Про напівспадкові кільця модульно обмеженого типу та пов’язані з ними матричні задачі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

01.01.06 - Алгебра і теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Про напівспадкові кільця модульно обмеженого типу та пов'язані з ними матричні задачі

Ревицька Уляна Степанівна

Київ-2002



Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Київському національному університеті будівництва і архітектури на кафедрі вищої математики.

Науковий керівник:

Доктор фізико-математичних наук доцент Завадський Олександр Георгійович, професор кафедри вищої математики Київського національного університету будівництва і архітектури

Офіційні опоненти:

Доктор фізико-математичних наук Комарницький М.Я., Львівський національний університет ім. Івана Франка

Доктор фізико-математичних наук, Сергейчук Володимир Васильович, Інститут математики НАН України

Провідна установа - Ужгородський національний університет

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В. Плахотник



Загальна характеристика роботи

Актуальність теми

Класична теорія зображень груп, в силу теореми Машке, зводиться до задачі про класифікацію модулів над напівпростими артиновими кільцями.

Відома класична задача лінійної алгебри про зведення однієї матриці перетвореннями подібності і також задача класифікації скінчених абелевих груп зводяться до опису модулів над однорядними кільцями Кьоте (G.Kцthe), які були введені німецьким математиком Кьоте. Теорія таких кілець була розвинута в роботах японських математиків Асано і Накаяма. Вивченню однорядних та узагальнено однорядних кілець було присвячено багато робіт.

Л.А. Скорняков у 1968 р. ввів важливий клас напівланцюгових кілець, який включає в себе однорядні та узагальнено однорядні кільця Кьоте. Цей клас міститься в класі напівдосконалих кілець, який було введено у 1960 році американським математиком Бассом.

Властивості напівланцюгових кілець (serial rings) вивчалися багатьма авторами, в першу чергу Капланським, Купишем, Голді, Факкіні, Фуллером, Айзенбудом та Гриффітом, Уорфілдом, Камілло, Л.А. Скорняковим, Ю.А. Дроздом, В.В. Кириченком, Г.Є. Пунінським, І.І. Сахаєвим, А.А. Туганбаєвим та іншими.

Як виявилося, у багатьох випадках задача класифікації модулів над кільцями зводиться до різних типів матричних задач, зокрема, до теорії зображень скінчених частково впорядкованих множин і до теорії зображень сагайдаків.

Л.О. Назаровою та А.В. Ройтером на початку 70-х років були введені зображення частково впорядкованих множин (ч.в.м.) у зв'язку з вивченням зображень скінченновимірних алгебр. У той же період П. Габріелем були введені зображення сагайдаків. Зображення частково впорядкованих множин і зображення сагайдаків відіграють суттєву роль у розв'язанні багатьох проблем сучасної теорії зображень. Так, наприклад, вони знайшли застосування у теорії зображень скінченновимірних алгебр, в теорії цілочисельних зображень, в теорії цілочисельних квадратичних форм та при вирішенні ряду інших питань.

Важливий внесок у дослідження різних типів матричних задач та їх зв'язок з теорією алгебр та кілець внесли: Ауслендер, Батіста, Батлер, Бонгартц, Бренер, Габріель, І.М. Гельфанд, Н.М. Губарені, Длаб, Ю.А. Дрозд, О.Г. Завадський, В.В. Кириченко, М.М. Клейнер, Л.О. Назарова, В.О. Пономарьов, Райтен, Рінгель, А.В. Ройтер.

При опису різних класів модулів над спадковими напівдосконалими кільцями виникли матричні задачі змішаного типу (над дискретно нормованим кільцем та його тілом часток).

В той же час задача класифікації модулів без скруту в розумінні Басса над напівмаксимальними кільцями формулюється в термінах зображень скінчених частково впорядкованих множин (аналогічно критерію М.М. Клейнера).

У дисертаційній роботі доводиться критерій модульної обмеженості для плоскої матричної задачі змішаного типу над дискретно нормованим кільцем.

Цей критерій застосовується для опису напівдосконалих напівдистрибутивних напівспадкових кілець модульно обмеженого типу.

