Змішаний метод скінченних елементів у задачах на власні значення пологих оболонок

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 519.63

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Змішаний метод скінченних елементів у задачах на власні значення пологих оболонок

01.01.07 - обчислювальна математика

Вербіцький Віктор Васильович

Львів - 2002

Дисертацією є рукопис Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Масловська Лариса Вікторівна, професор кафедри обчислювальної математики Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Молчанов Ігор Миколайович, завідувач відділу числового програмного забезпечення і розв'язку задач Інститута кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України; кандидат фізико-математичних наук, доцент Хапко Роман Степанович, завідувач кафедри обчислювальної математики Львівського національного університету імені Івана Франка.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка Міністерства освіти і науки України, кафедра обчислювальної математики. математичний фізика інтеграл

Захист відбудеться “17” жовтня 2002 р. о 15.20 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська ,1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “12” вересня 2002 р.

Вчений секретар Бокало М. М. спеціалізованої вченої ради

Загальна характеристика робота

Актуальність теми. Методи скінченних елементів нині широко застосовуються для розв'язування різноманітних задач математичної фізики і техніки, зокрема задач пластин та оболонок. Результати Самарського А.А., Марчука Г.І., Міхліна С.Г., Бахвалова Н.С. та інших, пов'язані з дослідженням скінченнорізницевих та варіаційних методів, заклали фундамент для математичного дослідження методу скінченних елементів. Першими роботами в цьому напрямі були роботи Оганесяна Л.А., Дем'яновича Ю.К., Корнеєва В.Г., Молчанова І.Н., Обена Ж.-П., Бабушки І., Азиза А., С'ярле Ф. та інших.

Класична теорія оболонок Кірхгофа-Лява приводить до системи з трьох рівнянь відносно вектора зміщень серединної поверхні оболонки. Два з них - другого порядку, а одне - четвертого. Побудова конформних скінченно-елементних схем потребує забезпечення неперервності не тільки зміщень, а і першої похідної від нормального зміщення на границях між скінченними елементами. Такі апроксимації потребують використання сплайнів високих степенів, що для оболонок довільної форми є важкою задачею. При використанні неконформних скінченних елементів, умова неперервності зміщень на міжелементних границях виконується, але порушується умова неперервності першої похідної від нормального зміщення. Проблему неузгодженості вирішують різними способами, наприклад, введенням у функціонали допоміжних інтегралів, які мінімізують міжелементну неузгодженість. Але це пов'язано з додатковими витратами обчислень, що не завжди виправдано.

Існують більш уточнені моделі оболонок, наприклад, модель Тимошенка-Міндліна. Ця модель приводить до системи рівнянь другого порядку. Правда, модель має і свої мінуси, наприклад, наявність малого параметра при старших похідних. Метод скінченних елементів для різноманітних задач пластин та оболонок в межах моделі Тимошенка-Міндліна розглянуто у роботах Савули Я.Г., Флейшмана Н.П., Рикардса Р.Б., Шинкаренка Г.А., та інших.

Відомо, що для класичної моделі пластин та оболонок Кірхгофа-Лява найбільш ефективними є змішані, гібридні та змішано-гібридні схеми методу скінченних елементів. Вперше ЗМСЕ був запропонований Германом Л., Хелланом К. і Віссером М. для розв'язання задачі згину пластин. Пізніше метод знайшов теоретичне обґрунтування в роботах Джонсона С. і Мійосі Т. Різні схеми змішаного і гібридного методів скінченних елементів досліджувались в роботах Бреззі Ф., Фортіна М., Рав'яра П., Фалка Р., Озборна Дж. Головна перевага змішаного методу перед конформним методом скінченних елементів при розв'язанні задач теорії пластин і оболонок полягає у наступному. При дискретизації задач пластин та оболонок змішаним методом для зміщень достатньо використовувати скінченні елементи меншої гладкості, крім того, із дискретної задачі одночасно зі зміщеннями знаходять і моменти, що важливо для застосувань на практиці, оскільки знаходження моментів часто і є основною ціллю розрахунків. Крім того, число обумовленості системи лінійних алгебраїчних рівнянь змішаного методу має порядок , а число обумовленості відповідної системи конформного методу має порядок , де - параметр тріангуляції області, в якій розв'язується задача.

