Бесконечные цепные дроби

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Конечные цепные дроби

1.1. Определение конечных цепных дробей

1.2. Подходящие дроби. Их свойства

2. Бесконечные цепные дроби

2.1. Определение бесконечной цепной дроби, её сходимость

2.2. Разложение действительных чисел в цепные дроби

2.3. Разложение числа цепную дробь

2.4. Приближение действительных чисел рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателей

2.5. Приближение действительных чисел бесконечной последовательностью рациональных чисел

2.6. Наилучшие приближения

2.7. Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби

2.8. Уравнение Пелля

3. Решение задач

Заключение

Литература



Введение

Теория чисел является наукой о числовых системах с их связями и законами. При этом в первую очередь уделяется внимание числам натурального ряда, которые являются основой для построения других числовых систем: целых, рациональных и иррациональных, действительных и комплексных.

Теория чисел изучает числа с точки зрения их строения и внутренних связей, рассматривает возможности представить одни числа через другие, более простые по своим свойствам, между тем строгое логическое обоснование понятия натурального числа и его обобщений, а также с ним теория действий рассматриваются отдельно в основаниях арифметики.

Поскольку упомянутые вопросы изучаются в школьном курсе, они объединяются под одним названием арифметики, хотя, как наука, арифметика отождествляется с теорией чисел.

Следует отметить, что в последнее время бурно развиваются новые области математики. В связи с этим возрастает интерес к теории чисел.

Бесконечные цепные дроби, что является темой курсовой работы, один из разделов теории чисел. Впервые цепные дроби были описаны в алгебре Бомбелли, вышедшей в 1572 году. Но современное обозначение для непрерывных дробей встречается у Катальди в 1613 году, только вместо знака «+» он писал «et».

Широкое применение цепные дроби получили начиная с работ известного физика, астронома и математика Христиана Гюйгенса (1629-1695). Гюйгенс рассматривал цепные дроби в связи с задачей подбора зубчатых колес, у которых отношение числа зубцов было возможно ближе к некоторому заданному числу. Число зубцов в таких колесах нельзя было брать слишком большим, так что приходилось отыскивать два сравнительно небольших натуральных числа, отношение которых было близко к заданному числу. Решение задач такого рода, естественно, приводит к рассмотрению цепных дробей и подходящих к ним. Подбор таких зубчатых колес был нужен Гюйгенсу в связи с его намерениями построить модель, имитирующую движение планет в солнечной системе.

Также теория цепных дробей была систематически разработана Эйлером, а затем Лагранжем. Разложение в цепную дробь числа также принадлежит Эйлеру.

И в связи с этим целью курсовой работы является исследование теории цепных дробей. Для достижения этой цели нужно выполнить следующие задачи:

1) изучить понятие цепных дробей и их свойства;

2) изучить приближения действительных чисел (рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателей, бесконечной последовательностью рациональных чисел, наилучшие приближения, квадратические иррациональности);

3) решение уравнений Пелля;

4) рассмотреть использование цепных дробей в других науках.



1. Конечные цепные дроби

1.1 Определение конечных цепных дробей

Рациональные числа можно записывать в различной форме, например, одно и то же число можно записать в виде отношения двух целых чисел или в виде систематической дроби по некоторому основанию g, причем эта систематическая дробь может быть, либо конечной, либо бесконечной, в зависимости от выбора основания системы счисления. Запись в виде систематической дроби имеет ряд преимуществ, особенно при приближенных вычислениях, однако существенные неудобства возникают из-за того, что форма записи зависит не только от рассматриваемых величин, но и от основания системы счисления.

Рассмотрим другую форму записи рациональных чисел, а именно представление их в виде непрерывных или цепных дробей. Большим преимуществом цепных дробей является то, что выражение любого рационального числа в виде цепной дроби не зависит от каких-либо других величин, кроме самого этого числа.

Пусть рациональное число, причем . Применяя алгоритм Евклида для нахождения наибольшего делителя чисел и , получаем конечную систему равенств:

где неполным частным последовательных делений соответствуют остатки с условием , а соответствует остаток 0.

Системе равенств (1) соответствует равносильная система

из которой последовательной заменой каждой из дробей и т. д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби в виде

Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью; при этом предполагается, что -целое число, а --натуральные числа.

Правильные цепные дроби являются частным случаем цепных дробей более общего вида. Сейчас мы будем вести речь только о правильных цепных дробях и поэтому будем просто их называть цепными, или непрерывными дробями.

Имеются различные формы записи цепных дробей:

и др.

Согласно последнему обозначению имеем

Числа называются элементами цепной дроби.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. дробь число знаменатель

Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.

