Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Автореферат

Раціональна апроксимація аналітичних в одиничному крузі функцій

Боднар Ростислав Дмитрович

Львів - 2003

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Одним з основних напрямків теорії функцій як дійсної, так і комплексної змінної є наближення функцій з певного класу за допомогою елементів з його підкласу, який складається з простіших в тому чи іншому розумінні функцій.

У 60-70-х роках ХХ століття ряд відомих математиків (П. Ердеш, А.Р. Редді, Р.С. Варга, Д.Дж. Ньюмен та інші) для цілої функції з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами і вивчали наближення на функцій функціями вигляду , де - многочлен, оцінюючи величину

,

де - клас алгебраїчних многочленів степеня не вищого за . Основні результати стосувались цілих функцій скінченного порядку або скінченного логарифмічного порядку.

М.М. Шеремета отримав оцінки для цілих функцій довільного зростання, з яких, навіть у випадку цілих функцій скінченного порядку, випливають кращі оцінки, ніж отримані раніше П. Ердешем та А.Р. Редді.

Оцінки зверху очевидним чином випливають із оцінок зверху величини

,

де - часткова сума степеневого розвинення цілої функції . Оскільки ряди Діріхле з невід'ємними показниками є безпосереднім узагальненням степеневих рядів, то природною стала задача про вивчення швидкості збіжності часткових сум цілих (абсолютно збіжних у комплексній площині) рядів Діріхле з додатними коефіцієнтами. Перші результати в цьому напрямку отримав М.М. Шеремета, застосувавши в своїх дослідженнях потужний апарат методу Вімана-Валірона. Розвиваючи цей метод, дослідження продовжили О.Б. Скасків, О.Г. Орищин та В. Сороківський.

З іншого боку, використовуючи результати А.А. Гончара та М.М. Шеремети, П.А. Шу-ліманов для цілих функцій скінченного порядку отримав ряд оцінок знизу.

Цілком природно виникла нова задача про швидкість збіжності часткових сум абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле з додатними коефіцієнтами з наступним її застосуванням до раціональної апроксимації на аналітичних в одиничному крузі функцій з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами. Актуальною також стала проблема отримання аналогів результатів П.А. Шуліманова для функцій, аналітичних в одиничному крузі.

Розв'язанню цих проблем присвячена запропонована дисертація.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, проведених в дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка. Матеріал дисертації є складовою частиною досліджень держбюджетної теми Мт-380Б “Аналітичні функції та ряди Діріхле” (номер держреєстрації - 0198 U 004855).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є оцінки зверху та знизу величини найкращого наближення на многочленами аналітичних в одиничному крузі функцій з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами.

Задачі дослідження:

визначити швидкість збіжності часткових сум абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле з додатними коефіцієнтами в тій чи іншій шкалі зростання;

отримати оцінки швидкості збіжності часткових сум вказаних вище рядів Діріхле на підпослідовності індексів, застосовуючи розроблену О.Б. Скасківим методику типу Вімана-Валірона;

оцінити зверху і знизу величину найкращого наближення многочленами аналітичних в одиничному крузі функцій з невід'ємними коефіцієнтами;

оцінити знизу величину найкращого наближення раціональними функціями аналітичних в одиничному крузі функцій з невід'ємними коефіцієнтами.

Об'єктом дослідження є абсолютно збіжні у півплощині ряди Діріхле з додатними показниками та коефіцієнтами і аналітичні в одиничному крузі функції з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами.

Предметом дослідження є швидкість збіжності часткових сум абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле з додатними показниками та коефіцієнтами і раціональна апроксимація аналітичних в одиничному крузі функцій з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами.