Збіжність ЗМСЕ в задачах напружено-деформованого стану пологих оболонок розглянуто у роботах Масловської Л.В., Філіпповича О.П. Аналіз змішаних методів для непологих оболонок було зроблено в роботах Масловської Л.В., Голушкова В.Г., Астраханцева Г.П. Апроксимація нелінійних задач напружено-деформованого стану непологих оболонок ЗМСЕ вивчалась Карчевським М.М.

Питання чисельного розв'язку спектральних задач пластин та оболонок вивчались багатьма авторами. Так питання апроксимації задач на власні значення для еліптичних операторів методом скінченних елементів розглядались в роботах Фікса Дж., Стренга Г, Брамбла Дж., Озборна Дж., Бабушки І. та інших. В роботах Приказчикова В.Г., Хіміча О.М., Гаращука І.Н. зроблено аналіз розв'язку спектральних задач пластин та оболонок методом сіток. В роботах Попова А.В. розглянуто розв'язок задачі на власні коливання тонкої оболонки методом скінченних елементів. Метод скінченних елементів для спектральних задач пластин та оболонок моделі Тимошенка-Міндліна розглянуто в роботах Савули Я.Г., Копитко М.Ф., Рикардса Р.Б. та інших.

ЗМСЕ для задачі на власні значення вперше було досліджено в роботі Немат-Нессера С., Бабушки І., Озборна Дж.. В роботі Канюто С. та Ішіхари К. вперше доведено збіжність змішаного методу для спектральної задачі бігармонічного оператора, яка описує коливання пластини. Питання апроксимації ЗМСЕ спектральних задач стійкості і коливань пластин розглядались в роботах Ранахера Р., Кікуші Ф., Озборна Дж., Равьяра П., Мерсієра В.

З викладеного випливає актуальність досліджень, пов'язаних з розв'язанням спектральних задач пологих оболонок змішаним методом скінченних елементів.

Мета і задачі дослідження. Мета роботи - дослідити розв'язок задач на власні значення теорії пологих оболонок змішаним методом скінченних елементів. Треба було вирішити такі задачі:

1. для лінійної та квадратичної спектральних задач стійкості оболонки та спектральної задачі усталених гармонійних коливань оболонки побудувати дискретні задачі по схемі Германа-Джонсона ЗМСЕ та довести їх апроксимаційні властивості;

2. встановити порядки швидкості збіжності власних значень та власних функцій дискретних спектральних задач.

Об'єкт дослідження - спектральні задачі стійкості та коливань пологих оболонок.

Предмет дослідження - розв'язок задач на власні значення теорії пологих оболонок змішаним методом скінченних елементів.

Для дослідження властивостей спектральних задач використовувались варіаційна теорія крайових задач, спектральна теорія компактних операторів та спектральна теорія операторних пучків. Для доведення апроксимаційних властивостей дискретних спектральних задач та встановлення порядків швидкості збіжності власних значень та власних векторів використовувалась теорія розв'язку еліптичних крайових задач методом скінченних елементів.

Зв'язок роботи з державними науковими планами. Дисертаційна робота пов'язана з науково-дослідними роботами "Разработка и развитие численных методов расчета оболочек, пластин и стержневых систем" (номер держрегістрації 01860083952), "Расчет баллонов высокого давления" (номер держрегістрації 01860123287), в яких здобувач був виконавцем, а також з темою "Численные методы решения эллиптических краевых задач и численные методы алгебры", яка виконувалась на кафедрі обчислювальної математики Одеського національного університету в 1995-1996 роках і входила в координаційний план наукових досліджень Міністерства освіти України.

Наукова новизна роботи. В дисертаційній роботі вперше розглянуто схему Германа-Джонсона ЗМСЕ стосовно лінійної і квадратичної задач на власні значення стійкості пологих оболонок та задачі гармонічних коливань пологих оболонок. Основні результати роботи такі:

Доведено апроксимаційні теореми щодо дискретних лінійної і квадратичної спектральних задач стійкості пологих оболонок та задачі на власні значення гармонічних коливань пологих оболонок.