Данный процесс разложения в непрерывную дробь не только справедлив для рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления на является конечным.

Каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, т. е. равна определенному рациональному числу, при этом необходимо потребовать, чтобы было . Заметим, что при отказе от этого условия единственность представимости отпадает.

Вместе с тем условием установлено, что при соблюдении условия между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимооднозначное соответствие.

1.2 Подходящие дроби. Их свойства

Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача - обращения или свертывания цепной дроби в простую дробь .

При этом основную роль играют дроби вида:

Или

которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа .

Заметим, что. Считается, что подходящая дробь имеет порядок .

Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что переходит в , если в первой заменить выражением .

Имеем

,

,

при этом принимается, что, и так далее.

Закономерность, которую замечаем в построении формулы для (ее числителя и знаменателя), сохраняется при переходе к и сохранится также при переходе от .

Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого, где , имеем

Причем

И

Далее, говоря о подходящих дробях (в свернутом виде), будем иметь в виду их форму.

Равенства (2) и (3) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличении они возрастают. Применяется следующая схема, в которую последовательно записываются значения от до по формулам (1).

Теорема 1. Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть

.

Теорема 2. При выполняется равенство

Теорема 3. Числитель и знаменатель любой подходящей дроби - взаимно простые числа.

Теорема 4.Подходящие дроби четного порядка образуют возрастающую последовательность, подходящие дроби нечетного порядка образуют убывающую последовательность.

Две подходящие дроби и, у которых номер отличается на единицу, будем называть соседними.

Теорема 5. Каждая подходящая дробь четного порядка меньше соседних с ней подходящих дробей; подходящая дробь нечетного порядка больше соседних с ней подходящих дробей..

Теорема 6. Любая подходящая дробь четного порядка меньше любой подходящей нечетного дроби.

Теорема 7. Если некоторое рациональное число, тогда подходящие дроби цепной дроби четного порядка есть приближение к числу t по недостатку, подходящие дроби нечетного порядка есть приближение по избытку.

Теорема 8. Если t есть некоторое рациональное число, то есть k-подходящая дробь, тогда



2. Бесконечные цепные дроби

2.1 Определение бесконечной цепной дроби, её сходимость

Взяв две бесконечные последовательности целых чисел

И

напишем выражение

соединяя, таким образом, элементы этих двух последовательностей в указанном порядке знаками и . Выражение (1) будем называть бесконечной непрерывной дробью.

Рассматривая выражение (1), обозначим через так называемую n-ю подходящую дробь

где и знаки сложения и деления, так что - некоторое рациональное число.

Если существует предел при увеличении т. е. если , где некоторое действительное число, то непрерывная дробь (1) называется сходящейся, а называется величиной бесконечной непрерывной дроби (1)

Если все и при все , выражение (1) называется обыкновенной бесконечной непрерывной дробью или бесконечной цепной дробью.

Бесконечной цепной дробью называется выражение вида

где целое число, а все остальные натуральные числа, т. е. при

Будем в дальнейшем записывать выражение (2) в виде

Подходящей дробью к бесконечной цепной дроби (2) называется конечная цепная дробь

(3)

Бесконечная дробь (2) называется сходящейся, если существует предел ее подходящих дробей, т. е.

Величиной бесконечной сходящейся цепной дроби (2) называется предел ее подходящих дробей, т. е. число , такое, что

Если величина (2) равна , будем записывать это в виде

Конечные и бесконечные цепные дроби объединяют общим понятием цепных дробей, понимая под этим выражения вида

где последовательность целых чисел может быть конечной или бесконечной, причем в случае конечной последовательности последний член .

Свойства подходящих дробей к конечной цепной дроби, их числителей и знаменателей справедливы и для подходящих дробей к бесконечным цепным дробям. Действительно, как бы велико ни было , подходящие дроби к бесконечной дроби (2) являются вместе с тем подходящими дробями к конечной цепной дроби так что теоремы верны для всех .

Теорема 1. Если элементы цепной дроби (2), то последовательность чисел и определенная рекуррентными условиями:

и начальными условиями:

обладает тем свойством, что при всех отношение равно n-ой подходящей дроби (3).

Числителями и знаменателями подходящих дробей (3) к бесконечной цепной дроби (2) называются величины и определенные условиями (4) и (5).

Теорема 2. При

Теорема 3. Числитель и знаменатель любой подходящей дроби к бесконечной цепной дроби (2)-взаимно простые числа.

Теорема 4. При всех

Теорема 5. При увеличении номера знаменатели бесконечной цепной дроби, начиная с монотонно, неограниченно возрастают.

