Обработка результатов измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Обработка результатов измерений



Измерением называется отображение ФВ их значением при помощи эксперимента и расчетов с применением специальных технических средств. Любое измерение включает в себя 3 основных этапа.

1. Подготовка к измерению, содержанием которой является:

а) постановка измерительной задачи;

б) выбор метода и СИТ, их размещение;

в) обеспечение необходимых условий проведения эксперимента.

При этом под методом измерений понимают последовательность операций с использованием СИТ для получения результата измерения.

Метод измерения не стоит путать с принципом измерения, под которым понимают совокупность физических явлений, на которых основаны измерения, например, измерения температуры с использованием термоэлектрического эффекта.

2. Измерительный эксперимент, включающий в себя 3 операции:

а) измерительное преобразование;

б) воспроизведение измеряемой величины единичного размера;

в) сравнение измеряемой величины с единицей измерения.

3. Обработка экспериментальных данных, в результате которой получают значение измеряемой величины и оценку погрешности измерений с заданной вероятностью.

Конкретная реализация перечисленных этапов зависит от вида измерения. логарифмический линеаризация корреляционный погрешность

Измерения традиционно разделяются по многим классификационным признакам. Рассмотрим одну из многих среди существующих разновидностей классификации по наиболее существенным традиционным признакам.

Классификация по измеряемым физическим величинам - наиболее громоздка, поскольку в настоящее время их существует более 2000. Наиболее детально разработанная классификация такого рода содержит пять ступеней: области, виды, отрасли, подвиды и разновидности.

Области измерений соответствуют разделам физики (механика, оптика, электричество и т.д.).

Виды измерений определяются непосредственно измеряемыми величинами (измерение температуры, скорости, объема, массы и т.п.).

Отрасли разграничивают виды по диапазонам измерений (например, низкие, высокие, средние температуры, частоты, мощности и т.д.).

Подвиды разграничивают виды измерений в зависимости от особенностей объекта исследований (например, измерение расстояний в астрономии, под водой, толщины пленок, шероховатости и т.д.).

Разновидности - разделение подвидов на подмножества в зависимости от измеряемого параметра. Например, для измерения напряжения электрического тока различают измерения постоянных и переменных напряжений.

Если измерения основаны на наблюдении основных величин и использовании значений физических констант, они называются абсолютными, в противном случае - это относительные измерения. То есть абсолютные измерения - это измерения производной величины в соответствии с ее размерностью. Измерение основной величины может быть только абсолютным. Например, измерение длины в метрах, силы тока в амперах, скорости как расстояния деленного на время. Примером относительных измерений может быть измерение мощности электрического тока по температуре резистора, нагретого за счет рассеиваемой в нем мощности (калориметрический метод измерения мощности на СВЧ) или измерение безразмерных величин как отношение размерных (коэффициент усиления усилителя, относительная влажность воздуха и т.д.).

По режиму использования СИТ измерения делят на статические - измерение величины, размер которой можно считать неизменным за время измерения и динамические - измерения величины, размер которой нельзя считать неизменным за время измерения.

По количеству наблюдений при измерении различают измерения с однократными и многократными наблюдениями. Многократные наблюдения, как будет показано далее, дают возможность повысить точность измерения за счет применения статистических методов обработки данных.

В зависимости от достигаемой точности измерения делят на прецизионные измерения, контрольно-проверочные и технические измерения.

Первый случай (прецизионные измерения) относится к измерениям при метрологических исследованиях, особо ответственных измерениях, в которых измерения производятся наиболее точно с учетом индивидуальных свойств используемых СИТ и результатов дополнительных измерений, выполняемых для контроля условий измерений. В этом случае осуществляется апостериорная оценка точности измерений.

Контрольно-проверочные измерения относятся к группе измерений, для которых производится приближенная апостериорная оценка точности.

Технические измерения - наиболее распространенный вид измерений, эти измерения осуществляются с наименьшей точностью, обработка экспериментальных данных минимальна, а точность измерений оценивается априорно, в рамках аттестации методики выполнения измерений.

Важнейшим признаком классификации является разделение измерений в зависимости от уравнения измерений на прямые, косвенные, совместные и совокупные. Для этих видов измерений ниже будут рассмотрены способы обработки их результатов.

Прямые измерения

Под прямыми измерениями понимают измерения, при которых значения величины находят непосредственно. В них измеряемая величина прямо пропорциональна непосредственно наблюдаемой

, (1)

где - известный коэффициент;

- поправка, вводимая в результат измерения.

Коэффициент известен априорно, исходя из анализа схемы включения СИТ (непосредственно или через усилитель, аттенюатор), предела измерений и т.д. Поправка представляет собой исключаемую часть систематической погрешности и также известна априорно. Она равна по абсолютной величине и противоположна по знаку показаниям СИТ при нулевом значении измеряемой величины.

