Некласична теорія мажорант і діаграм ньютона функцій, заданих таблично, та її застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Некласична теорія мажорант і діаграм ньютона функцій, заданих таблично, та її застосування

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Теорію мажорант і діаграм Ньютона, розроблену для степеневих рядів функцій однієї комплексної змінної, широко використовували в своїх дослідженнях Пюізо, Дюма, Адамар, Валірон, О. Островський і інші математики. Дальший розвиток цієї теорії в основному належить О. Костовському та його учням Г. Цегелику, А. Кардашу, І. Чулику. Ними теорія мажорант і діаграм Ньютона перенесена на ряди Лорана і Діріхле, узагальнені степеневі ряди, на степеневі ряди, ряди Лорана і Діріхле функцій двох комплексних змінних. Як застосування, для степеневих рядів, узагальнених степеневих рядів і рядів Діріхле виведені формули для визначення нижніх меж їх нулів; для степеневих рядів, узагальнених степеневих рядів, рядів Лорана і Діріхле встановлені достатні умови існування «максимальних» областей (у вигляді кілець або смуг), в яких ці ряди не приймають нульових значень; для степеневих рядів і рядів Діріхле функцій двох комплексних змінних за допомогою апарату мажорант і діаграм Ньютона виведені рівняння меж їх абсолютної збіжності на діаграмі Рейнхарта, побудовані наближені методи відшукання цих меж, встановлені достатні умови існування «максимальних» областей (у вигляді бікілець або бісмуг), в яких ці ряди не приймають нульових значень. Використовуючи апарат мажорант і діаграм Ньютона степеневих рядів і рядів Діріхле, теорію максимального члена цих рядів, цілий ряд математиків (Дж. Клуні, У. Хейман, П. Розенблум, Т. Кеварі, А. Макінтайр, Л. Сонс, Й.В. Островський, А.А. Гольберг, М.М. Шеремета, О.Б. Скасків, Ш. Стреліц, В. Фукс, П. Ердеш, Ф. Гече та інші) розв'язали низку важливих проблем у теорії функцій.

Ідея класичного підходу до побудови теорії мажорант і діаграм Ньютона степеневих рядів в 1985 р. була використана Г.Г. Цегеликом для розробки апарату так званих некласичних мажорант і діаграм Ньютона (термін введений ним) нескінченних числових послідовностей. Як застосування цього апарату, побудовано клас наближених методів пошуку інформації в файлах баз даних, що використовують характеристики діаграми Ньютона послідовності значень пошукового ключа, яким характеризуються записи файла. Пізніше апарат некласичних мажорант і діаграм Ньютона було узагальнено на функції дійсних змінних, заданих на опуклих множинах евклідового простору, на самі множини цього простору, на числові ряди, а також на функції однієї дійсної змінної, задані таблично. При цьому виявилось, що побудований математичний апарат можна широко використати для розробки нових ефективних чисельних методів розв'язування деяких класів задач алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь тощо. Тому тема дисертаційного дослідження актуальна з двох причин: по-перше, подальшого розвитку набуває сама теорія мажорант і діаграм Ньютона; по-друге, використовуючи апарат мажорант і діаграм Ньютона, будуються нові ефективні чисельні методи розв'язування деяких класів задач алгебри, математичного аналізу та диференціальних рівнянь.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження по темі дисертації входять в тематику наукової роботи кафедри обчислювальної математики Львівського національного університету імені Івана Франка і виконувались в рамках таких держбюджетних тем: «Розробка нових підходів та відповідного програмного забезпечення для чисельного розв'язування граничних задач для диференціальних рівнянь та рівнянь математичної фізики з використанням апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона, методу інтегральних рівнянь та алгоритмів розпаралелювання» (шифр теми Пв-781 Б, номер держреєстрації 0196V017393, 1996-1998 рр.); «Розробка нових підходів та методів чисельного розв'язування задач математичного аналізу, алгебри, диференціальних рівнянь та рівнянь математичної фізики» (шифр теми Пм-56 Б, номер держреєстрації 0100U001425, 2000-2002 рр.).

Мета і задачі дослідження.

Метою дослідження є дальший розвиток теорії некласичних мажорант і діаграм Ньютона та її використання для побудови нових чисельних методів розв'язування деяких класів задач алгебри, математичного аналізу та диференціальних рівнянь.