Постановка задачі. Нехай D - дискретно нормоване кільце з тілом часток T і D деякий фіксований твірний радикала. Нагадаємо, що кожний ненульовий елемент x T однозначно може бути представлений у вигляді x=, де - обернений елемент кільця D і k Z. Будь-який власний ненульовий D-підмодуль ХТ (зокрема, будь-який ненульовий ідеал кільця D) є циклічним і має вигляд X = D = D де k Z. Ясно, що D - єдиний максимальний ідеал у D.

Позначимо через M_n (T) алгебру всіх nn матриць над T з матричними одиницями e_ij. Розглянемо в ній D - підалгебру A =, яка складається з таких алгебр, у яких елемент на місці (i,j) належить D - підмодулю, причому виконуються такі умови: або при будь-якому i;

Будемо називати алгебру A такого типу перетворюючою.

Нехай 0= ⁺D і Т= ^-D, тоді запишемо алгебру А також у вигляді, де б_ij Z {} і A_ij =. Оскільки матриця узагальнених показників (б_ij ) повністю визначає алгебру А, то ми будемо інколи їх ототожнювати: А = (б_ij).

Відмітимо, що алгебра А являється (первинним) напівмаксимальним кільцем в (іншими словами - черепичним порядком) тоді і тільки тоді, коли всі показники б_ij скінчені. Часто будемо в цьому випадку називати алгебру А просто порядком.

Нехай A M_n(T) і B M_m(T) - дві перетворюючі алгебри. Тоді простір усіх матриць розміру nm над T є природним AB бімодулем, що задає розділену матричну задачу над алгебрами A і B⁾.

Саме ця задача і є об'єктом досліджень у роботі. Сформулюємо її матричною мовою.

Умовимося називати лівими D - елементарними перетвореннями рядків деякої матриці над T перетворення двох типів:

множення будь-якого рядка на оборотний елемент кільця D зліва;

додавання будь-якого рядка, помноженого зліва на довільний елемент з D, до будь-якого іншого рядка.

Аналогічно визначаються ліві T - елементарні перетворення рядків, а також, по симетрії, праві D - елементарні і T - елементарні перетворення стовпчиків.

Плоска матрична задача виглядає так. Є прямокутна матриця, розділена на горизонтальні смуги і вертикальні смуги {x^j} так, що клітина є перетином смуг x_i і x^j. Деякі з смуг можуть бути пустими. Над цією матрицею здійснюються допустимі перетворення таких типів:

1) ліві D - елементарні ( T - елементарні) перетворення рядків смуги x_i при A_ii = D (A_ii = T);

1*) праві D - елементарні (T - елементарні) перетворення стовпчиків смуги x_i при B_ii = D (B_ii = T);

2) додавання рядків смуги x_j, помноженої на елементи А_ij зліва, до рядків смуги x_i;

2*) додавання стовпчиків смуги xⁱ, помножених на елементи з B_ij справа, до стовпчиків смуги x ^j.

Нерозкладні і еквівалентні матриці визначаються природно. Будемо казати, що задача має скінчений тип, якщо існує скінчене число нееквівалентних нерозкладних матриць.

Розмірністю розсмуговуваної матриці X назвемо вектор d=d(X)= =(d₁,…,d_n;d ¹,…d ^m), де d_i (d ^j) - число рядків (стовпчиків) смуги x_i (x ^j). Покладемо d₀ = d₀(X)=.

Будемо казати, що задача має модульно обмежений тип, якщо існує така константа C, що d₀(X)<C для всіх нерозкладних матриць X.

Лінійно впорядковану множину будемо називати ланцюгом, а довільну ординальну суму (будь-якого числа) одноточкових і двохточкових множин - гірляндою (або напівланцюгом). Пару (трійку) попарно непорівнянних точок будемо називати діадою (тріадою). Одноточкову множину ми часто ототожнюємо з точкою: {x}= x.

Нехай A - напівдосконале напівдистрибутивне напівспадкове кільце. Модуль M над кільцем A називається скінченно-зображуваним, якщо існує точна послідовність P₁P₀M0, де P₀, P₁ - скінчено породжені проективні модулі.

Позначимо через (M) найменше число твірних модуля M. Згідно Уорфілда, кільце називається кільцем модульно обмеженого типу, якщо існую фіксоване натуральне число N₀ таке, що (M)N₀ для всіх нерозкладних скінченнозображуваних A - модулів M.

