Основы теории вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

54

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Случайные события

В основе теории вероятностей лежит понятие «событие». Так же как понятия «число», «точка», «множество», понятие «событие» в математике не определяется через другие, более простые понятия.

Под событием будем понимать любое действие (явление), которое может произойти или не произойти или любой результат, который может наступить или не наступить в данных условиях.

>Примеры событий:

· Выпадение герба при подбрасывании монеты.

· Выигрыш автомобиля по лотерейному билету.

· Появление бракованной детали на сборке изделия.

· Приход группы в полном составе на лекцию по математике и т.д.

Для того чтобы могло произойти или не произойти то или иное событие, необходимо наличие определенного комплекса условий. Будем называть этот комплекс условий экспериментом (испытанием, опытом) и обозначать его S. Различают несколько видов событий.

Достоверное событие -- такое событие, которое в результате опыта S обязательно происходит. Такое событие обычно обозначается U или .

>Примеры достоверных событий:

· выпадение числа очков менее 10 при однократном бросании игральной кости;

· отсутствие солнца на Москве в 24 часа. >

Невозможное событие (обозначение ) -- такое событие, которое в результате опытов S никогда не происходит.

>Примеры невозможных событий:

· выпадение 10 очков при однократном бросании игральной кости;

· встреча на улице с динозавром. >

Случайное событие (обозначается A, B, C… А₁ , А₂ …) -- такое событие, которое в результате опыта S может произойти, а может и не произойти. вероятность теория комбинаторика

>Примеры случайных событий:

· выпадение 3 очков при однократном бросании игральной кости;

· завершение футбольного матча со счетом 1:1. >

Если из того, что произошло событие А, следует, что обязательно произошло и событие В, то говорят, что А влечет за собой В и обозначают А > В.

>Пример. А -- выпадение двух очков при бросании игральной кости, а В -- выпадение четного числа очков, то А > В. >

Если одновременно выполняются А > В и В > А, то события А и В называются равносильными или равными А = В.

Два или несколько событий называются равновозможными, если объективно шансы на их наступление одинаковы. Например, события А₁--А₆ , состоящие в выпадении соответствующего количества очков (от 1 до 6) на игральной кости, являются равновозможными.

Событие, обозначаемое и состоящее в том, что событие А не наступает, называется противоположным событию А.

>Пример.

Если А -- попадание стрелка в «десятку» при выстреле из винтовки по мишени, то -- попадание в любую другую область мишени или за ее пределы. >

Рассмотрим элементарные действия над событиями:

Пусть в результате опыта S могут произойти события А и В.

Тогда суммой (или объединением) этих двух событий называется событие, обозначаемое А + В (или А U В) и состоящее в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо и А и В вместе.

Пусть эксперимент S состоит в бросании точки на лист, а события А и В -- попадание точки в овалы А и В, нарисованные на листе.

Тогда попадание точки в заштрихованную область означает наступление суммы событий А + В.

Понятие суммы (объединения) событий можно распространить и на несколько событий.

Суммой событий А₁ , А₂ , … А_n называется событие

А₁ + А₂ + … + А_n,

состоящее в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

>Пример. Пусть при выборе одного из чисел от 1 до 13 событие А означает выбор четного числа. То есть событие А состоит из элементарных событий -- выбора одного из чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Событие В -- выбор числа, кратного 3, т.е. событие В состоит из элементарных событий -- выборов одного из чисел 3, 6, 9, 12. Тогда событие А + В означает выбор числа, кратного или 2, или 3. При этом не исключается, что число кратно и 2 и 3.

Таким образом событие А + В состоит из элементарных событий -- выборов одного из чисел 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12. >

Пусть в результате опыта S могут произойти события А и В. Тогда произведением (или пересечением) этих двух событий называется событие, обозначаемое АВ (A?B) и состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В.

На рисунке заштрихована область, попадание в которую означает наступление произведения событий АВ.

Понятие произведения событий также можно распространить и на несколько событий.

Произведением событий А₁ , А₂ , … А_n называется событие А₁ А₂ … А_n, состоящее в том, что произошли все эти события.

