Потенціали взаємодії інтегровних за Ліувіллем багаточастинкових систем на прямій
Аналіз сучасного стану досліджень з теорії інтегровних скінченновимірних гамільтонових систем. Вирішення проблеми інтегровності за Ліувіллем гамільтонових динамічних систем для випадку багаточастинкових систем на прямій з різними типами взаємодії.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 25.06.2014 |
| Размер файла | 63,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Міністерство освіти і науки України
Львівський національний університет імені Івана Франка
Вус Андрій Ярославович
УДК 531.01+517.9
ПОТЕНЦІАЛИ ВЗАЄМОДІЇ ІНТЕГРОВНИХ ЗА ЛІУВІЛЛЕМ БАГАТОЧАСТИНКОВИХ СИСТЕМ НА ПРЯМІЙ
01.01.01 - математичний аналіз
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Львів - 2002
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі математичного моделювання Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України
Науковий керівник - кандидат фізико-математичних наук, доцент
Підкуйко Сергій Іванович,
доцент кафедри математичного моделювання
Львівського національного університету імені Івана Франка
Офіційні опоненти
доктор фізико-математичних наук, професор
Самойленко Валерій Григорович,
завідувач кафедри математичної фізики Київського національного університету імені Тараса Шевченка
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Микитюк Ігор Володимирович,
доцент кафедри прикладної математики та програмування Інституту математики та фундаментальних наук Національного університету "Львівська політехніка"
Провідна установа: Фізико-технічний інститут імені Б.І. Вєркіна НАН України, відділ математичного моделювання фізичних процесів.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради________Бокало М.М
Размещено на http://www.allbest.ru
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Проблема точного інтегрування рівнянь динаміки - одна з найбільш популярних тем дослідження, починаючи із знаменитих “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687) Ньютона. Основоположною ідеєю в цій проблематиці є загальна ідея симетрії і, як наслідок, питання про існування додаткових інтегралів руху. інтегровність багаточастинковий гамільтоновий ліувілль
Методи, які застосовуються при дослідженні питання про існування інтегралів руху (зокрема, знаходження повного інволютивного набору інтегралів), визначаються вибором відповідного функціонального класу, в якому шукаються ці інтеграли. У відповідності з цим говорять про аналітичну або гладку інтегровність (чи неінтегровність) гамільтонових систем.
Нехай є першим інтегралом гамільтонової системи , zM2n, тобто динамічної системи з 2n-вимірним фазовим простором, що описується гамільтоніаном H=H(x1,x2,.,xn, p1,p2,…,pn) і рівняннями
. (1)
Якщо dF(z0)0 то в деякому околі точки z0M існують такі канонічні координати x1,x2,...,xn, y1,y2,…,yn, що F(x,y)=y1. Зокрема, локально (за винятком положень рівноваги) функцію Гамільтона завжди можна привести до вигляду H(x,y)=y1.
Одним із важливих напрямків дослідження інтегровності динамічних систем є застосування теореми Ліувілля про інтегровність в квадратурах гамільтонових динамічних систем з повним інволютивним набором перших інтегралів. У роботах М. Хенона, С. Хейлеса, Б. Грамматікоса, Б. Доріцці, А. Рамані, Й. Хіетарінти, на основі безпосереднього пошуку перших інтегралів, що є поліномами невеликого (не вище 6-го) порядку за імпульсами, побудовано приклади цілком інтегровних гамільтонових систем, що володіють повним набором перших інтегралів в інволюції.
Водночас з безпосередніми методами відшукання перших інтегралів, які були започатковані ще Дж. Біркгофом, розвивалась і топологічна теорія гамільтонових систем. Виявилося, що складна структура конфігураційного простору несумісна з повною інтегровністю рівнянь руху відповідної механічної системи. В подальшому завдяки працям І.А. Тайманова, С.В. Болотіна, В.В. Козлова, А.Т. Фоменка топологічна теорія гамільтонових систем інтенсивно розвивалась як в теоретичних, так і в прикладних аспектах. З іншого боку, як показав ще Анрі Пуанкаре, інтегровності гамільтонових систем перешкоджають резонансні явища, пов'язані з руйнуванням інваріантних резонансних торів при появі збурень. Аналітичний аспект цього явища - проблема малих знаменників. Інші відомі перепони інтегровності рівнянь динаміки, зокрема такі як розщеплення асимптотичних поверхонь та галуження розв'язків у площині комплексного часу, досліджувалися в роботах А.М. Ляпунова, В.В. Голубєва, В.В. Козлова, С.Л. Зігліна. Започаткований А.М. Ляпуновим метод дослідження галуження розв'язків аналітичних диференціальних рівнянь базується на вивченні рівнянь у варіаціях відомих частинних розв'язків. На основі цієї теорії С.Л. Зіглін та Х. Іошіда отримали критерії неінтегровності гамільтонових систем.
