Симетричні підмножини та фарбування груп

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Симетричні підмножини та фарбування груп

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

симетрія фарбування підмножина

Актуальність теми. В 1943 році в роботі [1] Е. Хюіт ввів поняття розкладності топологічного простору. Топологічний простір називається розкладним, якщо його можна розбити на дві щільні підмножини. Це поняття вивчалось в багатьох роботах. Однак особливо плідним воно виявилось для топологічних груп. В 1994 році в роботі [2] В. Комфорт та Я. ван Мілл довели, що кожна недискретна топологічна абелева група зі скінченним числом елементів порядку 2 розкладна.

В тій же роботі Комфорт та ван Міл ввели поняття абсолютної розкладності і поставили проблему опису абсолютно розкладних груп. Група називається абсолютно розкладною, якщо її можна розбити на дві підмножини, щільні в будь-якій недискретній груповій топології. Проблема опису абсолютно розкладних груп виявилась достатньо непростою вже навіть для групи раціональних чисел, а для групи дійсних чисел і взагалі не піддавалася розвязанню. В абелевому випадку цю проблему остаточно розвязав Є.Г. Зеленюк в 2000 році в роботі [3], довівши, що кожна нескінченна абелева група зі скінченним числом елементів порядку 2 абсолютно розкладна.

Звязок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота повязана з науковими розробками кафедри дослідження операцій Київського національного університету імені Тараса Шевченка за темою “Розвиток теорії і програмного забезпечення стохастичних та алгебраїчних систем із застосуванням в економіці, соціології, техніці та освіті” (номер державної реєстрації 01БФ015-01).

Мета і задачі дослідження. Отримати числові та кардинальні характеристики груп по відношенню до їх симетрій та фарбувань. Зокрема, знайти формулу підрахунку числа симетричних -фарбувань скінченної групи та числа класів еквівалентних симетричних -фарбувань . Довести, що при будь-якому -фарбуванні скінченної абелевої групи знайдеться однокольорова симетрична підмножина потужності . Побудувати контрприклади до цього твердження в неабелевому випадку. Довести, що при будь-якому 2-фарбуванні нескінченної групи знайдеться однокольорова симетрична підмножина як завгодно великої потужності .

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються загальні теоретико-множинні, алгебраїчні та комбінаторні методи, зокрема, метод обернення Мьобіуса на частково впорядкованих множинах (розділ 3), теоретико-груповий метод визначальних співвідношень (розділ 4), функції росту груп (розділ 5).

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації одержано наступні нові результати.

Виведено загальні формули підрахунку числа симетричних -фарбувань та числа класів еквівалентних симетричних -фарбувань для довільної скінченної групи. У випадку скінченної циклічної групи ці формули зведено до цілком завершеного вигляду.

Доведено, що для будь-якого -фарбування скінченної абелевої групи знайдеться однокольорова симетрична підмножина потужності .

Доведено, що для будь-яких та існує як завгодно велика скінченна група з -фарбуванням без однокольорових симетричних підмножин потужності Доведено, що якщо комутант групи містить нескінченну скінченно породжену підгрупу, відмінну від майже циклічної, то при будь-якому 2-фарбуванні містить нескінченну однокольорову симетричну підмножину. Цей результат, зокрема, вирішує у випадку двох кольорів проблему Р.І. Григорчука [6, Problem 1.2] та проблему І.В. Протасова [6, Problem 1.7].

Доведено, що для будь-якого 2-фарбування нескінченної групи знайдеться однокольорова симетрична підмножина як завгодно великої потужності .

Доведено, що якщо для групи існує 2-фарбуванні без нескінченних однокольорових симетричних підмножин, то є або зліченною локально скінченною, або майже циклічною.

Всі ці результати одержано вперше.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані у подальших дослідженнях з алгебри та комбінаторики, а також скласти основу для відповідного спецкурсу.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що виносяться на захист, одержано автором особисто. В єдиній сумісній роботі [3] (із списку робіт автора за темою дисертації) автору належить теорема, а співавтору - наслідок.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації неодноразово доповідались на семінарах кафедри дослідження операцій та на семінарах кафедри алгебри Київського національного університету імені Тараса Шевченка, на семінарі відділу алгебри Інституту математики НАН України, на Київському алгебраїчному семінарі. Крім того, результати дисертаційної роботи доповідались на наступних міжнародних конференціях:

третя міжнародна алгебраїчна конференція в Україні (м.Суми, 2001 р.);

міжнародна конференція “Algebra and Discrete Mathematics” (м.Хаттінген, Німеччина, 2001 р.);

десята міжнародна конференція “European Women in Mathematics” (Мальта, 2001 р.);

девята міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука (м. Київ, 2002 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 4 роботах у фахових виданнях (одна із них є сумісною з Протасовим І.В.) та в 3 тезах міжнародних конференцій. Список публікацій наведено в кінці автореферату.

