Розв'язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною методом поділу відрізка навпіл (дихотомії)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Полтавський політехнічний коледж НТУ «ХПІ»

Методичні вказівки до виконання практичної роботи з теми:

«Розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною методом поділу відрізка навпіл (дихотомії)»

Підготувала викладач Ковріга Л.І.

2013

Зміст

1. Тема, мета виконання практичної роботи, обладнання, питання для самоконтролю

2. Основні теоретичні відомості

3. Завдання для практичної роботи

4. Приклад виконання практичної роботи

5. Список рекомендованої літератури

6. Зміст звіту

7. Інструкція до проведення практичної роботи

Тема: Розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною методом поділу відрізка навпіл (дихотомії)

Мета: закріпити та поглибити знання, отримані під час теоретичного заняття; навчитись застосовувати метод поділу відрізка навпіл до розв'язування практичних задач розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною; розвинути мислення та вміння аналізувати, робити висновки.

Обладнання: калькулятор, лінійка, олівець, ручка, методичні вказівки до виконання практичної роботи.

Питання для самоконтролю:

1. Формулювання загальної задачі розв'язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною.

2. Відокремлення коренів. Теорема про оцінку похибки наближеного значення кореня.

3. Уточнення кореня методом поділу відрізка пополам.

Теоретичні відомості

Чисельні методи -- це розділ математики про методи дослідження та відшукання оптимальних значень математичних моделей.

1. Постановка загальної задачі розв'язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною

Знаходження розв'язку нелінійного рівняння із однією змінною є задачею, яка виникає у різноманітних розділах фізики, техніки та інших областях. У загальному випадку нелінійне рівняння можна записати у вигляді f (x) = 0 (1).

Функцію f (x), взагалі кажучи нелінійну, а то і трансцендентну, вважаємо визначеною і неперервною на деякому скінченому або нескінченному проміжкові .

Будь-яке значення , яке перетворює дану функцію f (x) в нуль, тобто , називається коренем рівняння (1) або нулем функції f (x).

Число , яке перетворює в нуль функцію f (x) і її похідну до (k - 1)-го порядку включно, називають коренем k-ої кратності рівняння (1). Однократний корінь називають простим.

Якщо функція f (x) - алгебраїчний многочлен, то рівняння (1) називається алгебраїчним. Якщо функція f (x) містить тригонометричні, показникові або логарифмічні функції, то рівняння називається трансцендентним.

Звичайно прагнуть знайти точні розв'язки рівнянь (1), використовуючи аналітичні перетворення. Але це вдається зробити для обмеженої множини функції f (x) алгебраїчних многочленів степеня не вищого за чотири, деяких многочленів степеня n 5 і деяких найпростіших класів елементарних і трансцендентних функцій.

Загальних методів для розв'язування алгебраїчних рівнянь степеня n 5 і трансцендентних рівнянь не існує. Також, під час розгляду практичних задач, досить часто, потрібно знайти розв'язок рівняння, коефіцієнти якого мають наближені значення. В останньому випадку постановка задачі знаходження точних коренів даного рівняння взагалі не має сенсу. Тому важливу роль відіграють наближені методи знаходження коренів рівняння й оцінку степеня їх точності.

Розв'язати наближено рівняння означає отримати відповіді на такі запитання:

1) Чи має дане рівняння корені взагалі?

2) Скільки коренів воно має?

3) Знайти значення коренів із заданою точністю.

Сам процес наближеного знаходження дійсних та комплексних коренів рівняння (1) складається з двох етапів:

1. Відокремлення коренів, тобто знаходження проміжків , які містять не більше одного кореня рішення (1).

2. Уточнення наближених коренів, тобто доведення їх значення до заданої точності.

Нехай - точний корінь, а - його наближене значення. Кажуть, що корінь обчислено з наперед заданою точністю , якщо має місце нерівність (2).

Як відомо, будь-яке алгебраїчне рівняння має хоча б один корінь.

2. Відокремлення коренів

Про умови існування кореня рівняння на говорить відома теорія аналізу.

Теорема 1. Якщо функція f (x) неперервна на відрізкові і набуває на його кінцях значень різних знаків, тобто (3), то всередині цього відрізка знайдеться хоча б одна точка , що .

Теорема 2. Корінь завідома буде єдиним, якщо перша похідна f (x) існує і зберігає знак всередині інтервалу (а,b).

Корінь рівняння (1) вважається відокремленим на відрізку , якщо

і на цьому відрізку дане рівняння не має інших коренів.

Процес відокремлення коренів розпочинається із визначення знаків функції f (x) в межевих точках х = а та х = b області її існування.

Згідно із сказаним вище, процес відокремлення коренів рівняння можна розбити на такі етапи:

1) Знайти область визначення рівняння.

2) Знайти критичні (підозрілі на екстримальні) точки функції f (x).

3) Записати інтервали монотонності функції f (x).

4) Визначити знак функції на кінцях інтервалів монотонності.

5) Визначити відрізки, на кінцях яких функція f (x) набуває значень протилежних знаків.