Мета роботи. Метою дисертаційної роботи є одержання критерію модульної обмеженості для плоскої матричної задачі змішаного типу над дискретно нормованим кільцем і його тілом часток та застосування цього критерію для опису напівдосконалих напівдистрибутивних напівспадкових кілець модульно обмеженого типу.

Методика досліджень. В роботі широко використовуються методи теорії зображень (зокрема, зображення ч.в.м. та пар ч.в.м.), методи теорії кілець та модулів (теореми про будову різних класів напівдосконалих напівдистрибутивних кілець), діаграми Динкіна та діаграми скінчених частково впорядкованих множин.

Наукова новизна. В роботі отримано такі результати:

Побудовано алгоритм диференціювання для (T,A) - задачі, де T - тіло часток дискретно нормованого кільця.

Доведено критерій модульної обмеженості для (T,A) - задачі.

Доведено критерій скінченності типу для плоскої матричної задачі змішаного типу.

Доведено критерій модульної обмеженості для плоскої матричної задачі.

Доведено критерій модульної обмеженості типу для напівдосконалих напівдистрибутивних напівспадкових кілець з нетеровою діагоналлю.

Особистий внесок. Результати пп. 2, 3, 5 отримані дисертантом особисто, а результати пп. 1, 4 - у співавторстві з науковим керівником О.Г. Завадським. Зведення до матричної задачі належить В.В. Кириченку та Н.М. Губарені.

Практична цінність. Робота носить теоретичний характер. Її результати та методи можуть бути використаними в теорії кілець та модулів, в теорії зображень, в лінійній алгебрі, а також в подальших дослідженнях класів кілець модульно обмеженого типу.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на Всеукраїнській математичній конференції, присвяченій 70-річчю професора П.С. Казимірського (Львів, 1995 р.), на п'ятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 1996 р.), на міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті професора Л.М. Глускіна (Слов'янськ, 1997 р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано у восьми роботах [A1-A8].

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із вступу, двох розділів (розбитих на 12 підрозділів), висновків, списку цитованої літератури та списку публікацій автора по темі дисертації. Обсяг дисертації - 111 сторінок. Список використаних джерел включає 48 найменувань.

Зміст роботи

модульний обмежений напівспадковий дискретний

У першому розділі дисертації отримано критерій модульної обмеженості для плоскої матричної задачі мішаного типу над дискретно нормованим кільцем та його тілом часток.

Підрозділи 1.1 і 1.2 мають допоміжний характер.

У підрозділі 1.1 введені основні поняття теорії зображень частково впорядкованих множин (ч.в.м) та викладені два алгоритми диференціювання ч.в.м., які належать відповідно Л.О. Назаровій і А.В. Ройтеру та О.Г. Завадському.

Підрозділ 1.2 присвячений викладенню теорії напівмаксимальних кілець, які були введені О.Г. Завадським та В.В.Кириченком. Зокрема, описано алгоритм О.Г. Завадського диференціювання по парі точок, та критерій Завадського-Кириченка скінченності типу напівмаксимального порядку.

У підрозділі 1.3 розглядається плоска матрична задача мішаного типу над дискретно нормованим кільцем і сформульовано основний результат - критерій модульної обмеженості для цієї задачі.

Зіставимо перетворюючій алгебрі А = (б _ij) частково впорядковану множину P(А)=, що є сумою п ланцюгів такого типу: P_i = - одноточковий ланцюг, якщо A_ii =T, і P_i = - нескінченний ланцюг, якщо А_ii=D.

Відношення порядку на множині P(А) визначимо формулою.

Зокрема, P_i P_j у випадку А_ij =T, а у середині будь-якого ланцюга при k>l.

Очевидно, P(А) - нескінченна множина тоді і тільки тоді, коли A_ii =D хоча б при одному i. У окремому випадку напівмаксимального кільця А одержуємо в точності нескінченну періодичну множину.

Надалі для множини P=P(А) ми будемо використовувати стандартний розклад P=P+P⁰, де P (P⁰) - сума всіх нескінченних (одноточкових) ланцюгів P_i.

