Асимптотичні властивості інтегралів типу Лапласа і рядів Діріхле

Размещено на http://www.allbest.ru/

Асимптотичні властивості інтегралів типу Лапласа і рядів Діріхле

Інтенсивне дослідження асимптотичних властивостей аналітичних функцій, започатковане наприкінці ХІХ ст., продовжувалось протягом всього ХХ ст. Серед різноманітних підходів до вивчення асимптотичних властивостей аналітичних функцій у залежності від властивостей коефіцієнтів їхніх степеневих розвинень заслуговують на окрему увагу два підходи. Один з них базується на застосуванні техніки перетворень Бореля, Фур'є або їх узагальнень. Ключову роль в іншому - відіграють оцінки загального члена ряду через максимальний, отримувані так званим методом Вімана-Валірона, в основі якого лежить просте спостереження, що, взагалі кажучи, максимальний член у степеневому ряді цілої функції переважає кожен окремо взятий інший член ряду, у більшій мірі, ніж максимальний член довільного степеневого ряду із скінченним радіусом збіжності переважає кожен інший член цього ряду. Розвитку різних аспектів цього підходу присвятили свої дослідження А. Віман, Ж. Валірон, Г. Віттіх, В. Фукс, У. Хейман, Г. Пойа, В. Заксер, Т. Кеварі, І.Ф. Бітлян і А.А. Гольдберг, П. Ердеш і А. Макінтайр, П Фентон, Л. Сонс, П. Ніколс і Л. Сонс, А. Шуміцкі та інші. При цьому ще А. Віман і Ж. Валірон (1914-18 рр.) знайшли за допомогою свого методу чудові теореми про подібність деяких властивостей цілих трансцендентних функцій до властивостей многочленів, що не в останню чергу є джерелом різноманітних застосувань цілих функцій.

Пошуки в класах цілих функцій аналогів інших властивостей многочленів привели А. Макінтайра (1938р.) до методу, в основі якого лежить логарифмічна опуклість логарифмів максимума модуля суми і максимального члена степеневого ряду і який плідно розвивали та застосовували, як сам А. Макінтайр, так і Й.В. Островський, Ш.І. Стреліц, Р. Лондон, В. Фукс, а також багато інших авторів. М.М. Шеремета та його учні успішно застосовували для отримання аналогів теорем Вімана-Валірона у різних класах рядів Діріхле, різні модифікації методу, в основі яких лежать ідеї праць Т. Кеварі (1961 р.), В. Хеймана (1974 р.), П. Фентона (1976-78 р.). Для доведення аналогів нерівності А. Вімана між максимумом модуля і максимальним членом

справедливої для кожної цілої функції і кожного e-->0 при , - множина скінченної логарифмічної міри , П. Розенблум (1962 р.) запропонував ідейно дуже простий підхід, що базується на використанні звичайної нерівності Чебишова для випадкової величини. Пізніше Р. Лондон (1970 р.), М. Стіл (1987 р.), Г.Дж. Крішна (1970 р.), Г.Дж. Крішна і Р.ДЖ. Нагараджа (1977), А. Шуміцкі (1965 р., 1989 р.), Н.М. Сулейманов (1978-81 р.р.), Ю.М. Галь (1986 р.), О.Б. Скасків (1999 р., 2001 р.), О.Б. Скасків і О.М. Трусевич (1998-2001 р.), П.В. Філевич (1996-2002 р.р.) успішно використали підхід, запропонований П. Розенблумом, до вивчення асимптотичних властивостей цілих функцій, цілих випадкових функцій і цілих функцій з швидко осцилюючими коефіцієнтами, для степеневих рядів із скінченним радіусом збіжності та аналітичних розв'язків диференціальних рівнянь і розв'язків рівнянь еволюції з сильно коерцетивним диференціальним оператором, абсолютно збіжних рядів Діріхле, регулярно збіжних функціональних рядів, цілих функцій від декількох змінних.