Якщо для відокремлення всіх коренів використовується ЕОМ, то варто застосовувати метод послідовного перебору. Із його допомогою можна відокремити усі дійсні корені, окрім кратних (наперед обумовлюємо, що функція f (x) з рівняння (1) задовольняє умовам теореми). Для цього необхідно виконати такі дії:

1) Знайти область визначення функції f (x).

2) Вибрати достатньо мале число h (крок розбиття).

3) Вибрати початкову точку а з області визначення функції f (x).

4) Обчислити значення функції f (x) у точках , (і = 0, 1, 2,…).

5) Визначити знак функції f (x) на кінцях кожного із відрізків ,

(і = 0,1, 2,…).

6) Відібрати ті із відрізків, на яких виконується нерівність .

Корисно пам'ятати, що алгебраїчне рівняння n-го степеня () має не більше n дійсних коренів. Тому, якщо для такого рівняння ми отримали n+1 зміну знаків, то всі його корені відокремлені.

У подальшому, нам буде потрібне існування першої і навіть другої похідної функції f (x) (це буде обумовлено додатково).

3. Метод поділу відрізка навпіл (метод дихотомії)

Нехай рівняння (1) має на відрізку єдиний корінь. При цьому, функція неперервна на цьому проміжку і .

Для знаходження кореня рівняння (1), який належить відрізкові виконаємо наступні кроки:

1) Поділимо заданий відрізок навпіл. Якщо , то - корінь рівняння.

2) Якщо , то вибираємо той з відрізків , , на кінцях якого функція набуває значень різних знаків. Позначимо цей відрізок .

3) До нового звуженого відрізка застосовуємо кроки 1) та 2).

В результаті дії алгоритму на деякому етапі отримуємо або точний корінь рівняння (1), або нескінчену послідовність вкладених один в один відрізків таких, що (n=1,2,3,…) (4) і

Оскільки ліві кінці складають монотонну неспадну обмежену зверху послідовність, а праві кінці - монотонну не зростаючу обмежену знизу послідовності, то внаслідок рівності (2), існує спільна границя .

Перейшовши до границі при в нерівності (2), внаслідок неперервності функції f(x), отримуємо . Звідси , тобто є коренем рівняння (1), і при цьому .

Процес послідовного поділу продовжуємо до того часу, поки на кроці не буде виконуватися одна з умов:

1), тоді - шуканий корінь;

2) довжина відрізка, що містить корінь, стане менше де -задана точність обчислень, тобто , а .

Рисунок 1.3 Ілюстрація методу половинного поділу

4. Теорема про оцінку похибки наближеного значення кореня

Нехай відомо наближене значення кореня рівняння , де функція - визначена і неперервна на проміжку . Оцінимо похибку наближеного кореня цього рівняння.

Теорема 3. Нехай - точне значення кореня рівняння , а - його наближене значення. Якщо існує таке число , що для будь-яких , то справедлива оцінка (5).

Зазначимо, що за число у формулі (5) можна взяти найменше значення функції на відрізку , якщо неперервна на . Формула (5) може давати занадто грубе наближення кореня.

Завдання для практичної роботи

Знайти корені рівняння методом половинного ділення з точністю до 10-2
Варіант	Функція	Варіант	Функція
1	x3 - 2x2 - 4x - 7 = 0 2x - ln x - 4 = 0	12	x3 - 2x - 5 = 0 2x = cos x
2	x- 10 sin x = 0 x4 + 0,5x - 1,55 = 0	13	x3 - 2x2 - 4x - 7 = 0 8 cos x = x + 6
3	2x = 4x x3 - 5x + 0,1 = 0	14	sin x - 0,2x = 0 x3 + 3x2 + 2 = 0
4	lg (x + 5) = cos x x3 - 2x - 5 = 0	15	10 cos x - 0,1 x2 = 0 x3 + 5 x2 + 2 = 0
5	4x - 7 sin x+3 = 0 x3 - 3x + 1 = 0	16	2 - x - ln x = 0 x3- 2x - 5 = 0
6	x3 - 12 x - 5 = 0 ex + 2x - 6 = 0	17	x3 - x - 2 = 0 2x - ln x - 4 = 0
7	2 - x - ln x = 0 x3+ x - 1 = 0	18	cos x = x 2x3 - 5 = 2x
8	x3 + 3x - 0,5 = 0 x sin x - 1 = 0	19	ex + 2x - 6 = 0 x3 -x - 1 = 0
9	x3 - 2x - 5 = 0 0,1 sin x - x + 2 = 0	20	lg (x - 5) = cos x x3 - 2x - 5 = 0
10	cos x = x2 x3 - x - 1 = 0	21	ex + e3x - 4 = 0 2x - ln x - 4 = 0
11	2x2 - 5 = 2x x3 + x2 - 11 = 0	22	2 - x - ln x = 0 4x - 7 cos x = 0

Приклад виконання практичної роботи.