Встановлено порядок швидкості збіжності власних значень і власних векторів лінійної спектральної задачі стійкості пологих оболонок.

Встановлено порядок швидкості збіжності власних значень і власних векторів квадратичної спектральної задачі стійкості пологих оболонок.

Встановлено порядок швидкості збіжності власних значень і власних векторів спектральної задачі гармонічних коливань пологих оболонок.

Проведено числові розрахунки модельних задач, аналіз яких підтверджує теоретичні висновки.

Практична цінність. Отримані теоретичні результати можуть використовуватись для розробки алгоритмів і програм розв'язання прикладних задач пологих оболонок.

Достовірність. Достовірність отриманих результатів підтверджується строгими математичними доведеннями теоретичних результатів та аналізом числових розрахунків модельних задач.

Апробація роботи. Результати роботи доповідались на семінарі "Метод конечных элементов и его приложения" кафедри обчислювальної математики ОНУ ім. І.І. Мечникова (керівник семінару -- доктор фіз.-мат. наук, професор Масловська Л.В.), на семінарі "Сучасні проблеми обчислювальної математики та її застосування" ЛНУ ім. І. Франка (керівник семінару - член-кор. НАН України Макаров В.Л.), на республіканській науковій конференції "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения" (22-24 вересня 1987, Одеса), на IY Всесоюзній конференції "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (28-29 вересня 1989, Одеса), на Всеукраїнській конференції "Диференцiально-функцiональнi рівняння та їх застосування" (15-18 травня 1996, Чернівці), на 5-й Міжнародній конференції ім. академіка М. Кравчука (15-18 травня 1996, Київ).

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковано у 9 наукових працях. Із них три статті опубліковано у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, одна стаття - у збірнику наукових праць, чотири тези наукових конференцій та одна депонована стаття. Всі результати дисертації, які виносяться на захист, отримані автором самостійно. В роботі [1] науковому керівнику належить постановка задачі.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел (173 найменування, які викладені на 21 сторінках) та додатків. Загальний обсяг дисертації становить 151 сторінку машинописного тексту. Додатки в загальному обсязі займають 14 сторінок.

Зміст роботи

У вступній частині обґрунтовується актуальність теми дисертації, стисло викладено основні положення роботи із зазначенням їхньої теоретичної та практичної цінності.

У першому розділі зроблено огляд літератури з вибраного напрямку досліджень.

У другому розділі спочатку розглянуто основні положення ЗМСЕ щодо розв'язку задачі напружено-деформованого стану пологої оболонки. Також приведено основні визначення та позначення.

Нехай - випуклий багатокутник в . V - простір, якому належить вектор зміщень u серединної поверхні оболонки. Варіаційне формулювання задачі напружено-деформованого стану пологої оболонки має такий вигляд. Для знайти таке , що

, (1)

Задачі (1) відповідає така змішана варіаційна задача: знайти такі , що

(2)

(3)

Для задачі (2)-(3) побудовано дискретну задачу: знайти такі , що

(4)

(5)

Задачу (4)-(5) можна переписати так: знайти такі , що

(6)

Далі в розділі вводяться визначення спектральних характеристик операторного пучка та формулюється теорема про спектр поліноміального пучка компактних операторів.

У третьому розділі доведено допоміжну лему, а потім - теорему про дискретну компактність послідовності елементів дискретних просторів ЗМСЕ.

У четвертому розділі роботи розглянуто лінійну задачу на власні значення стійкості пологих оболонок. Варіаційне формулювання цієї задачі таке: знайти таку пару , що та

, (7)

Задача (7) рівносильна задачі на власні значення для компактного самоспряженого оператора у гільбертовому просторі .

Для задачі (7) за схемою Германа-Джонсона ЗМСЕ будується дискретна задача: знайти такі , що

(8)

Спочатку доведено дві апроксимаційні теореми для дискретної задачі (8).