Теорема 6. При увеличении числители положительной бесконечной цепной дроби монотонно, неограниченно возрастают.

Теорема 7. Модули расстояний между соседними подходящими дробями монотонно уменьшаются с увеличением номера и стремятся к нулю.

Теорема 8. Подходящие дроби с четными и нечетными номерами образуют систему концов вложенных друг в друга интервалов.

Теорема 8. Любая бесконечная цепная дробь сходится.

Замечание. Величина бесконечной цепной дроби больше любой четной подходящей дроби и меньше любой нечетной подходящей дроби, так что

Для случая, когда цепная дробь конечная, неравенства (7) также верны, однако совпадает с последней подходящей дробью.

Пусть полными частными в разложении будем называть величины определенные равенствами:

при

Теорема 9. Пусть полное частное в разложении тогда

И

где числители и знаменатели s-ый и ()-й подходящей дроби к .

Рассматривая величины при и будем всегда считать:

2.2 Разложение действительных чисел в цепные дроби

Рассмотрим разложение действительных чисел в цепные дроби.

Разложением действительного числа в цепную дробь называется представление в виде

где конечная или бесконечная последовательность целых чисел, такая, что при все , а случае конечного разложения последний элемент

Теорема 1. Пусть разложение в цепную дробь имеет вид:

Введем обозначение

Тогда:

1) т. е. представляет собой s-е полное частное в разложении ;

2) при всех s.

Доказательство. 1) Для конечной цепной дроби это соотношение очевидно. Рассмотрим случай бесконечной цепной дроби. Если предел подходящих дробей к бесконечной цепной дроби равен , то и согласно известным теоремам о пределе суммы и частного.

т. е., действительно,

2) Если цепная дробь конечная и ее последний элемент, то

Если не является последним элементом, то

и, как только что было доказано в первой части,

так что

Теорема 2. Для любого действительного числа существует разложение в цепную дробь.

Доказательство. Пусть нам дано произвольное действительное число . В ранее доказанной теореме, что если рациональное число, то существует конечная цепная дробь, равная .

Рассмотрим теперь случай, когда иррациональное число.

Обозначим через целую часть , а через величину, обратную дробной части т. е. возьмем так что

Поскольку иррационально, также иррациональное число, причем

Таким образом, что для любого иррационального числа можно найти целое число и иррациональное число такие, что . Находя таким же образом для числа и для числа и и т. д., получим:

где при все иррациональные числа и, таким образом, при всех таких числа

Числа образуют бесконечную последовательность целых чисел и, поскольку при взяв эти числа в качестве элементов, составить бесконечную цепную дробь которая согласно теореме 8 предыдущего параграфа сходится.

Докажем, что величина этой цепной дроби равна нашему исходному числу Действительно, из равенства (1) получаем

так что согласно теореме 9 (из предыдущего параграфа) имеем:

И

Поскольку (теорема 4 из предыдущего параграфа) , величина при увеличении становится меньше любого наперед заданного положительного числа, т. е.

Таким образом, что для заданного иррационального числа имеется алгоритм, позволяющий строить цепную дробь, равную Легко проверить, что для рациональных алгоритм (1) совпадает с алгоритмом, построения конечной цепной дроби, причем при рациональном все становится целым числом.

В теореме 2 было доказано, что для любого действительного числа существует, по крайней мере, одно разложение в цепную дробь. Возникает вопрос, могут ли для данного действительного числа существовать различные разложения в цепную дробь, т. е. может ли для некоторого существовать разложение

где целые числа, отличные от тех, которые были получены с помощью алгоритма, примененного при доказательстве теоремы 2.

Разложение любого действительного числа в цепную дробь обладает свойством единственности, а именно: две различные конечные или бесконечные последовательности целых чисел

образуют две различные по величине цепные дроби, т. е. если хотя бы для одного то

При этом, как и раньше, в случае конечных цепных дробей сохраняется условие, что последний элемент больше единицы.

Теорема 3. Для любого действительного числа существует одна и только одна цепная дробь, равная .

Доказательство. Существование цепной дроби, равной , было установлено в теореме 2. Нам надо доказать единственность такой цепной дроби. Пусть

где целые числа, причем при все положительны. Будем считать, что из этих двух цепных дробей, по крайней мере, одна бесконечная, так как случай равенства двух конечных цепных дробей был уже рассмотрен.

Предположим, что эти две цепные дроби отличаются хотя бы одним элементом, и обозначим через первый по порядку номер, такой, что , т. е. предположим, что

Обозначим

Из равенства теорема 1 (часть 1)

получаем но тогда согласно теореме 1 (часть 2) имеем:

что противоречит условию .