Мета: закріпити та поглибити знання, отримані під час теоретичного заняття; навчитись застосовувати метод поділу відрізка навпіл до розв'язування практичних задач розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною.

Обладнання: калькулятор, лінійка, олівець, ручка, методичні вказівки.

Хід роботи

1. Знайти корені рівняння методом половинного ділення з точністю до 10^-3

Розвязання:

1. Область визначення .

2. Відокремлення коренів: маємо критичні точки ; ;

3. Запишемо інтервали монотонності:

4. Визначимо знаки функції на кінцях інтервалів монотонності ,

5. Відрізком ізоляції кореня є проміжок .

6. Методом проб звузимо знайдений проміжок ізоляції кореня до одиничної довжини. Оскільки значення близьке до одиниці, то обчислимо ; ; . Отже, корінь даного рівняння належить відрізку (відокремити корінь можна було графічно, побудувавши графіки функцій та і знайшовши проміжок точки перетину).

7. Використаємо алгоритм програми 1.1 поділу відрізка пополам для даного рівняння.

Програма 1.1

10 '…….Метод поділу відрізка…………….

20' …………..пополам……………………...

30 INPUT «Ввести А і В»; А, В

40 INPUT «Ввести точність EPS»; EPS

50 DEF FNF(X)=X^3-2*X-5

60 C=0.5*(A+B): Y=FNF(C)

70 IF B-A<=2*EPS OR Y=0 THEN 110

80 C=0.5*(A+B): Y=FNF(C)

90 IF Y*FNF(A)<0 THEN B=C ELSE A=C

100 GOTO 70

110 X=0.5*(A+B)

120 PRINT «Шуканий корінь Х=»; Х

130 END

8. У таблиці 1.1 подано результати уточнення кореня рівняння .

таблиця 1.1

Точність кореня	Наближений корінь	Кількість ітерацій
	2,0957	9
	2,094559	16
	2,0945514832	29
	2,094551481542	39

Висновок: Отже, ми знайшли оптимальні розв?язки задачі методом дихотомії, навчились застосовувати метод половинного ділення до розв'язування практичних задач. З таблиці видно, що збільшення точності шуканого кореня веде до збільшення кількості ітерацій методу для досягнення заданої точності.

Література

1. Бігун Я.Й., Березовська І.В. Числові методи розв'язування нелінійних рівнянь і систем : Навчальний посібник. Чернівці: Чернівецький Національний університет, 2011. 104 с.

2. Кацман Ю.Я. Численные методы: Учебное пособие. Томск: Изд. ТПУ, 2000. 68 с.

3. Лященко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. Київ: Либідь, 1996. 288 с.

4. Мирошниченко Г.П., Петрашень А.Г. Численные методы. Учебное пособие СПб: СПбГУНТМО, 2007. 120 с.

5. Прокопенко Ю.В., Татарчук Д.Д., Казміренко В.А. Обчислювальна математика: Навчальний посібник. К.: ІВЦ видавництво «Політехніка»: 2003. 120 с.

Зміст звіту

1. Титульний аркуш.

2. Тема, мета виконання практичної роботи, обладнання.

3. Хід роботи: короткі теоретичні відомості, основні формули; виконання практичного завдання з посиланням на твердження та формули.

4. Висновок.

5. Література.

Інструкція до проведення практичної роботи.

Практичну роботу складено у відповідності із діючою навчальною та робочою навчальною програмами. Перед виконанням практичної роботи студенти повинні:

Попередньо підготуватися до практичної роботи, а саме це полягає у вивченні студентами теоретичного матеріалу у відведений для самостійної роботи час, ознайомлення з методичними матеріалами з метою усвідомлення завдань практичної роботи, опрацювати питання для самоконтролю.

Проконсультуватися з викладачем з метою надання вичерпної інформації, необхідної для самостійного виконання запропонованих завдань, ознайомлення з правилами техніки безпеки.

Попередній контроль рівня підготовки студентів до виконання конкретної роботи (отримання так званого "допуску" до виконання роботи).

Самостійне виконання студентами завдань відповідно до окресленої навчальною програмою тематики.

Опрацювання, узагальнення отриманих результатів практичної роботи і оформлення індивідуального звіту.

Контроль і оцінювання викладачем результатів роботи студентів.

Міністерство освіти і науки України

Полтавський політехнічний коледж НТУ «ХПІ»

Методичні вказівки до виконання практичних робіт з предмета:

«Чисельні методи»

спеціальності 5.05010301 «Розробка програмного забезпечення»

Підготувала викладач Ковріга Л.І.

Анотація

Практичні заняття (грец. prakticos - діяльний) - форма навчального заняття, на якому педагог організовує детальний розгляд студентами окремих теоретичних положень навчальної дисципліни і формує уміння і навички їх практичного застосування шляхом виконання відповідно поставлених завдань. У структурі практичного заняття домінує самостійна робота студентів. Практичні заняття отримали поширення в університетській освіті у другій половині XIX ст. Зусиллями М.В. Ломоносова лекція знайшла поєднання з практичними заняттями і науково-дослідною роботою.

