Власні значення варіаційних еліптичних задач в перфорованих областях

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Намлєєва Юлія Валеріївна

УДК 517.9

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ВЛАСНІ ЗНАЧЕННЯ ВАРІАЦІЙНИХ ЕЛІПТИЧНИХ ЗАДАЧ В ПЕРФОРОВАНИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02- диференціальні рівняння

Донецьк-2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор академік НАН України Скрипник Ігор Володимирович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, директор.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Базалій Борис Васильович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, завідувач відділу рівнянь математичної фізики;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, Сіденко Микола Романович, Інститут математики НАН України, м. Київ.

Провідна установа: Національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, кафедра математичної фізики.

Захист відбудеться “ 20 ” грудня 2002 р. о 15⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург,74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки, 83114, Донецьк, вул. Рози Люксембург,74.

Автореферат розісланий “ 18 ” листопада 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради О. А. Ковалевський.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У дисертаційній роботі вивчається поведінка власних значень та власних функцій еліптичних задач Діріхле для лінійних операторів другого і високого порядку та нелінійних операторів другого порядку в перфорованих областях.

Актуальність теми За останні чотири десятиріччя виникла нова область у теорії рівнянь з частинними похідними - усереднення диференціальних операторів. Зараз теорія усереднення розвивається в багатьох країнах. Пов'язано це з тим, що для різних задач гідродинаміки, теорії пружності та багатьох інших розділів фізики та механіки необхідно вивчення сильно неоднорідних середовищ і фізичних процесів, які в них відбуваються. Математичні моделі таких процесів являють собою крайові задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними. Рівняння в цих задачах мають швидко коливні коефіцієнти або ж розглядаються в областях складної структури, тому виникають проблеми усереднення таких задач. Отже, виникає питання про те, як і за яких умов, розглядувану задачу можна замінити так званою "усередненою" задачею, яка розглядається в більш простій області. Усереднені рівняння дозволяють з великою точністю визначити ефективні характеристики сильно неоднорідного середовища, що забезпечується вимогою близькості розв'язків відповідних крайових задач для вихідних і усереднених рівнянь.

Питання поведінки розв'язків спектральних задач для диференціальних операторів у перфорованих областях виникають у електродинаміці, радіофізиці, теорії пружності, тощо. Вплив сильно розрідженої множини закріплення загального вигляду на спектр оператора Лапласа вперше був вивчений О. А. Самарським у 1948 році (Самарский А. А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов // ДАН СССР. - 1948. - Т.LXIII, №6. - С.631-634), при цьому для характеристики множини використовувалося поняття ємності. Він показав, що збурення власного числа задачі Діріхле для оператора Лапласа при віддалені з області, що міститься в , множини малого об'єму, припускає асимптотичну точну оцінку.

У 60-ті роки минулого століття В. О. Марченком і Є. Я. Хрусловим вперше було досліджено питання поведінки розв'язків крайових задач для рівнянь з частинними похідними в перфорованих областях, які отримані викиданням великої кількості дрібних компонент із фіксованої області. У подальшому ці питання розглядалися Є. Я. Хрусловим, ним були розроблені варіаційні методи дослідження асимптотичної поведінки розв'язків задач Діріхле і Неймана для лінійних рівнянь у змінних областях неперіодичної структури. Потім ці методи використовувалися для усереднень різних лінійних задач, в тому числі і задач на власні значення, в працях Л. В. Берлянда, Є. В. Свіщевої та інших авторів.

Паралельно, починаючи з 70-х років, розвивається теорія усереднення операторів із швидко коливними коефіцієнтами. Питання поведінки власних чисел і власних функцій таких операторів вивчали О. О. Олійник, Г. О. Йосиф'ян, О. С. Шамаєв, Т. А. Шапошнікова та інші.

Слід відзначити праці Ш. Озава, Т. Озава, С. Роппонджі, І. Чавела, Є. О. Фельдмана і багатьох інших авторів, в яких досліджено власні значення і власні функції різних задач для лінійних операторів в сингулярно збурених областях.

Істотні результати в дослідженні нелінійних задач Діріхле в областях складної неперіодичної структури були одержані І. В. Скрипником, Дж. Даль Мазо, Ф. Мюра, О. А. Ковалевським та іншими, ними розроблені методи усереднення задач Діріхле для нелінійних еліптичних і параболічних рівнянь другого порядку в перфорованих областях та побудовані граничні задачі із додатковими членами, що носять ємнісний характер.