Два события А и В называются несовместными, если АВ = (т.е. они не могут произойти одновременно).

В противном случае (если они могут произойти одновременно) события называются совместными.

>Примеры несовместных событий:

· выпадение двух и трех очков при однократном бросании игральной кости;

· получение студентом оценок «отлично» и «неудовлетворительно» на одном и том же экзамене. >

Приведенный ниже рисунок иллюстрирует несовместные события А и

В.

Разностью событий А и В называется событие, состоящее в наступлении А и в том, что В не наступает. Разность событий А и В обозначается А - В.

Часто вместо разности рассматривается равносильное ей событие .

>Примеры.

1. Пусть при выборе одного из чисел от 1 до 13 событие А означает выбор четного числа, событие В -- выбор числа, кратного 3. Тогда событие АВ означает выбор числа, кратного и 2 и 3 одновременно, т.е. событие АВ состоит из элементарных событий -- выбора одного из чисел 6, 12.

2. Пусть эксперимент S состоит в выборе одного числа из множества чисел = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Пусть далее А = {3, 4, 8, 9, 10}, В = {1, 2, 5, 6}. Тогда события А и В несовместны, т.е. АВ = (невозможное событие).

При этом А + В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}.

Событием, противоположным А, является событие

= {1, 2, 5, 6, 7}. >

Говорят, что событие А распадается на n частных случаев А₁ , А₂ … А_n , если сумма этих частных случаев образует событие А, а сами они попарно несовместны. То есть должны выполняться два условия:

а) А₁ + А₂ + … + А_n = А;

б) А_i A_j = при i j.

Если на n частных случаев H₁ , H₂ … H_n распадается достоверное событие данного эксперимента U, то говорят, что эти частные случаи образуют полную группу событий. Это означает, что в результате эксперимента S должно произойти одно и только одно такое событие.

>Пример.

Полную группу образуют шесть событий, состоящих в выпадении 1, 2, …, 6 очков при бросании игральной кости. >

Очевидно, что А и также образуют полную группу событий, т.к.

и .

>Пример. Взятое наугад изделие некоторого производства может оказаться либо повышенного качества (событие А), либо обычного качества (событие В), либо бракованным (событие С). Рассмотрим некоторые события данного эксперимента.

А + В -- изделие небракованное;

-- изделие бракованное;

АС -- невозможное событие;

-- достоверное событие. >

Элементарными для данного эксперимента будем называть те события, которые нельзя разложить на составляющие их события. Если элементарные события равновозможны и образуют полную группу событий, то их обычно называют элементарными исходами.

>Пример. В опыте с бросанием игральной кости (кубика) элементарными исходами являются выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6.

В этом же опыте событиями являются, например, выпадения четного или нечетного числа. >

Будем называть совокупность элементарных исходов и всех событий, которые они за собой влекут, пространством событий . Любое событие А из пространства можно составить из элементарных событий.

2. Вероятность события

Представление о случайности событий связано с невозможностью предсказать заранее исход того или иного эксперимента. Однако, например, при многократном бросании монеты выясняется, что примерно в половине случаев выпадает герб. При исследовании большого количества одинаковых испытаний обнаруживаются определенные закономерности, которые можно описать, используя понятие вероятности.

Под вероятностью события понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления этого события. Существует несколько подходов к определению вероятности.

2.1 Классическое определение вероятности

Классической схемой называется испытание, при котором число элементарных исходов конечно (равно некоторому числу п ).

Элементарный исход называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет наступление события А.

Классической вероятностью события А называется отношение числа т элементарных исходов, благоприятствующих событию А, к числу п всех элементарных исходов из этой схемы

,

где m n.

Исходя из классического определения вероятности, можно отметить несколько свойств вероятности:

1. 0 Р(А) 1 для любого события А.

2. Вероятность достоверного события

.

3. Вероятность противоположного события

.

Ясно также, что

.

4. Вероятность невозможного события

.

>Пример.

В опыте с бросанием игральной кости число всех элементарных исходов п равно 6. Пусть событие А означает появление четного числа.

