Обмеженість розв’язків лінійних різницевих рівнянь у банаховому просторі

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 517.929.2 + 517.98

ОБМЕЖЕНІСТЬ РОЗВ'ЯЗКІВ ЛІНІЙНИХ РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРІ

01.01.02 - диференціальні рівняння

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Лагода Оксана Андріївна

Київ 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник кандидат фізико - математичних наук, доцент ГОРОДНІЙ Михайло Федорович Київський національний університет імені Тараса Шевченка, докторант кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь

Офіційні опоненти доктор фізико - математичних наук, професор САМОЙЛЕНКО Валерій Григорович Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри математичної фізики

доктор фізико - математичних наук ГОМІЛКО Олександр Михайлович Інститут гідромеханіки НАН України, провідний науковий співробітник відділу гідроакустики

Провідна установа Інститут математики НАН України, відділ диференціальних рівнянь та теорії нелінійних коливань, м.Київ

Захист відбудеться “25” березня 2002 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:03022 м.Київ-22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м.Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано “25” лютого 2002 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Різницеві рівняння адекватно описують поведінку багатьох реальних фізичних, соціальних, біологічних, економічних систем. Такі рівняння також виникають при цифровій обробці зображень, коли проводиться перетворення неперервного (аналогового) зображення в еквівалентний числовий масив. Найбільш відомими в теорії числової обробки багатовимірних числових масивів є системи Россера. Дещо інші моделі були розроблені Аттазі, Форназіні, Маркензіні. Багатопараметричні лінійні різницеві рівняння з'являються при дискретизації диференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними.

Умови існування та єдиності обмежених розв'язків лінійних різницевих рівнянь досліджувалися Рутманом М.А., Мартинюком Д.І., Мармерштей- ном І.І., Слюсарчуком В.Ю., Кімом В.С., Дороговцевим А.Я., Качореком Тадеушем (Кaczorec Tadeusz), Гайшуном І.В., Cамойленком А.М., Бенабдаллахом М., Соловйовим А.А., Руткасом А.Г., Пелюхом В.П., Ткаченком В.І., Бойчуком О.А., Городнім М.Ф., Томіловим Ю.В.

Теорія різницевих рівнянь з обмеженими операторними коефіцієнтами, що була розвинена для довільного банахового простору, стосувалася переважно рівнянь, визначених на множині всіх цілих чисел. На множині цілих невід'ємних чисел (на напівосі) важливі результати про умови обмеженості розв'язків були отримані Гайшуном І.В. та Томіловим Ю.В. для однопараметричних різницевих рівнянь першого та другого порядку відповідно з одним та двома операторними коефіцієнтами. Бенабдаллахом М., Руткасом А.Г., Соловйовим А.А. розглядався випадок двох замкнених операторних коефіцієнтів у однопараметричному різницевому рівнянні на множині цілих невід'ємних чисел. В той же самий час були відсутні загальні теореми про необхідні та достатні умови існування та єдиності обмежених розв'язків однопараметричних різницевих рівнянь нескінченних порядків на напівосі. Потрібно було також з'ясувати, як результати, отримані для однопараметричних рівнянь, можна застосувати для дослідження двопараметричних систем.

Розвиток методів аналізу лінійних двопараметричних різницевих рівнянь з періодичними коефіцієнтами, які називають також лінійними періодично залежними від часу цифровими фільтрами, був мотивований ще тим, що періодичну поведінку мають багато фізичних і хімічних процесів. Для випадку довільного банахового простору критерії обмеженості розв'язків лінійних двопараметричних різницевих рівнянь з періодичними коефіцієнтами не були встановлені.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана згідно плану наукових робіт кафедри математичного аналізу Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках науково-дослідницької теми № 97044 “Математичний аналіз еволюційних систем в абстрактних просторах та його застосування”, яка входить до програми “Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації № 0197U003014).

Особистий внесок дисертанта в рамках даної теми полягає у встановленні необхідних та достатніх умов існування та єдиності обмежених розв'язків різницевих рівнянь з обмеженими операторними коефіцієнтами у банаховому просторі, а саме: однопараметричних різницевих рівнянь загального вигляду на напівосі, двопараметричних різницевих рівнянь на напівплощині і на , різницевих рівнянь з періодичними операторними коефіцієнтами.