Вiдомо, що систему (1) вiдповiдним канонiчним перетворенням можна звести до гамiльтонової системи, яка негайно iнтегрується. Проте таке канонiчне перетворення не зобов'язане бути збiжним. Використовуючи результати дослiджень А. Пуанкаре та Дж. Бiркгофа, К.Л. Зiгель довiв щiльнiсть, а пiзнiше масивнiсть неiнтегровних гамiльтонових систем (1) для випадку n=2. С.I. Пiдкуйко узагальнив цi результати на випадок довiльного n.
Один з важливих напрямків дослідження інтегровності динамічних систем пов'язаний із вивченням системи взаємодіючих частинок на прямій, яка описується гамільтоніаном
, (2)
де V(t)- потенціал попарної взаємодії частинок. Вперше така задача для випадку трьох тіл з потенціалом взаємодії V(t)=a/t2 була досліджена Якобі, який показав, що вона є інтегровною. Згодом Ф. Калоджеро, Б. Сазерленд та Ю. Мозер довели інтегровність системи n взаємодіючих частинок з потенціалом у вигляді -функції Вейєрштрасса. Загальний вигляд перших інтегралів, їх зв'язок з квантовими системами та повна інтегровність відповідної квантової системи описано і доведено С.І. Підкуйком. А.М Стьопіним та С.І. Підкуйком повністю описано клас потенціалів гамільтонової системи (2), які допускають додатковий перший інтеграл, що перебуває в 'загальному положенні' з гамільтоніаном.
Часто розглядаються системи на прямій, в яких частинки, що їх утворюють, взаємодіють тільки з найближчими сусідами (одновимірні ланцюжки). Динаміка періодичного ланцюжка описується гамільтоніаном:
, , (3)
а 'розірваного' (неперіодичного) - гамільтоніаном:
. (4)
У цих випадках потенціал V не завжди вважається парним .
Для нескінченної кількості частинок на прямій така система була вперше розглянута в 1967 році в роботах японського фізика М.Тоди, який виявив, що в такій ангармонічній гратці можуть поширюватися незатухаючі нелінійні хвилі. Питання повної інтегровності неперіодичного ланцюжка Тоди було розв'язане у працях М. Хенона, Х. Флашки, С.В. Манакова, М. Каца та П. ван Мербеке, Ю. Мозера. Нарешті, Б. Костант, М.А. Ольшанецький та А.М. Переломов проінтегрували рівняння руху для неперіодичного випадку явно за допомогою теорії груп. Рівняння руху періодичного ланцюжка були повністю досліджені та проінтегровані в тета-функціях в роботах М. Каца та П. ван Мербеке, І.М. Кричевера, Х.Флашки, С.В. Манакова, А.К. Прикарпатського, В.Г. Самойленка та ін.
З 80-х років активно розвивається ефективний метод інтегрування гамільтонових систем, що грунтується на представленні Лакса. За допомогою зведення диференціальних рівнянь руху до матричного вигляду знайдено повні інволютивні набори перших інтегралів як власних значень матриці L для численних задач квантової механіки. Метод оберненої задачі розсіяння, розроблений С. Гарднером, Дж. Гріном, М. Крускалом та Р. Міурою, був переформульований в алгебраїчному вигляді П. Лаксом і застосований початково до нелінійних еволюційних рівнянь в частинних похідних: рівняння Кортевега - де Фріза, нелінійного рівняння Шредінгера і так званого рівняння sine-Гордон. В подальшому методика Лакса дослідження повної інтегровності динамічних систем, започаткована К. Кейсом та М. Кацом, широко розвивалася для дискретних аналогів усіх вищезгаданих моделей. Зокрема, Б.А. Дубровін, В.Б. Матвєєв, С.П. Новіков, С.В. Манаков, Ю.А. Березанський, Н.Н. Боголюбов (мол.), А.К. Прикарпатський, В.Г. Самойленко, І.В. Микитюк розвинули застосування методу оберненої задачі розсіяння для різницевих аналогів нелінійних еволюційних рівнянь.
В даний час надалі актуальною є проблема повної інтегровності динамічних систем, що описуються гамільтоніанами виду
(5)
у припущенні про існування для них поліноміальних за імпульсами перших інтегралів. Така задача в загальному випадку зводиться до розв'язування систем функціональних рівнянь, кількість яких не є задана наперед. Наступне означення окреслює сферу досліджень інтегровних гамільтонових систем:
Означення 1.1. Систему з гамільтоніаном (5) назвемо інтегровною за Біркгофом, якщо вона має поліноміальних за імпульсами інтегралів, старші однорідні форми яких є майже всюди незалежними ( як функції в M2n=(x,p)).