Тогда для этого события благоприятными исходами будут появления чисел 2, 4, 6. Их количество т равно 3. Поэтому вероятность события А равна

Р(А) = . >

>Пример.

В ящике перемешаны 20 годных деталей и 5 бракованных. Сборщик наугад достает одну деталь. Чему равна вероятность, что она бракованная?

Р е ш е н и е. Пусть А -- событие, состоящее в том, что извлеченная деталь бракованная. Вероятность извлечения бракованной детали Р(А) -- ?

Общее количество элементарных исходов определяется общим количеством деталей. По условию задачи количество благоприятных исходов определяется m = 5. Тогда

n = 25.

. >

2.2 Статистическое определение вероятности

Пусть при проведении п испытаний событие А появилось m раз. Многочисленные эксперименты показывают, что при больших п отношение т/п, называемое частостью или относительной частотой W_n(A) наступления события А, остается примерно постоянным. Если n достаточно велико, то обычно вероятность события принимают

P(A) = W_n(A).

При статистическом определении вероятностью события А называется постоянная величина, вокруг которой колеблются значения частости W_n(A). При неограниченном возрастании числа n частости будут всё ближе и ближе к вероятности.

>Пример. Английский ученый Пирсон произвел 23000 бросаний монеты. При этом герб появился 11512 раз. Значит, частость появления герба в опыте ученого равна

.

Этот пример показывает, что за вероятность появления герба можно взять число 0,5. >

>Пример.

Произведя 100 выстрелов, стрелок попал в цель 90 раз. Какой следует принять вероятность попадания в цель этого стрелка при отдельном выстреле?

Решение. Пусть А -- событие, состоящее в попадании стрелка в цель при отдельном выстреле. Р(А)= ?

W₁₀₀(A) = = 0,9.

Число 100 можно считать достаточно большим числом испытаний. Поэтому

Р(А) = W₁₀₀(A) = 0,9. >

3. Элементы комбинаторики

При решении задач с использованием классического определения вероятности для подсчета числа исходов, благоприятствующих некоторому событию, бывают полезны формулы комбинаторики -- раздела математики, который изучает способы построения подмножеств некоторого конечного множества и подсчитывает число этих способов.

Пусть X={ x₁ , x₂ … x_n } - множество, состоящее из n элементов, все элементы множества различимы. Тогда говорят, что существует n способов выбрать некоторый объект - элемент из множества X, и пишут | X |= n. Сначала сформулируем важное (и очевидное) правило.

Правило произведения. Пусть некоторый объект x может быть выбран n способами, и после этого некоторый объект y может быть выбран m способами, тогда выбор упорядоченной пары (x, y) может быть осуществлен n·m способами.

Упорядоченность означает, что пары (x, y) и (y, x) -различны.

Предположим, что мы хотим выбрать k элементов из множества

X={ x₁ , x₂ … x_n }.

Каждый такой набор элементов принято называть выборкой объема k из n элементов или (n,k) - выборкой. Число способов, которыми можно осуществить (n,k) выборку, зависит от условий эксперимента.

Выборка называется упорядоченной, если порядок следования в ней элементов существенен. Иначе выборка - неупорядоченная. При этом две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются разными.

Выборка называется выборкой с повторениями, если элементы в ней могут повторяться (т.е. уже выбранный элемент может быть выбран снова). Выборка называется выборкой без повторений, если элементам в ней повторяться запрещено (т.е. уже выбранный элемент не может быть выбран снова).

3.1 Число упорядоченных выборок с повторениями (размещений с повторениями)

На первое место выборки мы можем поставить любой из n элементов множества X. Поскольку повторения разрешены, то на второе место мы снова можем поставить любой элемент множества X и т.д. Поскольку у нас k мест в выборке, то, используя правило произведения, получаем, что число всех (n,k)- размещений с повторениями равно n^k. Обозначается:

.

>Пример. Лототрон содержит 500 шаров с номерами. Из него выбирают шар, номер которого записывают. Шар возвращают в лототрон и процедура повторяется. Так продолжается до тех пор, пока не наберется комбинация из пяти номеров.