Характерною особливістю результатів типу Вімана-Валірона із згаданих вище праць є те, що різноманітні асимптотичні співвідношення виконуються зовні виняткових множин. Тому виникає природна проблема знаходження найкраще можливих оцінок величин виняткових множин, що виникають у різних асимптотичних оцінках. Приклад цілої функції такої, що у нерівності Вімана (1) існує необмежена виняткова множина E(f), побудував в 1975 р. А.А. Гольдберг (див. Вказівку в огляді Гольдберг А.А., Левин Б.Я., Островський И.В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. Фундам. направл./ ВИНИТИ, 1990.-Т.85.-С.5-186). Проте лише недавно знайдено найкраще можливе описання виняткової множини у деяких співвідношеннях: у асимптотичній рівності логарифмів максимуму модуля і максимального члена степеневого ряду цілої функції (П.В. Філевич, 1998 р., 2001 р.), у асимптотичній рівності максимумів модуля цілої функції і модуля її дійсної частини (О.Б. Скасків, П.В. Філевич, 1999 р.), у асимптотичній рівності максимума модуля цілої функції і максимума її дійсної частини (В. Бергвайлер, 1990 р.); у асимптотичних рівностях максимума і мінімума модуля та максимума модуля і максимального члена у випадках цілих функцій зображуваних рядами Діріхле та лакунарними степеневими рядами (Т.М. Сало, О.Б.Скасків, 2000-2001 р.р.); у нерівності Вімана (1) знайдено близьке до остаточного описання виняткової множини (О.Б. Скасків, П.В. Філевич, 1999 р.). Разом з тим у цілому ряді інших випадків, як для цілих функцій, зображуваних степеневими рядами, так і для цілих функцій, зображуваних абсолютно збіжними рядами Діріхле (як для однієї, так і для багатьох змінних) проблема є відкритою. Тому не виникає сумніву в актуальності задачі відшукання точних оцінок виняткових множин, що виникають у асимптотичних співвідношеннях, які розглядаються у різних підкласах класу цілих функцій. При цьому у випадку цілих кратних рядів залишаються відкритими також питання про встановлення аналогів теорем, відомих у випадку цілих рядів Діріхле від однієї змінної, зокрема, питання про отримання асимптотичних оцінок у підкласах кратних рядів Діріхле, що визначаються обмеженнями на зростання суми ряду (або максимального члена) зверху. Видається правдоподібним, що не повинно бути сумніву в актуальності цієї задачі.

Вслід за В.С. Бойчуком і А.А. Гольдбергом (Мат.заметки.-1974.-Т.15, №1.-С.45-53.) та О.Б. Скасківим (Мат.заметки.-1999.-Т.66, №2.-С.282-292.), природно розглянути замість цілих кратних рядів Діріхле подібні задачі для додатних інтегралів типу Лапласа.Добре відома роль інтегралів типу Лапласа в аналізі. Відзначимо, що для інтегралів типу Лапласа (чи близьких до них) є добре розвинена теорія отримання їхніх асимптотик, характерною особливістю якої є наявність припущень стосовно гладкості підінтегральної функції, а також умов типу „відсутності багатьох точок максимума”. Разом з цим, як відзначає Р.С. Юлмухаметов (Исследов. по теории приближ.-Уфа: БНЦ УрО АН СССР, 1988. -С.132-137), у зв'язку з деякими узагальненнями теореми Пелі-Вінера виникає потреба у асимптотичних оцінках інтегралів типу Лапласа певного вигляду без додаткових умов гладкості та рівномірних за підінтегральною функцією у нескінченно віддаленій точці. Слід відзначити також, що різні аспекти задачі оцінки зростання інтегралів типу Лапласа без додаткових обмежень виникали в працях Б.Н. Гінзбурга, Н.В. Говорова і Н.М. Черних, Г. Шопфа, К. Кнопка, Х.Н.Нігама (H.N. Nigam), Ван Піня (Wang Ping), Ю Ші-юнга (Yu Chia-yung, Yu Jia-rong), Жі-ліня (Zhi-lin). Тому актуальність розгляду для додатних інтегралів типу Лапласа, описаних вище для різних класів цілих функцій задач, не викликає сумніву. В інтерпретації для інтегралів типу Лапласа, задачу слід сформулювати у наступному вигляді: без додаткових обмежень щодо підінтегральної функції отримати асимптотичні оцінки інтегралів через максимум підінтегральної функції.