Задачами дослідження є:

- подальша розробка апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій однієї дійсної змінної, заданих таблично, і його використання для: апроксимації функцій; побудови чисельного методу відшукання екстремуму негладких і розривних функцій, заданих на проміжку; виведення формули мажорантного типу для наближеного обчислення визначених інтегралів; побудови чисельних методів розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку; побудови чисельного методу розв'язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь;

- розробка апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій двох дійсних змінних, заданих таблично, і його використання для побудови формули мажорантного типу для наближеного обчислення подвійних інтегралів.

Об `єктом дослідження є апарат некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично, і його використання для побудови нових чисельних методів розв'язування задач алгебри, математичного аналізу та диференціальних рівнянь.

Предметом дослідження є розробка нових чисельних методів для обчислення визначених інтегралів, пошуку екстремуму негладких і розривних функцій, розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь.

Методи дослідження. Для розв'язування сформульованих вище задач застосовуються методи математичного аналізу, теорія чисельних методів, теорія диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати, одержані в дисертаційній роботі, є новими.

В роботі вперше:

- подальшого розвитку набула теорія некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично;

- встановлені теореми про рівномірне наближення функцій за допомогою некласичних мажорант Ньютона в залежності від гладкості функцій;

- побудований чисельний метод відшукання екстремуму негладких і розривних функцій;

- виведені формули мажорантного типу для наближеного обчислення однократних і подвійних визначених інтегралів, знайдена оцінка залишкового члена в залежності від гладкості підінтегральної функції;

- побудовані чисельні методи (інтерполяційний і екстраполяційний) розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, доведена їх збіжність і досліджена обчислювальна стійкість; проведено обгрунтування інтерполяційного методу, встановлена його точність та мажорантна властивість;

- побудований чисельний метод розв'язування задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь, проведено його обгрунтування, встановлена точність і мажорантна властивість.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані в дисертаційній роботі результати мають важливе практичне значення. Побудовані чисельні методи можуть успішно бути використані для: наближеного обчислення однократних та подвійних визначених інтегралів; пошуку екстремуму негладких і розривних функцій; апроксимації функцій, заданих аналітично або таблично; розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку та систем звичайних диференціальних рівнянь.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. Науковому керівнику, який є співавтором публікацій, належить постановка задач і перевірка правильності результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційних досліджень доповідались на: семінарах кафедри обчислювальної математики Львівського національного університету імені Івана Франка; семінарах кафедри обчислювальної математики та кафедри математичного аналізу Київського національного університету імені Тараса Шевченка; Всеукраїнських наукових конференціях «Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях» (Львів, 1994; Львів, 1996; Львів, 1997; Львів, 1999); Міжнародній науковій конференції «Теорія апроксимацій та чисельні методи» (Рівне, 1996); Всеукраїнській науковій конференції «Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики» (Львів, 2000; Львів, 2001); Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми математики» (Чернівці, 1998); Міжнародній конференції з управління «Автоматика-2000» (Львів, 2000); Всеукраїнській науковій конференції «Нелінійні проблеми аналізу» (Івано-Франківськ, 2000); Міжнародній науковій конференції «Моделювання та оптимізація складних систем» (Київ, 2001); Українському математичному конгресі - 2001 (Київ, 2001); Міжнародній конференції «Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці» (Київ, 2001).

Публікації. По темі дисертації опубліковано 21 наукових праць. З них 13 статей, 8 тез доповідей. Публікацій у фахових виданнях, що входять в перелік ВАК України, - 10.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг - 140 сторінок, список використаних джерел включає 76 найменувань.

Основний зміст роботи

чисельний мажоранта змінна екстремум

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, сформульовано мету, визначено основні задачі, показано наукову новизну і практичну цінність отриманих результатів.

У першому розділі спочатку розглядається побудова апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій однієї дійсної змінної, заданих таблично (підрозділи 1.1-1.4). Використовуючи цей апарат, виведені основні співвідношення, які зв'язують коефіцієнти мажоранти Ньютона, числові нахили та відхилення; побудовано алгоритми відшукання на ЕОМ максимального за модулем значення функції, заданої таблично; виведені формули для наближення функції мажорантою Ньютона зовні заданого проміжка і для наближення функції мажорантою Ньютона на проміжку у випадку, коли значення функції в одному з кінців проміжка дорівнює нулю.

У другому розділі, використовуючи апарат некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично, встановлено теореми про рівномірне наближення функцій за допомогою некласичних мажорант Ньютона в залежності від гладкості функції (підрозділ 2.1); побудовано чисельний метод відшукання екстремуму негладких і розривних функцій, заданих на проміжку (підрозділі 2.2).