Позначимо через (l_1,…,l_s) кардинальну суму s ланцюгів, що складаються з l_1,…,l_s елементів відповідно. Нехай К₁ = (1,1,1,1), К₂ = (2,2,2), К₃ =(1,3,3), К₄ =(N,4), K₅ =(1,2,5), де (N,4) - кардинальна сума чотирьохточкового ланцюга і множини N={a<b>c<d}. Множини К_1,…, К₅ прийнято називати критичними. Відмітимо, що вперше ці ч.в.м. з'явилися в роботах Клейнера М.М., Назарової Л.О. і Ройтера А.В.

Будемо казати, що пара частково впорядкованих множин (P,Q) є критичною парою множин (у розумінні Клейнера), якщо з точністю до перестановки множин P,Q виконується одна з таких умов

1) P=(1); Q=K_i при; 4) P=(4); Q=(1,3); 7) P=Q=(1,1);

2) P=(2); Q=(1,1,1),(2,5),(3,3); 5) P=(5); Q=N;

3) P=(3); Q=(1,5),(2,2); 6) P=(6); Q=(1,2).

Теорема 1.3.1

Плоска матрична задача, яка задається парою перетворюючих алгебр (А,В) зазначеного вище вигляду, має модульно обмежений тип тоді і тільки тоді, коли пара частково впорядкованих множин (P(А),P(В)) не містить критичних пар множин у розумінні Клейнера.

Комбінаторика, яка стосується множини P(А) (наділеної структурою Z-множини) наведена у підрозділі 1.4. Зокрема, викладені комбінаторні властивості алгоритму диференціювання, який використаний у доведенні Основної теореми.

Нехай P=P(А)=P +P ⁰, де P = із P_i= і P ⁰=^. Позначимо через кінцеву множину фактор множини P, що складається із класів еквівалентності точок. Введемо на відношення порядку , вважаючи A_ij 0.

Назвемо точку простою (кратною), якщо A_ii =T (A_ii =D). Відношення між точками фактор множини розділимо на сильні і слабкі, вважаючи відношення < слабким у тому і тільки тому випадку, коли б_ij Z (при цьому автоматично точки, є кратними). Для сильного (слабкого) відношення x<y, де x,y , використовуємо позначення ( ). Просту точку a max P назвемо такою, що підходить для диференціювання, якщо w(N) 2, де N=N(a) - множина точок, не порівнянних з а (зауважимо, що N є Z-підмножиною множини P). Де через w(X) позначено ширину частково впорядкованої множини Х, тобто максимальне число його попарно непорівнянних елементів. Похідною множиною множини P по точці a назвемо Z-множину =, яка визначається в такий спосіб:

1) =(P \ а) +N ⁺ із визначеним вище відношенням порядку;

2) орбітами множини є всі орбіти вихідної множини P, а також нові орбіти (які складаються з точок підмножини N ⁺ ) таких двох типів:

(a), де, N ; (b), де N , N ⁰.

Якщо M - звичайна скінчена частково впорядкована множина з максимальною точкою a, такою, що w(N) 2, де N=N(a), то, як випливає безпосередньо з результатів Клейнера М.М., Назарової Л.О. і Ройтера А.В. (а також Завадського О.Г. і Кириченка В.В.) множина M не містить критичних підмножин K_1,…,K₅ тоді і тільки тоді, коли похідна множина їх не містить. З цього безпосередньо випливає

Лема 1.4.1

Множина P не містить критичних підмножин К_1,…, К₅ тоді і тільки тоді, коли похідна множина їх не містить.

Позначимо через (P) число класів подібності всіх коренів множини P із носіями ширини 3, відмінними від множини F₈= (1,1,2).

Лема 1.4.2

Якщо множина P не містить критичних підмножин, то (P)<.

Для точки х довільної частково впорядкованої множини M позначимо ={t M | x t}, ={t M | t x}. Нехай N(X)= {t M | t - X} для підмножини Х M.

Лема 1.4.3

Нехай множина P=a_Д+N із максимальною підхідною точкою а не містить критичних підмножин, причому w(N)=2. Тоді ()<(P)<.

У підрозділі 1.5 цілком вирішується задача типу “ланцюг-гірлянда”.

Попередньо розглянемо ситуацію "ланцюг-ланцюг".

