із переліків, затверджених ВАК України [1-5, 9, 10].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, 4 розділів, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 133 сторінок. Список використаних джерел включає 107 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми та необхідність проведення її дослідження, сформульовані мета роботи, наукова новизна та практичне значення отриманих результатів.

Перший розділ містить загальний огляд проблеми та її висвітлення у вітчизняній та зарубіжній літературі. Обґрунтовано необхідність побудови математичних моделей, що враховують малі товщини окремих шарів.

У другому розділі описані основні рівняння та тотожності, що використовуються при побудові математичної моделі, а також інтегральні перетворення, які застосовуються у процесі формулювання варіаційної задачі та її дослідженні. Обґрунтовано вибір криволінійних ортогональних систем координат, відносно яких описані рівняння, означений клас геометричних властивостей об'єктів, для яких можна використовувати запропоновану математичну модель. Побудована математична модель процесу теплопровідності в тонкому шарі. Отримані рівняння при відомому трактуванні коефіцієнтів та шуканих функцій можуть описувати процес дифузійного масоперенесення.

Нехай область (рис. 1), що займає тонкий шар, товщина якого мала в порівнянні з іншими характерними його розмірами,

де - двовимірна область з ліпшицевою границею на серединній поверхні шару, - стала товщина шару.

Вважатимемо, що на лицевих поверхнях і задані теплові потоки і

відповідно, на бічній поверхні відбувається теплообмін за законом Ньютона, а у початковий момент часу задана функція розподілу температури.

Ураховуючи те, що товщина шару є малою, припустимо, що розподіл шуканої функції температури за товщиною шару відбувається за лінійним законом

.

Запропонована модель тонкого шару складається з рівнянь

граничних умов

початкових умов

Опишемо процес дифузії в багатошарових середовищах з тонкими покриттями та включеннями

Нехай область , займає багатошарове середовище складної форми з різними тепловими характеристиками матеріалу кожного шару (рис.2). Границя кожної з областей складається з бічної поверхні та лицевих поверхонь та і вважається ліпшицевою. На границі контакту з зовнішнім середовищем відбувається теплообмін за законом Ньютона. Відомий також розподіл температури в початковий момент часу .

Віднесемо кожну з областей до криволінійних систем координат , пов'язаних з серединною поверхнею області.

З використанням побудованої математичної моделі процесу дифузії тонкого шару, гетерогенну математичну модель процесу теплопровідності у багатошаровому середовищі, можна подати як наступну систему диференціальних рівнянь різної вимірності за просторовими координатами:

, ,

На границі з зовнішнім середовищем шукані функції повинні задовольняти співвідношення

,

та початкові умови

,

.

Для повного опису математичної моделі потрібно врахувати ще наступні умови спряження на границях контакту областей:

Якщо контактуючий шар є тонкий, то на його верхній лицевій поверхні температура задається співвідношенням

,

а на нижній відповідно

.

У результаті ми отримали замкнену систему диференціальних рівнянь другого порядку для визначення невідомих шуканих функцій.

Варіаційне формулювання задачі теплоперенесення в багатошаровому середовищі.

Потрібно знайти невідомі функції ; які задовольняють наступні рівняння

при довільних функціях і задовольняють головні умови спряження

.

У дисертаційній роботі доведено, що для цієї варіаційної задачі мають місце лема та теорема.

Лема. Білінійні форми, пов'язані з оператором задачі (14)-(15), при однорідній граничній умові третього роду є симетричними.

Теорема 2.1. Нехай виконується умова

.

Тоді білінійні форми задачі (14)-(15) є неперервними та еліптичними при однорідній граничній умові третього роду.

У третьому розділі поданий алгоритм знаходження розв'язку сформульованої задачі з використанням напіваналітичного методу скінченних елементів для апроксимацій за просторовими змінними та різницевої схеми Кранка-Ніколсона для дискретизації за часовою змінною.

,

При використанні зазначених напівдискретних апроксимацій побудоване енергетичне рівняння



.

Теорема 3.1. Варіаційна задача (17) має і при тому єдиний розв'язок , який однозначно визначається розвиненнями (18).

У дисертаційній роботі показано, що можна отримати наступні апріорні оцінки напівдискретного наближення шуканого розв'язку:

,

.

Вони показують, що напівдискретні апроксимації утворюють обмежену множину в просторі , що свідчить про їх стійкість. Апріорна оцінка (23) відображає також характер поведінки розв'язку за відсутності внутрішніх джерел теплоти.

Теорема 3.2. Нехай Т - розв'язок варіаційної задачі, побудованої без врахування малих товщин окремих шарів, , - чисельний розв'язок варіаційної задачі ієрархічної гетерогенної моделі при відкиданні в операторі членів порядку , . Тоді швидкість збіжності характеризується оцінкою



,

де p - порядок апроксимації Гальоркіна.