Предположение, что действительное число имеет два различных разложения, привело к противоречию, и, таким образом, разложение в цепную дробь может быть только одно.

Теорема 3 показывает, что любое разложение действительного числа в цепную дробь, полученное каким-либо другим методом, отличным от того, который был применен при доказательстве теоремы 2, даст нам ту же цепную дробь, как и в рассмотренном там алгоритме.

Разлагая действительные числа в цепные дроби, для каждого рационального числа имеем единственное разложение, представляющее собой конечную цепную дробь, а для каждого иррационального числа - единственное разложение, представляющее собой бесконечную цепную дробь. В этом отношении разложения действительных чисел в цепные дроби характеризуют природу действительных чисел лучше, чем разложения в систематические дроби.

Разложения рациональных чисел в систематическую дробь, например в десятичную, могут быть конечными и бесконечными причем характер таких разложений существенно зависит от основания системы счисления.

поскольку между действительными числами и цепными дробями установлено взаимооднозначное соответствие, в дальнейшем, в случае, когда

подходящие дроби к этой цепной дроби называть также для краткости подходящими дробями к числу .

2.3 Разложение числа цепную дробь

В качестве примера рассмотрим разложение в цепную дробь числа .

Теорема 1.

Доказательство. Определим

как сумму ряда:

Этот ряд сходится при любых значениях x; однако мы будем рассматривать только значения x, лежащие в интервале (0; 1).

Легко проверить, что имеет место тождество

Действительно, коэффициент при в левой части равенства (1) равен

а в правой части равенства (1) он равен

так что (1) верно.

Обозначим через . В частности, поскольку

То

Из тождественного равенства (1) при x= получаем:

Поскольку положительно, равенство (2) показывает, что при всех n т. е. и последовательность соотношений (2) при

дает разложение в цепную дробь:

Теорема 2.

т. е. элементы разложения e в цепную дробь имеют вид:

и

Доказательство. Обозначим подходящие дроби к правой части (4) через а подходящие дроби к (3) через Докажем, что

Принимая во внимание значение элементов цепной дроби (4), имеем:

откуда находим:

Аналогичное соотношение имеем и для , так что

Докажем индукцией по n, что

Из (3) и (4) непосредственно вычисляем так что соотношение (6)

Предположим, что соотношение (6) верно для всех R с номерами, меньшими чем n, где , т. е., в частности,

тогда, используя равенства (5), получаем:

Согласно принципу полной математической индукции равенство (6) верно для всех n.

Совершенно аналогично доказывается, что

Рассматривая теперь предел отношения величин и , находим:

т. е.

Поскольку цепная дробь в правой части (4) сходится, мы будем иметь также, что вообще а это доказывает теорему.

2.4 Приближение действительных чисел рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателей

Пусть произвольное действительное число. Как было отмечено раньше, уже из теории десятичных дробей следует существование рационального числа , такого, что Поставим вопрос о возможности таких приближений рациональными числами при которых точность приближения будет оценена не величиной а величиной, в раз меньшей, т. е. вопрос о нахождении рациональных чисел , таких, что

где любое заранее заданное положительное число.

Например, можно поставить задачу нахождения такого рационального приближения к , чтобы точность приближения была в 1000 или в 1000000 раз лучшей, чем величина, обратная знаменателю. Это соответствует выбору Оказывается, что, как бы велико ни было можно найти рациональную дробь , приближающую с точностью до , причем, и это является самым интересным, дробь мы можем выбрать так, что

Теорема 1. (Дирихле). Для любого действительного числа и произвольного можно найти рациональную дробь такую, что

Доказательство. Обозначим, как обычно, через подходящие дроби разложения в цепную дробь. Последовательность

может быть конечной или бесконечной, но, во всяком случае, поскольку , а , можно найти наибольший номер , такой, что

В качестве дроби удовлетворяющей условиям теоремы, можно выбрать , т. е. положить Действительно, рассмотрим два возможных случая:

1) не является последним знаменателем (это будет для любого иррационального , но может быть и в случае рационального ), т. е. существует , такое, что

Тогда при согласно теореме: для любых двух соседних подходящих дробей к действительному числу имеет место неравенство

и если , то

Получаем и

2) знаменатель последней подходящей дроби разложения т. е. Тогда при имеем:

,.