Мета і задачі дослідження. Основна мета роботи полягає у встановленні критеріїв існування та єдиності обмежених (за нормою) розв'язків

1) різницевого рівняння загального вигляду на напівосі;

2) різницевого рівняння з періодичним операторним коефіцієнтом;

3) узагальненого двопараметричного різницевого рівняння на ,

а також деяких інших лінійних двопараметричних різницевих рівнянь з обмеженими операторними коефіцієнтами в банаховому просторі.

Методи досліджень. В дисертації використано аналітичні методи теорії звичайних диференціальних рівнянь, методи теорії різницевих рівнянь, методи функціонального аналізу та теорії функцій комплексної змінної.

Наукова новизна результатів. В дисертації отримані такі нові наукові результати: рівняння різницевий коефіцієнт напіввісь

доведено теореми про необхідні та достатні умови існування обмеженого розв'язку різницевого рівняння загального вигляду на напівосі з початковими умовами;

доведено критерії існування єдиного обмеженого розв'язку різницевого рівняння загального вигляду на напівосі без початкових умов та узагальненого двопараметричного різницевого рівняння на ;

встановлено необхідні та достатні умови існування єдиного обмеженого розв'язку різницевого рівняння з періодичним операторним коефіцієнтом.

Отримані результати проілюстровано прикладами.

Практичне значення одержаних результатів. Результати мають теоретичний характер і є певним внеском в теорію різницевих рівнянь. Вони можуть бути застосовані при дослідженні конкретних різницевих рівнянь, які виникають в математичній фізиці, економіці, біології, теорії числової обробки зображень та інших. Отримані результати узагальнюють та доповнюють проведені раніше дослідження інших авторів.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати дисертації отримані автором самостійно. В опублікованих спільно з Городнім М.Ф. статтях [3, 4] та тезах [6] співавтору належать постановки задач та формулювання теореми 1 роботи [3], теорем 1 і 2 роботи [4]. В доведенні теореми 1 роботи [6] (в дисертації - теорема 2.2) Городньому М.Ф. належить пропозиція доводити обмеженість спеціально підібраних послідовностей для збіжності ряду. У спільній з Дороговцевим А.Я. статті [1] співавтору належить постановка задачі та формулювання теореми 1.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на науковому семінарі “Теорія функцій” на механіко-математичному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка (наукові керівники: д. ф.-м. н., проф. Шевчук І.О., д. ф.-м. н., проф. Радзієвський Г.В., д. ф.-м. н. Коновалов В.М.); на Київському міському семінарі з функціонального аналізу (наукові керівники: академік НАН України д. ф.-м. н., проф. Березанський Ю.М., член-кореспондент НАН України, д. ф.-м. н., проф. Горбачук М.Л.); на науковому семінарі з диференціальних рівнянь на механіко-математичному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка (наукові керівники: академік НАН України, д. ф.-м. н., проф. Самойленко А.М., член-кореспондент НАН України, д. ф.-м. н., проф. Перестюк М.О.); на Сьомій міжнародній науковій конференції імені академіка Михайла Кравчука (м. Київ, 14-16 травня 1998 р.); на Восьмій міжнародній науковій конференції імені академіка Михайла Кравчука (м. Київ, 11-14 травня 2000 р.), на науковому семінарі відділу диференціальних рівнянь та теорії нелінійних коливань (науковий керівник: академік НАН України, д. ф.-м. н., проф. Самойленко А.М.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в працях [1-6].

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 98 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 135 сторінок, основний зміст викладено на 120 сторінках.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові Михайлові Федоровичу Городньому за постійну увагу та підтримку в роботі.

Основний зміст роботи

Основний об'єкт дослідження даної дисертації - лінійні одно- та двопараметричні різницеві рівняння у комплексному банаховому просторі з операторними коефіцієнтами, що належать банаховому простору. всіх лінійних обмежених операторів, які діють з в . В даній дисертації розглядається одна з класичних задач теорії звичайних диференціальних рівнянь - проблема існування обмежених розв'язків різних класів різницевих рівнянь.