Недослідженими залишились проблеми інтегровності гамільтонових систем взаємодіючих частинок з додатковими поліноміальними за імпульсами першими інтегралами не фіксованого наперед степеня. Для всіх згаданих інтегровних систем взаємодіючих частинок характерною рисою є існування повного інволютивного набору перших інтегралів Fk, k1,…,n, таких що Fk є поліном k-го степеня за імпульсами, до того ж , F2=H. Актуальним є питання про існування інтегровних за Ліувіллем гамільтонових систем з додатковими поліноміальними за імпульсами першими інтегралами загального вигляду. Дослідження вказаних вище проблем є предметом вивчення в даній дисертаційній роботі.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, вибраний у дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка. Матеріали третього і четвертого розділів є складовою частиною досліджень держбюджетних тем ММ-739Б “Дослідження алгебро-топологічних структур та їх застосування в топології многовидів, функціональному аналізі, комбінаториці” (номер держреєстрації 0195V009660) та МД-23Б “Побудова математичних моделей та розробка методів дослідження крайових задач для диференціальних рівнянь і випадкових еволюцій” (номер держреєстрації 0100U001411).
Особистий внесок дисертанта в рамках даних тем полягає у проведенні досліджень та описі інтегровних гамільтонових систем взаємодіючих частинок на прямій; вивченні умов існування поліноміальних за імпульсами перших інтегралів; дослідженні розв'язків диференціально-функціональних рівнянь.
Мета і задачі дослідження. Метою дослідження даної роботи є отримання опису класів мероморфних потенціалів для задачі 3 тіл на прямій, що допускають існування додаткового поліноміального першого інтеграла, степінь якого не є фіксований наперед.
Об'єктом дослідження у дисертаційній роботі є диференціальні рівняння для невідомих потенціалів взаємодії в задачі n тіл на прямій, що виникають при аналізі додаткових поліноміальних за імпульсами перших інтегралів.
Предметом дослідження є вивчення проблеми інтегровності за Ліувіллем гамільтонових систем, які описують динаміку руху n частинок на прямій з різними типами взаємодії.
Методи досліджень. У дисертаційній роботі використано результати та методи диференціальних рівнянь, теорії функцій комплексної змінної, рівнянь із частинними похідними, функціонального аналізу. Задачі неінтегровності поліноміальних потенціалів зведені до розв'язання відповідних діофантових рівнянь з використанням методів теорії чисел.
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано опис класів мероморфних потенціалів для задачі 3 тіл на прямій, що допускають існування додаткового поліноміального за імпульсами першого інтеграла. Дано умови, за яких лише V(z)=z-2+c0+c2z2+c4z4 або -функція Вейєрштрасса є шуканими потенціалами взаємодії.
Повністю досліджена проблема інтегровності гамільтонових систем взаємодіючих трьох тіл на прямій з потенціалом взаємодії V(z)=z-2+P(z), де P- поліном. Доведено класифікаційні теореми, що заперечують можливість існування нових інтегровних за Ліувіллем систем такого типу.
Розв'язано проблему про інтегровність систем взаємодіючих n тіл на прямій з різними типами взаємодії, що допускають поліноміальні за імпульсами додаткові перші інтеграли і доведено неіснування нових інтегровних гамільтонових систем такого типу.
При одержанні цих результатів розвинено і вдосконалено методику дослідження додаткових поліноміальних за імпульсами перших інтегралів гамільтонових динамічних систем та відшукання розв'язків диференціально-функціональних рівнянь.
Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і є певним внеском у побудову загальної теорії інтегровних динамічних систем. Вони можуть бути використані як у подальшому дослідженні динамічних систем, інтегровних за Ліувіллем, так і в загальній теорії симетрій в гамільтоновій механіці та інших розділах сучасної математики.
Особистий внесок здобувача. Викладені в дисертації результати отримані автором самостійно. Науковому керівникові С.І. Підкуйку належить постановка задач та обговорення можливих шляхів розв"язування та результатів дисертації.
Апробація роботи. Результати дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародних наукових конференціях імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 1995 - 1996 рр.), на Міжнародній конференції "Nonlinear Partial Differential Equations" (Львів, 23-29 серпня 1999 р.), на засіданнях наукового семінару кафедри математичного моделювання Львівського національного університету імені Івана Франка (Львів, 1997 - 2000 рр.), на Четвертій Міжнародній конференції “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Київ, 9-15 липня 2001 р.), Міжнародній науковій конференції “Functional Analysis and its Applications” (Львів, 28-31 травня 2002 р.). на наукових конференціях Львівского математичного товариства імені Тараса Шевченка (Львів, 2001 - 2002 рр.).
Публікації. Результати дисертації опубліковано у 8 працях. Із них 3 - у наукових журналах, 1 - в збірнику наукових праць Інституту математики НАН України, 4 - у матеріалах та тезах конференцій. Серед публікацій - 4 праці у наукових фахових виданнях, що входять до переліку ВАК України.
Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається із переліку умовних позначень, вступу, п'яти розділів, розбитих на 9 підрозділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 138 стор. Список використаних джерел займає 11 сторінок і складається з 126 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі проаналізовано сучасний стан досліджень з теорії інтегровних скінченновимірних гамільтонових систем. Обгрунтовано актуальність розглянутих у дисертаційній роботі задач, визначено мету і задачі дослідження, відмічено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів. Зазначено особистий внесок здобувача, апробацію роботи та список публікацій здобувача.
У першому розділі проаналізовано стан проблеми на даний час. Викладено огляд результатів, споріднених з проблематикою даної роботи, які отримано іншими авторами, а також коротко сформульовано нові наукові положення, що виносяться на захист.
Другий розділ присвячений дослідженню умов існування додаткового поліноміального за імпульсами першого інтеграла для натуральних гамільтонових систем (тобто систем з гамільтоніанами виду H=T+W(x), для яких T є квадратичною формою за імпульсами) з потенціальною енергією W, що має особливість типу полюса на деякій гладкій поверхні в конфігураційному просторі.
У підрозділі 2.1. запропоновано модель реалізації пружного удару, яка використовує ідею граничного переходу в рівняннях руху динамічної системи.
Нехай - область, обмежена кусково-гладкою кривою . Вважатимемо, що в області рухається точка за інерцією зі сталою довільною швидкістю , а при потраплянні траєкторії на межу в точці гладкості межі q відбувається пружне відбивання за законом
v= v2(v,n)n,
де v - новий вектор швидкості після відбивання,
n - вектор внутрішньої нормалі до .
Траєкторії, що попадають в точки зламу кривої , не мають продовження.
Означення 2.1. Побудована динамічна система з фазовим простором називається більярдом Біркгофа. Назвемо більярд Біркгофа інтегровним, якщо існує нетривіальна ( функціонально незалежна з ) аналітична функція на фазовому просторі, стала на траєкторіях системи.
Наступні результати стосуються реалізації граничного переходу в інтегралах руху і розв'язків системи з гамільтоніаном
, (6)
де потенціал , m>0, та відповідної більярдної системи.
Система (6) називається інтегровною, якщо вона допускає існування інтеграла руху F=F(x,p), функціонально незалежного з H.
Нехай F - поліноміальний за імпульсами перший інтеграл системи з гамільтоніаном (6). Тоді його можна подати у вигляді
F = F0 +…+ Fn,
де Fk - однорідний k-го степеня поліном за імпульсами p1, p2:
, .
Можна вважати, що перший інтеграл F розкладається в суму однорідних за імпульсами компонент у формі
F =F2N + F2N-2 +…+ F0, (7)
оскільки з вигляду гамільтоніана (6) випливає, що парна і непарна частини F є першими інтегралами даної системи. Крім того, природньо вважати, що F2N не є степенем полінома . Тоді справедлива наступна теорема:
Теорема 2.2. Якщо система з гамільтоніаном (6) допускає поліноміальний за імпульсами перший інтеграл, то межа області складається з елементів алгебраїчних кривих I або II порядку.
У другому підрозділі результати попередньої частини з двовимірного випадку узагальнюються на випадок багатовимірного конфігураційного простору. Дослідження даної моделі тісно пов'язано з конструкцією старших однорідних за імпульсами компонент у перших інтегралах граничних більярдних систем.
Основними припущеннями щодо досліджуваних систем n взаємодіючих частинок на прямій є їх повна інтегровність за Ліувіллем, тобто існування повного набору перших інтегралів Fk, k1,…,n, F1=H, поліноміальних за імпульсами і функціонально незалежних між собою. Для гамільтонових систем з гамільтоніаном у вигляді
(8)
розглянуто умови, коли така система допускає існування додаткового першого інтеграла, поліноміального за імпульсами. В загальному випадку перший інтеграл можна записати у вигляді (7), де кожен доданок
є однорідним -го порядку поліномом за імпульсами з коефіцієнтами виду Ei(x) , які є C(1)- гладкими функціями координат. Справедлива теорема:
Теорема 2.3. Якщо система з гамільтоніаном (8) допускає додатковий перший інтеграл виду (7), то F2N є першим інтегралом більярду в .
Третій розділ дисертації присвячено дослідженню систем диференціально-функціональних рівнянь для потенціалів взаємодії в задачі трьох тіл на прямій.