Використання напівдискретизаційної процедури Гальоркіна приводить до розв'язування задачі Коші:

яка розв'язується за допомогою проекційного методу Кранка-Ніколсона.

У четвертому розділі наведені описи та результати чисельного дослідження тестових та модельних задач, графічне оформлення отриманих результатів та апостеріорний аналіз запропонованої математичної моделі.

Проведені числові експерименти підтверджують ефективність застосування ієрархічної математичної моделі з врахуванням малих товщин тонких шарів та теоретичні висновки про характеристики застосованих чисельних схем.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Багатошарові структури знаходять широке застосування в сучасних конструкціях, робота яких пов'язана з процесами перенесення. Тому проблема математичного моделювання та дослідження таких процесів у цих структурах є актуальною. У дисертаційній роботі проведені дослідження, спрямовані на вирішення наукового завдання: побудови гетерогенної математичної моделі нестаціонарного процесу дифузії в багатошарових середовищах, яка дозволяє враховувати малі товщини тонких шарів. Отримані в дисертації теоретичні результати можуть бути використані при розв'язування практичних задач мікроелектроніки, приладобудування, екології і т. ін.

Основні результати полягають в наступному:

1. На основі варіаційного підходу сформульована математична модель процесу нестаціонарної дифузії в тонких шарах в тривимірному середовищі у вигляді системи диференціальних рівнянь параболічного типу .

2. Сформульована гетерогенна математична модель дифузійного перенесення тепла чи маси у багатошаровому середовищі, яка дозволяє враховувати фізичні властивості тонких шарів.

3. Побудовані варіаційні задачі та досліджені питання їх коректності, які оформлені у вигляді леми та теореми.

4. Запропонований числовий алгоритм розв'язування та дослідження початково-крайових задач математичних моделей, який враховує їх специфіку та забезпечує економність обчислювального процесу. Алгоритм базується на застосуванні напіваналітичного методу скінченних елементів з розвиненням в ряд за базисними функціями, побудованими на основі поліномів Лежандра, для дискретизації шуканого розв'язку за просторовими змінними та різницевої схеми Кранка-Ніколсона для дискретизації за часовою змінною.

5. Отримано енергетичне рівняння та встановлено апріорні оцінки наближеного розв'язку. На їх основі доведена теорема існування та єдиності слабкого розв'язку варіаційної задачі, а також зроблено висновки про збіжність та стійкість числового методу. Доведена теорема про оцінку швидкості збіжності числової схеми.

6. Розроблений проблемно-орієнтований комплекс програм, що реалізує описаний числовий алгоритм. Проведені числові експерименти, з використанням створеного програмного забезпечення, підтверджують ефективність запропонованої математичної моделі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Дяконюк Л.М., Муха І.С., Савула Я.Г. Моделювання і дослідження тепломасоперенесення у багатошарових середовищах з тонкими включеннями // Доп. нац. АН України . - 1998. - №12,. - С.101-107.

2. Дяконюк Л., Кухарський В., Савула Я. Математичне моделювання процесів теплопровідності у багатошарових середовищах із тонкими включеннями // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. - Львів. - 2000. - Т.1. - C.212-215.

3. Дяконюк Л.М, Савула Я.Г. Комп'ютерне моделювання теплоперенесення у шарі з тонким покриттям // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - Вип.50. - 1998. - C.93-95.

4. Дяконюк Л.М. Аналіз варіаційної задачі ієрархічної моделі пониженої вимірності теплопровідності в багатошарових середовищах з тонкими включеннями. // Волинський математичний вісник. - 2001. - Вип. 8. - С.61-64.

5. Дяконюк Л.М., Савула Я.Г. Дослідження задачі теплоперенесення через тривимірне тіло з тонким плоским покриттям // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1996. - Вип.44, - C.10-18.

6. Дяконюк Л.М., Савула Я.Г. Чисельний аналіз теплопровідності в системі плівка-підкладка // Досвід розробки і застосування САПР в мікроелектроніці: Тези доп. 5-ої Міжнародної науково-технічної конференції (1999 р., м. Львів). - Львів. - 1999. - С.14-17.

7. Дяконюк Л.М., Савула Я.Г., Сипа І.М. Нелінійна теплопровідність у середовищі з тонким покриттям // Тези доповідей наукової конференції “ Нелінійні проблеми аналізу”. - Івано-Франківськ: Плай. - 1996. - С.33.

8. Дяконюк Л.М. Дослідження ефекту критичної температури з використанням математичної моделі теплопровідності для багатошарових середовищ // XVI Відкрита науково-технічна конференція молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України: Матеріали конференції. - 2001. - С.159-162.

9. Савула Я.Г., Дяконюк Л.М. Чисельне моделювання тепло-масопереносу у середовищах з тонким покриттям // Волинський математичний вісник. - Вип.2. - 1995. - С.137-139.