У вступі дисертації викладено сучасний стан досліджень з проблеми існування обмежених розв'язків різницевих рівнянь у банаховому просторі, обгрунтовано актуальність теми, визначено мету досліджень, вказано наукову новизну та практичне значення роботи. Зазначено особистий внесок здобувача і дані про апробацію результатів дисертації.

В першому розділі дисертації зроблено загальний огляд наукових праць за тематикою дисертаційної роботи.

Другий розділ дисертації присвячено вивченню однопараметричних різницевих рівнянь на напівосі з початковими умовами та без них. В підрозділі 2.1 вводяться основні позначення, означення та формулюються додаткові твердження. Наведемо ті, які необхідні для розуміння основних результатів дисертації.

Нехай - комплексний банаховий простір з нормою і нульовим елементом, - банаховий простір лінійних обмежених операторів, які діють з В в В, з нормою, яка також позначається , I - одиничний, - нульовий оператори в , (А) - спектр оператора з.

Розглянемо різницеве рівняння відносно послідовності {} для заданих довільних обмежених послідовностей {}, {} та фіксованої послідовності операторів. Елементи., його розв'язку визначаються послідовно. У подальшому рівняння (1) будемо називати різницевим рівнянням загального вигляду на напівосі з початковими умовами.

Означення 1. Різницеве рівняння (1) задовольняє умову існування обмеженого розв'язку, якщо для довільних обмежених послідовностей {} та {} існує обмежений розв'язок {.} рівняння (1).

Нехай послідовність - фіксована. Розглянемо різницеве рівняння відносно послідовності {} для заданої довільної обмеженої послідовності . У подальшому рівняння (2) будемо називати різницевим рівнянням загального вигляду на напівосі без початкових умов.

Аналогічно даються означення умови існування обмеженого розв'язку та умови існування єдиного обмеженого розв'язку для інших класів різницевих рівнянь.

В підрозділі 2.2 розглядається рівняння (1). Томілов Ю.В. (Томілов Ю. В. Асимптотична поведінка однієї рекурентної послідовності в банаховому просторі // Асимптотичне інтегрування нелінійних рівнянь. - К.: Інститут математики АН України. - 1992. - С.146-153, с.147) отримав необхідні та достатні умови на оператор, які забезпечують існування обмеженого розв'язку різницевого рівняння для довільних В та обмеженої в В послідовності. В даній дисертації отримано таке узагальнення його результату. Нехай для послідовності операторів виконується умова 1. Функція аналітична в крузі для деякого фіксованого . Тоді справджується

ТЕОРЕМА 2.2. Різницеве рівняння (1) задовольняє умову існування обмеженого розв'язку тоді і тільки тоді, коли для довільного., такого, що, оператор має неперервний обернений оператор.

В підрозділі 2.3 розглядається різницеве рівняння (2). Тут узагальнено результат Гайшуна І.В. (Гайшун И.В. Устойчивость двухпараметрических дискретных систем с коммутирующими операторами // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32, N2. - С.216-224, с.217) про існування та єдиність обмеженого розв'язку {.} різницевого рівняння першого порядку без початкових умов з оператором з точковим спектром, а послідовність {} - довільна обмежена в банаховому просторі В. Доведено таке твердження:

ТЕОРЕМА 2.3. Якщо виконується умова 1, то різницеве рівняння (2) задовольняє умову існування єдиного обмеженого розв'язку тоді і тільки тоді, коли для довільного такого, що, оператор . має неперервний обернений оператор.

В третьому розділі дисертації вивчаються різницеві рівняння з періодичними операторними коефіцієнтами. При дослідженні різницевого рівняння де {А(n).} - послідовність операторів з L(B), - довільна обмежена послідовність, у Хенрі (Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений.- М.:Мир, 1985. - 376 с., с.251) використовується умова дискретної дихотомії послідовності операторів, яка є складною для перевірки. Тому у підрозділі 3.1 розглядається випадок - періодичного операторного коефіцієнта. Справджується

ТЕОРЕМА 3.1. Різницеве рівняння (3) задовольняє умову існування єдиного обмеженого розв'язку тоді і тільки тоді, коли виконується умова.