Теорема 2. Пусть действительные числа; целое число (). Существуют рациональные числа такие что

Доказательство. В единичном мерном кубе берем точек с координатами:

где

Разделим каждую из сторон этого куба на равных частей точками 0, и соответственно этому весь куб на одинаковых частей, так, что в пределах каждой части любая координата увеличивается меньше чем на Поскольку число точек больше, чем число частей, то, по крайней мере, две точки:

где попадают в одну и ту же часть, и тогда соответствующие координаты этих точек отличаются друг от друга меньше, чем на

где целые числа, так что, например, при получаем для всех

где целые числа.

Примечание. Дроби существование которых доказываем в этой теореме, могут оказаться сократимыми.

2.5 Приближение действительных чисел бесконечной последовательностью рациональных чисел

Теорема о том, что для любого действительного числа существует бесконечное множество рациональных чисел , показывает, что таких, что причем в качестве можно взять любую подходящую дробь к

Можно ли в этом неравенстве заменить постоянную 1, стоящую в числителе, другой более маленькой величиной так, чтобы получающееся после этого неравенство осуществлялось при любом для бесконечного множества рациональных дробей?

Оказывается, это можно сделать, и такое неравенство будет иметь место при причем постоянная здесь наилучшая; для меньших значений существуют значения при которых неравенство осуществляется уже только для конечного числа дробей

Теорема 1. (Гурвиц). Для любого действительного числа существует бесконечное множество рациональных дробей , таких, что

Доказательство. Разложим в цепную дробь. Докажем, что из трех любых соседних подходящих дробей по крайней мере одна может служить в качестве в неравенстве (1).

Доказательство этого утверждения будем вести от противного. Предположим, что для каких-либо трех соседних подходящих дробей выполняются неравенства:

расположены по разные стороны от и поэтому при четном из (2) следует:

а при нечетном:

так что и в том и в другом случае имеем:

или, умножая на и перенося все члены в одну сторону,

т. е.

или, поскольку

Поскольку и также расположены по разные стороны от из (2) аналогично получаем:

Пользуясь еще тем, что из (3) и (4) получаем:

Предположение, что выполнены все три неравенства (2), привело к противоречию, поэтому, по крайней мере, для одной из трех подходящих дробей взятой в качестве должно выполняться неравенство (1). Придавая различные значения, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих неравенству (1).

Перейдем теперь к доказательству того, что постоянная фигурирующая в теореме Гурвица, наилучшая.

Теорема 2. При любом положительном и существует только конечное число рациональных чисел , таких, что

Доказательство. Предположим, при , неравенство (5) удовлетворяется для бесконечного множества рациональных чисел . Тогда для каждой такой дроби выполняются неравенства

откуда, подставляя значение получаем:

а возводя в квадрат, получаем:

Поскольку то при достаточно большом будем иметь:

и, следовательно, целое число , что при целых не может иметь места. Полученное противоречие показывает, что неравенство (5) может иметь место только для конечного числа рациональных чисел

Замечание. Из теоремы 2 следует, что при замене достаточно малым положительным можно добиться того, что неравенство не будет осуществляться уже ни для одной рациональной дроби так что при всегда для всех целых будет иметь место неравенство

Существенные обобщения теоремы 1 были даны в работах А. А. Маркова. Марков показал, что если из множества действительных чисел исключить числа эквивалентные т. е. числа вида , где целые, то для оставшихся действительных чисел неравенство

осуществляется при для бесконечного множества рациональных чисел Это значение наилучшее, что легко проверить, рассматривая рациональные приближения к . Исключив после этого еще все числа, эквивалентные т. е. числа вида , где целые, получаем множество действительных в котором неравенство (6) удовлетворяется для бесконечного множества рациональных чисел уже при и т. д. В своих исследованиях Марков связывает вопрос о порядке приближения действительных чисел рациональными дробями с изучением соответствующих квадратичных форм.

2.6 Наилучшие приближения

Подходящие дроби в определенном смысле являются наилучшими приближениями к действительным числам.

Конечно, очевидно, что, поскольку множество рациональных чисел всюду плотно, не существует рациональной дроби, которая была бы ближе к данному иррациональному числу, чем любая другая дробь.

Говоря о наилучшем приближении, понимаем под этим наилучшее приближение по сравнению не со всеми другими рациональными числами, а только по сравнению с рациональными числами, у которых знаменатель меньше, чем у данной дроби, или равен ему.

Рациональная дробь называется наилучшим приближением к действительному числу , если не существует ни одной рациональной дроби со знаменателем которая была бы ближе к , чем .

