Мiнiмаксне оцінювання за неповними даними функціоналів від розв'язків крайових задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський нацiональний унiверситет

iменi Tараса Шевченка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Мiнiмаксне оцінювання за неповними даними функціоналів від розв'язків крайових задач

Київ - 2002

Дисертацiєю є рукопис

Робота виконана в Київському нацiональному унiверситетi iменi Tараса Шевченка на кафедрi системного аналiзу та теорії прийняття рiшень.

Науковий керiвник: доктор фiзико-математичних наук Подлипенко Юрiй Костянтинович, провiдний науковий спiвробiтник кафедри системного аналiзу та прийняття рiшень Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка.

Офiцiнi опоненти: доктор фiзико-математичних наук, професор Кісельова Олена Михайлівна, завiдувач кафедрою обчислювальної математики та математичної кібернетики Дніпропетровського національного унiверситету; кандидат фiзико-математичних наук, доцент Марценюк Василь Петрович, завідувач кафедри медичної інформатики Тернопільської державної медичної академії.

Провiдна установа: Iнститут кiбернетики НАН України, вiддiл оптимізації керованих процесів.

Захист вiдбудеться 13 червня 2002 р. о 14 годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 26.001.09 Київського нацiонального унiверситету iменi Tараса Шевченка (03127, Київ, просп. Глушкова, 2, корпус 6, факультет кiбернетики), ауд. 40.

З дисертацiєю можна ознайомитись у науковiй бiблiотецi Київського нацiонального унiверситету iменi Tараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розiсланий "8" травня 2002 року

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради Шевченко В.П.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дисертації. Теорія мінімаксного оцінювання для систем, які описуються рівняннями різних типів, неперервно розвивається і знаходить застосування при побудові систем керування, функціонуючих в умовах невизначеності, систем автоматизованої обробки результатів експериментів в багатьох галузях природознавства. Дослідження в цьому напрямку, з одного боку, істотно використовують результати теорії керування, одержані в працях Л.С. Понтрягіна, Н.Н. Красовського, А.Б. Куржанського, Ю.С. Осипова, Р.Ф. Габасова і Ф.М. Кирилової, І.В. Гайшуна, Р. Белмана, та їх учнів, а з іншого боку - результати статистичної теорії оцінювання, починаючи з робіт А.Н. Колмогорова, Н. Винера, Р.Е. Калмана і Р.С. Б'юсі та ін.

Принципові результати для задач мінімаксного оцінювання одержані також в роботах Б.М. Пшеничного, Ф.Л. Черноусько, M.Ф. Кириченко, Б.М. Бублика, О.Г. Наконечного та їх учнів.

Важливий розділ цієї теорії складають питання мінімаксного оцінювання параметрів крайових задач по зашумленим спостереженням.

Однак, не дивлячись на значну кількість робіт в цьому напрямку, задачі мінімаксного оцінювання для одновимірних крайових задач і крайових задач для рівнянь еліптичного типу з спостереженнями розв'язків та їх похідних на деяких поверхнях, що належать області, в якій визначені розв'язки, до теперешнього часу не були досліджені.

Актуальність вивчення цих проблем пов'язана з тим, що в практичних задачах спостереження є або точковими або розподіленими на системі поверхонь (антен), наприклад, в задачах електродинаміки, геофізики, теплофізики і т. п. Крім того, при дослідженні цих питань використовується інформація не тільки про самі процеси, але й про їх похідні, що істотно зменшує похибки відновлювання оцінювання параметрів вивчаємих процесів.

Розробка конструктивних методів мінімаксного оцінювання параметрів для таких задач відкриває можливість їх застосування при розв'язанні задач прогнозування розв'язків, локализації джерел, які створюють дані поля, і ряду інших обернених задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами. Робота виконана у відповідності з планом наукових досліджень, які проводились в рамках госбюджетної теми Міністерства освіти України N 97062 (Дослідження проблем приняття рішень в умовах невизначеності), і виконувалась в рамках договора про співробітництво між ASA Коледжем сучасних комп'ютерних технологій (Нью-Йорк, США) і факультетом кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є розробка методів гарантованого оцінювання лінійних функціоналів від розв'язків одновимірних крайових задач і крайових задач для еліптичених рівнянь з спостереженнями функцій та їх похідних.

Для спеціального вигляду областей, яким належать невідомі параметри і кореляційні функції похибок вимірювань, одержати рівняння, через розв'язки яких виражаються мінімаксні оцінки і похибки оцінювання.

Довести існування та єдиність узагальнених розв'язків одержаних рівнянь.

Дослідити задачі мінімаксного середньоквадратичного оцінювання при частково невідомих параметрах задачі (крайових умовах та правих частинах рівнянь).