У першому підрозділі вивчаються питання симетрії в задачі трьох тіл на прямій, пов'язані з інваріантністю рівнянь руху щодо циклічних перестановок координат. Розглянемо проблему інтегровності за Ліувіллем гамільтонової системи взаємодії трьох точкових мас на прямій з гамільтоніаном
, (9)
де , - відповідно координати та імпульси частинок. Якщо F(x,p) є першим інтегралом гамільтонової системи з гамільтоніаном (9), то будемо говорити, що потенціал V допускає перший інтеграл F. Розглядаються потенціали V(t), що задовольняють такі умови:
1) Нуль є особливою точкою для потенціала V(t) (полюс або істотна особлива точка);
2) V(t) - парна функція.
Наступні результати стосуються проблеми інтегровності за Ліувіллем гамільтонової системи з гамільтоніаном
, (10)
яка відповідає редукції за додатковим першим інтегралом повного імпульсу в задачі взаємодіючих трьох точкових мас на прямій з гамільтоніаном (9). Введемо позначення
величини визначаються аналогічно.
Надалі використовуватимемо також наступне позначення: якщо маємо деякий поліном за імпульсами , то
, .
Для довільного однорідного степеня k полінома за імпульсами
введемо позначення
. (11)
Розглянемо умову тотожньої (на фазовому просторі) рівності нулю дужки Пуассона , де H має вигляд (10), F має вигляд (7). Переписавши її у вигляді системи рівнянь
,
і використовуючи (11), одержимо
, . (12)
Якщо існує функція з розглядуваного класу функцій, яка не задовольняє рівняння (11), то співвідношення (12) називатимемо нетривіальним.
Означення 3.1. Нетривіальні співвідношення (12) будемо називати теоремами додавання.
Множину всіх розглядуваних перших інтегралів поділимо на три групи за критерієм, який базується на конструкції коефіцієнтів однорідної за імпульсами компоненти першого інтеграла (7):
Означення 3.2. Будемо називати перший інтеграл F інтегралом І типу, якщо всі є константами, до того ж F2N не є степенем полінома (умова незалежності F з інтегралом енергії ). У випадку, якщо принаймні один з коефіцієнтів не є константою і , то F називатимемо інтегралом ІІ типу. Якщо хоча б один з коефіцієнтів не є константою і , то F називатимемо інтегралом ІІІ типу.
У підрозділі 3.2 одержано диференціально-функціональні рівняння для потенціалів взаємодії для різних типів перших інтегралів.
Теорема 3.3. Якщо система з гамільтоніаном (10) допускає інтеграл ІІ типу, то потенціал взаємодії V є раціональною функцією.
Теорема 3.4. Якщо система з гамільтоніаном (10) допускає додатковий інтеграл І типу, то співвідношення (12) є нетривіальним при i=2, а потенціал V задовольняє диференціально-функціональне рівняння
M(V)=0
де - однорідний поліном за імпульсами, .
При розгляді перших інтегралів третього типу введемо позначення =x2p1-x1p2 і для однорідного 2k-го степеня за координатами многочлена виду означимо диференціальний оператор
(13)
Теорема 3.5. Нехай система з гамільтоніаном (10) допускає існування першого інтеграла зі старшою однорідною за імпульсами компонентою
,
де degGk=2N-2k-6.
Тоді потенціал V(z) є розв'язком диференціально-функціонального рівняння
,
де диференціальні оператори M(k) визначено за допомогою (13).
Четвертий розділ присвячено вивченню диференціально-функціональних рівнянь для потенціалів взаємодії в задачі трьох взаємодіючих тіл на прямій.
У підрозділі 4.1 досліджується питання про типи можливих особливих точок потенціалів, які є розв'язками теорем додавання, одержаних у третьому розділі. Наступна теорема описує порядок полюса інтегровного мероморфного потенціала взаємодії в околі нуля:
Теорема 4.1. Нехай система з гамільтоніаном (10) допускає поліноміальний за імпульсами перший інтеграл, функціонально незалежний з інтегралом енергії H, і V(z) z при z0. Якщо <0, то =-2.
Лема 4.1. Якщо виконуються припущення теореми 4.1, то потенціал взаємодії у вигляді V(z)=z є також інтегровний.
Наступна теорема підтвержує, що якщо потенціал V(z) має в нулі ізольовану особливу точку, то ця особлива точка є полюсом.
Теорема 4.2. Нехай система з гамільтоніаном (10) допускає додатковий поліноміальний за імпульсами перший інтеграл. Тоді потенціал V(z) не може мати в околі нуля істотної особливої точки.
У підрозділі 4.2 розглянуто питання про існування інтегровних потенціалів взаємодії у вигляді раціональної функції. Як стверджує теорема 3.3, такі перші інтеграли виникають при дослідженні перших інтегралів ІІ типу. Основним результатом цього підрозділу є
Теорема 4.3. Нехай гамільтонова система з гамільтоніаном (10) допускає додатковий поліноміальний за імпульсами перший інтеграл і V(t)- раціональна функція. Тоді потенціал взаємодії V(t) має вигляд
,
де P - поліном, c - деяка константа.