У підрозділі 2.3 побудовано формулу мажорантного типу для наближеного обчислення визначених інтегралів, знайдена оцінка залишкового члена в залежності від гладкості підінтегральної функції, а також визначений клас функцій, на якому мажорантна квадратурна формула є точною.

Якщо проміжок інтегрування розбити на однакових частин довжиною точками (), де , , то складена формула мажорантного типу для наближеного обчислення визначених інтегралів має вигляд

.

Якщо функція на проміжку задовольняє умову Ліпшиця з сталою і на кожному з проміжків є монотонною, то залишковий член

.

Формула мажорантного типу найбільш точна у випадку, коли підінтегральна функція є опуклою. Якщо підінтегральна функція є логарифмічно опуклою, то шукане значення інтеграла наближається зверху. Формула мажорантного типу в цьому випадку має другий порядок точності і дає кращі результати, ніж формула трапецій.

У підрозділі 2.4 апарат некласичних мажорант Ньютона використано для побудови чисельних методів розв'язування задачі Коші для звичайного диференціального рівняння

, . (1)

Розв'язок цієї задачі шукається на деякому проміжку , де . При цьому припускається, що в області , яка містить прямокутник , функція є неперервною і задовольняє умову Ліпшиця по з сталою . На проміжку вибирається система точок , де (), , , і, використовуючи апарат мажорант Ньютона, будується два чисельні методи (інтерполяційний та екстраполяційний) відшукання наближених значень точного розв'язку в точках .

Нехай - шуканий розв'язок задачі (1). Підставимо його в рівняння, одержимо тотожність

.

Проiнтегруємо цю тотожнiсть на кожному з проміжків (). Дiстанемо

. (2)

Не зменшуючи загальності, будемо вважати, що для всіх . Якщо тепер підінтегральну функцію замінити некласичною мажорантою Ньютона, побудованою за двома точками i , і обчислити інтеграл, то для знаходження наближених значень точного розв'язку одержуємо формулу

(), (3)

де . Формула (3) становить інтерполяційний метод для чисельного розв'язування задачі (1).

В підрозділі 2.5, використовуючи аппарат некласичних мажорант Ньютона, побудовано інтерполяційний метод чисельного розв'язування задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь

(6)

Цей метод виражається формулою

(7)

де ; ; - наближене значення точного розв'язку задачі (6), обчисленого у вузлі сітки

;

- проміжок, для якого виконуються умови теореми існування та єдиності розв'язку задачі Коші.

Розглянуто питання стійкості методу і швидкості збіжності. Показано, що метод є А-стійким і при виконанні певних умов має другий порядок точності. Встановлені достатні умови, при виконні яких розв'язок системи (7) мажорує зверху на сітці розв'язок задачі (6). Якщо розв'язок системи (6) має вигляд

,

то метод є точним.

В розділі 3 побудовано апарат некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій двох дійсних змінних, заданих таблично. Вивчено властивості мажоранти і діаграми Ньютона, встановлено необхідні і достатні умови існування діаграми Ньютона, виведено рівняння мажоранти Ньютона, визначеної на трикутнику, через значення функції у вершинах трикутника.

Нехай , , - координати вершин трикутника в площині , а значення функції в цих точках відповідно такі: , , . Введемо позначення

,

де ; .

Теорема 3.5. Якщо , , то мажоранта Ньютона функції , заданої своїми значеннями в вершинах трикутника , визначається за формулою

Розглянуто питання точності наближення функцій від двох змінних некласичними мажорантами Ньютона. Нехай область, в якій треба наблизити функцію , є прямокутник . Розіб'ємо цю область прямими , , , , на прямокутнички, де , , ; , , . Кожний прямокутничок розіб'ємо на два трикутнички, на кожному з яких наближемо функцію некласичною мажорантою Ньютона. Припустимо, що виконуються умови

, , (8)

, .

Теорема 3.6. Нехай виконуються умови (8), тоді точність наближення до функції визначається нерівністю

,

де .