Лема 1.5.1

Якщо P(А) і P(В) - ланцюги, то (А,В)- задача має модульно обмежений тип, причому всі непусті нерозкладні (А,В)-матриці вичерпуються, із точністю до еквівалентності, одиничними матрицями першого порядку вигляду X = ( ^k), де k=0 при А_ii=T або B_jj=T і k Z при A_ii=B_jj =D.

Розглянемо головний випадок у ситуації „ланцюг - гірлянда”.

Через Г = Г_п будемо позначати будь-який порядок у М_п(Т) вигляду = =(_ij)_i,j=1,…,n, де _ij {0,1} при всіх i,j, причому скінчена частково впорядкована множина Q( ) = {q_1, …,q_n }, визначена умовою q_i q_{j ij} =0, є гірляндою (ординальною сумою зліченого числа примірників якої є множина P( )). Зокрема довільний спадковий порядок Н є частинним випадком порядку типу .

Лема 1.5.2

(Н,) - задача має модульно обмежений тип, причому всі непусті нерозкладні (Н,) - матриці вичерпуються, із точністю до еквівалентності, матрицями чотирьох типів:

l k+1 l k

(a) (b) (c) (d)

де будь-яка горизонтальна смуга відповідає деякій точці множини Q(H); у кожній із матриць (b),(c),(d) пара вертикальних смуг відповідає діаді множини Q( ), а в матриці (d) стрілка символізує наявність припустимих додатків над D рядків верхньої смуги до рядків нижньої.

Після викладеного у два кроки доведення перейдемо до завершення розв'язку задачі „ланцюг - гірлянда”. Алгебру А, у якої множина P(А) є гірляндою, назвемо канонічної, якщо А_х=Н або А_х= для будь-якої кратної точки х (А). Якщо обидві алгебри А,В - канонічні, то (А,В)-задачу будемо називати канонічною.

Твердження 1.5.3

Якщо P(А) - ланцюг, а P(В) - гірлянда, то (А,В)-задача має модульно обмежений тип, причому в канонічному випадку всі непусті нерозкладні (А,В)-матриці вичерпуються, із точністю до еквівалентності наступними (скрізь k,lZ): де у випадку (III) перетворення стовпчиків задаються підалгеброю алгебри В.

Доведення базується на використанні двох попередніх лем і їхніх аналогів для істотно більш простих випадків (Т, )-задачі і (Н,Т ²)-задачі.

У якості слідства отримуємо

Твердження 1.5.4

Якщо P(А) і P(В) - гірлянди, то (А,В)-задача має модульно обмежений тип (скінчений тип) тоді і тільки тоді, коли одна з множин P(А), P(В) є ланцюгом (скінченим ланцюгом).

У параграфі 1.6 детально розглядається випадок, коли одна з алгебр А, В співпадає з тілом Т, тобто (T,A)- задача, де, як і раніше А= - перетворююча алгебра і A_ij =.

І нарешті, за допомогою розвинутого апарату підрозділ 1.7 є доведенням теореми 1.3.1. Окремо виділяється і доводиться критерій модульної обмеженості для (T,A) - задачі.

Теорема 1.7.2

Для того, щоб (Т,А) - задача мала модульно обмежений тип, необхідно і достатньо, щоб множина P(А) не містила критичних підмножин K_1,…,K₅.

Ця теорема узагальнює критерій скінченності типу для напівмаксимальних кілець і частково впорядкованих множин.

Також отримуємо критерій скінченності типу для (T,A) - задачі.

Твердження 1.7.3

(Т,А) - задача модульно обмеженого типу має скінчений тип тоді і тільки тоді, коли для будь-якої орбітальної точки x P(A) множина N(x) є скінченим ланцюгом.

Твердження 1.7.4

(А,В) - задача модульно обмеженого типу має скінчений тип тоді і тільки тоді, коли з точністю до перестановки алгебр А,В виконуються дві умови:

1) множина P(А) є скінченим ланцюгом із т елементів (т 1);

2) для будь-якої орбітальної точки x P(B) множина N(x) є скінченим ланцюгом, якщо m=1, і є порожньою, якщо т 2.

В другому розділі дисертації теорема 1.3.1 застосовується для одержання критерію модульної обмеженості типу для напівспадкових SPSD-кілець з нетеровою діагоналлю.

Важливу роль в теорії кілець, поряд з поняттям радикала Джекобсона, грає поняття первинного радикала кільця.