Методи дослідження. Для оцінок зверху швидкості збіжності часткових сум абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле з додатними показниками та коефіцієнтами використовуються методи математичного аналізу, комплексного аналізу, деякі прийоми з праць М.М. Шеремети і розроблена О.Б. Скасківим методика типу методу Вімана-Валірона. Отримання оцінок раціональної апроксимації аналітичних в одиничному крузі функцій з невід'ємними коефіцієнтами базуються на результатах В.Л. Гончарова та А.А. Гончара.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі отримані в роботі наукові результати є новими. У дисертації вперше:

досліджено швидкість збіжності часткових сум абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле з додатними показниками та коефіцієнтами як у різних шкалах зростання, так і на підпослідовності індексів;

знайдено оцінки зверху і знизу величини найкращого наближення на функції для аналітичної в крузі функції з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і є певним внеском у теорію абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле, аналітичних в одиничному крузі функцій, теорію наближень. Вони можуть бути використані в подальших дослідженнях цього напрямку, а також у прикладних задачах, пов'язаних з апроксимацією функцій. Ці результати можуть бути використані у Львівському національному університеті імені Івана Франка, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, Дніпропетровському національному університеті, Інституті математики НАН України, Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. Підстригача НАН України, Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка.

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати, що увійшли у дисертацію, отримані її автором самостійно. У спільних публікаціях з М.М. Шереметою та О.Б. Скасківим співавторам належать постановки задач та обговорення отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що увійшли в дисертацію, доповідались та обговорювались на:

Міжнародній конференції “Цілі та мероморфні функції”, присвяченій 70-річчю А.А. Гольдберга (м. Львів, 2000 р.);

Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (кер. проф. М.М. Ше-ремета);

Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (кер. проф. А.А. Кондратюк і проф. О.Б. Скасків);

Cемінарі з теорії наближень при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (кер. проф. І.О. Шевчук),

а також анонсовані у тезах:

Міжнародної конференції “Функціональний аналіз і його застосування”, присвяченої 110-ій річниці з дня народження С. Банаха (м. Львів, 2002 р.);

школи-семінару “Прикладні проблеми математики та інформатики” (м. Рівне, 1996 р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 6 статтях (4 у співавторстві). Серед них 5 статей (3 у співавторстві) у виданнях з переліку ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел (26 найменувань на 3 сторінках) та викладена на 123 сторінках.

Основний зміст дисертаційної роботи

Теорема 3.3.1. Нехай аналітична в функція (6) має порядок , нижній тип і тип . Тоді для всіх досить великих виконується де супремум береться по , які є розв'язками рівняння.

Висновки

Дисертаційна робота присвячена дослідженню раціональної апроксимації аналітичних в одиничному крузі функцій. У дисертації:

визначена швидкість збіжності часткових сум абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле в різних шкалах зростання;

визначена швидкість збіжності часткових сум абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле на підпослідовності індексів за умови оцінки коефіцієнтів ряду Діріхле знизу або оцінки максимального члена ряду знизу. У другому випадку використовується методика типу методу Вімана-Валірона, розроблена для абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле О.Б. Скасківим;

встановлені оцінки зверху величини найкращого наближення аналітичних в одиничному крузі функцій з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами многочленами;

встановлені оцінки знизу величини найкращого наближення аналітичних в одиничному крузі функцій з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами раціональними функціями.

Основні результати дисертаційної роботи є новими, мають завершений характер, їх доведення є повними і вони можуть застосовуватися у прикладних проблемах, пов'язаних з раціональною апроксимацією аналітичних в одиничному крузі функцій.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Боднар Р.Д. Про апроксимацію на раціональними функціями аналітичних в одиничному крузі функцій з невід'ємними коефіцієнтами // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2000. - Т. 43, № 4. - С.55-58.

Боднар Р.Д., Скасків О.Б. Про швидкість збіжності часткових сум абсолютно збіжних рядів Діріхле // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1999. - Т. 42, № 4. - С.26-30.

Скасків О.Б., Боднар Р.Д. Швидкість збіжності рядів Діріхле // Вісник Львівського університету, сер. мех.-мат. - 1998. - Вип. 49. - С.71-74.

Шеремета М.М., Боднар Р.Д. Про швидкість збіжності часткових сум рядів Діріхле і раціональну апроксимацію аналітичних в одиничному крузі функцій // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1996. - Т. 39, № 2. - С.116-122.

Шеремета М.М., Боднар Р.Д. Раціональна апроксимація на аналітичних в крузі функцій // Волинський математичний вісник. - 1995. - Випуск 2. - С.181-183.

Bodnar R.D. The best approximation on of analytic in the unit disk functions with nonnegative Taylor coefficients // Математичні студії. - 2000 - Т.14, № 1. - С.85-88.