Подсчитаем количество возможных комбинаций чисел. Для каждого из пяти чисел имеется 500 способов выбора. Следовательно, число различных комбинаций составляет 500⁵. >

3.2 Число упорядоченных выборок без повторений (размещений без повторений)

На первое место выборки мы можем поставить любой из n элементов множества X. Поскольку повторения запрещены, то на второе место мы можем поставить любой из (n-1) оставшихся элементов множества X. На третье - любой из (n-2) оставшихся элементов и так далеее, вплоть до последнего k-го места, куда можно вписать любой из (n-k+1) элементов. Используя правило произведения, получаем число всех (n,k)- размещений без повторений:

При k= n, т.е. когда выбираются все элементы множества X, и две различные выборки отличаются только порядком элементов, упорядоченная выборка без повторений называется перестановкой и обозначается P_n. Число перестановок n -элементного множества равно:

.

>Пример. На книжной полке стоит 5 книг. Сколькими способами можно расположить эти книги на полке?

Р е ш е н и е. Рассмотрим число перестановок этих книг на полке. Имеем

P_n = 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120. >

>Пример. Сколько различных четырехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, ..., 9, если все цифры в каждом четырехзначном числе различны?

Для формирования каждого четырехзначного числа выбираем четыре цифры из девяти, поэтому существует таких различных чисел. >

>Пример. Сколькими способами можно расставить в ряд для фотографирования пять мальчиков и шесть девочек, если ни две девочки, ни два мальчика не должны стоять рядом?

Мальчиков меньше, чем девочек, поэтому первой должна стоять девочка, а дальше мальчики и девочки должны чередоваться. Итак, ряд должен иметь вид ДМДМДМДМДМД. Существуют 6! способов расположить девочек на позициях Д и 5! способов расположить мальчиков на позициях М. Следовательно, имеется 6! · 5! способов расставить детей.

3.3 Число неупорядоченных выборок без повторений (сочетаний без повторений)

Сочетанием из n элементов по k называется подмножество, состоящее из k различных (неповторяющихся) элементов, выбранных из множества n элементов, причем порядок расположения выбранных k элементов не имеет значения.

Общее число сочетаний из n по k обозначается . Очевидно, что одной выборке из числа сочетаний без повторений из n по k соответствует P_k=k! размещений без повторений из n по k, т.к. перестановок из выбранных k элементов насчитывается k! . Следовательно, при одних и тех же значениях n и k число сочетаний в k! раз меньше числа размещений, т.е.

>Пример. Сколькими способами из десяти кандидатов можно выбрать:

а) председателя, зам. председателя и секретаря?

б) трех делегатов на конференцию?

Решение. В обоих случаях выбираем из множества 10 элементов три элемента, т.е. n = 10; k = 3, но в случае а) располагаем их на определенных местах, т.е. на указанных должностях. В случае б) порядок их расположения ни на что не влияет, т.к. статус делегатов одинаков. Поэтому

а) .

б) . >

3.4 Число неупорядоченных выборок c повтореними (сочетаний с повторениями)

Сочетанием с повторениями из n элементов по k называется подмножество, состоящее из k элементов, выбранных из множества n элементов, причем элементы могут повторяться, а порядок расположения выбранных k элементов не имеет значения.

Общее число сочетаний из n по k обозначается .

Теорема.

>Пример. Если в булочной продается 10 различных видов пончиков, то сколькими способами можно выбрать дюжину пончиков?

Поскольку 12 пончиков выбираются из 10 различных видов с повторением и порядок выбора не важен, то имеется

различных способов выбрать дюжину пончиков. >

3.5 Применение формул комбинаторики при вычислении вероятностей

>Пример. Пять студентов: Иванов, Петров, Сидоров, Абрамов и Михайлов произвольно садятся в пять кресел, стоящих в ряд. Какова вероятность, что они сядут по алфавиту?

Решение. А -- событие, состоящее в том, что студенты сядут по алфавиту. Вероятность этого события Р(А) = ?