Наслідок 4.2. Якщо потенціал взаємодії V(z) в інтегровній гамільтоновій системі з гамільтоніаном (4.1) має відмінний від нуля полюс, то він є періодичною функцією.
Третій підрозділ четвертого розділу присвячено дослідженню інтегровних потенціалів задачі трьох тіл на прямій, що є періодичними функціями. Згідно з наслідком 4.2, такі потенціали виникають в припущенні про існування для них полюса, відмінного від нуля. Cпочатку розглянуто деякі властивості інтегровних потенціалів взаємодії, що задовольняють такі умови:
1) + C(t), де C(t) - нескіненно диференційовна в ;
.
Теорема 4.4. Нехай гамільтонова система з гамільтоніаном (10) допускає додатковий інтеграл І типу і потенціал взаємодії V(t) задовольняє умови 1), 2). Тоді , де c - деяка константа.
Далі у цьому підрозділі описано множину інтегровних періодичних потенціалів V(t), які мають полюс в нулі. Як показано в підрозділі 4.2, такі потенціали виникають за умови існування для потенціалу взаємодії V(t) додаткового полюса, відмінного від нуля. Розглянуто такі два випадки:
Випадок 1. Потенціал взаємодії є двоякоперіодична функція з періодами 1, 2 і граткою полюсів вигляду . Тоді функція є цілою, двоякоперіодичною, тому вона рівна деякій константі. Отримана функція V(z) співпадає з потенціалом в задачі взаємодіючих частинок, розглянутим Ф. Калоджеро.
Випадок 2. Функція V(z) є періодична з одним періодом. Оскільки для довільного потенціал V(z) також інтегровний, то без обмеження загальності можна вважати, що її період T=i. Тоді потенціал V(z) можна подати у вигляді
, (14)
де f(z) - деяка ціла, i -періодична функція.
Теорема 4.6. Якщо потенціал (14) допускає додатковий поліноміальний за імпульсами перший інтеграл, то функція f(z) є многочленом за ez, e-z.
Отже, інтегровний періодичний потенціал має вигляд
, . (15)
Наступна теорема уточнює вигляд інтегровного потенціала взаємодії (15).
Теорема 4.7. Якщо потенціал допускає додатковий поліноміальний за імпульсами перший інтеграл, то .
У п'ятому розділі дисертації розглянуто необхідні умови інтегровності гамільтонових систем тіл на прямій.
У підрозділі 5.1 досліджено задачу тіл на прямій з потенціалом попарної взаємодії у вигляді многочлена. Розглянуто одновимірну задачу тіл, яка описується гамільтоніаном (2), де потенціал взаємодії має вигляд
, .
Основним результатом підрозділу 5.1 є опис інтегровних раціональних потенціалів задачі n тіл на прямій.
Теорема 5.4. Задача n взаємодіючих точкових мас на прямій з потенціалом попарної взаємодії V(z)=z-2+P(z) є інтегровною в квадратурах лише у двох випадках:
1) n=3 і
2) n>3 і
У підрозділі 5.2 на базі методики, запропонованої в підрозділі 5.1, одержано аналогічні результати для задачі n тіл на прямій з потенціалом взаємодії найближчих сусідів. Відповідний гамільтоніан має вигляд
, (16)
, i=1,…,n.
У випадку =0 гамільтонова система (16) називається незамкненим (неперіодичним) лан цюжком взаємодіючих частинок, а при =1 - замкненим (періодичним) ланцюжком. Наступні результати присвячені проблемі повної інтегровності за Ліувіллем таких динамічних систем за умови, що потенціал взаємодії має вигляд V(t)=tm, m>2 - парне число.
Теорема 5.6. 'Замкнений ланцюжок' n+1 точок на прямій з потенціалом взаємодії V(t)=tm неінтегровний при m>2, n>2.
Теорема 5.7. 'Незамкнений ланцюжок' n+1 точок на прямій з потенціалом взаємодії V(t)=tm при m>2 є неінтегровним.
ВИСНОВКИ
В дисертації дано вирішення проблеми інтегровності за Ліувіллем гамільтонових систем взаємодіючих n тіл на прямій з різними типами взаємодії, що володіють додатковими поліноміальними за імпульсами першими інтегралами. Методи, які застосовуються при дослідженні питання про існування інтегралів руху (зокрема, знаходження повного інволютивного набору інтегралів), визначаються вибором того чи іншого функціонального класу, в якому шукаються ці інтеграли. Основні результати дисертації істотно розширюють і доповнюють відомі результати стосовно інтегровності багаточастинкових задач на прямій з додатковими поліноміальними за імпульсами першими інтегралами. У дисертаційній роботі вперше:
встановлено зв'язок між існуванням додаткових поліноміальних за імпульсами перших інтегралів та диференціально-функціональними рівняннями на невідомі потенціали взаємодії;
одержано опис можливих особливих точок інтегровних потенціалів взаємодії як розв'язків теорем додавання;
повністю розглянуто проблему інтегровності за Ліувіллем багаточастинкових задач з мероморфними періодичними потенціалами взаємодії;
заперечено можливість існування нових інтегровних за Ліувіллем багаточастинкових систем з раціональними потенціалами, відмінних від відомих на даний час.