Обєм та структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, пяти розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації - 118 сторінок. Список використаних джерел містить 51 найменування і займає 4 сторінки.

2.ЗМІСТ РОБОТИ

В першому розділі дано огляд літератури по теорії Рамсея, по розкладності груп та по симетричних підмножинах в групах - темах, безпосередньо повязаних з дисертацією. У другому розділі стисло викладено інформацію про основні методи досліджень - обернення Мьобіуса на частково впорядкованих множинах, задання груп з допомогою визначальних співвідношень та функції росту груп.

Перший змістовний розділ дисертації - третій - “Симетричні фарбування скінченних груп”.

Четвертий розділ називається “Однокольорові симетричні підмножини при фарбуваннях скінченних груп”.

Пятий розділ називається “Однокольорові симетричні підмножини при 2-фарбуваннях нескінченних груп”.

ВИСНОВКИ

В дисертації отримано числові та кардинальні характеристики груп по відношенню до їх симетрій та фарбувань. Зокрема, одержано наступні нові результати.

Доведено, що якщо комутант групи містить нескінченну скінченно породжену підгрупу, відмінну від майже циклічної, то при будь-якому 2-фарбуванні містить нескінченну однокольорову симетричну підмножину. Зокрема, нескінченну однокольорову симетричну підмножину при будь-якому 2-фарбуванні містить вільна група з двома твірними, а також кожна нескінченна скінченно породжена періодична група (розвязки проблем Р.І. Григорчука [6, Problem 1.2] та І.В. Протасова [6, Problem 1.7] у випадку двох кольорів).

Доведено, що будь-якого 2-фарбування нескінченної групи знайдеться однокольорова симетрична підмножина як завгодно великої потужності.

Доведено, що якщо для групи існує 2-фарбування без нескінченних однокольорових симетричних підмножин, то є або зліченною локально скінченною, або майже циклічною.

Побудовано зліченну локально скінченну групу з єдиним елементом порядку 2 та майже циклічну групу з єдиним елементом порядку 2, які при будь-якому 2-фарбуванні містять нескінченну однокольорову симетричну підмножину.

Всі ці результати автором одержано самостійно і вперше.

ЛІТЕРАТУРА

1. Hewitt E. A problem of set-theoretic topology // Duke Math. J. - 1943. - V.10. - P. 309-333.

2. Comfort W., van Mill J. Groups with only resolvable group topologies // Proc. Amer. Math. Soc. - 1994. - V.120. - P. 687-696.

3. Зеленюк Е.Г. Разбиения групп на абсолютно плотные подмножества // Матем. заметки. - 2000. - Т.67. - №5. - С. 706-711.

4. Протасов И.В. Асимметрично разложимые абелевы группы // Матем. заметки. - 1996. - Т.59. - №.3. - С. 468-471.

5. Банах Т.О., Протасов І.В. Про симетричність розфарбувань правильних многокутників // У світі математики. - 1997. - Т.3. - №3. - С. 9-15.

6. Banakh T.O., Protasov I.V. Symmetry and colorings: some results and open problems // Изв. Гомельского университета. Вопросы алгебры. - 2001. - Выпуск 17. - №3(6). - C. 4-15.

7. Protasov I.V. Monochromatic symmetric subsets in the colorings of Abelian groups // Доп. НАН України. - 1999. - №11. - C. 54-57.

CПИСОК РОБІТ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

8. Гришко Ю.В. Симетричні підмножини та фарбування скінченних абелевих груп // Вісник КУ. Сер. фіз.-мат. н. - 1999. - №3. - С. 200-202.

9. Gryshko Y.V. Symmetric subsets in the colorings of finite Abelian groups // Друга міжнародна алгебраїчна конференція в Україні. Вінниця. - 1999. - С. 18.

10. Gryshko Y.V., Protasov I.V. Symmetric colorings of finite Abelian groups // Доп. НАН України. - 2000. - №1. - С. 32-33.

11. Gryshko Y.V. On monochrome symmetric subsets at 2-colorings of groups // Третя міжнародна алгебраїчна конференція в Україні. Суми. - 2001. - С. 41-42.

12. Гришко Ю.В. Про однокольорові симетричні підмножини при 2-фарбуваннях груп // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - Т.44. - №3. - С. 17-19.

13. Гришко Ю.В. Про симетричні фарбування скінченних циклічних груп // Вісник КУ. Сер. фіз.-мат. н. - 2002. - №2. - С. 22-26.

14. Gryshko Y.V. On symmetric subsets and colorings of finite groups // Девята міжнародна наукова конфереція ім. акад. М. Кравчука. Київ. - 2002. - С. 258.

Размещено на Allbest.ru