Так как произвольные расположения студентов в креслах представляют собой различные перестановки, то за элементарные исходы удобнее всего принять конкретные перестановки (нет никаких причин считать, что шансы на реализацию различных перестановок будут разными). Тогда

n = P₅ = 5! = 120; m = 1.

Очевидно, что расположению по алфавиту соответствует только одна перестановка: Абрамов, Иванов, Михайлов, Петров, Сидоров. Таким образом

. >

>Пример. Из шести карточек разрезной азбуки сложено слово АНАНАС. Найти вероятность того, что из трех наугад выбранных карточек можно получить слово САН.

Решение. А -- событие, состоящее в том, что из взятых наугад карточек получится слово САН. Вероятность этого события Р(А) -- ?

Ясно, что здесь имеем дело с размещениями из 6 (общее количество карточек) по 3 (количество букв в слове САН). Поэтому за общее количество элементарных исходов следует принять это число размещений:

Далее, чтобы произошло событие А, необходим строго определенный порядок:одна единственная первая карточка с буквой С; к ней должна быть добавлена одна из трех карточек с буквой А и затем одна из двух карточек с буквой Н. Следовательно общее число размещений, при которых происходит событие А, равно

.

Отсюда

. >

>Пример. Из чисел от 1 до 10 случайно выбираются три различных числа. Найти вероятность того, что все эти три числа нечетные.

Решение. А -- событие, состоящее в том, что все три выбранных числа нечетные. Вероятность этого события Р(А) -- ?

Так как от того, как расположатся выбранные числа, не зависит их четность или нечетность, то за общее количество элементарных исходов принимаем число сочетаний из 10 по 3. Тогда

.

Событие А произойдет тогда и только тогда, когда все три карточки будут выбраны из пяти нечетных чисел (1; 3; 5; 7; 9). Следовательно, число элементарных исходов, при которых происходит событие А, равно числу способов, которыми из 5 нечетных чисел можно выбрать три числа. То есть,

.

Отсюда

. >

>Пример. В лифт 9-этажного дома входят 4 человека. Какова вероятность того, что они выйдут на разных этажах?

Решение. Обозначим: событие А -- все выйдут на разных этажах. Тогда вероятность события Р(А) -- ?

Согласно классическому определению вероятности,

Р(А) = ,

где п -- число всех равновозможных способов выходов пассажиров, т -- число способов, благоприятствующих событию А.

Для того чтобы произошло событие А, у первого пассажира лифта есть 8 возможностей выйти на этажах 2--9, тогда у второго остается 7 возможностей, у третьего -- 6 и у четвертого -- 5. Значит событие А может произойти в т = случаях. Так как каждый пассажир лифта может выйти на любом из этажей, то число всех возможностей п равно 8⁴. Поэтому

Р(А) = = 0,41. >

4. Основные теоремы теории вероятностей

4.1 Теорема сложения вероятностей

Событие, являющееся результатом действий над простыми событиями, называется сложным.

Сумма событий и произведение событий -- сложные события. Зная вероятности простых событий, можно найти вероятность сложных.

Сформулируем правило нахождения вероятности суммы событий, которое называется теоремой сложения вероятностей.

Теорема сложения. Вероятность с у м м ы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

Пусть события А и В совместные . Тогда

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

В справедливости этой формулы можно убедиться из вышеприведенного рисунка: так как при сложении вероятностей Р(А) и Р(В) вероятность события АВ учтена дважды (на рисунке двойной слой), то один раз ее надо вычесть.

Если А и В события несовместные , то Р(АВ) = Р() = 0 и формула теоремы сложения вероятностей приобретает вид

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Для n несовместных событий А₁ , А₂ … А_n можно записать

Р(А₁ + А₂ + … + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n).

>Пример.

Пусть пространством событий является

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},

в котором выбор каждого числа -- элементарный исход и, следовательно, вероятность каждого из них равна 1/10.

Пусть А = {1, 3, 5, 9}, В = {2, 4, 10}, тогда А и В несовместны и

А + В = {1, 2, 3, 4, 5, 9, 10}.

При этом

Р(А) , Р(В) = , Р(А + В) = . >

>Пример.