Прямые измерения - наиболее распространенный и простой вид измерений. Эти измерения являются составным элементом косвенных, совместных и совокупных измерений. Прямые измерения можно производить путем однократных и многократных наблюдений. Выбор количества наблюдений определяется требованиями к точности измерения и степени трудоемкости обработки их результатов.

Наиболее распространенными на практике являются измерения с однократными наблюдениями (однократные измерения), как наиболее простые, производительные и дешевые. Однократные измерения производятся обычно в тех случаях, когда допускается погрешность измерения, достигающая удвоенного среднеквадратического отклонения (СКО) случайной составляющей погрешности СИТ.

Измерения с многократными наблюдениями (многократные измерения) производятся при повышенных требованиях к точности измерений. Такие измерения характерны для профессиональной метрологической деятельности и выполняются в основном сотрудниками метрологических служб, а также при тонких научных экспериментах. Это сложные, трудоемкие и дорогостоящие измерения, целесообразность которых должна быть всегда убедительно обоснована.

Обработка результатов прямых измерений с однократными наблюдениями

Прямые однократные измерения проводят с числом наблюдений не более трех. Повторные наблюдения в этом случае служат для страховки от совершения промахов и грубых погрешностей. Для оценивания общей погрешности результатов прямых измерений с однократными наблюдениями необходимо априорно знать значения всех ее систематических и случайных составляющих. Порядок обработки заключается в следующем.

1. Анализируется схема измерения, априорная информация об условиях проведения измерения, метрологические характеристики применяемой аппаратуры.

2. Производится одно-три наблюдения значения измеряемой величины. Результат одного из наблюдений, не содержащих грубых ошибок и промахов, с учетом анализа схемы измерений и априорной информации, переводят в оценку результата измерения в соответствии с уравнением измерения (3.1).

3. Находят суммарную оценку неисключенных систематических погрешностей. Если эти погрешности постоянны, то суммирование их границ производится арифметически. Для условно постоянных составляющих применяются статистические способы суммирования, так как это делалось в предыдущем разделе для случайных погрешностей, заданных границами. Обычно считается, что в пределах границ составляющие неисключенных систематических погрешностей распределены равновероятно. Тогда для суммирования границ составляющих применяется выражение (2.66) в котором коэффициент КP , для числа слагаемых больше четырех, принимается равным 0,95; 1,1 и 1,4 для вероятностей, соответственно, 0,9; 0,95 и 0,99. При малом числе слагаемых предлагается сравнить полученную таким образом суммарную границу с арифметической и принять в качестве окончательной границы меньшее значение.

4. Производят суммирование оценок СКО случайных погрешностей

. (2)

5. Задавшись доверительной вероятностью , с учетом закона распределения суммарной случайной погрешности (см. подраздел 2.6), находят её границы

. (3)

6. Производят суммирование систематической и случайной погрешностей. Предварительно выявляется соотношение между границами суммарной неисключенной систематической погрешности и СКО случайной погрешности

. (4)

Если , то систематической погрешностью пренебрегают и в качестве доверительных границ результата принимают доверительные границы составляющей . Если , то пренебрегают случайной составляющей и в качестве границы погрешности результата измерения принимают границу суммарных неисключенных остатков систематической погрешности. При промежуточных значениях суммарную погрешность результата измерения находят по формуле

, (5)

где коэффициент находят из графика на рис.1.



Во многих случаях можно принять максимальные значения коэффициента K = 0,8 для Р= 0,95 и К= 0,85 для Р=0,99.

Записывают результат измерения в виде

; (6)

или . (7)



Обработка прямых измерений с многократными наблюдениями

При обработке многократных измерений решают две задачи.

Во-первых, определяют некоторое приближенное значение измеряемой величины, называемое оценкой и наилучшим образом соответствующее полученным результатам. Во-вторых, определяют вероятные отклонения результатов измерений от оценки измеряемой величины.

Цель обработки результатов многократных измерений состоит в том, чтобы уменьшить значение случайной погрешности.

При статистической обработке результатов наблюдений следует выполнить следующие операции.

1. Исключить из результатов наблюдения грубые погрешности (промахи).

2. Исключить известные систематические погрешности результатов наблюдений.

3. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений или другую оценку математического ожидания, применяемую за результат измерений.

4. Вычислить оценку СКО результата наблюдения .

5. Вычислить оценку СКО результата измерения

6. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат выбранному закону распределения.

7. Вычислить доверительные границы случайной погрешности результата измерения.

8. Вычислить границы неисключенной систематической погрешности результата измерения.

9. Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

Порядок выполнения операций, перечисленных в пунктах 1-5, был рассмотрен нами в предыдущих подразделах. Рассмотрим порядок выполнения операций 6, 7.