З первинним радикалом кільця пов'язано поняття первинного сагайдака цього кільця, яке належить В.В. Кириченку. Викладенню відомостей про ці поняття присвячено підрозділ 2.1.

Загальний метод обчислення скінченнозображуваних модулів над напівдоско-налим кільцем подано в підрозділі 2.2.

Основні відомості про напівдистрибутивні модулі і кільця викладені в підрозділі 2.3.

Теорема 2.4.3

Нетерове справа напівпервинне SPSD - кільце є м.о.т. кільцем тоді і тільки тоді, коли є напівланцюговим кільцем.



Теорема 2.4.4

Напівмаксимальне кільце є м.о.т. кільцем тоді і тільки тоді, коли є нетеровим напівдосконалим спадковим напівпервинним кільцем.

Наслідок 2.4.5

Нетерове справа напівпервинне SPSD - кільце модульно обмеженого типу еквівалентно в розумінні Моріти прямому добутку декількох тіл і декількох кілець вигляду. Навпаки, усі такі кільця є м.о.т. кільцями.

Нехай A - напівспадкове SPSD - кільце з нетеровою діагоналлю. Тоді існує розклад 1A в суму попарно ортогональних ідемпотентів 1 = f₁ +... + f_t такий, що A=, де A_ij=f_iAf_j, причому A_ij=0 при i>j (i,j=1,...,t). Позначимо A_k=f_kAf_k, k=1,..,t. Якщо A є кільцем модульно обмеженого типу, то згідно з наслідком 2.4.5, кільце A_k еквівалентно в розумінні Моріти або тілу, або кільцю.

Означення 2.4.15

Нехай - напівспадкове SPSD - кільце з нетеровою діагоналлю. Вагою вершини будемо називати число, якщо еквівалентно в розумінні Моріти тілу. Якщо еквівалентно в розумінні Моріти кільцю, то вагою вершини будемо називати число.

Нехай S={₁,...,_n} - скінченна ч.в.м. з відношенням порядку . Будемо писати _i<_j, якщо _ij та _ij.

Діаграмою ч.в.м S називається сагайдак Г(S) з множиною вершин {1,...,n} і з вершини i в вершину j (ij) іде стрілка тоді і тільки тоді, коли _i<_j та не існує елемента _k такого, що _i<_k<_j.

Чьотирьохелементна ч.в.м. R={a,b,c,d} називається ромбом, якщо елементи b і c не порівнянні і a < b < d і a < c < d.

Напівдосконале кільце A називається первинним блоком, якщо його первинний сагайдак PQ(A) зв'язний.

Нехай Q - сагайдак. Через позначається неорієнтовний граф, який одержується з сагайдака Q зняттям орієнтації. Вершину ваги ми будемо позначати , а вершину ваги нуль - .

Основним результатом підрозділу 2.4 є наступна теорема.

Теорема 2.4.23

Первинний блок є спадковим справа SPSD - кільцем модульно обмеженого типу тоді і тільки тоді, коли є однієї з таких діаграм Динкіна з вагами:

причому, усі вершини ваги 1 є мінімальними елементами ч.в.м. .

Доведення цієї теореми зводиться до Основної теореми. Воно спирається на наступні твердження, які наведені у підрозділі 2.5.

Наслідок 2.5.3

Будь-яке SPSDSH - кільце , у первинному сагайдаку якого не більш двох вершин, є кільцем модульно обмеженого типу.

Твердження 2.5.5

Нехай - нерозкладне SPSDSH - кільце з нетеровою діагоналлю модульно обмеженого типу, у первинному сагайдаку якого три вершини. тоді або кільце є напівланцюговим, або ваги двох послідовних вершин не можуть мати вагу .

Навпаки, усі кільця такого вигляду є кільцями модульно обмеженого типу.

Теорема 2.5.6

Якщо усі вершини первинного сагайдака SPSDSH - кільця мають вагу , то - артинове спадкове напівдистрибутивне кільце.

Означення 2.4.8

Мінімальний (максимальний) елемент ч.в.м. S будемо називати ізольованим, якщо в Г(S) з нього виходить (в нього входить) не більше одної стрілки.

Елемент ч.в.м. S будемо називати екстремальним, якщо він являється або мінімальним, або максимальним елементом.