Теорема 4. Для будь-якого можна знайти таке , що для всіх .

Теорема 5. Для будь-якого відмінного від нуля власного значення кратності існує таке , що для всіх .

При доведенні цих теорем суттєво використовувалась теорема 2.

Швидкість збіжності дискретних власних значень і функцій задачі (8) визначає наступна теорема.

Теорема 6. Нехай власні функції задачі (7) належать простору V.

Тоді для кожного відмінного від нуля власного значення задачі (7) із власним підпростором , , можна знайти таке , що для всіх існує рівно власних значень задачі (8), для яких виконується оцінка

,

при цьому підпростір , який відповідає власним значенням , збігається до власного підпростору таким чином. Якщо - ортонормований базис простору , то у просторі існує такий базис , що

,

де , - константа, яка не залежить від .

В кінці розділу приведені результати розрахунків на ЕОМ модельних задач.

В п'ятому розділі розглянуто квадратичну задачу на власні значення стійкості пологої оболонки.

Варіаційне формулювання цієї задачі таке: знайти таку пару , що і

. (9)

Задачі (9) відповідає дискретна задача, що побудована за схемою Германа-Джонсона ЗМСЕ: знайти такі

,

що

(11)

Теорема 7. (I) Нехай і при . Тоді .

(II) Нехай . Тоді існує така послідовність , що і при .

Теорема 8. Нехай , і при . Тоді існує така підпослідовність послідовності , що сильно в , сильно в і .

Порядок швидкості збіжності дискретних власних значень і власних векторів задачі (11) встановлено у теоремах.

Теорема 9. Нехай і при . Тоді існує така константа , яка не залежить від , що виконується оцінка

,

де

,

.

Теорема 10. Нехай , , , при , - деякий базис в . Тоді

,

де - лінійна оболонка векторів , - константа, яка не залежить від .

В кінці розділу приведено результати розрахунків на ЕОМ модельних задач.

У шостому розділі розглянуто задачу на власні значення гармонічних коливань пологої оболонки.

Для цієї задачі за схемою Германа-Джонсона ЗМСЕ будується дискретна задача:

(13)

Для задачі (13) справедливі апроксимаційні теореми, які аналогічні теоремам 4 та 5. Порядок швидкості збіжності дискретних власних значень та функцій задачі (13) встановлено у теоремі, яка аналогічна теоремі 6.

У висновках коротко сформульовано основні результати роботи.

Додаток А містить програму мовою пакету MATLAB, яка реалізує алгоритм знаходження мінімального власного значення і відповідного йому власної функції лінійної задачі на власні значення стійкості оболонки, а додаток Б - рисунки, які ілюструють деякі результати числових розрахунків модельних задач.

Висновки

У дисертації вперше досліджено теоретичні аспекти розв'язку змішаним методом скінченних елементів задач на власні значення для пологих оболонок. Розглянуто питання апроксимації ЗМСЕ спектральних задач та встановлено збіжність дискретних власних значень і функцій. Отримані теоретичні результати можуть використовуватись для розробки алгоритмів і програм розв'язання прикладних задач пологих оболонок.

Розглянуто три різні спектральні задачі теорії пологих оболонок:

· лінійну задачу на власні значення стійкості оболонки;

· квадратичну задачу на власні значення стійкості оболонки;

· лінійну задачу на власні значення усталених гармонічних коливань оболонки.

Основні результати роботи такі:

1. Доведено апроксимаційні теореми для відповідних дискретних задач, побудованих за схемою Германа-Джонсона ЗМСЕ.

2. Доведено, що швидкість збіжності дискретних власних значень та власних функцій лінійної спектральної задачі стійкості оболонки має порядок , . Тут - параметр тріангуляції області, в якій розв'язується задача, - визначає степінь багаточленів, які використовуються для побудови скінченних елементів.

3. Доведено, що швидкість збіжності дискретних власних значень та власних функцій квадратичної спектральної задачі стійкості оболонки має порядок , .

