Математическая обработка експериментальных данных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Сибирский государственный технологический университет

Факультет автоматизации и информационных технологий

Кафедра высшей математики и информатики

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Расчетно-графическая работа

Вариант № 12

Пояснительная записка

(СТ.231000.021.ПЗ)

Руководитель: Яковлева С.Ф.

Выполнил:Студентка группы 21-06

Чупина О.В.

Красноярск, 2014г



Задание:

Проводятся результаты 100 наблюдений над некоторой случайной двумерной величиной: (X, Y).

Требуется для каждой случайной величины X и Y (сокращенно СВ X и СВ Y): дискретный гистограмма эмпирический закон

1. Построить интервальный и дискретный статистический ряды распределения частот и относительных частот.

2. Построить гистограмму и полигон относительных частот.

3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить её график.

4. Вычислить числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.

5. Сделать предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины, исходя из механизма её образования, по виду гистограммы и полигона относительных частот и по значениям выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса.

6. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, предполагая, что наблюдаемая случайная величина распределена по нормальному закону, и записать функцию плотности распределения вероятностей.

7. Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения.

8. В случае принятия гипотезы найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).

9. Провести корреляционный анализ:

а) Составить корреляционную таблицу;

б) Найти выборочный коэффициент корреляции;

в) Проверить значимость выборочного коэффициента корреляции при
б = 0,05(Н₀ : с = 0), при альтернативной гипотезе Н_б: с ? 0;

г) Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нём подобрать общий вид функции регрессии;

д) Найти эмпирические функции регрессии Y на X, X на Y и построить их графики.



Вариант № 12

X - число оборотов, сотни оборотов в мин.;

У - мощность двигателя, кВт.

X	У	X	У	X	У	X	У	X	У	X	У
128	28	129	26	127	26	130	28	128	27	130	29
128	26	127	26	129	28	128	27	131	30	129	26
127	27	130	28	130	28	127	26	131	29	129	27
127	26	128	26	131	28	130	28	129	28	132	30
128	27	129	28	129	28	130	28	129	27	129	27
128	27	130	29	141	28	130	27	129	29	130	28
131	30	127	26	126	25	132	30	126	25	128	26
129	28	130	29	127	26	128	26	130	28	127	26
128	27	131	29	132	31	127	27	131	28	129	28
128	27	128	27	128	28	129	26	128	26	127	26
130	28	131	29	131	30	130	27	129	26	131	29
129	28	127	26	130	27	127	26	131	28	129	27
129	28	129	27	127	27	129	26	128	27	128	27
129	28	126	27	126	25	126	25	128	25	130	28
129	28	129	26	130	29	126	25	129	26	128	27
126	25	129	27	128	27	129	28	129	27
132	31	130	27	127	26	130	28	129	26



1. Построить интервальный и дискретный статистический ряды распределения частот и относительных частот

a) Сделаем группировку наблюдаемых значений. Оптимальную длину интервала определим по формуле Стэрджеса:

Таблица 1. Вспомогательная таблица для расчета числовых характеристик выборки

Интервалы	Середины интервалов	Подсчет частот	Частоты ni	Относит частоты wi = ni /n	Накопленные относительные частоты
(ai	ai+1]
1	2	3	4	5	6
125,61	126,39	126	6	6	0,06	0,06
126,39	127,17	126,78	13	13	0,13	0,19
127,17	127,95	127,56	0	0	0	0,19
127,95	128,73	128,34	19	19	0,19	0,38
128,73	129,51	129,12	30	30	0,3	0,68
129,51	130,29	129,9	19	19	0,19	0,87
130,29	131,07	130,68	10	10	0,1	0,97
131,07	131,85	131,46	0	0	0	0,97
131,85	132,63	132,24	3	3	0,03	1

Б) Сделаем группировку наблюдаемых значений. Оптимальную длину интервала определим по формуле Стэрджеса:



Таблица 2. Вспомогательная таблица для расчета числовых характеристик выборки

Интервалы	Середины интервалов	Подсчет частот	Частоты ni	Относит частоты wi = ni /n	Накопленные относительные частоты
(ai	ai+1]
1	2	3	4	5	6
2,665	2,94	2,8	2	2	0,02	0,02
2,935	3,21	3,07	7	7	0,07	0,09
3,205	3,48	3,34	11	11	0,11	0,2
3,475	3,75	3,61	30	30	0,3	0,5
3,745	4,02	3,88	29	29	0,29	0,79
4,015	4,29	4,15	12	12	0,12	0,91
4,285	4,56	4,42	5	5	0,05	0,96
4,555	4,83	4,69	3	3	0,03	0,99
4,825	5,1	4,96	1	1	0,01	1