У випадку діаграми Динкіна ч.в.м. є однією із таких:

Саме таку нумерацію вершин первинного сагайдака ми будемо використовувати у формулюванні наступного твердження.

Твердження 2.5.8

Якщо первинний блок, у первинному сагайдаку якого чотири вершини, є неартиновим м.о.т. SPSDSH - кільцем із нетеровою діагоналлю, то є однією з діаграм Динкіна A₄, D₄, причому ваги всіх неізольованих екстремальних вершин рівні нулю. Нехай. Якщо точка 3 екстремальна, то її вага дорівнює нулю і вага лише однієї з вершин 1,2,4 дорівнює 1. У випадку, якщо точка 3 не екстремальна і вага хоча б однієї з вершин 1 або 2 дорівнює одиниці, то ваги інших вершин рівні нулю. Якщо ваги вершин 1 і 2 рівні нулю, то ваги вершин 3 і 4 можуть бути довільними.

Навпаки, усі первинні блоки з первинними сагайдаками з чотирма вершинами, зазначеного вигляду, є кільцями модульно обмеженого типу.

У формулюванні такої теореми означає напівспадкове SPSD - кільце з нетеровою діагоналлю, що є неартиновим первинним блоком, у первинному сагайдаку якого не менше п'ятьох вершин. Нехай - кільце модульно обмеженого типу. У цьому випадку є або діаграмою Динкіна, або діаграмою Динкіна. Позначимо через S₁ ={1,3,4} і S₂={1,2,4} підмножини ч.в.м. S такої, що.

Теорема 2.5.9

Якщо кільце є м.о.т. кільцем, то ваги всіх неізольованих екстремальних вершин первинного сагайдака рівні нулю. Якщо, то ваги вершин і рівні нулю. Якщо вершина не є екстремальною в S, то вага її дорівнює нулю у випадку, коли вона є екстремальною хоча б в одній із підмножин S₁ або S₂. Ваги інших вершин можуть бути довільними.

Навпаки, усі первинні блоки з первинними сагайдаками зазначеного вигляду є кільцями модульно обмеженого типу.



Висновки

Об'єктом дослідження у роботі є плоска матрична задача змішаного типу над дискретно нормованим кільцем і його тілом часток, яка виникає при опису різних класів модулів над спадковими напівдосконалими кільцями.

Для цієї задачі побудовано алгоритм диференціювання, доведено критерій модульної обмеженості, доведено критерій скінченності типа, доведено критерій модульної обмеженості для (Т,А)-задачі.

Доведений критерій модульної обмеженості застосовується для опису напівдосконалих напівдистрибутивних напівспадкових кілець (SPSDSH - кілець) модульно обмеженого типу. Доведено критерій модульної обмеженості типу для SPSDSH - кілець з нетеровою діагоналлю.

Автор висловлює щиру подяку Завадському О.Г. і Кириченку В.В. за ідейне наповнення, постійну увагу та цінні поради при виконанні даної роботи.



Список публікацій автора за темою дисертації

Статті

[A1] Ревицкая У.С. Наследственные справа полусовершенные полудистрибутивные кольца модульно ограниченного типа // Алгебраические исследования. Сборник статей. НАН Украины. Институт математики. Киев, 1996. с. 77-87.

[A2] Завадский А.Г., Ревицкая У.С. Об одной матричной задаче над дискретно нормированным кольцом // Матем. сб., т.190, №6, 1999, с.59-82.

[A3] Губарени Н.М., Кириченко В.В., Ревицкая У.С. Полусовершенные полудистрибутивные полунаследственные кольца модульно ограниченного типа // Вопросы алгебры, т. 15, 1999. Известия Гомельского госуниверситета им. Ф.Скорины, с. 18-30.

Тези, доповіді, препринти

[A4] Ревицкая У.С. Спадкові справа напівдосконалі напівдистрибутивні кільця модульно обмеженого типу // Всеукраїнська наукова конференція присвячена 70-річчю проф. П.С. Казимірського. - Тези доповідей, 1995. ч.I, с. 5-7.

[A5] Revitskaya U.S., Zabarilo A.V., Zavadskij A.G. One some mixed matrix problem // Conf. “Representation theory and computer algebra”, 1997. Kyiv. p. 42.