Висновки

У дисертаційній роботі подальшого розвитку набула теорія некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично. За допомогою апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона побудовано чисельний метод відшукання екстремуму негладких і розривних функцій, чисельні методи мажорантного типу (інтерполяційний і екстраполяційний) розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, чисельний метод інтерполяційний типу розв'язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь, виведені формули мажорантного типу для наближеного обчислення однократних і подвійних визначених інтегралів, встановлені теореми про рівномірне наближення функцій за допомогою некласичних мажорант Ньютона. Доведена збіжність та обчислювальна стійкість побудованих чисельних методів. Для інтерполяційного методу розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь і задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь встановлена точність методу та його мажорантна властивість у випадку, коли праві частини диференціальних рівнянь є логарифмічно опуклими функціями. Оскільки некласична мажоранта Ньютона складається із опуклих дуг, то побудовані чисельні методи найбільш ефективні в тому випадку, коли функція, що замінюється некласичною мажорантою Ньютона, є опуклою. В цьому випадку побудовані чисельні методи є кращими, ніж відомі двоточкові методи, і конкурують з багатоточковими методами. Крім того, якщо функція, що апроксимується некласичною мажорантою Ньютона, має вигляд , то побудовані чисельні методи є точними.

Список публікацій за темою дисертації

1. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Використання некласичного апарату мажорант i діаграм Ньютона функцій для побудови нової квадратурної формули // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. Вип. 41. 1995. С. 108-111.

2. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Апарат некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій двох дійсних змінних, заданих таблично // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. Вип. 50. 1998. С. 209-211.

3. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) До побудови апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона для функцій двох дійсних змінних, заданих таблично // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. Вип. 52. 1999. С. 116-121.

4. Федчишин Н.В. (Грипинська) Нова квадратурна формула мажорантного типу для обчислення подвійних інтегралів // Вiсн. технолог. ун-ту Поділля. 1999. №2. С. 121-123.

5. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Використання апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона для побудови чисельних методів розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. 1999. Вип. 1. С. 250-254.

6. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Про збіжність інтерполяційного методу мажорантного типу розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. 2000. Вип. 2. С. 77-81.

7. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Про обчислювальну стійкість інтерполяційного методу мажорантного типу розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь // Вісник НУ «Львівська політехніка» «Прикладна математика». 2000. №411. С. 337-340.

8. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Використання апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично для апроксимації функцій // Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки. 2001. №6. С. 32-37.

9. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Нова формула мажорантного типу для наближеного обчислення подвійних інтегралів // Волинський матем. вісник. 2000. Вип. 7. С. 159-164.

10. Федчишин Н.В. (Грипинська), Цегелик Г.Г. Чисельний метод відшукання екстремуму негладких і розривних функцій // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. 2000. Вип. 3. С. 65-68.

11. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Інтерполяційний метод мажорантного типу розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь // Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки. 2002. №2. С. 37-43.

12. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Апарат некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій дійсної змінної, заданих таблично, та його використання // Матер. міжнарод. наук. конф. «Сучасні проблеми математики». Чернівці, 1998. Ч. 3. С. 189-192.

13. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Апарат некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично, та його застосування // Праці Міжнарод. конф. з управління «Автоматика-2000», Львів, 2000. Т. 7. С. 284-289.

14. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Апарат некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично і його застосування // Тези доп. Всеукр. наук. конф. «Застосування обслювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях». Львів, 1994. С. 87.

15. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Теорія некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично, та її застосування // Тези доп. міжнарод. конф. «Теорія апроксимацій та чисельні методи». Рівне, 1996. С. 86.

16. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Використання апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій для розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь // Тези доп. Всеукр. наук. конф. «Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях». Львів, 1997. С. 26.

17. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Нова формула мажорантного типу для наближеного обчислення подвійних інтегралів // Тези доп. шостої Всеукр. наук. конф. «Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях». Львів, 1999. С. 94-95.

18. Федчишин Н.В. (Грипинська), Цегелик Г.Г. Чисельний метод відшукання екстремуму негладких і розривних функцій // Тези доп. сьомої Всеукр. наук. конф. «Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики». Львів, 2000. С. 84-85.

19. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) Використання апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона для побудови чисельних методів відшукання екстремуму негладких і розривних функцій // Тези доп. міжнарод. конф. «Моделювання та оптимізація складних систем», Київ, 2001. Т. 2. С. 52-53.

20. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська), Підківка Л.І. Методи мажорантного типу чисельного розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь // Український математичний конгрес - 2001. Тези доп. міжнарод. конф. м. Чернівці. С. 163-164.

21. Цегелик Г.Г., Федчишин Н.В. (Грипинська) До наближення функцій за допомогою апарату некласичних мажорант Ньютона // Тези доп. міжнарод. конф. «Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці», м. Київ. 2001. С. 16-17.

Размещено на Allbest.ru