Пусть пространством событий является множество чисел

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},

в котором выбор каждого числа -- элементарный исход.

Пусть А = {1, 3, 5, 9, 10}, В = {2, 5, 6, 8, 9}, тогда

АВ = {5, 9},

А + В = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10},

Р(А) , Р(В) = , Р(АВ) , Р(А + В) = . >

>Пример.

Пусть в группе из 27 туристов 17 человек владеют английским языком, 6 -- французским, а 2 -- обоими языками. Найти вероятность того, что случайно выбранный из группы турист владеет, по крайней мере, одним из этих языков.

Решение. Обозначим события:

А -- «выбранный турист владеет английским»,

В -- «выбранный турист владеет французским». Тогда событие А + В означает, что турист владеет хотя бы одним из этих языков. Из условия задачи очевидно, что

Р(А) , Р(В) = , Р(АВ) .

Тогда

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = + - = . >

4.2 Условные вероятности. Теорема умножения

На практике часто встречаются ситуации, когда наступление одного события значительно меняет возможности наступления других событий и их вероятности.

Событие, состоящее в наступлении события В при условии, что событие А произошло, будем обозначать В/А.

Вероятность этого события Р(В/А) называется условной вероятностью события В. В некоторых книгах эта вероятность обозначается Р_А(В).

Два или несколько событий называются независимыми, если шансы на наступление каждого из них не зависят от того, произошли какие-либо из остальных событий или нет. Очевидно, что для независимых событий А и В

P(B/A) = P(B) и P(A/B) = P(A).

Выполнение указанных равенств является другим определением независимости событий.

Если P(B/A) P(B) или P(A/B) P(A), то события А и В являются зависимыми.

Получим теперь формулу для вероятности события В/А. Пусть достоверное событие U распадается на n элементарных исходов, из которых событию А благоприятствуют m исходов, а событию АВ -- r исходов.

Тогда по классическому определению вероятности условная вероятность события В равна

,

т.к. если событие А уже произошло, то общее число возможных элементарных исходов изменилось и стало равно m, а число исходов, в которых вместе с А произошло В, равно r. Разделим числитель и знаменатель на n (при такой операции, конечно, дробь не изменится).

.

Отсюда

>Пример.

В ящике в произвольном порядке лежат 50 деталей: 20 деталей окрашенных и 30 -- неокрашенных. Из 20 окрашенных деталей только 18 деталей годны. Из 30 неокрашенных деталей годны только 22 штуки. Сборщик наугад достает одну деталь.

Найти вероятность того, что:

1) извлеченная деталь годная, если неизвестно, окрашенная она или нет;

2) извлеченная деталь годная, если известно, что она окрашенная.

Р е ш е н и е. Обозначим события:

А -- извлеченная деталь окрашенная;

В -- извлеченная деталь годная.

При условии, что извлеченная деталь годная, окрашенная она или нет, вероятность события равна Р(В) и определяется как

.

При условии, что извлечена деталь окрашенная, вероятность того, что она годная находим из формулы условной вероятности события В

.

События А и В -- зависимые, т.к. P(B/A) P(B). >

Получим теперь формулу для вероятности произведения двух зависимых событий А и В.

Теорема умножения вероятностей:

.

Эта формула непосредственно следует из формулы для вычисления условной вероятности.

Аналогично можно показать, что

.

Если А и В события независимые, то

P(B/A) = P(B) и P(A/B) = P(A)

и поэтому

.

Можно показать, что для трех зависимых событий А, В, С теорема умножения вероятностей имеет вид

P(ABC)=P(A)P(B/A)P(C/AB).

Для n независимых событий

.

То есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

>Пример. В ящике перемешаны 5 годных и 4 бракованных детали. Из него извлекают наугад две детали. Найти вероятность того, что они годные.

Решение. Разобъем эксперимент на два события:

А -- первая извлеченная деталь годная;

В -- вторая извлеченная деталь годная.

Нас интересует вероятность события Р(АВ)=?

По теореме умножения вероятностей

.

Ясно, что , т.к. всего деталей в ящике 9, а годных из них 5.