Результати роботи мають теоретичний характер. Вони можуть стати джерелом нових задач в теорії інтегровних натуральних систем. Їх можна використати при подальших дослідженнях інтегровних за Ліувіллем гамільтонових динамічних систем з додатковими поліноміальними за імпульсами першими інтегралами, а також в конкретних багаточастинкових системах, моделями яких є розглянуті в дисертації задачі.
СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
Вус А.Я. Інтегровні системи взаємодіючих точок на прямій // Вісник Львівського ун-ту. - 1996. - вип. 45. - С. 140-145.
Вус А.Я. Про перші інтеграли натуральних систем, близьких до більярдних // Доповіді НАН України. - 1997. - №3. - С. 38-40.
Vus A. Ya. On integrable three-body problems on the line // Matematychni Studii. - 1998. - v. 10, № 1. - Р. 97-102.
Vus A. Ya. Integrable Polynomial Potentials in N-body Problems on the Line // Proceedings of Fours International Conference “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” ( 9-15 July, 2001, Kyiv), Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, - Kyiv, 2002. - V. 43, Part 2. - P. 765-767.
Вус А.Я. Про перші інтеграли натуральних систем // Матеріали V Міжнародної конференції імені академіка М. Кравчука, - Київ: Ін-т математики НАН України. -1995. - С. 64.
Вус А.Я., Підкуйко С.І. Інтегровні системи взаємодії трьох точок на прямій // Матеріали VI Міжнародної конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ: Ін-т математики НАН України. - 1996. - С. 80.
Vus A. Ya. Integrable potentials in N-body problem on the line // Proceedings of International Conference “Nonlinear Partial Differential Equations”, Lviv, August 23-29, 1999. - Р. 213.
Vus A. Ya. The Liouville Integrability of N-body problem on the Line // Proceedings of the International Conference “Functional Analysis and its Applications” ( 28-31 May, 2002, Lviv, Ukraine), Lviv Ivan Franko National University, 2002. - Р. 214-215.
АНОТАЦІЯ
Вус А.Я. Потенціали взаємодії інтегровних за Ліувіллем багаточастинкових систем на прямій. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2002.
У дисертації досліджується інтегровність за Ліувіллем гамільтонових динамічних систем для випадку багаточастинкових систем на прямій з різними типами взаємодії. В роботі встановлено зв'язок між існуванням додаткових поліноміальних за імпульсами перших інтегралів та диференціально-функціональними рівняннями для невідомих потенціалів взаємодії. Досліджено класи мероморфних потенціалів взаємодії, що допускають існування додаткових поліноміальних перших інтегралів, та дано вичерпний опис інтегровних гамільтонових систем вказаного вигляду.
Ключові слова: гамільтонова динамічна система, більярдна система, інтегровність за Ліувіллем, перший інтеграл, геодезійний потік, принцип Мопертюї, теорема додавання, функція Вейєрштрасса.
ABSTRACT
Vus А. Ya. Interaction potentials of Liouville integrable many-particle systems on the line. - Manuscript.
The thesis for obtaining the scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical sciences on speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Lviv National Ivan Franko University, Lviv, 2002.
In the thesis the problems of the Liouville integrability of Hamiltonian dynamical systems are considered for the many-particle systems on the line with various types of interaction. The relation between the existence of the additional first integrals polynomial in the momenta and differential-functional equations for the unknown potentials is established. We investigate the types of meromorphic interaction potentials admitting additional first integrals, polynomial in the momenta. The exhaustive description of integrable Hamiltonian systems of designated form is obtained.
Key words: Hamiltonian dynamical system, billiard system, Liouville integrability, first integral, geodesic flow, Mopertuis principle, addition theorem, Weierstrass function.
АННОТАЦИЯ
Вус А.Я. Потенциалы взаимодействия интегрируемых по Лиувиллю многочастичных систем на прямой. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2002.
В диссертацинной работе исследуется проблема интегрируемости по Лиувиллю многочастичных систем на прямой с разными типами взаимодействия. Исследованы классы мероморфных потенциалов взаимодействия, которые допускают существование дополнительных полиномиальних по импульсам первых интегралов. Доказаны классификационные теоремы, отрицающие возможность существования новых интегрируемых по Лиувиллю систем такого типа. Основными предположениями для исследуемых систем n взаимодействующих частиц на прямой является их интегрируемость по Биркгофу, т.е. полная интегрируемость по Лиувиллю в смысле существования полного набора первых интегралов Fk, k1,…,n, F1=H, полиномиальных по импульсам.