Наукова новизна одержаних результатів. В роботі досліджені задачі мінімаксного оцінювання розв'язків крайових задач для нових класів спостережень.

Для лінійних мінімаксних оцінок функціоналів від розв'язків крайових задач еліптичного типу і крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь одержані представлення через новий клас задач спряження для систем інтегро-диференціальних рівнянь.

Доведені нові твердження про загальний вигляд мінімаксних середньоквадратичних похибок оцінювання лінійних неперервних функціоналів від розв'язків лінійних еліптичних рівнянь другого порядку і систем звичайних диференціальних рівнянь.

Одержані в дисертації результати розвивають загальну теорію мінімаксного оцінювання і керування.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи можуть бути використані при побудові систем автоматизованої обробки результатів спостережень процесів фільтрації, теплопроводності і ін., при розв'язуванні задач локалізації джерел, які створюють фізичні поля, що спостерігаються і т.п.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, які складають дисертаційну роботу, одержані особисто здобувачем. В роботах [1], [3] співавторам належить лише постановка задачі.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались: в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка на семінарі "Моделювання і оптимізація динамичних систем" (керівники проф. Наконечний О.Г., проф. Гаращенко Ф.Г.), в Інституті кібернетики на семінарі відділу оптимізації керованих процесів (керівник член-кореспондент НАНУ А.О.Чикрій), на міжнародній конференції "Моделювання і оптимізація складних систем" (Київ, 2001), на міжнародній конференції "Прогнозування і приняття рішень в умовах невизначеності" (Київ, 2001).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 5 наукових робіт. З них 3 - у виданнях, затверджених ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел (76 найменувань). Повний обсяг дисертації становить 115 сторінок, основний текст роботи викладен на 107 сторінках.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі визначається напрямок дисертаційного дослідження.

У першій главі приводиться огляд результатів, що безпосередньо стосуються теми дисертації, обгрунтована актуальність теми, сформульовані мета і задачі досліджень.

У главі 2 досліджуються задачі мінімаксного оцінювання розв'язків двоточкових крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь зі спеціальними обмеженнями на праві частини і похибки спостережень. Наведемо більш докладно постановку однієї із задач.

Нехай на відрізку спостерігається вектор-функція з значеннями із простору яка має вигляд

де - матриця розмірності елементи якої є неперервними функціями на відрізку - неперервний в середньоквадратичному випадковий векторний процес з середнім, що дорівнює нулю, і невідомою кореляційною функцією Припустимо також, що вектор-функція з n компонетами є розв'язком крайової задачі для рівняння

при деяких вектор-функції з неперервними на відрізку компонентами і векторах і Тут A=A(t) - матриця розмірності з неперервними на відрізку [0,T] елементами, і - деякі матриці розмірності і та рангу m і n-m відповідно.

В главі 3, яка складається з 5 параграфів, розглядається задача оцінювання станів систем, що описуються крайовими задачами Неймана для еліптичних рівнянь другого порядку в частинних похідних. За зашумленими спостереженнями розв'язків та їх конормальних похідних на скінченій системі поверхонь, які належать до розглядуваної області, і при спеціальних обмеженнях на праві частини рівнянь і крайові умови, а також на шуми в спостереженнях, знайдені мінімаксні оцінки для функціоналів від розв'язків цих крайових задач.

Знаходження мінімаксних оцінок зведено до розв'язання деяких задач спряження для систем інтегро-диференціальних рівнянь.

Далі використовуються наступні позначення: - пpостоpова змінна, яка змінюється в обмеженій відкpитій множині з ліпшицевою гpаницею ; - пpостіp Соболева поpядку 1 в області ; - пpостіp вимірних і майже всюди обмежених на множині функцій; - простір Соболева нецілого порядку s на (n-1)-мірному перерізі області ліпшицевою поверхнею

Теорема 3.1. Мінімакснa оцінка функціоналу має вигляд

Альтернативне представлення для мінімаксних оцінок через розв'язки систем інтегро-диференціальних рівнянь спеціального виду, які можуть бути використані також і для оцінок розв'язків вихідних задач Неймана, знайдено в наведеній нижче теоремі.

Теорема 3.3. Мінімаксна оцінка функціоналу (13) має вигляд

де функція визначається з розв'язку наступної задачі:

в

на

Ця задача має єдиний розв'язок.

В четвертій главі, яка складається з 5 параграфів, розглядаються задачі мінімаксного оцінювання станів систем, що описуються крайовими задачами для рівнянь еліптичного типу у випадку, коли обмеження на деякі з невідомих детермінованих функцій (наприклад, на праві частини рівнянь або на граничні умови) не задаются.

Наведемо, наприклад, постановку задачі мінімаксного оцінювання при відсутності інформації про граничні умови.