Ця теорема узагальнює результат Слюсарчука В.Ю. (Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. - К.: Наукова думка, 1972. - 248 с., с. 203), який було отримано за умови, що.

В підрозділі 3.2 розглядається двопараметричне різницеве рівняння з періодичним операторним коефіцієнтом на напівплощині:

де., {.} - деяка -періодична послідовність операторів з , оператор А з такий, що ., {.} - обмежена в В послідовність. З структури рівняння (4) випливає існування та єдиність його розв'язку. Доведена

ТЕОРЕМА 3.2. Наступні умови еквівалентні:

і) двопараметричне різницеве рівняння (4) задовольняє умову існування обмеженого розв'язку;

іі) для всіх таких, що 1, та для всіх таких, що 1, оператор має обмежений обернений оператор.

В підрозділі 3.3 розглядається двопараметричне різницеве рівняння з періодичними операторними коефіцієнтами на :

Нехай. та {.} - деякі (фіксовані) -періодичні послідовності операторів з . Встановлена

ТЕОРЕМА 3.3. Різницеве рівняння (5) задовольняє умову існування єдиного обмеженого розв'язку тоді і тільки тоді, коли для всіх таких, що., спектр оператора.

Четвертий розділ дисертації присвячений дослідженню узагальнених двопараметричних різницевих рівнянь.

ТЕОРЕМА 4.1. Наступні умови еквівалентні:

і) узагальнене двопараметричне різницеве рівняння з початковими умовами на напівплощині задовольняє умову існування єдиного обмеженого розв'язку;

іі) для довільних таких, що , та для довільних таких, що 1, оператор має неперервний обернений оператор.

де і - деякі натуральні числа;- фіксований набір операторів з.. Для обмежених в В наборів. та у підрозділі 4.2 встановлено критерій обмеженості розв'язку. узагальненого двопараметричного різницевого рівняння з початковими умовами на .вигляду:

Існування та єдиність розв'язку рівняння (7) випливає із структури різницевого рівняння. Доведена

ТЕОРЕМА 4.2. Наступні умови еквівалентні:

і) різницеве рівняння (7) задовольняє умову умову існування обмеженого розв'язку;

іі) для довільних таких, що., та для довільних таких, що., оператор має неперервний обернений оператор.

У підрозділі 4.3 результат Гайшуна І.В. (Гайшун И.В. Устойчивость двухпараметрических дискретных систем с коммутирующими операторами // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32, N2. - С.216-224, с.218) про існування єдиного обмеженого розв'язку двопараметричного різницевого рівняння (схеми Россера) без початкових умов, де. - деякі (фіксовані) лінійні відображення з скінченновимірного нормованого простору Е в Е,. - обмежений набір елементів простору Е, узагальнюється на випадок довільного банахового простору та узагальненого двопараметричного різницевого рівняння на вигляду . (8)

Справджується

ТЕОРЕМА 4.3. Різницеве рівняння (8) задовольняє умову існування єдиного обмеженого розв'язку тоді і тільки тоді, коли для довільних таких, що , та для довільних таких, що , оператор має неперервний обернений оператор.

В підрозділі 4.4 доведена

ТЕОРЕМА 4.4. Узагальнене двопараметричне різницеве рівняння без початкових умов на напівплощині задовольняє умову існування єдиного обмеженого розв'язку тоді і тільки тоді, коли для довільних таких, що , та для довільних таких, що , оператор має неперервний обернений оператор.

Зауважимо, що сформульовані вище твердження містять умови на спектри відповідних в'язок операторів. Такі умови важко перевіряти. Тому в четвертому розділі (пункти 4.5.1-4.5.4) розглянуто декілька різницевих рівнянь, на прикладах яких проілюстровано, як умови отриманих теорем можна перевірити.

Зокрема, в пункті 4.5.1 розглянуто різницеве рівняння (тут і далі -деякий (фіксований) оператор з , - деяке комплексне число,), і доведено, що дане рівняння задовольняє умову існування єдиного обмеженого розв'язку тоді і тільки тоді, коли спектр оператора А не перетинається з множиною М. Тут також вказано, який вигляд має множина М в залежності від числа .