6. Проверка гипотезы о принадлежности результатов наблюдений выбранному закону должна производиться только при числе наблюдений от 10-15 до 20-30. При n < 10-15 гипотеза не проверяется в силу небольшого объема выборки. При n > 20-30 среднее арифметическое результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения, распределено по нормальному закону (согласно центральной предельной теореме теории вероятности), поэтому для определения границ случайной погрешности результата измерения такая проверка не требуется.

7. Границы случайной погрешности результата измерения определяют по формуле (3)

,

где доверительный коэффициентберется в зависимости от числа наблюдений, закона распределения результатов наблюдения и доверительной вероятности

Обработка нескольких групп прямых измерений с многократными наблюдениями

На практике одну и ту же величину могут измерять разными СИТ, в разное время или в разных условиях, получая несколько (больше одной) групп наблюдений. Для повышения точности естественно объединить эти результаты, т.е. выполнить совместную обработку этих групп.

Однако, объединение групп наблюдений возможно далеко не всегда. К повышению точности объединение результатов приведет лишь при определенных условиях, а именно при статистической однородности групп наблюдений.

Статистическая однородность групп наблюдений заключается в выполнении следующих условий:

1) наблюдения в группах распределены по одному и тому же закону;

2) средние арифметические групп различаются незначительно;

3) дисперсии групп различаются незначительно (т.е. результаты равнорассеяны или, как говорят, равноточны).

Проверка соответствия распределения наблюдений в группах одному и тому же закону осуществляется с помощью критериев согласия (см. пп. 2.3.2).

Дальнейшая проверка статистической однородности осуществляется с помощью аппарата математической статистики, называемого дисперсионным анализом.

Проверка однородности групп по математическому ожиданию при числе групп L 3 осуществляется с помощью критериев Аббе или Фишера, рассмотренных в пп. 2.5.2.

Для L=2 алгоритм осуществления этой проверки приведен на рис. 3.5.

Он состоит в следующем.

1. Определяются средние арифметические для каждой группы наблюдений по формулам

(8)

где x1i, x2j- результаты наблюдений из 1-й и 2-й групп;

2. Определяется модуль разности полученных средних арифметических:

. (9)

3. Определяется оценка дисперсии результатов наблюдений в каждой из групп по формулам

(10)

4. Определяется суммарная оценка дисперсии результатов измерения этих групп:

. (3.11)



5. По заданной доверительной вероятности РД , считая закон распределения модуля разности средних арифметических наблюдений групп нормальным (для n1+n2 > 30), определяем по табл. 2.1 значение коэффициента tp, после чего производится сравнение G и .

Если G , отклонение средних арифметических групп считается несущественным и можно переходить к проверке групп на равнорассеянность (равноточность). В противном случае объединять группы нельзя.



Для проверки равнорассеянности (равноточности) измерений в группах следует воспользоваться следующим алгоритмом.

1. По вычисленным значениям и определяется величина

или , так, чтобы .



2. Выбирается доверительная вероятность и по табл. А.7 распределения Фишера (а именно по такому закону оказывается распределенной величина ) находится значение параметра 0 для заданных n1+n2.

3. Производится сравнение и 0. Если < 0 , серии измерений считаются равнорассеянными, если > 0 , серии неравнорассеяны (неравноточны).

В зависимости от полученных результатов производится дальнейшая обработка групп измерений.

Измерения равноточные.

Оценку математического ожидания результатов наблюдений (результат измерения) для объединенных групп определяют по формуле

(3.12)

Оценка дисперсии результата измерения, очевидно, описывается выражением

Для преобразования этого выражения величину представим как

. (3.13)

Так как с учетом выражения (3.13)

то эту сумму можно записать следующим образом

и

то окончательное выражение для оценки дисперсии результата измерения будет иметь вид

. (3.14)

Измерения неравноточные.

При неравнорассеянных результатах измерения в группах их объединение осуществляется таким образом, чтобы получить наиболее эффективную оценку математического ожидания. Эту оценку будем искать, используя принцип максимального правдоподобия (пп. 2.3.1).

Если средние арифметические в группах можно считать распределенными по нормальному закону, то функцию правдоподобия можно представить в виде

. (3.15)



Логарифмическая функция правдоподобия

. (3.16)

Нам нужно найти эффективную оценку , поэтому приравниваем нулю производную по

.

Отсюда

. (3.17)

Это так называемое средневзвешенное, которое принимается за оценку математического ожидания объединенных групп.

Для равных дисперсий получаем выражение (3.12).

Оценка дисперсии

. (3.18)

После получения оценок дисперсии вычисляют границы случайной погрешности по формуле (3.3), в которой tP для (n1+ n2) > 30 , берется для нормального распределения.