Зв'язок роботи з науковими програмами. Ця робота є складовою частиною досліджень за держбюджетними темами, які виконувались на кафедрі теорії функції і теорії ймовірностей у Львівському національному університеті імені Івана Франка: Мт-380Б ”Аналітичні функції та ряди Діріхле” (номер держреєстрації 0198 U 004855), Мг-379Б “Властивості операторів, аналітичних і субгармонійних функцій, тополого-алгебраїчних структур та їх застосування”, (номер держреєстрації 0198 U 004847), Мт-79Б “Асимптотичні властивості голоморфних функцій, алгебро-топологічні структури та їх застосування” (номер держреєстрації 0101 U 001437). Напрямок досліджень обраний у дисертації передбачений планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження

Метою даної роботи є: знайти точні оцінки виняткових множин у співвідношенні Бореля для цілих і цілих кратних рядів Діріхле та цілих функцій, зображуваних кратними степеневими рядами. Без додаткових обмежень щодо підінтегральної функції отримати асимптотичні оцінки кратних інтегралів типу Лапласа через максимум підінтегральної функції. Знайти необхідні і достатні умови повільного зростання центрального індексу степеневого ряду.

Задачі дослідження

- знайти непокращувані у певному сенсі описання виняткових множин у співвідношенні Бореля, що розглядається в загальних класах цілих і цілих кратних рядів Діріхле та в класі цілих функцій, зображуваних кратними степеневими рядами;

- у підкласах цілих кратних рядів Діріхле, що визначаються обмеженнями на зростання зверху, знайти умови на показники, які забезпечують справедливість узагальнень співвідношення Бореля;

- за умов лише на міру отримати асимптотичні оцінки кратних інтегралів типу Лапласа через максимум підінтегральної функції;

- отримати оцінки зверху інтегралів типу Лапласа з класів, що визначаються обмеженнями на зростання зверху;

- знайти необхідні і достатні умови повільної зміни центрального індексу степеневого ряду.

Об'єктом дослідження є загальні класи цілих кратних рядів Діріхле та кратних інтегралів типу Лапласа, та їхні підкласи, що визначаються деяким фіксованим обмеженням на швидкість зростання таких функцій.

Предметом дослідження є властивості деяких характеристик цілих кратних рядів Діріхле і функцій, зображуваних додатними інтегралами типу Лапласа.

Методи досліджень. Для розв'язування сформульованих вище задач застосовуються методи математичного аналізу, а також деякі ідеї і прийоми з праць П. Розенблума, М.М. Шеремети, В. Хеймана, О.Б. Скасківа. Протягом всієї роботи активно експлуатується імовірнісна нерівність Чебишова.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані у дисертації результати є новими. У дисертації вперше отримано наступні результати:

- отримано найкраще можливе описання величини виняткової множини у асимптотичній рівності логарифмів максимума модуля суми і максимального члена (співвідношення Бореля) для цілих кратних рядів Діріхле і цілих функцій, зображуваних кратними степеневими рядами;

- доведено, що найкращим описанням виняткової множини у співвідношенні Бореля, яке розглядається в класі всіх цілих рядів Діріхле, є скінченність її міри;

- у підкласах цілих кратних рядів Діріхле, що визначаються обмеженнями на зростання зверху, знайдено необхідні і достатні умови на показники, що забезпечують справедливість узагальнень співвідношення Бореля;

- за умов лише на міру, отримано оцінки зверху інтегралів типу Лапласа через максимум підінтегральної функції, справедливі зовні виняткових множин, та встановлено непокращуваність цих умов;

- за обмежень на міру, пов'язаних з додатною функцією, яка визначає максимальну можливу швидкість зростання інтегралу типу Лапласа, знайдено точні оцінки зверху інтегралів через максимум підінтегральної функції;

- знайдено необхідні і достатні умови для того, щоб центральний індекс степеневого ряду був повільно зростаючою функцією.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть знайти застосування у подальших дослідженнях з теорії цілих функцій.