В первом разделе дан обзор работ, посвященных вопросам интегрируемости гамильтоновых систем взаимодействующих частиц на прямой, а также сформулированы основные результаты диссертации.
Во втором разделе рассмотрены условия существования дополнительных полиномиальных по импульсам первых интегралов для гамильтоновых динамических систем с потенциальной энергией, обладающей особенностью типа полюса на гладкой поверхности в конфигурационном пространстве. Исследования модели реализации упругого удара тесно связано с конструкцией главных компонент в полиномиальных первых интегралах предельных биллиардных систем.
В третьем разделе исследованы вопросы симметрии гамильтоновой системы, описывающей динамику взаимодействующих 3 частиц на прямой. Установлена классификация дополнительных первых интегралов в зависимости от вида старших однородных по импульсам компонент первого интеграла и получены дифференциально-функциональные уравнения на неизвестные потенциалы взаимодействия.
Четвертый раздел диссертации посвящен исследованию решений дифференциально-функциональных уравнений на неизвестные мероморфные потенциалы взаимодействия. Установлен порядок полюса для потенциалов, являющихся решениями соответствующих теорем сложения. Приведены условия существования дополнительного полиномиального по импульсам первого интеграла в случае, когда потенциал попарного взаимодействия частиц является дробно-рациональной функцией и поставлен вопрос о максимальном порядке потенциала в виде многочлена.
Получены возможные интегрируемые потенциалы взаимодействия, которые в частных случаях совпадают с известными потенциалами систем Калоджеро-Мозера и могут рассматриваться как их непосредственные обобщения. Проблема существования интегрируемых периодических потенциалов взаимодействия приведена к изучению классической интегрируемой системы с потенциалом в виде -функции Вейерштрасса.
В пятом разделе диссертации установлены необходимые условия интегриуемости гамильтоновых систем взаимодействующих n частиц на прямой для случая попарного взаимодействия и для цепочек с взаимодействием ближайших соседей в случае потенциала в виде многочлена. Эти задачи сведены к вопросу о существовании решений соответствующих диофантовых уравнений. Получены классификационные теоремы, отрицающие возможность существования новых интегрируемых по Лиувиллю многочастичных систем рассматриваемого вида.
Ключевые слова: гамильтонова динамическая система, биллиардная система, интегрируемость по Лиувиллю, первый интеграл, геодезический поток, принцип Мопертюи, теорема сложения, функция Вейерштрасса.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Оцінки для числа ребер з компонентами зв‘язності. Орієнтовані графи, графи з петлями, графи з паралельними дугами. Ойлерова ломиголовка "Кенігзберзьких мостів". Основні поняття та означення ойлерових графів. Сутність та поняття гамільтонових графів.
курсовая работа [2,6 M], добавлен 18.07.2010Вивчення існування періодичних рішень диференціальних систем і рівнянь за допомогою властивостей симетричності (парність, непарність). Основні теорії вектор-функцій, що відбивають. Побудова множини систем, парна частина загального рішення яких постійна.
курсовая работа [87,8 K], добавлен 20.01.2011Сущность теории динамических систем и роль связи структуры системы с её динамикой. Конечные динамические системы и сокращение мономиальных систем. Проблема изучения Булевых мономиальных систем и линейных систем над конечными коммутативными кольцами.
курсовая работа [428,2 K], добавлен 08.12.2010Історія виникнення графів, основні поняття теорії та різновиди: повні, регулярні, платонові, двочастинні. Маршрути, ланцюги і цикли. Означення гамільтонового та напівгамільтонового графа, достатні умови. Задача побудови гамільтонових циклів у графі.
курсовая работа [327,7 K], добавлен 22.01.2013Изучение абстрактных систем замыканий на множестве. Теорема о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания. Понятие и структура алгебраических систем замыканий. Анализ соответствия Галуа как наиболее важного примера систем замыканий.
дипломная работа [155,2 K], добавлен 27.05.2008Ознакомление с основами метода Гаусса при решении систем линейных уравнений. Определение понятия ранга матрицы. Исследование систем линейных уравнений; особенности однородных систем. Рассмотрение примера решения данной задачи в матрической форме.
презентация [294,9 K], добавлен 14.11.2014Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. Организация обслуживания при ограниченной информации о надёжности системы. Алгоритмы безотказной работы системы и нахождение времени плановой предупредительной профилактики систем.
реферат [1,4 M], добавлен 19.06.2008Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Операторы преобразования переменных, классы, способы построения и особенности структурных моделей систем управления. Линейные и нелинейные модели и характеристики систем управления, модели вход-выход, построение их временных и частотных характеристик.
учебное пособие [509,3 K], добавлен 23.12.2009Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.
лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008