Нехай стан системи визначається як узагальнений розв'язок задачі Неймана

(34)

в

на

де - лінійний обмежений оператор, що відображає гільбертів простір H0 в

Вважається, що про елемент в граничній умові (36) нічого не відомо, а відносно функції f(x) в правій частині рівняння (34) відомо лише, що вона задовольняє нерівності

де функція q(x) неперервна на множині і не обертається там в нуль.

Припускається, що на поверхнях спостерігаються функції виду (8), (9), в яких випадкові поля і задовольняють умовам (10) і (12).

Позначимо через G0 множину функцій f, що задовольняють умові (37), а через G1 - множину випадкових функцій що задовольняють умовам (10) та (12).

Будемо оцінювати лінійний функціонал (13) при умовах (10) - (12) в класі оцінок вигляду.

Введемо також множину

де через позначений оператор, спряжений до B.

Оцінку яка визначається як розв'язок екстремальної задачі

назвемо мінімаксною оцінкою функціоналу, а величину

мінімаксною похибкою оцінювання.

Аналогічно формулюється задача мінімаксного оцінювання при відсутності інформації про праві частини рівнянь. Показано, що при деяких умовах на оператор B розв'язок цих задач зводиться до знаходження мінімумів квадратичних функціоналів на опуклих замкнених множинах в гільбертових просторах (лема 4.1 і 4.2). Вирази для мінімаксних оцінок і похибок оцінювання знаходяться з розв'язку цієї задачі із застосуванням методу невизначених множників Лагранжа (теореми 4.1, 4.2 і 4.5).

Альтернативні представлення для мінімаксних оцінок одержуються шляхом спеціальних перетворень в просторі станів (теореми 4.3 і 4.5).

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджені задачі мінімаксного середньоквадратичного оцінювання лінійних функціоналів від розв'язків крайових задач для лінійних еліптичних рівнянь і лінійних звичайних диференціальних рівнянь при спеціальних обмеженнях на невідомі функції і лінійних інтегральних операторах спостереження, що використовують інформацію як про самі розв'язки, так і про їх похідні. При повністю відомих обмеженнях на невідомі функції одержані:

системи звичайних диференціальних рівнянь і рівнянь еліптичного типу, через розв'язки яких виражаються відповідні мінімаксні середньоквадратичні оцінки [2], [3];

вирази для мінімаксних середньоквадратичених похибок оцінювання.

При частково відомих обмеженнях на неповні дані еліптичних крайових задач, доведені теореми про загальний вигляд мінімаксних середньоквадратичних похибок і похибок оцінювання функціоналів від розв'язків цих задач [1].

Доведені твердження про зведення задач мінімаксного оцінювання до спеціальних задач оптимального керування рівняннями еліптичного типу з квадратичними критеріями якості.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИССЕРТАЦІЇ

крайовий задача рівняння похідна

1.Kovalyuk A., Nakonechny A.G., Podlipenko Yu.K. Minimax estimation of solutions to Neumann boundary value problems for elliptic equations under unknown boundary conditions. // Вiсник Київського унiверситету, сер. фiз.-мат. науки, 1, 2001, с. 207 - 212.

2.Ковалюк А. Метод прогонки в задачах мiнiмаксного оцiнювання розв'язкiв двоточкових крайових задач для звичайних диференцiальних рiвнянь. // Вiсник Київського унiверситету, сер. фiз.-мат. науки, 2, 2001, с.263 - 268.

3.Ковалюк А., Наконечный А.Г., Подлипенко Ю.К. Минимаксное оценивание решений краевых задач Неймана для эллиптических уравнений в условиях неопределенности.// Проблемы управления и информатики. N6, 2001, c.77-95.

4.Ковалюк А. Минимаксное оценивание решений краевых задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям на системе поверхностей. // Тезисы международной конференции "Прогнозирование и принятие решений в условиях неопределенности" Киев, 11-14 сентября 2001 г., с.90 - 91.

5.Kovalyuk A. Minimax estimation of paramiter of one-dimensional boundary value problems described by equations of the second order. //Тезисы международной конференции "Моделирование и оптимизация сложных систем" Киев, 25 - 28 января 2001 г., с.40 - 41.

АНОТАЦІЯ

Ковалюк А. Мінімаксне оцінювання за неповними даними функціоналів від розв'язків крайових задач -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Дисертація присвячена питанням побудови мінімаксних середньоквадратичних оцінок для функціоналів від розв'язків крайових задач для еліптичених рівнянь другого порядку і звичайних диференціальних рівнянь по спостереженням, що використовують інформацію як про самі розв'язки, так і про їх похідні.