Косвенные измерения

При косвенных измерениях значение искомой величины находят по результатам прямых измерений других величин, с которыми измеряемая величина связана функциональной зависимостью. Пример косвенных измерений - измерение удельного сопротивления проводника по результатам измерения его сопротивления , площади поперечного сечения и длины .

В общем случае при косвенных измерениях имеет место нелинейная зависимость между измеряемой величиной и её аргументами

(3.19)

Если каждый из аргументов характеризуется своей оценкой и погрешностью

то (3.19) запишется в следующем виде:

(3.20)

Выражение (3.20) можно разложить в ряд Тейлора по степеням :

,

где - остаточный член ряда.

Из этого выражения можно записать абсолютную погрешность измерения X

(3.21)

Если принять R0 =0, что справедливо при малых погрешностях аргументов (xi0), то получаем линейное выражение для погрешности измерения. Такая операция называется линеаризацией нелинейного уравнения (3.19). В получаемом в этом случае выражении для погрешности - коэффициенты влияния, а Wixi - частные погрешности.

Пренебречь остаточным членом при оценке погрешности допустимо не всегда, т.к. в этом случае оценка погрешности оказывается смещенной. Поэтому, когда связь между X и xi в выражении (3.19) нелинейная, проверяют допустимость линеаризации по следующему критерию

, (3.22)

где в качестве остаточного члена берут член ряда второго порядка

Если известны границы погрешностей аргументов (случай наиболее часто встречающийся при однократных измерениях), то легко определить максимальную погрешность измерения X:

. (3.24)

Эту оценку обычно принимают при однократных измерениях и числе аргументов меньше 5.

При нормальном распределении всех аргументов и одинаковых доверительных вероятностях, выражение (3.25) упрощается

. (3.26)

Обычно, особенно при однократных измерениях, законы распределения аргументов неизвестны, а вид суммарного распределения определить практически невозможно, учитывая трансформацию законов распределения при нелинейной связи измеряемой величины X и её аргументов. В этом случае в соответствии с методом ситуационного моделирования принимают закон распределения аргументов равновероятным. При этом доверительная граница погрешности результата косвенного измерения определится по формуле

, (3.27)

где зависит от выбранной вероятности , числа слагаемых и соотношения между ними. Для равных по величине слагаемых и для=0,95 -=1,1; для =0,99 - =1,4.

Погрешности результатов измерения аргументов могут быть заданы не границами, а параметрами систематических и случайных составляющих погрешностей - границами и СКО. В этом случае оценивают отдельно систематическую и случайную составляющие погрешности косвенного измерения, а затем объединяют полученные оценки.

Что касается суммирования систематических погрешностей (или их неисключенных остатков), то оно осуществляется в зависимости от наличия сведений о распределении погрешностей с использованием выражений (3.24) - (3.27), в которых вместо погрешностей измерений аргументов следует подставить соответствующие границы для систематических погрешностей .

Случайные погрешности результатов косвенных измерений суммируются следующим образом.

Погрешность результата косвенного наблюдения, имеющего случайные погрешности аргументов j будет равна

Определим дисперсию этой погрешности

;

т.к. последнее слагаемое равно нулю, то

(3.28)

В этом выражении - ковариационная функция (корреляционный момент), равный нулю, если погрешности аргументов независимы друг от друга.

Вместо ковариационной функции часто пользуются коэффициентом корреляции

(3.29)

В этом случае дисперсия результата наблюдения будет иметь вид

. (3.30)

Для получения дисперсии результата измерения необходимо разделить это выражение на число измерений n.

В этих выражениях rij - коэффициенты попарной корреляции между погрешностями измерений. Если rij = 0, то второе слагаемое в правой части (3.30) равно нулю и общее выражение для погрешности упрощается. Значение rij либо известно априорно (в случае однократных измерений), либо (для многократных измерений) его оценка определяется для каждой пары аргументов xi и xj по формуле

Наличие корреляционной связи между погрешностями аргументов имеет место в том случае, когда аргументы измеряются одновременно, однотипными приборами, находящимися в одинаковых условиях. Причиной возникновения корреляционной связи является изменение условий измерения (пульсации напряжения питающей сети, переменные наводки, вибрации и т.д.). О наличии корреляции удобно судить по графику, на котором изображены пары последовательно получаемых результатов измерений величин xi и xj .

При малом числе наблюдений может оказаться, что rij 0 даже при отсутствии корреляционной связи между аргументами. В этом случае необходимо пользоваться числовым критерием отсутствия корреляционной связи, который состоит в выполнении неравенства

, (3.31)

где - коэффициент Стьюдента для заданной вероятности и числа измерений (табл. А5).



