Исследование функций
Решение математических задач. Нахождение пиков функции. Вычисление пределов, определенных и неопределенных интегралов; площади фигуры, ограниченной кривыми. Исследование функций дифференциальными методами. Уравнение касательной и нормали к кривой.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.06.2014 |
| Размер файла | 580,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание № 2. Найти производные от следующих функций:
а)
Решение:
б)
Решение: Производная дроби вычисляется по формуле
b)
Решение: Производная произведения вычисляется по формуле
[u(x)•v(x)]'=u(x)'•v(x)+v(x)'•u(x)
г)
Решение: производная сложной функции вычисляется по формуле:
F[u(x)]'=Fu(x)'[u(x)]•u(x)'
d)
Решение:
Задание №12: Найти производные от следующих функций:
а)
Решение: Производная произведения вычисляется по формуле
[u(x)•v(x)]'=u(x)'•v(x)+v(x)'•u(x)
b)
Решение: производная сложной функции вычисляется по формуле:
F[u(x)]'=Fu(x)'[u(x)]•u(x)'
Задание № 25. Вычислить пределы функций:
а)
Решение:
[используем правило Лопиталя так как неопределенность вида]=
б)
Решение:
используем правило Лопиталя так как неопределенность вида]=
с)
Решение:
[неопределенность вида ] = =
Задание № 38 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и, используя результаты исследования, построить график.
а)
Решение:
1.Функция определена всюду Df = ()
2.Функция является четной если y(-x)=y(x)
- функция не является четной, так как y(-x)?y(x).
Функция является нечетной, если y(-x)=-y(x)
- функция не является нечетной, так как y(-x)?-y(x).
3.Точки пересечения с осями:
а)с осью ОУ
х=0, f(0)= , график функции пересекается с осью ОУ в точке (0; 26).
б)с осью ОХ
у=0,
, график функции пересекается с осью ОХ в точках (1; 0)(1+3;0)( 1-3;0).
4.Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания:
Функция возрастает на промежутке , а на промежутке функция убывает.
Точками экстремума являются
5.Найдем промежутки выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба:
Функция, выпуклая на промежутке , а на промежутке - функция вогнутая.
6.Построение графика:
б)
Решение:
1.Функция определена всюду, кроме точки х?2, Df =
2.Функция является четной если y(-x)=y(x)
- функция не является четной, так как y(-x)?y(x).
Функция является нечетной, если y(-x)=-y(x)
- функция не является нечетной, так как y(-x)?-y(x).
3.Точки пересечения с осями:
а)с осью ОУ
х=0, f(0)= , график функции пересекается с осью ОУ в точке (0; -16).
б)с осью ОХ
у=0, Действительных решений не найдено.
4.Функция имеет разрыв второго рода в точке х=2, причем , а прямая х=2 является вертикальной асимптотой.
5.Исследуем функцию на наличие наклонной асимптоты:
у=kx+b, где k определяется по формуле ,
b - определяется по формуле:
у = х + 2 - наклонная асимптота.
4.Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания:
Функция возрастает на промежутке , а на промежутке функция убывает.
Точками экстремума являются
5.Найдем промежутки выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба:
Функция, выпуклая на промежутке, а на промежутке функция вогнутая.
6.Построение графика:
Задание №46: Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = f(x) на отрезке и написать уравнение касательной и нормали к кривой у = f(x) в точке х0:
,
Решение: функция интеграл дифференциал математика
Областью определения функции является все множество действительных чисел: Df = (). Данный отрезок [-2;3] попадает в область определения.
Находим производную функции:
Производная функции существует во всех точках [-2;3]. Найдем стационарные точки, они определяются из уравнения:
- корни данного уравнения, эти стационарные точки попадают в отрезок [-2;3].
Вычисляем значение функции на концах отрезка и в стационарных точках:
Следовательно, наибольшее значение функции достигается при х = -1, а наименьшее значение
Графическая иллюстрация:
Уравнение касательной: ;
Уравнение нормали:
Находим значение функции в заданной точке :
Вычисляем значение производной функции в : ,
.
Следовательно, уравнение касательной запишется в виде:
- уравнение нормали.
Задание № 60: Вычислить неопределенные интегралы. В пунктах а)и б)результаты проверить дифференцированием:
а).
Проверка:
б)
Решение:
Проверка:
в)
Решение: Интегрируем по частям
Пусть: U =2x+8 тогда dU =2dx
dV=e-7xdx V=-+c
Поэтому:
г)[Разбиваем на сумму элементарных дробей]=
д)
Решение:
Интегрируем почленно:
1. Интеграл
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта конста3нта на интеграл от данной функции:
=
3. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
4. Таким образом:
е)
Решение:
Задание № 64: Вычислить определенный интеграл
а)
Решение:
б)
Решение:
Задание №75: Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми
а)
Решение: Найдем точки пересечения графиков:
б)
Решение: Найдем точки пересечения графиков
Тогда площадь фигуры ограниченной кривыми равна:
в)
Решение: Найдем точки пересечения графиков:
Тогда площадь фигуры ограниченной кривыми равна:
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Нахождение неопределенных интегралов (с проверкой дифференцированием). Разложение подынтегральных дробей на простейшие. Вычисление определенных интегралов, представление их в виде приближенного числа. Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой.
контрольная работа [123,7 K], добавлен 14.01.2015Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Нахождение площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [59,8 K], добавлен 05.03.2011Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
контрольная работа [133,4 K], добавлен 26.02.2012Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010