Перелік тем практичних занять визначається робочою навчальною програмою дисципліни. Правильно організовані практичні заняття мають важливе виховне та практичне значення (реалізують дидактичний принцип зв'язку теорії з практикою) і орієнтовані на вирішення наступних завдань:

- поглиблення, закріплення і конкретизацію знань, отриманих на лекціях і в процесі самостійної роботи;

- формування практичних умінь і навичок, необхідних в майбутній професійній діяльності;

- розвитку умінь спостерігати та пояснювати явища, що вивчаються;

- розвитку самостійності тощо.

Зміст

1. Методичні вказівки до виконання практичної роботи з теми: «Розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною методом поділу відрізка навпіл (дихотомії)»

2. Методичні вказівки до виконання практичної роботи з теми: «Розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною методами дотичних (Ньютона) та хорд»

3. Методичні вказівки до виконання практичної роботи з теми: «Розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною методом ітерацій»

4. Методичні вказівки до виконання практичної роботи з теми: «Розв?язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Зейделя»

5. Методичні вказівки до виконання практичної роботи з теми: «Обчислення визначених інтегралів методами прямокутників і трапецій»

6. Методичні вказівки до виконання практичної роботи з теми: «Обчислення визначених інтегралів методом Сімпсона. Практична оцінка похибки»

7. Методичні вказівки до виконання практичної роботи з теми: «Розв?язування диференціальних рівнянь методом Ейлера»

8. Методичні вказівки до виконання практичної роботи з теми: «Розв?язування диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта»

9. Методичні вказівки до виконання практичної роботи з теми: «Побудова для функцій інтерполяційних поліномів Лагранжа і Ньютона. Субтабуляція таблиць функцій»

Міністерство освіти і науки України

Полтавський політехнічний коледж НТУ «ХПІ»

Методичні вказівки до виконання практичної роботи з теми:

«Розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною методами дотичних (Ньютона) та хорд»

Підготувала викладач Ковріга Л.І.

Зміст

1. Тема, мета виконання практичної роботи, обладнання, питання для самоконтролю

2. Основні теоретичні відомості

3. Завдання для практичної роботи

4. Приклад виконання практичної роботи

5. Список рекомендованої літератури

6. Зміст звіту

7. Інструкція до проведення практичної роботи

Тема: Розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною методами дотичних (Ньютона) та хорд

Мета: закріпити та поглибити знання, отримані під час теоретичного заняття; навчитись застосовувати методи дотичних (Ньютона) та хорд до розв'язування практичних задач розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною; розвинути мислення та вміння аналізувати, робити висновки.

Обладнання: калькулятор, лінійка, олівець, ручка, методичні вказівки до виконання практичної роботи.

Питання для самоконтролю:

1. Формулювання загальної задачі розв'язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною.

2. Відокремлення коренів. Теорема про оцінку похибки наближеного значення кореня.

3. Уточнення кореня методами дотичних (Ньютона) та хорд.

Теоретичні відомості

Метод хорд - один із поширених методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення.

1. Постановка задачі

Знову розглядаємо рівняння (1), в якому функція неперервна на відрізкові і має на ньому неперервні похідні першого та другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку, і . Тобто на заданому відрізку відокремлено корінь . Поділимо відрізок у підношенні . Отримане число візьмемо як наближене значення кореня , де .

Далі, застосовуючи цей підхід до того із відрізків , на кінцях якого функція набуває значення різних знаків, отримуємо друге наближення кореня , і т.д.

2. Метод хорд

Геометрично, спосіб пропорційних частин еквівалентний заміні кривої у = хордою, яка проходить через точки і (див мал.1).

Для визначеності візьмемо випадок зображений на малюнку 1, а абсциса точки перетину хорди з віссю ох, буде наближенням значенням кореня рівняння (1). Дійсно, рівняння хорди АВ визначається рівнянням .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Звідси враховуючи, що - нуль функції, тобто при , отримуємо мал. 1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тепер наближене кореня можна уточнити, якщо застосовувати метод хорд на відрізкові . Абсциса точки перетину хорди АВ буде другим наближенням кореня. Продовжуючи цей процес необмежено, дістанемо послідовність наближених значень кореня даного рівняння.

Для виведення формули метода хорд запишемо рівняння прямої, яка проходить через точки та .

Поклавши у = 0, знайдемо абсцису точки перетину хорди АВ з віссю ох:

Знайдене значення х можна взяти наступне наближення кореня, тобто

k = 0,1,2,…. (3)

Якщо для заданої функції мають місце нерівності , і , , або , і , , то кінець b відрізка є нерухомим (Дивись мал.1,а та 1,б).

Якщо , і , або , і , , то аналогічно (3) можна записати формулу

k = 0,1,2,….

У цьому випадку точка а с нерухомим кінцем відрізка . Отже формули для обчислення рівняння за методом хорд можна записати так:

k = 0,1,2,…. (4)

Де

Достатні умови збіжності методу хорд дає така теорема.