Границы случайной погрешности после определения оценки дисперсии результатов измерения определяются по формуле

, (3.42)

где при неизвестном результирующем распределении берется из неравенства Чебышева

.

Неравенство Чебышева дает завышенную оценку погрешности результата измерений. Поэтому, когда число аргументов больше 4, распределение их одномодальны и среди погрешностей нет резко выделяющихся, число измерений, выполненных при измерении всех аргументов превышает 25-30, то определяется из нормированного нормального распределения для доверительной вероятности .

Трудности возникают при меньшем числе наблюдений. В принципе можно было бы воспользоваться распределением Стьюдента, но неизвестно как в этом случае определить число степеней свободы. Точного решения эта задача не имеет. Приближенную оценку числа степеней свободы, называемую эффективной, можно найти по формуле, предложенной Б. Уэлчем

. (3.33)

Имея и заданную вероятность можно найти по распределению Стьюдента и, следовательно, .

Если при разложении в ряд Тейлора необходимо учитывать члены второго порядка, то дисперсию результата наблюдения следует определять по формуле

.

Границы суммарной погрешности измерений оценивают аналогично тому, как это было сделано для случая прямых измерений.

В общем случае, при многократных косвенных измерениях статистическая обработка результатов сводится к выполнению следующих операций:

1) из результата наблюдений каждого аргумента исключаются известные систематические погрешности;

2) проверяют, соответствует ли распределение групп результатов каждого аргумента заданному закону распределения;

3) проверяют наличие резко выделяющихся погрешностей (промахов) и исключают их;

4) вычисляют оценки аргументов и параметры их точности;

5) проверяют отсутствие корреляции между результатами наблюдений аргументов попарно;

6) вычисляют результат измерений и оценки параметров его точности;

7) находят доверительные границы случайной погрешности, неисключенную систематическую погрешность и общую погрешность результата измерения.

Частные случаи вычисления погрешностей при косвенных измерениях

Наиболее простыми, но распространенными случаями зависимости между аргументами при косвенных измерениях являются случаи линейной зависимости, степенных одночленов и дифференциальной функции.

В случае линейной зависимости

(3.34)

не требуется проведения линеаризации выражения для погрешности, которое, очевидно будет иметь вид

.

То есть, вместо коэффициентов влияния можно использовать коэффициенты из выражения (3.34). Дальнейшее определение погрешности измерения будет производиться аналогично косвенным измерениям с линеаризацией.

. (3.35)

 Из этого выражения можно определить коэффициенты влияния

. (3.36)

Подставляя (3.36) в (3.35) и деля обе части на , получаем искомую относительную погрешность

, (3.37)

где - относительные погрешности измерения аргументов.

Таким образом, в случае уравнения измерения в виде степенных одночленов и представлении погрешностей в относительной форме, в качестве коэффициентов влияния берутся степени соответствующих одночленов.

Практический прием нахождения коэффициентов влияния при выражении погрешностей в форме относительных погрешностей состоит в том, что уравнение измерения сначала логарифмируют, а потом дифференцируют. В рассматриваемом случае

;

.

То есть полученное выражение аналогично (3.37).

В метрологии часто встречается дифференциальная функция вида

Дисперсия результата измерения в этом случае будет равна

.

Малое значение дисперсии может быть только в случае, когда в этом случае

а при

Во всех остальных случаях отлично от нуля. При отсутствии корреляции

Максимальное значение дисперсии результата измерения будет в том случае, когда в этом случае

Таким образом, при измерении малых разностей дисперсия результата измерения может быть соизмерима с самим результатом измерения.

Критерий ничтожных погрешностей

Не все частные погрешности косвенных измерений играют одинаковую роль в формировании итоговой погрешности результата.

Поэтому интересно оценить, при каких условиях их присутствие не оказывает влияния на результат измерения.

При вероятностном суммировании результирующая погрешность будет равна

.

При отбрасывании k-й погрешности

,

откуда следует

и, следовательно,

.

Отличие между и можно считать незначительным, если оно не будет превышать погрешности округления при выражении значения погрешности результата измерения. Так как последняя не должна выражается более чем двумя значащими цифрами, а максимальная погрешность округления не будет превышать половины старшего отбрасываемого разряда, то отличие между и будет незначительным, если

.



С учетом предыдущего выражения

;

откуда .

Таким образом, частной погрешностью можно пренебречь в том случае, когда она в три раза меньше, чем суммарная погрешность косвенного измерения.

Совместные измерения

Совместными называются проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними

. (3.38)

Наиболее часто на практике определяют зависимость Y от одного аргумента x

(3.39)

При этом совместно измеряют n значений аргумента xi, i = 1, 2,... , n и соответствующие значения величины Yi и по полученным данным определяют функциональную зависимость (3.39). Этот случай мы и будем рассматривать в дальнейшем. Применяемые при этом методы прямо переносятся на зависимость от нескольких аргументов.