Викладені у роботі результати отримані автором самостійно. У написаних у співавторстві з науковим керівником статтях науковому керівнику належать постановки задач. У статті [2] автору дисертації належать теорема 1 і теорема 2. У статті [7] автору дисертації належить твердження Proposition 1.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації були анонсовані на: Міжнародній науковій конференції у м. Чернівці (1998 р.) , Міжнародній науковій конференції з комплексного аналізу “Цілі і мезоморфні функції”, присвячені 70-річчю з дня народження А.А. Гольдберга у м. Львів (2000 р.), Міжнародній науковій конференції з комплексного аналізу і теорії потенціалу у м. Київ (2001 р.), Міжнародній науковій конференції “Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь” у м. Дрогобич (2001 р.), а також неодноразово доповідались на: Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (керівники: професори А.А. Кондратюк і О.Б. Скасків), Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (керівник проф. М.М. Шеремета), семінарі з теорії аналітичних функцій у м. Дрогобич (керівник проф. Б.В. Вінницький), міському семінарі з теорії аналітичних функцій у м. Харків (керівник проф. А.П. Гришин).

Публікації. Результати дисертації опубліковані у 11 наукових статтях і повідомленнях (2 без співавторів), з яких 6 - у виданнях з Переліку видань, у яких слід опублікувати результати дисертації. Решта публікацій - у фахових виданнях і матеріалах конференцій. Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, двох розділів, висновків, списку умовних позначень та списку літератури із 153 назв на 10 сторінках. Загальний обсяг праці - 160 сторінок. У вступі та першому розділі дисертації обґрунтовується актуальність теми, дається огляд результатів і літератури, що мають безпосереднє відношення до теми, подається загальна характеристика дисертації. У першому розділі також наведено перелік основних результатів дисертації. Підрозділи 2.1 і 2.2 повністю є допоміжними. У підрозділі 2.1, зокрема, наведено деякі властивості конусів зростання, пов'язаних з функціями, представленими для всіх s--Ор+ інтегралами вигляду

Всюди--надалі--в--(2)--n-----зліченно-адитивна--міра--на--р+--з--необмеженим--носієм,--а--f(x)-----додатна--неперервна--на--р+--функція.

У--підрозділі--2.2--наведено--леми--про--оцінки--похідних--додатних--функцій--та--наслідки--для--інтегралів--(2)--з--нерівностей--Чебишова--і--Маркова.

Для--функції--F,--визначеної--інтегралом--(2)--позначимо

suppn}

Всюди--надалі--співвідношенням--Бореля--для--функцій--заданих--рядами--Діріхле--називаємо--асимптотичну--рівність--.

У--підрозділі--2.3--для--функцій--F(s),--зображених--збіжним--для--всіх--s--О?p--інтегралом--(2)доведено--наступну--теорему.

Нехай--р+--.

Теорема 2.3.1. Нехай F - має вигляд (2). Якщо і

то

при для кожного конуса Kp з вершиною у початку координат О такого, що {p вимірна множина Ep така, що , де С(R) - прямий необмежений циліндр в p,визначений вище.

Непокращуваність твердження теореми 2.3.1 обговорюється у підрозділі 2.12. У процесі доведення теореми 2.3.1 доведено також наступне твердження, яке з іншого боку є прямим наслідком теореми 2.3.1.

Теорема 2.5.1. Якщо для і функції F - вигляду (2) виконуються умови і , то співвідношення (5) є правильним при , для кожного конуса K ? ?p з вершиною у точці O такого, що , а локально вимірна множина E така, що при рівномірно за R > 0, .

Теорема 2.5.3. Нехай , і F - має вигляд (2). Якщо виконується умова і існують функції і такі, що виконується умова (3), то нерівність (4) справджується при для кожного конуса K М--p з вершиною у точці O = (0,...,0) такого, що ; множина E p така, що при рівномірно за R > 0.

Теореми 2.5.2 і 2.5.4, встановлені в класі інтегралів вигляду (2), що визначається обмеженням , формулюються подібно до теорем 2.5.1 і 2.5.3, відповідно. При цьому виняткова множина E p така, що для деякої функції такої, що . У порівнянні з теоремою 2.3.1, як у теоремі 2.5.3, так і у теоремі 2.5.4, на функцію накладено дві додаткові умови. Теореми 2.5.5 і 2.5.6, показують, що від цих умов можна відмовитись, але при цьому замість класу слід розглянути клас функцій , для яких виконується умова .