Таким чином, становить інтерес спроба перенести методи усереднення лінійних і нелінійних еліптичних задач, які розглядаються у послідовності перфорованих областей на спектральні задачі Діріхле для лінійних і нелінійних еліптичних рівнянь у послідовності перфорованих областей неперіодичної структури.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями відділу нелінійного аналізу ІПММ НАН України, її результати використані при виконанні наукового проекту 01.07/00252 "Асимптотична поведінка розв'язків рівнянь вищого порядку в областях складної структури" ДФФД України.

Мета дослідження. Вивчити питання усереднення задач Діріхле на власні значення для різних рівнянь в областях складної структури. З цією метою вивчити поведінку послідовності власних значень та власних функцій розглядуваних задач і в кожному випадку показати, що власні значення цих задач в сім'ї перфорованих областей збігаються до відповідних значень усередненої задачі в неперфорованій області і відповідні власні функції розглядуваних задач близькі до власних функцій усередненої граничної задачі.

Наукова новизна отриманих результатів. Вперше розглянуто питання поведінки власних значень та власних функцій задачі Діріхле для лінійних рівнянь другого і високого порядків та нелінійного рівняння другого порядку в послідовності перфорованих областей з неперіодичною структурою.

Вивчено характер збіжності власних функцій задачі Діріхле для лінійного рівняння другого порядку в послідовності областей з дрібнозернистою межею до відповідних власних функцій граничної задачі.

Досліджена збіжність власних значень і власних функцій задачі Діріхле для лінійного рівняння високого порядку в послідовності перфорованих областей загальної структури до відповідних власних значень і власних функцій усередненої задачі з мірою.

Також вперше розглянуто проблему усереднення задачі Діріхле на власні значення для нелінійних рівнянь другого порядку в послідовності областей з дрібнозернистою межею.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані в дисертації результати мають теоретичний характер і можуть бути використані для вивчення прикладних фізико-механічних проблем, які моделюються лінійними і нелінійними задачами Діріхле на власні значення в областях складної структури.

Особистий внесок здобувача. Робота [5] виконана в співавторстві з науковим керівником. Керівнику належить постановка задачі і схеми доведень поточкових оцінок. Дисертанту належить доведення основних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на міжнародних конференціях "Нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними" (м. Львів, 1999 р., м. Київ, 2001 р.), "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь" (м. Дрогобич, 2001 р.), а також на семінарах під керівництвом академіка НАН України І. В. Скрипника (1999-2002 рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в працях [1]-[5].

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, викладена на 146 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 105 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, подано короткий аналіз сучасного стану проблеми, сформульовано мету та задачі дослідження, наукову новизну, практичне значення, апробацію та зміст роботи.

У першому розділі зроблено огляд результатів, які мають безпосереднє відношення до теми дисертації.

У другому розділі вивчається задача Діріхле на власні значення для лінійного рівняння другого порядку в перфорованих областях неперіодичної структури при різних умовах на перфорацію.

У підрозділі 2.1 розглядається випадок області з дрібнозернистою межею. Нехай - довільна область в n-мірному евклідовому просторі . Припустимо, що при будь-якому натуральному значенні визначено скінчене число неперервних замкнених множин що містяться в . Позначимо через - нижню межу радіусів куль, що містять і нехай - центр такої кулі радіуса , що . Тут і далі - куля радіуса з центром у точці . Через позначимо відстань від до множини . Припустимо, що виконані умови:

Через будемо позначати додатні сталі, що не залежать від . Випадок таких умов на перфорацію розглядався В. О. Марченком і Є. Я. Хрусловим (Краевые задачи с мелкозернистой границей. - К.: Наукова думка, 1974. - 278 с.).

Теорема 1. Нехай виконані умови , тоді

і послідовність збігається до при сильно в слабко в .

У підрозділі 2.2 доводиться рівномірна збіжність залишкового члена асимптотичного розкладу власних функцій задачі (1), (2) у послідовності областей з дрібнозернистою межею. Припускається, що виконується більш сильна умова, яка гарантує виконання умов

де .

Позначимо , де . Очевидно, що . Використовуючи методи з праці (Скрыпник И. В. Асимптотика решений нелинейных эллиптических задач в перфорированных областях // Матем. сб. - 1993. - Т.184, №10. - С. 67-90.) доводиться наступний результат

Теорема 2. Нехай виконані умови тоді

.