В метрологии совместные измерения двух аргументов применяются при градуировке СИТ, в результате которой определятся градуировочная зависимость, приводимая в паспорте СИТ в виде таблицы, графика или аналитического выражения. Предпочтительнее всего задавать ее в аналитическом виде, поскольку такая форма представления наиболее компактна и удобна для решения широкого круга практических задач.

Примером совместных измерений может служить задача определения температурной зависимости сопротивления терморезистора

R(t) = R20 + (t-20) + (t -20)2,

где R20 - сопротивление терморезистора при 20 оС;

, - температурные коэффициенты сопротивления.

Для определения R20 , или производится измерение R(t) в n температурных точках (n>3) и по этим результатам определяется искомая зависимость.

При определении зависимости в аналитическом виде следует придерживаться следующего порядка действий.

1. Построить график искомой зависимости Y=f(x).

2. Задать предполагаемый функциональный вид зависимости

Y=f(x, A0, A1, … Am), (3.40)

где Aj - неизвестные параметры зависимости.

Вид зависимости может быть известен либо из физических закономерностей, описывающих явление, положенное в основу работы СИТ, либо на основе предыдущего опыта и предварительного анализа данных (анализ графика искомой зависимости).

3. Выбрать метод определения параметров этой зависимости. При этом необходимо учитывать выбранный вид зависимости и априорные сведения о погрешности измерения xi и Yi.

4. Вычислить оценки параметров A j зависимости выбранного вида.

5. Оценить степень отклонения экспериментальной зависимости от аналитической, для проверки правильности выбора вида зависимости.

6. Определить погрешности нахождения, используя известные характеристики случайных и систематических погрешностей измерения x и Y.

В современной математике разработаны многочисленные методы решения таких задач. Наиболее распространенными из них является метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод разработал Карл Фридрих Гаусс еще в 1794 г. для оценки параметров орбит небесных тел и до сих пор он с успехом используется при обработке экспериментальных данных.

В МНК оценки параметров искомой зависимости определяют из условия, что сумма квадратов отклонений экспериментальных значений Y от расчетных значений минимальна, т.е.

, (3.41)

где - невязки.

При рассмотрении МНК ограничимся случаем, когда искомая функция - полином, т.е.

. (3.42)

Задача заключается в том, чтобы определить такие значения коэффициентов , при которых выполнялось бы условие (3.41).

Для этого запишем выражение для невязок в каждой экспериментальной точке

(3.43)

Число точек n выбирают значительно больше, чем m+1.

Это, как будет показано ниже, необходимо для уменьшения погрешности определения .

Согласно принципу наименьших квадратов (3.41), наилучшими значениями коэффициентов будут те, для которых сумма квадратов невязок

(3.44)

будет минимальна. Минимум функции многих переменных, как известно, достигается тогда, когда все ее частные производные равняются нулю. Поэтому дифференцируя (3.44), получаем

. (3.45)

Следовательно, вместо исходной условной системы (3.42), которая вообще говоря есть система несовместная, так как имеет n уравнений с m+1 неизвестными (n > m+1), мы получим систему линейных относительно уравнений (3.45). В ней число уравнений при любом n точно равно числу неизвестных m+1. Система (3.45) называется нормальной системой.

Таким образом, поставленная задача заключается в приведении условной системы к нормальной.

Воспользовавшись обозначениями, введенными Гауссом

, ,

и после сокращения всех уравнений на 2 и перегруппировки членов, получим

. (3.46)

Анализируя выражение (3.42) и (3.46) видим, что для получения первого уравнения нормальной системы достаточно просуммировать все уравнения системы (3.42). Для получения второго уравнения нормальной системы (3.42), суммируются все уравнения, предварительно умноженные на xi. То есть, для получения k-го уравнения нормальной системы необходимо умножить уравнения системы (3.42) на и просуммировать полученные выражения.

Наиболее кратко решение системы (3.45) описывается с помощью определителей

; ; … ,

где главный определитель D равен



, (3.47)

а определители DJ получаются из главного определителя D путем замены столбца с коэффициентами при неизвестном АJ на столбец со свободными членами

. (3.48)

Оценка СКО величин , найденных как результат совместных измерений, выражается следующей формулой

(3.49)

где - алгебраическое дополнение элементов главного определителя D, получаемое путем удаления из матриц определителя столбца (j+1) и строки (j+1);

, (3.50)

где - вычисляются при подстановке в каждое условное уравнение оценок искомых величин .Доверительный интервал погрешности определения вычисляют по формуле

, (3.51)

где определяется из распределения Стьюдента по числу степеней свободы (n-m-1) и выбранной доверительной вероятности РД.