Таким образом, согласно этому определению является наилучшим приближением к если для любой другой рациональной дроби такой, что

будем иметь

Геометрически это означает, что если взять на числовой прямой точку и интервал с концами в точках , то все рациональные дроби, лежащие в этом интервале, имеют знаменатели, большие чем

Таким образом, если наилучшее приближение к то рациональные дроби со знаменателями лежат вне этого интервала или совпадают с одним из его концов.

Теорема 1. Если интервал образован двумя рациональными дробями, такими, что , то:

1) любая рациональная дробь, лежащая в этом интервале, имеет знаменатель, больший, чем и

2) для любого действительного числа , принадлежащего этому интервалу, по крайней мере, одна из дробей или а именно ближайшая к является наилучшим приближением.

Доказательство. 1) Пусть рациональная дробь такова, что и тогда, поскольку целые и из получаем , а, следовательно,

С другой стороны, поскольку лежит между и ,

так что, сравнивая (1) и (2), получаем т. е. .

Совершенно аналогично, рассматривая вместо выражение и вместо разность доказываем, что .

2) Пусть . Если ближе к чем то наилучшее приближение к .

Действительно, любая рациональная дробь , лежащая ближе к чем должна принадлежать интервалу и, следовательно, согласно первой части теоремы для нее будет Таким образом, любая дробь, которая ближе к чем , имеет знаменатель, больший чем , т. е. наилучшее приближение к

Если ближе к чем , то аналогично получаем, что наилучшее приближение к а если и лежат на равном расстоянии от то обе дроби являются наилучшими приближениями.

Теорема 2. При любая подходящая дробь к действительному числу является наилучшим приближением.

Доказательство. При заключено в интервале, концами которого являются и , причем 1, или 1 (в зависимости от четности или нечетности ).

Согласно предыдущей теореме ближайшая к из двух дробей и , а таковой является , является наилучшим приближением.

При и , как легко видеть, не всегда является наилучшим приближением, так как может быть ближе к чем

2.7 Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби

Рациональные числа представляют собой корни уравнений 1-й степени вида с целыми коэффициентами.

Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми являются те иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами; такие числа мы будем называть квадратическими иррациональностями.

Число называется квадратической иррациональностью, если иррациональный корень некоторого уравнения

с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.

При таком очевидно, будет

Коэффициенты уравнения (1), очевидно, можно взять взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения будем называть также дискриминантом .

Корни уравнения (1) равны и , так что любую квадратическую иррациональность можно представить в виде , где целые, а целое неквадратное число. Второй корень уравнения (1) будем называть иррациональностью, сопряженной с

В определении квадратической иррациональности особенно важно обратить внимание на то, что речь идет о квадратных уравнениях с целыми коэффициентами. Любое является корнем квадратного уравнения и даже уравнения 1-й степени, например уравнений

Действительно, корень любого квадратного уравнения с целыми коэффициентами имеет вид , где целые числа, причем

Цепная дробь называется периодической, если периодической является последовательностью элементов .

В частности, если последовательность элементов чисто периодическая, то и соответствующая цепная дробь называется чисто периодической.

Длину периода последовательности будем называть также длиной периода цепной дроби

Если в разложении после элементов наступает периодическое повторение элементов т. е. длина периода равна то будем записывать в виде:

в частности, в случае чисто периодического разложения, т. е. при в виде

Теорема 1. Цепная дробь

является периодической с длиной периода тогда и только тогда, при некотором имеет место равенство неполных частных

Доказательство.

1) Если правая часть в (2) представляет собой периодическую цепную дробь с длиной периода , то существует такое что при всех и, следовательно, разложение (3) и (4) одинаковы, т. е.

2) Если где , то согласно теореме единственности цепных дробей, разложения (3) и (4) одинаковы, т. е. при всех и, следовательно, дробь (2) периодическая с длиной периода

В частности, цепная дробь (2) будет чисто периодической тогда и только тогда, когда при некотором имеем:

Рассматривая величины периодических цепных дробей, получаем некоторую часть действительных чисел. Оказывается, и это на первый взгляд кажется неожиданным, что множество таких чисел совпадает с множеством квадратических иррациональностей.

Этот замечательный результат был получен впервые в 1770 г. Лагранжем.

Тот факт, что величина любой периодической цепной дроби является квадратической иррациональностью, доказывается совсем просто, начнем именно с этого. Более сложно доказывается то, что любая квадратическая иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь; этот факт и называют обычно теоремой Лагранжа.

Теорема 2. Величина любой периодической цепной дроби представляет собой квадратическую иррациональность.

Доказательство. Пусть представляет собой периодическую цепную дробь, т. е. существуют такие, что Согласно теореме и замечанию к ней

следовательно,

Равенство (5) после приведения к общему знаменателю дает квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

где В частности, при Доказательство того, что проводим от противного.