4. Доведено, що швидкість збіжності дискретних власних значень лінійної спектральної задачі гармонійних коливань оболонки має порядок , , а швидкість збіжності дискретних власних векторів - , .

Отримані теоретичні результати підтверджено розрахунками на ЕОМ модельних задач.

Публікації за темою дисертиції

1. Масловская Л.В., Вербицкий В.В. Сходимость смешанного метода конечных элементов в задачах устойчивости пологих оболочек// Известия вузов. Математика. -- 1993. -- N10. -- С.21-31.

2. Вербицкий В.В. Смешанный метод конечных элементов в задаче на собственные значения нелинейной устойчивости пологих оболочек// Известия вузов. Математика. -- 1998. -- N11. -- С.22-31.

3. Вербицкий В.В. Сходимость смешанного метода конечных элементов в задаче на собственные значения колебаний пологих оболочек// Вiсник Одеського унiверситету. -- 2000. -- Т.5, вип.3. -- С. 57-61.

4. Вербицкий В.В. Смешанный метод конечных элементов в задаче нелинейной устойчивости пологих оболочек// Сб.тр. Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики. -- Киев: Изд-во ин-та матем. НАН Украины. -- 1997. -- С. 76-78.

5. Вербицкий В.В. Аппроксимация квадратичной задачи на собственные значения устойчивости пологих оболочек// Тезисы докл. 5-й Международной конф. им. ак. М. Кравчука. 16-18 мая 1996 г., Киев. -- Киев: Изд-во Нац. технического университета. -- 1996.

6. Вербицкий В.В. Аппроксимация нелинейной задачи устойчивости пологих оболочек// Тезисы докладов Всеукр. конф."Диференцiально-функцiональнi рiвняння та iх застосування", 15-18 мая 1996 г., Черновцы. -- Киев: Изд-во ин-та матем. НАН Украины. -- 1996. -- С. 34.

7. Вербицкий В.В. Смешанный метод конечных элементов в одной задаче на собственные значения// Тезисы докладов республиканской науч. конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения", 22-24 сентября 1987 г., Одесса.

8. Вербицкий В.В., Голушков В.Г., Кобозева А.А., Масловская Л.В., Орлов С.В., Пятова Н.Н., Филиппович А.П. О применении смешанных схем метода конечных элементов в задачах теории пластин и оболочек со смешанными граничными условиями// Тезисы докладов IY Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела", 28-29 сентября 1989 г., Одесса. Часть I, с.65.

9. Вербицкий В.В. О дискретизации одной задачи на собственные значения// Одес. ун-т. -- Одесса, 1989. -- 11 с. -- Деп. в УкрНИИНТИ. 19.09.89. N2047-Ук89.

Анотація

Вербіцький В.В. Змішаний метод скінченних елементів в задачах на власні значення пологих оболонок. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2002.

В дисертації досліджується змішаний метод скінченних елементів стосовно задач на власні значення пологих оболонок. Розглянуто лінійну та квадратичну спектральні задачі стійкості пологих оболонок і лінійну спектральну задачу усталених гармонічних коливань пологих оболонок. За схемою Германа-Джонсона змішаного метода скінченних елементів побудовано відповідні дискретні задачі. Доведено апроксимаційні теореми для дискретних задач. Встановлено порядки швидкості збіжності власних значень та функцій дискретних спектральних задач.

Ключові слова: змішаний метод скінченних елементів, полога оболонка, власне значення, власна функція, стійкість пологих оболонок, коливання пологих оболонок.

Аннотация

Вербицкий В.В. Смешанный метод конечных элементов в задачах на собственные значения пологих оболочек. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика. - Львовский национальный университет имени Ивана Франка, Львов, 2002.

В диссертации исследуется смешанный метод конечных элементов применительно к задачам на собственные значения пологих оболочек. Рассмотрены линейная и квадратичная спектральные задачи устойчивости пологих оболочек и линейная спектральная задача установившихся гармонических колебаний пологих оболочек. По схеме Германа-Джонсона смешанного метода конечных элементов построены соответствующие дискретные задачи. Доказаны аппроксимационные теоремы для дискретных задач. Определены порядки скорости сходимости собственных значений и функций дискретных спектральных задач.