При увеличении числа m объем выполненной работы быстро растет и поэтому на практике обычно ограничивается полиномом не выше третьей степени.

МНК и его применению посвящена обширная литература. В ней теоретически показано, что при нормальном распределении погрешностей МНК приводит к оценкам неизвестных, удовлетворяющих принципу максимального правдоподобия.

Определение параметров линейной зависимости

На практике наиболее распространен случай m=1 (линейное уравнение)

Для этого случая из выведенных формул получаем

;

; ; ;

;

;

;

; ; .

Определение параметров неполиномиальных зависимостей с помощью МНК

В результате метрологических исследований нередко приходится сталкиваться со случаем, когда при определении нелинейной зависимости повышение степени полинома в разумных пределах не приводит к существенному уменьшению погрешности аппроксимации. В этом случае применяют следующие приемы.

1. Разбиение области определения функции на несколько участков с последующей аппроксимацией ее на каждом из участков.

2. Преобразование функции

в линейную зависимость

путем замены переменных

.

Этот прием хорошо реализуется для функций следующего вида:

а) показательная

,

для которой в результате замены переменной

,

получаем

, где ;

б) степенная

,

для которой в результате замены переменных

, , где ;

в) логарифмическая

для которой в результате замены переменной

;

г) гиперболическая

,

для которой в результате замены переменной

;

д) дробно-линейная функция первого вида

,

для которой в результате замены переменной

;

е) дробно-линейная функция второго вида

для которой в результате замены переменных

, .

При определении погрешности нахождения оценок , необходимо помнить, что в случаях показательной и степенной функции параметр связан с параметром выражением

.

Поэтому погрешности и будут связаны соотношением

.

Линеаризация нелинейных уравнений методом последовательных приближений

Общий метод решения этой задачи основан на допущении, что несовместность условных уравнений невелика, т.е. их невязки малы. Тогда, взяв из условной системы столько уравнений, сколько в ней неизвестных, их решением находим начальные оценки неизвестных . Полагая далее, что и подставляя эти выражения в условные уравнения, раскладываем условные уравнения в ряды. Сохраняя лишь члены с первыми степенями поправок , получим

.

Переписав полученное выражение в виде

, (3.52)

можно видеть, что мы получили условную систему линейных уравнений относительно поправок . Решение этой системы с помощью МНК дает нам их оценки и СКО. Тогда

Поскольку - неслучайные величины, то

Получив оценки , можно сделать второе приближение и т.д.

Совокупные измерения

Совокупные измерения - измерения, в которых значения нескольких одновременно измеряемых однородных величин находят решением системы уравнений, которые связывают разные комбинации этих величин, измеряемые прямо или косвенно.

Систему уравнений совокупных измерений можно записать в следующем виде

, (3.53)

где i=1,2,…, n; n>m. То есть характерной особенностью совокупных измерений, также как и совместных, является то обстоятельство, что число уравнений больше, чем число неизвестных.

Здесь - результаты прямых измерений различных сочетаний искомых величин x1,x2,…,xm.

Таким образом, в отличие от косвенных измерений, производятся измерения нескольких искомых величин, причем последние находятся в результате решения системы уравнений.

Легко заметить, что система уравнений (3.53) аналогична системе уравнений совместных измерений. Имеется, однако, принципиальное отличие совокупных измерений от совместных, прежде всего в постановке измерительной задачи: в результате совокупных измерений определяется не функциональная зависимость между величинами (как это делается при совместных измерениях), а сами величины, причем величины одноименные.

Несмотря на отличия, обработка экспериментальных данных при совместных и совокупных измерениях, производится практически одними и теми же приемами.

Классическим примером совокупных измерений является измерение емкости двух конденсаторов С1 и С2 по результатам измерения емкости каждого из них в отдельности, а также при параллельном и последовательном их соединении. Такой метод применяется для уменьшения систематической погрешности измерения, различной в разных точках диапазона измерения.

В этом случае, хотя каждое измерение выполняется с одним наблюдением, но в итоге для двух неизвестных будем иметь систему из четырех уравнений

. (3.54)

Последнее уравнение системы - нелинейное, поэтому применим для этой системы метод линеаризации, рассмотренный для случая совместных измерений, и заключающийся в разложении всех уравнений системы в ряд Тейлора. В этом случае получаем следующие значения частных производных

;

;

,

используя которые можно записать исходную систему линейных уравнений



(3.55)

Для решения этой системы необходимо выбрать точки разложения и , близкие к измеренным значениям и . Подставляя и в уравнение системы (3.54) можно найти невязки .

. (3.56)

Подставляя эти невязки в уравнение (3.55), можно получить из нее систему нормальных уравнений (по МНК)

.