В пункті 4.5.2 показано, що для того, щоб двопараметричне різницеве рівняння без початкових умов задовольняло умову існування єдиного обмеженого розв'язку, необхідно і достатньо, щоб резольвентна множина оператора А містила множину L..

В пункті 4.5.3 доведено, що необхідна та достатня умова існування єдиного обмеженого розв'язку різницевого рівняння може бути сформульована таким чином: множина F не повинна перетинається зі спектром оператора А.

В пункті 4.5.4 доведено, що двопараметричне різницеве рівняння з початковими умовами задовольняє умову існування єдиного обмеженого розв'язку тоді і тільки тоді, коли множина G міститься в резольвентній множині оператора А.

Висновки

Отримано необхідні та достатні умови існування та єдиності обмежених розв'язків деяких класів лінійних одно- та двопараметричних різницевих рівнянь з обмеженими операторними коефіцієнтами в банаховому просторі.

Досліджено однопараметричні різницеві рівняння з нескінченною кількістю операторних коефіцієнтів на напівосі з початковими умовами та без них, для яких встановлено критерії обмеженості розв'язків.

Розглянуто випадок періодичного операторного коефіцієнта. Отримано необхідні та достатні умови існування та єдиності обмежених розв'язків для однопараметричного різницевого рівняння з одним операторним коефіцієнтом на всій осі, для двопараметричного різницевого рівняння на напівплощині з початковими умовами та для системи Россера з двома періодичними операторними коефіцієнтами.

Показано, що заміна змінних та перехід до іншого банахового простору дозволяють застосувати результати, отримані для однопараметричних різницевих рівнянь, для дослідження двопараметричних систем. Встановлено критерії обмеженості розв'язків узагальнених різницевих двопараметричних рівнянь на напівплощині і на .

Для деяких різницевих рівнянь з операторними коефіцієнтами, які є лінійними комбінаціями одиничного оператора та деякого фіксованого оператора А, за допомогою доведених теорем знайдено умови на спектр оператора А, які забезпечують існування та єдиність обмежених розв'язків відповідних рівнянь.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах

1. Дороговцев А.Я., Лагода О.А. Об ограниченных решениях одного разностного уравнения в банаховом пространстве // Математика сегодня. 1995. № 10. C. 55-59.

2. Лагода О.А. Обмежені розв'язки крайових різницевих задач у банаховому просторі // Вісник Київського університету. Серія фіз.-мат. науки. 1999. № 1. C. 45-49.

3. Городній М.Ф., Лагода О.А. Обмеженість розв'язків двопараметричного різницевого рівняння у банаховому просторі // Вісник Київського університету. Серія фіз.-мат. науки. 1999. № 3. C. 94-98.

4. Городній М.Ф., Лагода О.А. Обмежені розв'язки двопараметричного різницевого рівняння у банаховому просторі // Укр. мат. журн. 2000. Т. 52, № 12. С. 1610-1614.

5. Лагода О. Про існування обмежених розв'язків різницевого рівняння з періодичними операторними коефіцієнтами // Матеріали Сьомої міжнародної наукової конференції імені академіка Михайла Кравчука. Київ, 1998. С. 27.

6. Городній М.Ф., Лагода О.А. Обмеженість розв'язків двопараметричного різницевого рівняння у банаховому просторі // Матеріали Восьмої міжнародної наукової конференції імені академіка Михайла Кравчука. Київ, 2000. С. 256.

Анотація

Лагода О.А. Обмеженість розв'язків лінійних різницевих рівнянь у банаховому просторі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

В дисертації отримано необхідні та достатні умови існування та єдиності обмежених розв'язків деяких класів лінійних одно- та двопараметричних різницевих рівнянь в банаховому просторі В з обмеженими операторними коефіцієнтами. Зокрема, доведено критерії існування обмеженого розв`язку {} для різницевого рівняння та існування єдиного обмеженого розв'язку {} для двопараметричного різницевого рівняння без початкових умов.