2. Построить гистограмму и полигон относительных частот

Рисунок 1 - Гистограмма и полигон относительных частот



3.Найти эмпирическую функцию распределения и построить её график

	0,	если х <= 5.175,
	0,06,	если 5.175 <х <= 7.525,
	0,19,	если 7.525 <х <= 9.875,
	0,19,	если 9.875 < х <= 12.225,
F(x)=	0,38,	если 12.225 <х <= 14.575,
	0,68,	если 14.575 < х <= 16.925,
	0,87,	если 16.925 < х <= 19.275,
	0,97,	если 19.275 <х <=21.625,
	0,97	если 21.625 <х <=23.975,
	1	если x > 23.975.

Рисунок 2 - График функции распределения



4.Вычислить числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Таблица 3.Таблица для расчета числовых характеристик выборки

Середины интервалов	Частоты ni	xi - x*	(xi-x*)*ni	(xi-x*)^2*ni	(xi-x*)^3*ni	(xi-x*)^4*ni
1	2	3	4	5	6	7
126	6	-2,8782	-17,2692	49,70421144	-143,0586614	411,7514391
126,78	13	-2,0982	-27,2766	57,23176212	-120,0836833	251,9595843
127,56	0	-1,3182	0	0	0	0
128,34	19	-0,5382	-10,2258	5,50352556	-2,961997456	1,594147031
129,12	30	0,2418	7,254	1,7540172	0,424121359	0,102552545
129,9	19	1,0218	19,4142	19,83742956	20,26988552	20,71176903
130,68	10	1,8018	18,018	32,4648324	58,49513502	105,3965343
131,46	0	2,5818	0	0	0	0
132,24	3	3,3618	10,0854	33,90509772	113,9821575	383,1852171
Сумма	100	-	6,25278E-13	200,400876	-72,93304269	1174,701243

Выборочное среднее (X) даёт среднее число пропущенных часов лекционных и практических занятий у студентов 1 курса

(ч.)

Выборочная дисперсия:

Выборочное среднее квадратичное отклонение:

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляют по формулам:

- говорит о несимметричности полигона относительно выборочного среднего X. Отрицательный знак выборочного коэффициента асимметрии свидетельствует о левосторонней асимметрии данного распределения.

< 0, - это говорит о том, что полигон менее крут, чем нормальная кривая.

Таблица 4. Таблица для расчета числовых характеристик выборки

Середины интервалов	Частоты ni	yi - y*	(yi-y*)*ni	(yi-y*)^2*ni	(yi-y*)^3*ni	(yi-y*)^4*ni
1	2	3	4	5	6	7
2,8	2	-0,9558	-1,9116	1,82711	-1,746349138	1,669160506
3,07	7	-0,6858	-4,8006	3,29225	-2,257826065	1,548417115
3,34	11	-0,4158	-4,5738	1,90179	-0,790762635	0,328799104
3,61	30	-0,1458	-4,374	0,63773	-0,092980917	0,013556618
3,88	29	0,1242	3,6018	0,44734	0,05556007	0,006900561
4,15	12	0,3942	4,7304	1,86472	0,735074075	0,2897662
4,42	5	0,6642	3,321	2,20581	1,465097806	0,973117963
4,69	3	0,9342	2,8026	2,61819	2,445912089	2,284971074
4,96	1	1,2042	1,2042	1,4501	1,746207578	2,102783166
Смма	100	-	3,997E-14	16,245	1,559932862	9,217472306

Выборочное среднее (Y) даёт средний балл, вычисленный по результатам двух семестров.

(баллов)

Выборочная дисперсия:

Выборочное среднее квадратичное отклонение:

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляют по формулам:

5.Сделать предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины, исходя из механизма её образования, по виду гистограммы и полигона относительных частот и по значениям выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса

Вид полигона и гистограммы относительных частот напоминает нормальную кривую. Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса для нормального распределения не более, чем на утроенные средние квадратичные ошибки их определения.

Где:

Итак, по совокупности указанных признаков можно предположить, что распределение СВ X является нормальным.

6.Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, предполагая, что наблюдаемая случайная величина распределена по нормальному закону, и записать функцию плотности распределения вероятностей

В качестве неизвестных параметров б и возьмем их точечные оценки X и S_yсоответственно.