У підрозділі 2.3 у випадку загальної перфорації, коли при кожному натуральному значенні визначена відкрита множина і не робиться ніяких припущень відносно геометрії області , отримано результат, аналогічний до теореми 1. При цьому припускається замість умов виконання наступної умови

існують стала і послідовність такі, що виконана нерівність

для і довільної точки , відстань від якої до більша, ніж .

Тут - куб з центром , - 2-ємність компактної множини по відношенню до кулі . Для

,

де точна нижня межа береться по всіх функціях .

Питання усереднення задачі Діріхле для нелінійного еліптичного рівняння другого порядку у послідовності перфорованих областей загальної структури при виконанні умов розглядались І. В. Скрипником. У випадку виконання умови замість умови гранична спектральна задача для послідовності задач (1), (2) буде мати такий же вигляд, як і у випадку умови , тобто, має місце наступна теорема.

Теорема 3. Нехай виконані умови , тоді

,

і послідовність збігається до при сильно в слабко в .

Теорема 4. Нехай виконані умови , тоді

,

і послідовність збігається до при сильно в слабко в .

У розділі 3 вивчаються питання усереднення спектральних задач Діріхле для лінійних еліптичних рівнянь високого порядку у послідовності перфорованих областей загальної структури.

Теорема 5. Нехай виконуються умови , тоді

,

і послідовність збігається до при сильно в слабко в .

У підрозділі 4 розглядається задача Діріхле на власні значення для нелінійного еліптичного рівняння другого порядку у послідовності областей з дрібнозернистою межею. Нехай - область визначена у підрозділі 2.1 задача діріхле лінійний рівняння

Теорема 6. Нехай - власне значення задачі (13), (14), - власне значення задачі (15), (16), і - відповідні власні функції. Нехай виконуються умови . Тоді , і послідовність при збігається до сильно в для будь якого слабко в .

ВИСНОВКИ

Доведено збіжність власних значень і власних функцій задачі Діріхле для лінійного еліптичного рівняння другого порядку в послідовності областей з дрібнозернистою межею і в послідовності перфорованих областей загальної структури до відповідних власних значень і власних функцій граничної задачі.

Доведено рівномірну збіжність залишкового члена асимптотичного розкладу власних функцій задачі Діріхле для лінійного еліптичного диференціального рівняння другого порядку в послідовності областей з дрібнозернистою межею.

Доведено збіжність власних значень і власних функцій задач Діріхле для лінійного еліптичного диференціального рівняння другого порядку і для лінійного еліптичного диференціального рівняння високого порядку в послідовності перфорованих областей загальної структури при дуже слабких умовах на перфорацію до відповідних власних значень і власних функцій граничних задач з мірою.

Доведено збіжність перших власних значень і відповідних власних функцій задачі Діріхле для нелінійного диференціального рівняння другого порядку в послідовності областей з дрібнозернистою межею до першого власного значення і відповідної власної функції граничної задачі.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО У ПРАЦЯХ

Намлеева Ю.В. Сходимость собственных чисел и собственных функций задачи Дирихле для дифференциального уравнения второго порядка в перфорированных областях // Нелинейные граничные задачи. - 2000. - №10. - С. 136-141.

Намлеева Ю.В. Сходимость собственных чисел и собственных функций линейной задачи Дирихле в перфорированных областях общей структуры // Доповіді НАН України. - 2001. - №7. - С. 29-33.

Намлеева Ю.В. Сходимость собственных значений и собственных функций задачи Дирихле для линейного уравнения высокого порядка в перфорированных областях общей структуры // Труды ИПММ НАН Украины. - 2001. - Т. 6. - С. 92-94.

Намлеева Ю.В. Равномерная сходимость собственных функций линейной задачи Дирихле в областях с мелкозернистой границей // Доповіді НАН України. - 2001. - №12. - С. 34-39.

Скрыпник И.В., Намлеева Ю.В. Сходимость собственных значений и собственных функций нелинейных задач Дирихле в областях с мелкозернистой границей // Труды ИПММ НАН Украины. - 2002. - Т. 7. - С. 168-174.

АНОТАЦІЇ

Намлєєва Ю.В. " Власні значення варіаційних еліптичних задач в перфорованих областях." - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02- диференціальні рівняння. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк 2002.