10. Савула Я.Г., Дяконюк Л.М. Дослідження варіаційної задачі теплопровідності у багатошарових середовищах з тонкими включеннями // Вісник ЛНУ ім. І. Франка, Сер. прикл. матем. та інформат. - Вип.3. - 2000. - С. 125-130.

11. Савула Я.Г., Копитко М.Ф., Кухарський В.М., Дяконюк Л.М.Числові схеми на основі МСЕ для розв'язування задач адвекції-дифузії в неоднорідних середовищах. // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. Матеріали VI Міжнародної наукової конференції. -Львів, 2003. -С. 186-188.

АНОТАЦІЇ

Дяконюк Л.М. Математичне моделювання дифузійного тепломасоперенесення у середовищах з тонкими покриттями та включеннями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригала НАН України, Львів, 2003.

У дисертації на основі варіаційного підходу побудована математична модель нестаціонарного процесу дифузії у середовищах з тонкими покриттями та включеннями. Для врахування малих товщин окремих шарів використано гетерогенний підхід, який передбачає пониження вимірності ключових рівнянь математичної моделі в областях тонких включень.

Сформульована варіаційна задача та досліджені питання коректності її розв'язку. Розроблена чисельна схема дослідження описаних задач, яка базується на напіваналітиному методі скінченних елементів для дискретизації варіаційної задачі по просторових змінних та різницевою схемою Кранка-Ніколсона для дискретизації по часу.

Ключові слова: дифузія, теплопровідність, неоднорідне середовище, тонкий шар, напіваналітичний метод скінченних елементів.

Дяконюк Л.М. Математическое моделирование диффузии тепла и массы в средах с тонкими покрытиями и включениями. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук за специальностью 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт прикладных проблем механики и математики имени Я.С. Пидстрыгача НАН Украины, Львов, 2003.

В диссертации на базе вариационного подхода построена математическая модель нестационарного процесса диффузии в многослойных средах с тонкими покрытиями и включениями. Для учета малых толщин отдельных слоев использован гетерогенный подход, который предусматривает понижение размерности исходных уравнений математической модели по пространственным переменным в областях тонких включений. В результате применения гетерогенного подхода построена математическая модель, которая состоит из дифференциальных уравнений в частных производных разной мерности по пространственной переменной. Эти уравнения связаны в систему неклассическими граничными условиями сопряжения. Предложенный подход позволяет избежать трудности, возникающих на этапе применения численных методов.

Для системы уравнений гетерогенной математической модели диффузии тепла и массы в неоднородных средах с тонкими покрытиями и включениями сформулирована вариационная задача. При этом граничные условия сопряжения, выражающие равенства потоков, включены в класс естественных граничных условий. Показано, что билинейные формы, содержащиеся в вариационной постановке, являются симметричными, непрерывными и эллиптическими. Для получения приближенного решения и теоретического исследования начально-краевых задач применяется полудискретизация по Галеркину.

Построено энергетическое уравнение и априорные оценки приближенного решения. На их базе доказаны теорема существования и единственности слабого решения, сходимость и стойкость числового решения.

Разработана численная схема решения начально-краевых задач математических моделей, которая учитывает их специфику. Алгоритм базируется на использовании полуаналитического метода конечных элементов для дискретизации по пространственным переменным и разностной схемы Кранка-Николсона для дискретизации по часовой переменной. Установлена оценка скорости сходимости приближенного решения. При решении тестовых и модельных задач используются изопараметрические квадратичные аппроксимации МКЭ и разложения в ряд приближенных решений по базисным функциям, построенным на основе полиномов Лежандра. Для численного решения больших систем результирующих линейных алгебраических уравнений в работе используется суперэлементный подход.

Создан программный комплекс, который позволяет на базе построенного алгоритма решать практически важные задачи. С его помощью получены результаты ряда тестовых и модельных задач. Результаты проведенных расчетов иллюстрируют эффективность предложенного численного алгоритма.

Ключевые слова: диффузия, теплопроводность, неоднородная среда, тонкий слой, полуаналитический метод конечных элементов.

Dyakonuk L.M. Mathematical modeling of heat and mass diffusion in environments with thin coverings and inclusions. - Manuscript.

Thesis for the candidates degree in physical and mathematical sciences on speciality 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods. - Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics named after Ya.S. Pidstrigatch, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv, 2003.

A mathematical model of diffusion process in the environments with thin covers and inclusions based on the variational principle was developed in thesis.

A heterogeneous approach was applied to take into account small thickness of the layers. It forsces the dimension decrease of key equations of mathematical model in the regions of thin inclusions.

Varitional problem was formulated and explored the correctness of its solution. The numerical method for above-mentioned class of problems based on Semianalytical Finite Element Method for the space variable discretization and Crank-Nickolson differential scheme for time discretization was developed.

Key words: diffusion, heat transfer, thin layer, no uniform medium, Semianalitical Finite Element Method.

Размещено на Allbest.ru