Работа состоит из введения и шести глав. В первой главе приведен обзор литературы по выбранному направлению исследований.

Во второй главе приведены основные положения решения задач пологих оболочек СМКЭ. Рассмотрена задача о напряженно-деформированном состоянии пологой оболочки, а затем приведена ее вариационная формулировка. Приведены смешанные вариационные формулировки этой задачи. Определены билинейные формы, используемые в смешанной вариационной формулировке, а также перечислены их свойства. Построены дискретные пространства по схеме Германа-Джонсона СМКЭ. Отмечены свойства соответствующих операторов интерполяции на эти дискретные пространства. Построена дискретная задача. Приведена теорема о сходимости дискретного решения. Далее в главе приведены некоторые спектральные характеристики пучков вполне непрерывных операторов. Сформулирована теорема о спектре пучка вполне непрерывных операторов.

В третьей главе доказывается теорема о дискретной компактности элементов конечномерных пространств смешанного метода конечных элементов.

В четвертой главе рассматривается задача устойчивости пологих оболочек в виде линейной задачи на собственные значения. Установлено, что эта задача эквивалентна задаче на собственные значения для самосопряженного вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве. По схеме Германа-Джонсона СМКЭ построена смешанная вариационная формулировка, в которой искомыми переменными являются перемещения срединной поверхности оболочки и вторые производные от нормального перемещения. Построена соответствующая дискретная задача на собственные значения. Доказаны аппроксимационные теоремы для этой дискретной спектральной задачи. Доказана теорема о скорости сходимости дискретных собственных векторов и собственных значений. Подробно рассмотрено построение матриц дискретной спектральной задачи. Приведены расчеты модельных задач, анализ результатов которых подтверждает полученные теоретические результаты.

В пятой главе рассматривается задача устойчивости пологих оболочек в виде квадратичной задачи на собственные значения. Показано, что эта задача равносильна спектральной задаче для квадратичного пучка самосопряженных вполне непрерывных операторов в гильбертовом пространстве. По схеме Германа-Джонсона СМКЭ построена соответствующая дискретная задача. Доказаны аппроксимационные теоремы для дискретной спектральной задачи. Доказана теорема о скорости сходимости дискретных собственных векторов и собственных значений. Приведены результаты расчетов, которые подтверждают полученные теоретические результаты.

В шестой главе рассматривается задача установившихся гармонических колебаний пологих оболочек в виде линейной задачи на собственные значения, которая аналогична линейной спектральной задачи устойчивости пологой оболочки и обладает такими же спектральными свойствами. Поэтому скорость сходимости дискретных собственных значений и функций для этой задачи определяется теоремой, которая аналогична теореме для линейной спектральной задачи устойчивости оболочки. Однако скорость сходимости собственных значений на единицу выше, чем для задачи устойчивости. Приведены численные расчеты модельных задач, анализ результатов которых подтверждает теоретические результаты.

В приложениях приведена программа решения линейной задачи устойчивости пологих оболочек на языке пакета MATLAB.

Ключевые слова: смешанный метод конечных элементов, пологая оболочка, собственное значение, собственная функция, устойчивость пологих оболочек, колебания пологих оболочек.

Abstract

Verbitsky Victor V. The mixed finite element method for a shallow shell eigenvalue problems. - Manuscript.

Thesis for scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.07 - Computational Mathematics. - Lviv National Franko University, Lviv, 2002.

The mixed finite element method for a shallow shell eigenvalue problems is analyzed in the thesis. Linear and quadratic eigenproblems for a shallow shell stability and linear eigenproblem for a shallow shell vibrations are considered. The discrete eigenproblems are built by the Hermann-Johnson scheme of a mixed finite element method. Approximation theorems for the discrete eigenproblems are proved. The rates of convergence for eigenvalues and eigenfunctions of the discrete eigenproblems are obtained.

Key words: mixed finite element method, shallow shell, eigenvalue, eigenfunction, shallow shell stability, shallow shell vibrations.

Размещено на Allbest.ru