Дисертацію присвячено питанням усереднення сімей задач Діріхле на власні значення для еліптичних рівнянь другого і високого порядків у послідовності перфорованих областей неперіодичної структури. Для послідовності областей з дрібнозернистою межею доведена збіжність власних значень і власних функцій задач Діріхле для лінійного і нелінійного еліптичних рівнянь другого порядку до відповідних власних значень і власних функцій граничних задач з додатковими членами, що мають ємнісний характер. Доведена також рівномірна збіжність залишкового члена асимптотичного розкладу власних функцій задачі Діріхле для лінійного рівняння другого порядку у послідовності областей з дрібнозернистою межею. Також вивчено поведінку власних значень і власних функцій задач Діріхле для лінійних рівнянь другого і високого порядків в перфорованих областях загальної структури, тобто без будь-яких геометричних припущень відносно структури змінних областей.

Ключові слова: усереднення, перфоровані області, власні значення, власні функції, еліптичні граничні задачі.

Намлеева Ю.В. "Собственные значения вариационных эллиптических задач в перфорированных областях." - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02- дифференциальные уравнения. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк 2002.

Вопросы поведения решений спектральных задач для эллиптических дифференциальных операторов в перфорированных областях возникают в электродинамике, радиофизике, теории упругости. Исследованиями линейных и нелинейных задач для уравнений с частными производными в областях сложной непериодической структуры занимались В. А. Марченко, Е. Я. Хруслов, И. В. Скрыпник, Дж. Даль Мазо, Ф. Мюра, А. А. Ковалевский, и другие. Поведение собственных значений и собственных функций различных линейных задач, в том числе и для операторов с быстро осциллирующими коэффициентами, в перфорированных областях изучали О. А. Олейник, Г. А. Иосифьян, А. С. Шамаев, Т. А. Шапошникова, Е. В. Свищева, и другие.

Диссертация посвящена вопросам усреднения семейств задач Дирихле на собственные значения для эллиптических операторов второго и высокого порядков в перфорированных областях различной структуры.

Рассмотрена проблема усреднения задачи Дирихле на собственные значения в последовательности областей с мелкозернистой границей и в последовательности перфорированных областей общей структуры, то есть при отсутствии каких-либо предположений относительно геометрии области. В случае областей с мелкозернистой границей получены условия сходимости собственных значений исходной задачи к соответствующим собственным значениям усредненной задачи Дирихле для уравнения с добавочным членом, имеющим емкостной характер. Изучен также характер сходимости последовательности собственных функций задачи Дирихле в областях с мелкозернистой границей к соответствующим собственным функциям усредненной задачи, а именно, получена сходимость в пространствах Соболева, сильная в слабая в , и доказана равномерная сходимость остаточного члена асимптотического разложения собственных функций исходной задачи.

При различных условиях на перфорацию в случае перфорированных областей общей структуры получены аналогичные сходимости собственных значений и собственных функций в пространствах Соболева. При этом для очень слабых условий на перфорацию предельное уравнение будет содержать слагаемое с борелевской мерой. Такой же вид добавочного слагаемого в предельном уравнении сохранится в случае линейного уравнения высокого порядка. То есть, для задачи Дирихле на собственные значения для уравнения высокого порядка доказаны такие же результаты, как и в случае спектральной задачи Дирихле для линейного уравнения второго порядка.

В случае областей с мелкозернистой границей на основе новых, доказанных в диссертации поточечных оценок решений вспомогательных модельных задач, изучено поведение первого собственного значения и соответствующей собственной функции задачи Дирихле для нелинейного уравнения второго порядка.

Ключевые слова: усреднения, перфорированные области, собственные значения, собственные функции, эллиптические краевые задачи.

Namleeva Ju. V. "The eigenvalues of variation elliptic problems in perforated domains." - Manuscript.

Thesis for candidate's degree (physical and mathematical sciences) by specialty 01.01.02 - differential equations. - The Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2002.

The dissertation is devoted to the question of homogenization of the families of Dirichlet eigenvalue problem for elliptic second order and high order equations in perforated domains of different structure. The convergence of the eigenvalues and eigenfunctions of Dirichlet problems for linear and nonlinear elliptic second order equations to the corresponding eigenvalues and eigenfunctions of the Dirichlet problems for equations with capacity terms is proved. Uniform convergence of the eigenfunctions of Dirichlet problem for linear second order equation to the corresponding eigenfunctions of the limit problem is obtained. The behavior of the eigenfunctions and eigenvalues of the Dirichlet problems for second order and high order equations in perforated domains of general structure is studied.

Key words: homogenization, perforated domains, eigenvalues, eigenfunctions, elliptic boundary value problems.

Размещено на Allbest.ru