Тут {}, {}, {} - обмежені в В послідовності,, - фіксовані оператори з .

Також розглянуто випадок періодичних операторних коефіцієнтів.

Для двопараметричного різницевого рівняння з періодичними коефіцієнтами де і - фіксовані - періодичні послідовності операторів з, - обмежений в В набір, отримано критерій існування і єдиності обмеженого розв'язку.

Отримані в дисертації результати можна застосувати в теорії різницевих рівнянь, в теорії диференціальних рівнянь та рівнянь в частинних похідних, в теорії динамічних систем, в теорії числової обробки зображень.

Ключові слова: різницеві рівняння, обмежені розв'язки, операторні коефіцієнти.

Аннотация

Лагода О.А. Ограниченность решений линейных разностных уравнений в банаховом пространстве. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Диссертация посвящена исследованию условий существования и единственности ограниченных решений одно- и двухпараметрических разностных уравнений в комплексном банаховом пространстве В с операторными коэффициентами, принадлежащими пространству линейных ограниченных операторов, действующих из В в В. Полученные результаты являются продолжением и обобщением утверждений, доказанных ранее Слюсарчуком В.Е., Дороговцевым А.Я., Гайшуном И.В., Томиловым Ю.В.

В частности, для разностного уравнения на полуоси с начальными условиями получен критерий существования ограниченного решения {.} при заданных произвольных ограниченных в В последовательностях {}, {} и фиксированной последовательности операторов, принадлежащей пространству всех линейных ограниченных операторов.

Исследованы необходимые и достаточные условия существования ограниченных решений разностного уравнения на полуоси без начальных условий где - фиксированная последовательность операторов из , - любая ограниченная в В последовательность.

Для разностного уравнения с фиксированными - периодическими операторными коэффициентами, доказана теорема о необходимых и достаточных условиях существования и единственности ограниченного решения для произвольной ограниченной в В последовательности.

Для двухпараметрического разностного уравнения с периодическими коэффициентами, где и - фиксированные - периодические последовательности операторов из , - ограниченный в В набор, получен критерий существования и единственности ограниченного решения.

Доказаны необходимые и достаточные условия существования ограниченного решения обобщенного разностного уравнения с начальными условиями на полуплоскости.

Здесь p и q - фиксированные натуральные числа,, - некоторые операторы, принадлежащие , последовательности ограничены в В для любого фиксированного числа т,, и фиксированы, - ограниченный набор элементов пространства В.

Для двухпараметрического разностного уравнения без начальных условий, получен критерий существования и единственности ограниченного в В решения {} при произвольном ограниченном в В наборе и фиксированном наборе.

При этом предложен метод доказательства существования ограниченных решений, позволяющий использовать для анализа рассматриваемых двухпараметрических уравнений известные и доказанные в диссертационной работе результаты для однопараметрических разностных уравнений.

Для некоторых разностных уравнений с операторными коэффициентами, которые являются линейными комбинациями единичного оператора и некоторого фиксированного оператора А, при помощи доказанных теорем найдены в явном виде условия на спектр оператора А, обеспечивающие существование и единственность ограниченных решений соответствующих уравнений.

Ключевые слова: разностные уравнения, ограниченные решения, операторные коэффициенты.

Annotation

Lagoda O.A. The boundedness of solutions to linear difference equations in a Banach space. - Manuscript.

The thesis for candidate degree in physics and mathematics by speciality 01.01.02 - differential equations. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2002.

The criteria of the existence of bounded solutions to some classes of linear one- and two-parameter difference equations in a Banach space with bounded operator coefficients are proved. In particular, necessary and sufficient conditions for the existence of bounded solution {} to difference equation and necessary and sufficient conditions for the existence of unique bounded solution to two-parameter difference equation without initial conditions, are obtained. Here are bounded in В sequences, are operators from .

The case of periodical operator coefficient is considered. The criterion of the existence of unique bounded solution to two-parameter difference equation with periodical operator coefficients is proved. Here is bounded in В sequence, and are - periodical operators from .

Key words: difference equations, bounded solutions, operator coefficients.

Размещено на Allbest.ru