Теорема: Нехай на відрізку функція неперервна разом із своїми похідними до другого порядку включно, і при цьому , а похідна і зберігають сталі знаки на . Тоді існує такий окіл кореня рівняння (1), що для будь-якого початкового наближення з цього околу, послідовність , обчислена за формулою (4), збігатиметься до кореня .

3. Метод Ньютона (метод дотичних)

Нехай - корінь рівняння (1), локалізований на відрізку , причому і неперервні і зберігають знаки . Нехай - те наближення кореня. Розкладемо функцію в ряд Тейлора в околі точки .

Замість рівняння (1) розглянемо рівняння , яке враховує лише лінійну частину ряду Тейлора відносно . Розв'язавши його відносно х, отримаємо

Взявши знайдене значення для наступного наближення, матимемо

(n = 0,1,2,…) (5)

Формула (5) визначає метод Ньютона.

Геометрично метод Ньютона еквівалентний заміні невеликої дуги кривої дотичною, проведеною через деяку точку кривої. Значення є абсцисою точки перетину дотичної до кривої в точці (див. мал.2). Тому метод Ньютона називають ще методом дотичних. З малюнку видно, що послідовні наближення збігаються до кореня монотонно. За початкове наближення у методі Ньютона слід брати точку із заданого проміжку, для якої виконується нерівність .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал 2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Достатні умови збіжності методу Ньютона дає така теорема.

Теорема: Нехай на відрізку функція має неперервні із сталими знаками похідні і . Тоді існує такий окіл кореня рівняння (1), що для будь-якого послідовність , обчислена за формулою (5), збігається до кореня .

4. Комбінований метод

Нехай f(a)·f(b) < 0, а f(x) і f(x) зберігають сталі знаки на відрізку [aё b]. З'єднуючи метод хорд и метод дотичних, отримуємо метод, на кожному кроці якого знаходимо значення по недоліку и значения по надлишку точного корня о рівняння f(x) = 0. Можливі такі випадки:

f(x) > 0; f(x) > 0;

f(x) > 0; f(x) < 0;

f(x) < 0; f(x) > 0;

f(x) < 0; f(x) < 0.

Розглянемо тільки перший випадок, так як інші три ведуть себе аналогічно и можуть бути зведені до першого.

Нехай f(x) > 0 і f(x) > 0 при . Припускаємо, що (для методу хорд), (для методу дотичних). Тоді нові значення кореня обчислюємо за формулами

(6)

Мал. 3 наглядно ілюструє суть комбінованого методу.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доведено, що . Слід звернути увагу на те, що на кожному кроці метод хорд застосовується до нового відрізку . Якщо задати максимальне значення похибки е > 0, процес уточнення значення кореня продовжуємо до тих пір, поки не виконається умова

. (7)

Завдання для практичної роботи

Знайти корені рівняння методом хорд та дотичних з точністю до 10-2
Варіант	Функція	Варіант	Функція
1	x3 - 2x2 - 4x - 7 = 0 2x - ln x - 4 = 0	12	x3 - 2x - 5 = 0 2x = cos x
2	x- 10 sin x = 0 x4 + 0,5x - 1,55 = 0	13	x3 - 2x2 - 4x - 7 = 0 8 cos x = x + 6
3	2x = 4x x3 - 5x + 0,1 = 0	14	sin x - 0,2x = 0 x3 + 3x2 + 2 = 0
4	lg (x + 5) = cos x x3 - 2x - 5 = 0	15	10 cos x - 0,1 x2 = 0 x3 + 5 x2 + 2 = 0
5	4x - 7 sin x+3 = 0 x3 - 3x + 1 = 0	16	2 - x - ln x = 0 x3- 2x - 5 = 0
6	x3 - 12 x - 5 = 0 ex + 2x - 6 = 0	17	x3 - x - 2 = 0 2x - ln x - 4 = 0
7	2 - x - ln x = 0 x3+ x - 1 = 0	18	cos x = x 2x3 - 5 = 2x
8	x3 + 3x - 0,5 = 0 x sin x - 1 = 0	19	ex + 2x - 6 = 0 x3 -x - 1 = 0
9	x3 - 2x - 5 = 0 0,1 sin x - x + 2 = 0	20	lg (x - 5) = cos x x3 - 2x - 5 = 0
10	cos x = x2 x3 - x - 1 = 0	21	ex + e3x - 4 = 0 2x - ln x - 4 = 0
11	2x2 - 5 = 2x x3 + x2 - 11 = 0	22	2 - x - ln x = 0 4x - 7 cos x = 0

Приклад виконання практичної роботи.

Мета: закріпити та поглибити знання, отримані під час теоретичного заняття; навчитись застосовувати методи хорд і дотичних до розв'язування практичних задач; розвинути мислення та вміння аналізувати, робити висновки.

Обладнання: калькулятор, лінійка, олівець, ручка.

Хід роботи

1. Знайти корені рівняння методом дотичних з точністю до 10^-6

Використаємо алгоритм програми 2.1 методу Ньютона для даного рівняння.