[A6] Ревицька У.С. Спадкові справа кільця модульно обмеженого типу // V Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Тези доповідей. - Київ, 1996,с. 191.

[A7] Revitskaya U.S., Zavadskij A.G. One some matrix problem over a discrete valuation ring // Міжнародна алгебраїчна конференція, присвячена пам'яті професора Л.М. Глускіна, Слов'янськ, 1997. с. 112-114.

[A8] Завадский А.Г., Ревицкая У.С. Об одной матричной задаче над дискретно нормированным кольцом // Препринт 98.2. Киевский государственный университет строительства и архитектуры, 1998. 22 с.



Анотації

Ревицька У.С. Про напівспадкові кільця модульно обмеженого типу і пов'язані з ними матричні задачі. - Рукопис

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - Алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Дисертацію присвячено дослідженню плоскої матричної задачі змішаного типу над дискретно нормованим кільцем і його тілом часток. Метою роботи є отримання критерію модульної обмеженості для цієї задачі і застосування його для опису напівдосконалих напівдистрибутивних напівспадкових кілець модульно обмеженого типу.

Побудовано алгоритм диференціювання для (Т,А)-задачі, де Т - тіло часток дискретно нормованого кільця. Доведено критерій модульної обмеженості для (Т,А)-задачі. Доведено критерій скінченності типу та критерій модульної обмеженості для плоскої матричної задачі. Доведено критерій модульної обмеженості типу для напівдосконалих напівдистрибутивних напівспадкових кілець з нетеровою діагоналлю.

Ключові слова: змішана матрична задача, зображення множин, напівдосконале кільце, напівдистрибутивне кільце, напівспадкове кільце, сагайдак напівдосконалого кільця, кільце модульно обмеженого типу.

Ревицкая У.С. О полунаследственных кольцах модульно ограниченного типа и связанных с ними матричных задачах. - Рукопись

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - Алгебра и теория чисел. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Целью диссертационной работы является получение критерия модульной ограниченности для рассматриваемой задачи и применение этого критерия для описания полусовершенных полудистрибутивных колец модульно ограниченного типа.

Рассматривается плоская матричная задача смешанного типа (над дискретно нормированным кольцом и его телом частных), к которой естественно приводит ряд вопросов теории целочисленных представлений и теории колец. Для этой задачи доказывается критерий модульной ограничен-ности, который формулируется в терминах пары частично упорядоченных множеств (Р(А), Р(В)), сопоставляемой паре определяющих задачу преобразующих алгебр (А, В).

В работе используются методы теории представлений и теории колец и модулей, диаграммы конечных частично упорядоченных множеств и диаграммы Дынкина.

В работе построен алгоритм дифференцирования для (Т, А) - задачи, где Т - тело частных дискретно нормированного кольца, А - преобразующая алгебра. Для (Т, А) - задачи доказан критерий модульной ограниченности, критерий конечности типа и критерий конечности. В основе доказательства - базирующаяся на использовании техники дифференцирования редукция к представлениям полумаксимальных колец (черепичных порядков) и частично упорядоченных множеств. Для полусовершенных полудистрибутивных полунаследственных колец с нетеровой диагональю доказан критерий модульной ограниченности типа. Этот критерий формулируется в терминах диаграмм Дынкина A_n, D_n, E₆, E₇, E₈ и конечных частично упорядоченных множеств, которые возникают при рассмотрении первичных колчанов таких колец.

Ключевые слова: смешанная матричная задача, представление множеств, колчаны, полусовершенное кольцо, полудистрибутивное кольцо, полунаследственное кольцо, кольцо модульно ограниченного типа.

Revitska U.S. About semi-perfect semi-distributive semi-hereditary rings and connected matrix problem. -Manuscript

Thesis of the dissertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics. Speciality 01.01.06 - Algebra and number theory. - Kyiv Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2002.

The thesis is devoted to research of the mixed plane matrix problem over a discrete valuation ring and its quotient field T. The aim of thesis is to receive a criterion of module bounded type for this problem and to apply for description of semi-perfect semi-distributive semi-hereditary rings of bounded representation type.

Keywords: representations of posets, mixed matrix problem, semi-perfect ring, semi-distributive ring, semi-hereditary ring, prime quiver, quiver of semi-perfect ring, ring of bounded representation type.

Размещено на Allbest.ru