В процесі досліджень одержані наступні результати:

задачі мінімаксного оцінювання зведені до спеціальних задач оптимального керування спряженими рівняннями з квадратичними критеріями якості при обмеженнях і без обмежень на керування;

в обох випадках доведені теореми про загальний вигляд мінімаксних оцінок функціоналів і знайдені похибки оцінювання;

встановлено, що ці оцінки визначаються через розв'язки деяких систем диференціальних або інтегро-диференціальних рівнянь з частинними або звичайними похідними, для яких доведена їх однозначна розв'язність.

Розроблені в роботі методи оцінювання можуть бути використані при створенні систем автоматизованої обробки результатів експериментів в таких областях як: теплофізика, електродинаміка, гідроакустика і др.

Ключові слова: мінімаксні оцінки, крайова задача, спостереження, системи інтегро-диференціальних рівнянь.

АННОТАЦИЯ

Ковалюк А. Минимаксное оценивание по неполным данным функционалов от решений краевых задач -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 -- системный анализ и теория оптимальных решений. -- Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Диссертация посвящена вопросам минимаксного оценивания решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных эллиптического типа по неполной информации.

Во второй главе по наблюдениям на промежутке вектор-функции y(t) со значениями из пространства , вида

найдены минимаксные оценки скалярного произведения в классе линейных по наблюдениям оценок вида

где - заданный вектор, принадлежащий пространству ui(t), i=1,2 - непрерывные вектор-функции на отрезках и соответственно, c - некоторая константа, H(t) - матрица размерности элементы которой являются непрерывными функциями на отрезке - непрерывный в среднем квадратическом случайный векторный процесс, со средним равным нулю и неизвестной корреляционной матрицей размерности а вектор-функция со значениями из пространства является решением краевой задачи для уравнения

при неизвестных вектор-функции f(t) с непрерывными на отрезке [0,T] компонентами и векторах f0 и f1, для которых заданы лишь некоторые ограничения, A=A(t) - матрица размерности с непрерывными на отрезке [0,T] элементами, B0 и B1 - некоторые матрицы размерности и ранга m и n-m соответственно.

Оценка

для которой вектор-функции и константа находятся из условия:

называется минимаксной оценкой скалярного произведения а величина - погрешностью минимаксного оценивания. Здесь через G и V обозначены множества, которым принадлежат соответственно элемент и корреляционная матрица случайного векторного процесса

Получены системы интегро-дифференциальных уравнений через решения которых выражаются функции определяющие минимаксную оценку.

В третьей и четветой главе исследуются задачи минимаксного среднеквадратического оценивания линейных функционалов от решений краевых задач Неймана для эллиптических уравнений

в на (1)

где A - эллиптический дифференциальный опеpатоp второго порядка, заданный в области Функции предполагается неизвестными и принадлежащими некоторым заданным множествам в соответсвующих функциональных пространствах.

Для оценивания решения задачи (1) используются зашумленные наблюдения, использующие информацию как о самих решениях, так и об их конормальных производных на некоторой системе поверхностей, принадлежащих области

При полностью известных ограничениях на неизвестные функции получены:

системы дифференциальных уравнений эллиптического типа, через которые выражаются минимаксные среднеквадратические оценки решений задач (1);

выражения для минимаксных среднеквадратических ошибок оценивания.

При частично известных ограничениях на неполные данные эллиптических краевых задач, доказаны теоремы об общем виде минимаксных среднеквадратических оценок и ошибок оценивания функционалов от решений этих задач.

Доказаны утверждения о сведении задач минимаксного оценивания к специальным задачам оптимального управления уравнениями эллиптического типа с квадратичными критериями качества.

Ключевые слова: минимаксные оценки, наблюдения, краевая задача, системы интегро-дифференциальных уравнений.

ABSTRACT

A.Kovalyuk. Minimax estimation of functionals from solutions to boundary-value problems under incomplete data. - Manuscript.

Thesis for the Degree of Candidat of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.05.04 - systems analysis and theory of optimal decisions. Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2002.

The thesis is devoted to the construction of minimax mean square estimates for functionals from solutions to boundary-value problems for elliptic partial differential equations of the second order and for systems of ordinary differential equations under observations using the information both of the solutions and of their derivatives.

We obtain the following results:

problems of minimax estimation are reduced to certain optimal control problems of adjoint equations with quadratic performance criterions in the cases when the restrictions on unknown data of the problem are given completely or partly;

in both cases we prove the theorems on a general form of minimax estimates of functionals from solutions of the cosidered equations and find the errors of estimation.

It is established that these estimates are determined via the solutions of some systems of differential or integro-differential equations with partial or ordinary derivatives. We also prove that these equations are uniquely solvable.

The methods obtained in the thesis can be applied for elaboration of automatized measurement data processing systems in such fields as electrodynamics, hydroacoustics, heat phenomena etc.

Keywords: minimax estimates, boundary value problem, observations, systems of integro-differential equations.

Размещено на Allbest.ru