Програма 2.1

10 '…….Метод Ньютона…………….

20' ……для рівняння f(x) = 0………...

30 PRINT «Ввести кінці а і b відрізка ізоляції кореня»

40 INPUT «А=»; А: INPUT «B=»; B

50 INPUT «Ввести точність EPS»; EPS

60 INPUT «Ввести min на »; M1

70 INPUT «Ввести mах на »; M2

80 DEF FNF(X)= : - вираз функції

90 DEF FNY(X)= : - вираз похідної функції

100 DEF FNZ(X)= : - вираз другої похідної

110 U=FNF(A): V=FNZ(A) : 'Визначення початкового

120 IF U*V>0 THEN X0=A ELSE X0=B : 'наближення Х0

130 EPS=EPS*SQR(2*M1/M2)

140 P=FNF(X0)/FNY(X0)

150 X=X0-P

160 IF ABS(X-X0)<=EPS THEN 180

170 X0=X: GOTO 140

180 PRINT «Шуканий корінь X=»; X: END

Перевага методу Ньютона у тому, що він має вищу швидкість збіжності. Так, корінь рівняння з точністю і методом Ньютона можна обчислити за пять і шість ітерацій відповідно.

2. Знайти додатній корінь рівняння f(x) = x⁵ - x - 0.2 = 0 з точністю до 0.0005

На першому етапі відокремлення коренів вибрали інтервал [1.0, 1.1], на кінцях якого функція має протилежні знаки. Дійсно, f(1) = - 0.2 < 0, f(1.1) = 0.31051 > 0. У вибраному нами інтервалі f(x) > 0, f(x) > 0, тобто знаки похідних зберігаються. Застосуємо комбінований метод, взяввши . За формулами (6) обчислимо

.

Так как точність недостатня (похибка велика), обчислимо наступні значення:

Таким чином, за два кроки ми забезпечили потрібну точність.

Висновок: Отже, ми знайшли оптимальний розв?язок задачі, навчились застосовувати методи хорд і дотичних до розв'язування практичних задач. Перевага комбінованого методу у тому, що він має вищу швидкість збіжності.

Література

1. Бігун Я.Й., Березовська І.В. Числові методи розв'язування нелінійних рівнянь і систем : Навчальний посібник. Чернівці: Чернівецький Національний університет, 2011. 104 с.

2. Кацман Ю.Я. Численные методы: Учебное пособие. Томск: Изд. ТПУ, 2000. 68 с.

3. Лященко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. Київ: Либідь, 1996. 288 с.

4. Мирошниченко Г.П., Петрашень А.Г. Численные методы. Учебное пособие. СПб: СПбГУНТМО, 2007. 120 с.

5. Прокопенко Ю.В., Татарчук Д.Д., Казміренко В.А. Обчислювальна математика: Навчальний посібник. К.: ІВЦ видавництво «Політехніка»: 2003. 120 с.

Зміст звіту

1. Титульний аркуш

2. Тема, мета виконання практичної роботи, обладнання

3. Хід роботи: короткі теоретичні відомості, основні формули; виконання практичного завдання з посиланням на твердження та формули

4. Висновок

5. Література

Інструкція до проведення практичної роботи

Практичну роботу складено у відповідності із діючою навчальною та робочою навчальною програмами. Перед виконанням практичної роботи студенти повинні:

Попередньо підготуватися до практичної роботи, а саме це полягає у вивченні студентами теоретичного матеріалу у відведений для самостійної роботи час, ознайомлення з методичними матеріалами з метою усвідомлення завдань практичної роботи, опрацювати питання для самоконтролю.

Проконсультуватися з викладачем з метою надання вичерпної інформації, необхідної для самостійного виконання запропонованих завдань, ознайомлення з правилами техніки безпеки.

Попередній контроль рівня підготовки студентів до виконання конкретної роботи (отримання так званого "допуску" до виконання роботи).

Самостійне виконання студентами завдань відповідно до окресленої навчальною програмою тематики.

Опрацювання, узагальнення отриманих результатів практичної роботи і оформлення індивідуального звіту.

Контроль і оцінювання викладачем результатів роботи студентів.

Міністерство освіти і науки України

Полтавський політехнічний коледж НТУ «ХПІ»

Методичні вказівки до виконання практичної роботи з теми:

«Розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною методом ітерацій»

Підготувала викладач Ковріга Л.І.

Зміст

1. Тема, мета виконання практичної роботи, обладнання, питання для самоконтролю

2. Основні теоретичні відомості

3. Завдання для практичної роботи

4. Приклад виконання практичної роботи

5. Список рекомендованої літератури

6. Зміст звіту

7. Інструкція до проведення практичної роботи

Тема: Розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною методом ітерацій

рівняння корінь ітерація алгебраїчний

Мета: закріпити та поглибити знання, отримані під час теоретичного заняття; навчитись застосовувати метод ітерацій до розв'язування практичних задач розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною; розвинути мислення та вміння аналізувати, робити висновки.