Прежде всего, отметим:

любые два соседних знаменателя взаимно просты. Если предположить, что при некотором то

Из равенства этих двух несократимых дробей следует

а это противоречит тому, что при в последовательности (6) имеются самое большее два равных знаменателя.

Иррациональность следует из того, что разложение в цепную дробь бесконечно.

При нахождении величины чисто периодической цепной дроби

удобней всего пользоваться соотношением, при т. е. формулой

Или

При вычислении величины смешанной периодической цепной дроби вида

удобней всего найти сначала величину чисто периодической цепной дроби

а потом из соотношения найти .

Прежде чем перейти к теореме Лагранжа, докажем следующую вспомогательную теорему.

Теорема 3. Если квадратическая иррациональность представлена в виде где все целые, то также квадратическая иррациональность с тем же дискриминантом, к у

Доказательство. Пусть корень квадратного уравнения

, где целые числа. Подставляя получаем:

Или

т. е. представляет собой корень уравнения с целыми коэффициентами, дискриминант которого равен

причем

Заменяя в квадратном уравнении через аналогично получаем, что корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами с таким же дискриминантом, как у и .

Продолжая таким же образом дальше, получим, что корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами с таким же дискриминантом, как у

Теорема 4 (Лагранжа). Любая квадратическая иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь.

Доказательство. Пусть квадратическая иррациональность, т. е. иррациональное число, представляющее собой корень многочлена с целыми коэффициентами. Подставляя в и приводя к общему знаменателю, получаем:

т. е. выражение вида

где

-целые числа.

Согласно предыдущей теореме дискриминант уравнения (7)

и, таким образом, не меняется при увеличении .

Докажем сначала, что и при достаточно большом имеют противоположные знаки, а затем, пользуясь тождеством (8), докажем, что величины ограничены.

как известно, находятся по разные стороны от, причем при достаточно большом сколь угодно мало отличаются от

но поскольку иррациональное число, то

Таким образом, простой корень уравнения

Известно, что в достаточной малой окрестности слева и справа от простого корня значения непрерывной функции, в данном случае многочлена имеют разные знаки, т. е. и при достаточно большом противоположны по знаку, причем и следовательно, не равны нулю.

Таким образом, при достаточно большом произведение и дискриминант уравнения (7) можно представить в виде суммы двух неотрицательных чисел: и

Поскольку

т. е. величины и ограничены. Из ограниченности следует ограниченность , а из ограниченности поскольку не равны нулю, следует ограниченность и .

Таким образом, существуют две постоянные такие, что при всех выполняются неравенства:

а отсюда, поскольку целые, следует, что среди уравнений (7) при безграничном увеличении существует только конечное число различных уравнений. Каждое квадратное уравнение имеет только два корня, поэтому и среди корней уравнений (7) существует только конечное число различных, а значит, и среди величин:

имеется только конечное число различных.

Отсюда, во всяком случае, следует, что среди чисел (9) найдутся хотя бы два одинаковых, т. е. найдется равное некоторому последующему Равенство означает, что разложение в цепную дробь периодическое, и, таким образом, теорема доказана.

Теорема Лагранжа дает нам теперь уверенность в том, что для любой квадратической иррациональности после некоторого числа шагов получим совпадение двух неполных частных и, таким образом, найдем периодическую последовательность элементов.

2.8 Уравнение Пелля

Теорема Лагранжа и достаточный признак подходящей дроби дают возможность решить уравнение Пелля

где целое число иррациональное. (Случаи, когда решаются очень просто)

Уравнение (1) имеет решение которое называется тривиальным. Из остальных решений важно найти лишь положительные, т. е. те, для которых

Для таких пар чисел из уравнения (1) получаем

Отсюда видно, что ; следовательно,

Таким образом, удовлетворяет достаточному условию подходящей дроби (причем, очевидно, четного порядка, так как , вследствие чего все возможные положительные решения следует искать среди числителей и соответствующих знаменателей подходящих дробей четного порядка разложения

Сделаем это.

Согласно формуле имеем

где через обозначен остаток разложения порядка

Отсюда при четном получаем

Откуда

Или

если обозначим и вспомним, что при четном .

Полученное соотношение показывает: если является решением, так что , то должно быть

наоборот, из выполнения последнего соотношения следует, что , а отсюда вытекает является решением.

Итак, является решением тогда и только тогда, когда при четном выполняется (3).