Підрозділ 2.6 присвячений отриманню аналогів класичної нерівності Вімана. Застосування теореми 2.3.1 дає змогу отримати наступне твердження.

Теорема 2.6.1. Нехай існують такі додатні сталі і , що

для кожного .

Тоді для кожної функції F вигляду (2), для кожного ? > 0 існують стала і множина E p скінченої лебегової міри такі, що для всіх є правильною нерівність

для кожного конуса K з вершиною у початку координат O, .

З теореми 2.6.1 отримуємо наслідок 2.6.4 для класу , який в інтерпретації для цілих функцій заданих подвійними степеневими рядами дає результат А.Шуміцкі. Теорема 2.6.2, доведена для функцій вигляду (2), в інтерпретації для подвійних степеневих рядів дає описане вище узагальнення (уточнення) нерівності отриманої П. Фентоном, а в частині опису виняткової множини містить опис даний А. Шуміцкі. Для простоти у випадку подвійних степеневих рядів формулюється лише один частковий випадок змальованої ситуації (наслідок 2.6.5).

У підрозділі 2.7 встановлюємо непокращуване описання виняткової множини у співвідношенні Бореля для цілих функцій, заданих кратними степеневими рядами. Використовуючи міркування, подібні до проведених у підрозділі 2.6, а також теорему з статті (Філевич П.В.// Укр..мат.ж.-2001.-Т.53, N 2.-С.286-288.), доводимо наступну теорему.

У підрозділі 2.8 встановлюємо в класі точність оцінки виняткової множини E, встановленої в теоремі з статті (Скаскив О.Б.//Мат.заметки.- 1985.-Т.37, N 1.-С.41- 47.), зовні якої виконується співвідношення Бореля. Теорема 2.8.1 показує, що скінченність міри виняткової множини E у певному сенсі непокращуване оцінка її величини у співвідношенні Бореля, яке розглядається в класі всіх цілих рядів Діріхле з невід'ємними показниками.

Нехай h(x) - додатна неперервно диференційовна на [0, +?) функція. Через h - meas(E) позначимо h-міру вимірної на [0, +?) множини E, тобто . Власне з теореми 2.8.1, випливає наступний наслідок.

Теорема 2.9.1. Нехай . Співвідношення Бореля є правильним при , де K1 - довільний конус (кут) з вершиною у початку координат такий, що , а множина E така, що

p

З теореми 2.9.1 отримуємо наступний наслідок.

Теорема 2.10.1. Нехай і при j = 1 і j = 2 виконується умова

Тоді співвідношення Бореля є правильним при для кожного кута K з вершиною у початку координат О такого, що 2+ , а множина E така, що виконується .

За допомогою теореми 2 з статті (М.Н. Шеремета //Мат.заметки. -1987.- Т.42, N 2.-С.215-226) отримуємо теорему 2.10.2, у якій стверджується необхідність умови (11); а вже з теорем 2.10.1 і 2.10.2 отримуємо наступний критерій.

Теорема 2.10.3. Для того, щоб для кожної функції співвідношення Бореля виконувалось при необхідно і досить, щоб при j = 1 і j = 2 справджувалась умова (11); тут кут K і множина E такі, як і в теоремі 2.10.1.

У статті (Н.В.Заболоцький, М.Н.Шеремета //Мат.заметки. -1999.- Т.65, N 2.-С.206-214) автори формулюють таку проблему: знайти необхідні та достатні умови повільного зростання центрального індексу в термінах тейлорових коефіцієнтів цілої функції f.

Розв'язок цієї проблеми отримуємо у підрозділі 2.11.

Зауважимо, що у випадку, коли - послідовність точок стрибка центрального індексу (тобто для і , якщо ), то .