Обладнання: калькулятор, лінійка, олівець, ручка, методичні вказівки до виконання практичної роботи.

Питання для самоконтролю:

1. Формулювання загальної задачі розв'язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною.

2. Відокремлення коренів. Теорема про оцінку похибки наближеного значення кореня.

3. Уточнення кореня методами поділу відрізка пополам, хорд та дотичних.

Теоретичні відомості

Чисельні методи -- це розділ математики про методи дослідження та відшукання оптимальних значень математичних моделей.

1. Постановка загальної задачі розв'язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною

Знаходження розв'язку нелінійного рівняння із однією змінною є задачею, яка виникає у різноманітних розділах фізики, техніки та інших областях. У загальному випадку нелінійне рівняння можна записати у вигляді f (x) = 0 (1).

Функцію f (x), взагалі кажучи нелінійну, а то і трансцендентну, вважаємо визначеною і неперервною на деякому скінченому або нескінченному проміжкові .

Будь-яке значення , яке перетворює дану функцію f (x) в нуль, тобто , називається коренем рівняння (1) або нулем функції f (x).

Число , яке перетворює в нуль функцію f (x) і її похідну до (k - 1)-го порядку включно, називають коренем k-ої кратності рівняння (1). Однократний корінь називають простим.

Сам процес наближеного знаходження дійсних та комплексних коренів рівняння (1) складається з двох етапів:

1. Відокремлення коренів, тобто знаходження проміжків , які містять не більше одного кореня рішення (1).

2. Уточнення наближених коренів, тобто доведення їх значення до заданої точності.

2. Метод ітерацій

Нехай дано рівняння (1), де - неперервна функція. Для знаходження дійсних коренів цього рівняння, замінимо його рівносильним: . (7)

Виберемо яким-небудь способом «грубе» наближення кореня і підставемо його у праву частину рівняння (7). Отримаємо деяке число (8). Підставивши тепер у праву рівності (8) замість число , отримає нове число . Повторивши цей процес, приходимо до послідовності чисел (n = 1,2,3,…) (9)

Ця послідовність може бути як збіжною, так і розбіжною. Якщо послідовність (9) - збіжна, а функція - неперервна, то границя послідовності (9) буде коренем рівняння (7). Дійсно нехай .

Перейдемо до границь у рівності (9)

(10)

Тобто має місце рівності .

Як видно з малюнка 4 (випадки в, г), застосування методу ітерації може і не привести до уточнення кореня. Про достатню умову збіжності ітераційного процесу говорить така теорема.

Теорема. Нехай рівняння (7) має єдиний корінь на відрізку і виконуються такі умови.

1) визначена і диференційована на відрізку ;

2) для всіх ;

3) Існує таке дійсне число q що для всіх . (11)

Тоді ітераційна послідовність (9) збігається при будь-якому початковому наближенню .

Згідно з теореми послідовність (9) збігається до кореня із швидкості геометричної прогресії із знаменником q. Чим менше число q тим швидше збігається послідовність (8) (тобто, тим менше кроків потрібно виконати, щоб досягти наближеного значення кореня із наперед заданою похибкою). Швидкість збіжності послідовності залежить також і від вибору початкового наближення . Чим ближче до кореня . Мал. 4

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вибрано , тим швидше буде знайдено результат. При виконанні умов теореми (мал.4, випадки а,б ) метод ітерацій збіжний при будь-якому виборі, початкового наближення з . Завдяки цьому він є само виправним, тобто, окрема помилка в обчисленнях, яка не виводить за межі відрізка , не впливає на кінцевий результат. Властивість самовиправлення робить метод ітерацій одним із найнадійніших методів наближень.

Оцінка наближень .

Геометрично спосіб ітерацій можна пояснити так (мал.4). Побудуємо на площині х0у графік функцій у = х та . Кожен корінь рівняння (7) є абсцисою точки перетину М кривої з прямою у = х.

Йдучи від деякої точки , будуємо ламану лінію частини якої почергово паралельні або осі 0х, або осі 0у, вершини лежать на кривій , а вершини - на прямій у = х. Спільні абсциси точок очевидно, будуть послідовними наближеннями кореня х.

На мал.4 зображено випадки а) ; б) ; в) ;

г) .

На завершення зауважимо, що умови теореми не є необхідним. Це означає, що ітераційна послідовність може виявитись збіжною і тоді коли ці умови не виконуються. Рівняння (1) зводиться у рівносильне рівняння (7) так, щоб в околі кореня виконувалися нерівність (11). Розглянемо деякі загальні прийоми такого перетворення.

Нехай корінь рівняння (1) лежить на відрізку . Замінимо рівняння (1) рівносильним йому рівнянням (12).

Підберемо сталу так, щоб в околі кореня виконувалася нерівність . Звідси маємо

або

Якщо знак на не змінюється, то стала повинна мати однаковий знак з і задовольняти умову

(13).

При такому виборі нерівність (9) виконуватиметься. Іноді рівняння (1) замінюють рівносильним йому рівнянням

(14).