Так как согласно (2)

то условие (3) переходит в условие

или

так что

Или

Итак, пары чисел будут нам давать решения в том и только том случае, если (согласно (5)) раскладывается в периодическую непрерывную дробь, период которой начинается со второго звена, и если мы в таком разложении возьмем такие четные подходящие дроби, чтобы (согласно (4)) остаток начинался с последнего члена периода.

Так как период разложения квадратного корня из целого числа на самом деле начинается со второго звена, то можно вышеуказанным способом получить все целые положительные решения уравнения (1): если при этом число чисел в периоде равно и четное, то решениями уравнения (1) являются пары чисел и т. д., а при нечетном пары чисел и т. д.

Наименьшее положительное решение в первом случае равно, а во втором



3. Решение задач

Пример 1. Найти величину цепной дроби:

где все дальнейшие элементы равны последовательно 1 и 4.

Решение: Согласно теореме имеем:

Ответ: .

Пример 2. Найти величину цепной дроби:

где все дальнейшие элементы последовательно принимают значения 2, 2, 2, 1.

Решение:

Составляем таблицу значений

	2	2	2	1
	2	5	12	17
	1	2	5	7

так что то

Ответ: .

Пример 3. Разложить в цепную дробь

Решение: Находим:

Поскольку будем иметь так что и т. д.

В последовательных равенствах будет

Ответ:

Пример 4. Найти первые четыре элемента разложения в цепную дробь числа

Решение: Находим

Таким образом,

Для числа был вычислен ряд элементов цепной дроби. Разложение в цепную дробь имеет такой вид:

Ответ:

Пример 5. Найти первые шесть элементов в разложении в цепную дробь.

Решение: единственный действительный корень уравнения так что подставляя значение в уравнение, получаем или после упрощений Непосредственными испытаниями находим так что Разложив левую часть уравнения для по схеме Горнера по степеням находим:

Откуда

Из этого уравнения находим теперь, что так что Таким же образом находим для уравнение

откуда получаем:

Уравнение для будет иметь вид:

откуда находим, что

Уравнение для имеет вид:

откуда находим, что

Таким образом,

Ответ:

Пример 6. Найти рациональное приближение к с точностью до .

Решение: Такую дробь можно найти среди дробей со знаменателями, меньшими, чем 1000. Разлагая в цепную дробь, получаем

Находим подходящие дроби:

	2	4	4	4	4	4
	2	9	38	161	682	…
	1	4	17	72	305	1292

Наибольшим знаменателем, меньшим, чем 1000, является Искомая дробь равна

Ответ: .

Пример 7. Найти две дроби с одним и тем же знаменателем приближающие соответственно с точностью до .

Решение: В этом примере Знаменатель искомых дробей может быть выбран Берем точки с координатами Находим две точки и , у которых координаты отличаются меньше, чем на Полагая и подбирая соответствующие числители, получаем:

Ответ: .

Пример 8. 1) является наилучшим приближением к числу так как среди рациональных дробей со знаменателем 1 и 2 нет ни одного числа, которое было бы ближе к чем , т. е. ближе, чем могут быть только дроби , где

2) не является наилучшим приближением к Действительно, и легко проверить, что дробь со знаменателем, меньшим, чем у , ближе к , чем

Пример 9. а) квадратическая иррациональность, так как является иррациональным корнем уравнения

б) квадратическая иррациональность, так как представляет собой иррациональный корень уравнения Здесь

в) не является квадратической иррациональностью. Действительно, корень любого квадратного уравнения с целыми коэффициентами имеет вид целые числа, причем Если бы мы имели то, возводя это равенство в куб, мы получили бы, что рациональное число, а следовательно, рациональным являлось бы и но иррациональное число.

Пример 10. (т. е. дальше периодически повторяются элементы 1, 1, 3). Составить квадратное уравнение, корнем которого является , и найти величину .

Решение: В данном случае находим подходящие дроби до включительно:

	1	2	1	1	3
	1	3	4	7	25
	1	2	3	5	18

При подставим в , получим:

Корень берется с положительным знаком, так как

Ответ: .

Пример 11. Найти величину цепной дроби:

Решение: Находим сначала где обозначает цепную дробь . Здесь сразу видно, что откуда Пользуясь таблицей значений вычисляем:

	1	1	2	1	1
	1	2	5	7	12
	1	1	3	4	7

По формуле находим:

Ответ: .

Пример 12. Разложить в цепную дробь

Решение: Находим последовательно:

Получаем:

Ответ:

Пример 13. Разложить в цепную дробь следующие квадратические иррациональности.

а) б)

Решение: а)

Ответ:

б)

Размещено на Allbest.ru