Функция плотности:

Функция распределения вероятности:



7.Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения

Нулевая гипотеза: Генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, распределена по нормальному закону. ( Н₀ : Х

Основная гипотеза ( Н₀ : Х , которую мы проверим с помощью критерия Пирсона

Вероятности рассчитываются с помощью функции Лапласа Ф(x):

i	p1	p2	x1	x2	Ф1	Ф2	pi
1	-999	5,175	-999	-2,098322581	-0,5	-0,4821	0,0179
2	5,175	7,525	-2,098322581	-1,491870968	-0,482	-0,4321	0,05
3	7,525	9,875	-1,491870968	-0,885419355	-0,432	-0,312	0,1201
4	9,875	12,225	-0,885419355	-0,278967742	-0,312	-0,1099	0,2021
5	12,225	14,575	-0,278967742	0,327483871	-0,11	0,1283	0,2382
6	14,575	16,925	0,327483871	0,933935484	0,1283	0,3248	0,1965
7	16,925	19,275	0,933935484	1,540387097	0,3248	0,4383	0,1135
8	19,275	21,625	1,540387097	2,14683871	0,4383	0,4841	0,0458
9	21,625	999	2,14683871	254,3726452	0,4841	0,5	0,0159
							1



Таблица 5. Расчетная таблица для вычисления

Интервалы (x(i);x(i+1)]	Частоты эмпирические n(i)	Вероятности P(i)	Теоретические частоты
1	2	3	4	5
(-?;5,175]	2	0,0179	1,79	0,0246
(5,175;7,525]	6	0,05	5	0,2
(7,525;9,875]	9	0,1201	12,01	0,7544
(9,875;12,225]	22	0,2021	20,21	0,1585
(12,225;14,575]	25	0,2382	23,82	0,0585
(14,575;16,925]	16	0,1965	19,65	0,678
(16,925;19,275]	15	0,1135	11,35	1,1738
(19,275;21,625]	4	0,0458	4,58	0,0734
(21,625;+?)	1	0,0159	1,59	0,2189
Сумма:	100	1	100	3,3401

= 3,3401.

Для определения критических точек распределения необходимо знать уровень значимости( и число степеней свободы(.

S - число интервалов = 9, r - число параметров = 2.

6)=12.592

Т.к. , то считаем, что нет оснований для отклонения нулевой гипотезы при заданном уровне значимости .



Рисунок 3 - График эмпирической функции f(x)

8.В случае принятия гипотезы найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95)

1,984*0,7688

- 0,7688< < 0,7688+

12,5372< < 14,0748 - доверительный интервал математического ожидания

- доверительный интервал среднего квадратического отклонения

9. Провести корреляционный анализ:

а) Составить корреляционную таблицу;

б) Найти выборочный коэффициент корреляции;

в) Проверить значимость выборочного коэффициента корреляции при б = 0,05(Н₀ : с = 0), при альтернативной гипотезе Н_б: с ? 0;

г) Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нём подобрать общий вид функции регрессии;

д) Найти эмпирические функции регрессии Y на X, X на Y и построить их графики.

Таблица 6 Корреляционная таблица эмпирического распределения двумерной СВ (X,Y)

X\Y	2,8	3,07	3,34	3,61	3,88	4,15	4,42	4,69	4,96	n(x)
4								1	1	2
6,35					1	1	3	1		6
8,7			1		2	4	1	1		9
11,05				3	12	7				22
13,4			1	14	10					25
15,75			2	10	4					16
18,1	1	4	6	3			1			15
20,45	1	2	1							4
22,8		1								1
	2	7	11	30	29	12	5	3	1	n=100

X = 13,306; Y = 3,7558; Sx = 3,875; Sy = 0,403

Корреляционный момент:



-1,2819068

Выборочный коэффициент корреляции:

-0,82

Проверим значимость выбранного коэффициента корреляции.

Нулевая гипотеза:

Альтернативная гипотеза:

-17,11

Принятие гипотезы Н_а при уровне значимости =0,05 означает, что выборочный коэффициент корреляции отличается от нуля с ошибкой 7%.

Найдем по таблице квантилей распределения Стьюдента по наиболее употребляемому уровню значимости =0,05 и числу степени свободы v=n-2 квантиль t(1-a;n-2)=t(0.95;98)=1.984.

Так как ||=17,11>1.984, то нулевая гипотеза отвергается и коэффициент корреляции можно считать существенным, а связь между случайными величинами достоверной, т.е выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Это означает, что между СВ Х и СВ У существует корреляционная зависимость.

Выборочное уравнение регрессии Y на X:



Выборочное уравнение регрессии Х на Y:

Контроль вычислений: * = 0,67 =

Графики найденных выборочных функций нанесены на рис. 4.

Размещено на Allbest.ru