Анотація

Боднар Р.Д. Раціональна апроксимація аналітичних в одиничному крузі функцій.. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2002.

У дисертації для абсолютно збіжного у півплощині ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності з невід'ємними зростаючими до показниками і невід'ємними коефіцієнтами, що є узагальненням аналітичної в одиничному крузі функції, швидкість збіжності його часткових сум визначається за допомогою величини. Отримано оцінку зверху для всіх , з якої випливає ряд наслідків про швидкість збіжності рядів Діріхле в певних шкалах зростання, а також на підпослідовності індексів за умови оцінки коефіцієнтів ряду Діріхле знизу або оцінки максимального члена ряду знизу.

Для аналітичних в крузі функцій з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами отримано оцінки. У випадку встановлено оцінку зверху величини , з якої випливає оцінка зверху у певних шкалах зростання. Для функції порядку, типу і нижнього типу знайдено оцінки знизу для величин і .

Ключові слова: аналітична в одиничному крузі функція, ряд Діріхле, максимальний член ряду Діріхле, центральний індекс ряду Діріхле, раціональна апроксимація.

Bodnar R.D. Rational approximation of analytical in the unit disc functions. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2002.

The convergence rate of partial sums of the Dirichlet series with an abscissa of absolute convergence equal to 0 and with nonnegative increasing to exponents and nonnegative coefficients, which is in fact the generalization of the analytical in the unit disc function, is established by the value in the thesis. The upper estimation of for all was received. A number of corollaries for the convergence rate of Dirichlet series in some increasing scales follows from this estimation. It was received an upper estimation of on the subsequence of indexes under the condition either the lower estimation of Dirichlet series coefficients or the lower estimation of the maximal term of the series.

The estimations of was received for the analytical in the unit disc functions with nonnegative Taylor's coefficients. The upper estimation of , from which follows the upper estimation of in some increasing scales, in the case of . The lower estimations of the function of an order, a type and a lower type was founded for values and .

Key words: analytical in the unit disc function, Dirichlet series, maximal term of Dirichlet series, central index of Diriclet series, rational approximation.

Боднар Р.Д. Рациональная аппроксимация аналитических в единичном круге функций.. - Руко-пись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2002.

В диссертации исследуются рациональная аппроксимация аналитических в единичном круге функций и скорость сходимости частных сумм абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле, которые являются их обобщением.

Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников (26 наименований на 3 страницах) и изложена на 123 страницах.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной роботы, указана связь работы с научными программами, планами, темами, сформулированы цель и задачи исследований, обоснована научная новизна и практическое значение полученых в диссертации результатов. Также здесь указывается на личный вклад соискателя, наводится аппробация результатов диссертации, описываются структура и объем диссертационной работы.

В первом разделе диссертационной работы вводятся основные понятия, формулируются определения, делается обзор литературы по теме диссертации, дан обзор основных направлений исследования и полученых результатов.

Во втором разделе для абсолютно сходящегося в полуплоскости ряда Дирихле с нулевой абсциссой абсолютной сходимости и с неотрицательными возрастающими к показателями и неотрицательными коэффициентами, который является обобщением аналитической в единичном круге функции, скорость сходимости его частных сумм исследуется с помощью величины . Получена оценка сверху для всех , из которой вытекает ряд следствий о скорости сходимости частных сумм рядов Дирихле в определенных шкалах роста. Получены оценки сверху на подпоследовательности индексов при условии оценки коэффициентов ряда Дирихле снизу или оценки максимального члена ряда снизу. Во втором случае используется методика типа метода Вимана-Валирона, разработанная для абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле О.Б. Скаскивым.

В третьем разделе для аналитических в круге функцій с неотрицательными тейлоровскими коэффициентами получены оценки. Получена оценка сверху величины , из которой следует оценка сверху в определенных шкалах возрастания. Для функции порядка, типа и нижнего типа найдены оценки снизу для величин и . Похожие оценки для целых функций конечного ненулевого порядка, типа и нижнего типа были получены П.А. Шу-лимановым.

Ключевые слова: аналитическая в единичном круге функция, ряд Дирихле, максимальный член ряда Дирихле, центральный индекс ряда Дирихле, рациональная аппроксимация.

Размещено на Allbest.ru