Тому природно виникає задача про знаходження умов повільного зростання лічильної функції n(t) - додатної послідовності ?. При цьому додатну неспадну на функцію ?(t) називаємо повільно зростаючою, якщо . Теорема 2.11.1 містить умови повільного зростання функції h(n(t)), де h(x) - додатна зростаюча до +? неперервно диференційовна на функція така, що ?0 . Вибираючи в теоремі 2.11.1 та отримуємо наслідки 2.11.1 і 2.11.2. Отримані твердження не складно модифікувати для випадку, коли послідовність має кратні точки. Залишаючи загальний випадок повільного зростання h(n(t)) поза розглядом, у теоремі 2.11.2 встановлюємо лише умови повільного зростання лічильної функції n(t), у випадку, коли має кратні точки. Із наслідку 2.11.1 та теореми 2.11.2, за допомогою техніки мажоранти Ньютона отримуємо наступні твердження, у яких міститься розв'язок сформульованої вище проблеми.

Теорема 2.12.1. Нехай - зліченно-адитивна міра на +, для якої , де +:. Існує додатна функція F визначена для всіх s--О+ така, що для деяких і для всіх .

З теореми 2.12.1 отримуємо подібне твердження (наслідок 1.12.1) для функцій заданих інтегралами вигляду (2) за мірою, що є прямим добутком зліченно-адитивних мір на прямій. З наслідків 2.12.1 і 2.3.1 отримуємо наступне твердження.

Висновки

кратний ряд винятковий множина

У даній дисертаційній роботі:

знайдене непокращуване описання виняткової множини у співвідношенні Бореля для цілих функцій, зображуваних кратними степеневими рядами;

- доведено, що скінченність Лебегової міри є непокращуваним описанням виняткової множини у співвідношенні Бореля в класі всіх цілих рядів Діріхле;

- знайдено непокращуване описання виняткової множини у співвідношенні Бореля в класі всіх цілих подвійних рядів Діріхле та доведено критерій справедливості співвідношення Бореля із знайденою оцінкою виняткової множини в класі всіх цілих подвійних рядів Діріхле.

Основним методом доведення, що неодноразово використовується у дисертації є підхід до дослідження асимптотичних властивостей додатних інтегралів, запропонований О.Б. Скасківим, і в основі якого лежить ідея П. Розенблума про використання імовірнісних нерівностей Чебишова і Маркова. За допомогою цього методу, у роботі:

- за обмежень лише на міру знайдено оцінки зверху (що є узагальненням співвідношення Бореля для степеневих рядів) інтегралів типу Лапласа через максимум підінтегральної функції, справедливі зовні виняткових множин;

- за обмежень на міру знайдено оцінки зверху через максимум підінтегральної функції інтегралів типу Лапласа у підкласах таких інтегралів, що визначаються обмеженням на зростання зверху;

- на прикладі узагальненого співвідношення Бореля, яке розглядається в класі всіх цілих кратних рядів Діріхле показано, як з отриманих для додатних інтегралів тверджень отримати різноманітні наслідки для цілих кратних рядів Діріхле;

- для додатних інтегралів типу Лапласа за мірою, яка є прямим добутком мір отримано оцінки, з яких отримано аналоги класичної нерівності Вімана для цілих кратних рядів Діріхле та оцінку виняткової множини у нерівності типу Вімана для подвійних степеневих рядів таку, як у А. Шуміцкі (1965 р.) з уточненням нерівності типу Вімана, подібним, як у П. Фентона (1995 р.).

В ідейному плані з цих результатів випливає, що ефективні асимптотичні оцінки інтегралів досить загального вигляду з підінтегральною функцією взагалі кажучи довільного вигляду можна отримувати за обмежень, що накладаються лише на міру, за якою побудовано інтеграл. Це спостереження може виявитись корисним у подальших дослідженнях асимптотичних властивостей інтегралів залежних від параметрів.

У роботі також висвітлено необхідні і достатні умови справедливості узагальнень співвідношення Бореля у підкласі цілих кратних рядів Діріхле, що визначається обмеженням на зростання зверху і який є аналогом класу цілих рядів Діріхле скінченного порядку за Ріттом.

Крім цього, в роботі знайдено необхідні та достатні умови повільного зростання центрального індексу степеневого ряду, тобто отримано розв'язок проблеми, сформульованої М.В. Заболоцьким і М.М. Шереметою.

Размещено на Allbest.ru