Сталу вибирають так, щоб в околі кореня справджувалася нерівність , тобто виконувалися умови: або . Остання подвійна нерівність виконуватиметься, коли і (15). Таким чином, якщо на відрізку функція зберігає знак і обмежена, то завжди можна вказати число того самого знака, що й , яке задовольнятиме нерівності (11) і цим самим забезпечуватиме виконання нерівності (9) для рівняння (10).

Якщо рівняння (1) таке, що в околі кореня має місце нерівність то ітераційний процес буде розбіжним. У цьому випадкові, таке рівняння замінюють рівносильним йому рівнянням де - функція, обернена до . Для останнього рівняння метод ітерацій буде збіжним, оскільки

.

Завдання для практичної роботи

Знайти корені рівняння методом ітерацій з точністю до 10-3
Варіант	Функція	Варіант	Функція
1	x3 - 2x2 - 4x - 7 = 0 2x - ln x - 4 = 0	12	x3 - 2x - 5 = 0 2x = cos x
2	x- 10 sin x = 0 x4 + 0,5x - 1,55 = 0	13	x3 - 2x2 - 4x - 7 = 0 8 cos x = x + 6
3	2x = 4x x3 - 5x + 0,1 = 0	14	sin x - 0,2x = 0 x3 + 3x2 + 2 = 0
4	lg (x + 5) = cos x x3 - 2x - 5 = 0	15	10 cos x - 0,1 x2 = 0 x3 + 5 x2 + 2 = 0
5	4x - 7 sin x+3 = 0 x3 - 3x + 1 = 0	16	2 - x - ln x = 0 x3- 2x - 5 = 0
6	x3 - 12 x - 5 = 0 ex + 2x - 6 = 0	17	x3 - x - 2 = 0 2x - ln x - 4 = 0
7	2 - x - ln x = 0 x3+ x - 1 = 0	18	cos x = x 2x3 - 5 = 2x
8	x3 + 3x - 0,5 = 0 x sin x - 1 = 0	19	ex + 2x - 6 = 0 x3 -x - 1 = 0
9	x3 - 2x - 5 = 0 0,1 sin x - x + 2 = 0	20	lg (x - 5) = cos x x3 - 2x - 5 = 0
10	cos x = x2 x3 - x - 1 = 0	21	ex + e3x - 4 = 0 2x - ln x - 4 = 0
11	2x2 - 5 = 2x x3 + x2 - 11 = 0	22	2 - x - ln x = 0 4x - 7 cos x = 0

Приклад виконання практичної роботи.

Мета: закріпити та поглибити знання, отримані під час теоретичного заняття; навчитись застосовувати метод ітерації до розв'язування практичних задач розв?язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь з однією змінною.

Обладнання: калькулятор, лінійка, олівець, ручка, методичні вказівки.

Хід роботи

1. Знайти корені рівняння методом ітерації з точністю до 10^-6

Розвязання:

1. Відокремлення коренів:

2. Перетворимо рівняння до вигляду .

1-ий спосіб. Оскільки неперервна і монотонна на відрізку , то . У відповідності з (13) знаходимо . Тоді можна покласти, наприклад , і шукане рівняння матиме вигляд . При цьому для усіх справджується нерівність .

2-ий спосіб. Оскільки на відрізку , то у відповідності з (15) маємо . Наприклад, можна взяти . Тоді дане рівняння набере вигляду: . При цьому .

3-ий спосіб. Якщо дане рівняння записати у вигляді , то . Похідна і умова збіжності методу ітерацій не виконується. Для функції оберненою буде і заміна рівняння рівносильним йому призведе до рівняння . Для нього і на відрізку .

Із роглянутих варіантів 3-ій найбільш доцільний, оскільки має найменше значення q. У таблиці 3.1. подано результати методу ітерацій.

таблиця 3.1

Рівняння	Точність кореня		Кількість ітерацій	Наближений корінь
		2 3	8 10	2,094551 2,094551
		2 3	8 10	2,094551 2,094551
		2 3	6 7	2,094551 2,094551

Висновок: Отже, ми знайшли розв?язки задачі методом ітерації, навчились застосовувати метод ітерації до розв'язування практичних задач. З таблиці видно, що із роглянутих варіантів 3-ій найбільш доцільний.

Література

1. Бігун Я.Й., Березовська І.В. Числові методи розв'язування нелінійних рівнянь і систем : Навчальний посібник. Чернівці: Чернівецький Національний університет, 2011. 104 с.

2. Кацман Ю.Я. Численные методы: Учебное пособие. Томск: Изд. ТПУ, 2000. 68 с.

3. Лященко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник. - Київ: Либідь, 1996. 288 с.

4. Мирошниченко Г.П., Петрашень А.Г. Численные методы. Учебное пособие. СПб: СПбГУНТМО, 2007. 120 с.

5. Прокопенко Ю.В., Татарчук Д.Д., Казміренко В.А. Обчислювальна математика: Навчальний посібник. К.: ІВЦ видавництво «Політехніка»: 2003. 120 с.

Размещено на Allbest.ru