Решая систему, получаем и , откуда можно найти

искомые и как

Совокупные измерения широко распространены в метрологической практике, например, при калибровке мер или шкал приборов. В этом случае система уравнений совокупных измерений имеет вид

, (3.57)

где - значения величин, подлежащих определению;

- известные коэффициенты;

- результаты сравнения различных комбинаций сочетаний мер или отметок шкал;

m - количество значений величин, подлежащих определению;

n - количество комбинаций (уравнений).

При калибровке коэффициенты принимают следующие значения:

0 - если не участвует в i-ом измерении;

1 - если измеряется сумма нескольких величин, в которую входит ;

-1 - если сумма нескольких величин сравнивается с .

Если число уравнений равно числу неизвестных, то система (3.57) решается однозначно, а действительные значения измеряемых величин и доверительные интервалы их погрешностей определяются методами обработки косвенных измерений. Однако, для уменьшения погрешностей калибровки производится сравнение большего числа комбинаций, чем количество определяемых значений величин. Тогда оценивание результатов измерений производится как при совместных измерениях. Для решения системы условных уравнений обычно применяют МНК. Этот метод, как уже было сказано, вытекает из принципа максимального правдоподобия и является оптимальным при следующих условиях:

- результаты измерения Y содержат независимые случайные погрешности с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями;

- погрешности имеют нормальное распределение.

При выполнении этих условий получаемые оценки будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

Аналогично рассмотренному в разделе 3.4, можно записать систему уравнений относительно невязок

. (3.58)

Сумма их квадратов будет равна

. (3.59)

Дифференцируя выражение (3.59) по параметрам , получим следующую систему

, (3.60)

преобразуя которую и применяя обозначение Гаусса, получаем нормальную систему уравнений относительно .

. (3.61)

Решение этой системы с помощью определителей имеет вид

, (3.62)

где D - главный определитель системы

, (3.63)

а определитель получается из главного путем замены j -го столбца на столбец со свободными членами

. (3.64)

Оценки СКО определяются по формуле

, (3.65)

где - алгебраическое дополнение главного определителя, получаемое из последнего вычеркиванием j -го столбца и j -й строки;

. (3.66)

Невязки находят при выполнении совокупных измерений (3.58).

Границы погрешности совокупных измерений определяют из выражения

, (3.67)

где ts- коэффициент Стьюдента для (n-m) степеней свободы.

Примером совокупных измерений являются проводимые при калибровке набора из пяти гирь массой m1 = 5 кг, m2 = 2 кг, m3 = 2 кг, m4 = 1кг, m5 = 1кг по образцовой гире массой m0 = 10кг. В этом случае можно получить следующую систему из десяти уравнений:

. (3.68)

Невязки i для этих уравнений получают, проводя сравнения гирь в перечисленных сочетаниях с помощью равноплечих весов, имеющих шкалу для отсчета разности масс.

Обработка результатов полученных совместных измерений осуществляется по формуле (3.63) - (3.67).



Литература

1. З.А. Хрусталева. Метрология, стандартизация и сертификация. Практикум. - М.: КноРус, 2012. - 176 с.

2. В.Д. Мочалов, А.А. Погонин, А.Г. Схиртладзе. Метрология, стандартизация и сертификация. взаимозаменяемость и технические измерения. - М.: ООО "ТНТ", 2012. - 266 с.

3. С.С. Анцыферов, М.С. Афанасьев. Основы теоретической метрологии. - М.: ИКАР, 2012. - 208 с.

4. Основы аналитической химии. В 2 книгах. Книга 1. Общие вопросы. Методы разделения. - М.: Высшая школа, 2004. - 360 с.

5. Г.А. Садовский. Теоретические основы информационно-измерительной техники. - М.: Высшая школа, 2008. - 480 с.

6. Метрология. Стандартизация. Сертификация. - М.: Юнити-Дана, 2009. - 496 с.

7. И.Ф. Шишкин. Теоретическая метрология. - СПб.: Питер, 2010. - 192 с.

8. А.А. Дегтярев, В.А. Летягин, А.И. Погалов, С.В. Угольников. Метрология. - М.: Академический проект, 2006. - 256 с.

9. Метрология. - М.: Форум, 2011. - 464 с.

10. И.Ф. Шишкин. Теоретическая метрология. Часть 2. Обеспечение единства измерений. - СПб.: Питер, 2012. - 240 с.

11. Поленов. Кинетика Химических Реакций. - М.: , 2010. - 70 с.

12. Юрий Ревич. Занимательная электроника. - СПб.: БХВ-Петербург, 2009. - 720 с.

13. Юрий Ревич. Занимательная электроника. - СПб.: БХВ-Петербург, 2009. - 708 с.

Размещено на Allbest.ru