После того, как событие А произошло, т.е. извлечена годная деталь, в ящике осталось 8 деталей, из которых 4 годных. Следовательно, вероятность

.

Отсюда

.

Следует отметить, что эта задача может быть решена и без использования теоремы умножения вероятностей, а с применением элементов комбинаторики. В этом случае обозначаем:

событие А -- обе извлеченных детали годные.

Вероятность события Р(А)= ?

По аналогии с примером с нечетными числами ясно, что

;

. >

>Пример. В ящике перемешаны 5 годных и 4 бракованных детали. Из него извлекают наугад три детали. Найти вероятность того, что все они годные.

Решение.

1-ый способ (по теореме умножения вероятностей).

Обозначим события:

А -- первая извлеченная деталь годная;

В -- вторая извлеченная деталь годная;

C -- третья извлеченная деталь годная.

Вероятность события Р(АВC) -- ?

.

По прежнему . Ясно, что после извлечения первой детали Р(В/А) = . После того, как произошли события А и В, в ящике осталось 7 деталей, из которых 3 годных. Тогда . Отсюда

.

2-ой способ (с применением элементов комбинаторики).

А -- все три извлеченных детали годные. Вероятность события Р(А)--?

;

. >

>Пример. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания для первого стрелка при отдельном выстреле равна 0,6; второго -- 0,7 и третьего -- 0,75. Найти вероятность попадания в цель хотя бы одного стрелка, если каждый сделает по одному выстрелу.

Решение. Обозначим события:

А -- попал 1-й стрелок;

В -- попал 2-й стрелок;

С -- попал 3-й стрелок.

Вероятность событий Р(А + В + С) = ?

В этой задаче нужно найти вероятность суммы трех совместных событий, т.к. по условию задачи требуется найти вероятность хотя бы одного из этих событий. Такая формула в теореме сложения вероятностей не приводилась. Заметим, что с увеличением числа событий число слагаемых в формуле вероятности суммы совместных событий существенно растет, а формула становится достаточно сложной.

Поэтому при числе событий более двух для нахождения вероятности суммы совместных событий обычно используют теорему умножения вероятностей и понятие противоположного события.

Противоположным событием для A + B + C (попадания хотя бы одного стрелка) является событие, состоящее в одновременном промахе всех трех стрелков, т.е.

.

Используя свойство вероятности противоположного события и независимость как попаданий, так и промахов стрелков (метод от противного), имеем

. >

>Пример.

В одной урне 8 красных шаров и 2 белых, а в другой -- 4 красных и 6 белых. Из каждой урны по очереди наугад достают по одному шару.

Найти вероятность, что:

а) оба извлеченных шара красные;

б) хотя бы один из извлеченных шаров красный.

Решение. Обозначим события:

А -- шар из первой урны -- красный;

В -- шар из второй урны -- красный.

Ясно, что

.

а) вероятность того, что оба шара красные Р(АВ) = ?

Так как А и В -- события независимые, поэтому

.

б) вероятность того, что хотя бы один из извлеченных шаров красный Р(А + В) = ?

Ясно, что А и В -- события совместные, поэтому

.

Тот же результат можно получить, используя противоположное событие:

. >

5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие А может произойти только вместе с одним из частных случаев (гипотез) H₁ , H₂ , … H_n , образующих полную группу событий.

Иначе говоря, сумма гипотез представляет собой достоверное событие и все гипотезы попарно несовместны: H_i H_j = при i j.

Так как гипотезы H₁ , H₂ , … H_n - единственно возможные, и событие А может произойти только вместе с одной из гипотез, то, следовательно, событие А можно представить в следующем виде

.

Отсюда, используя теорему сложения для несовместных событий и теорему умножения для зависимых событий, получаем

=.

Таким образом доказана формула, называемая формулой полной вероятности

.

Пусть теперь событие А произошло и необходимо с учетом этого провести корректировку доопытных вероятностей гипотез P(H₁), P(H₂), …, P(H_n).

То есть, надо найти послеопытные вероятности P(H₁/A), P(H₂/A), …, P(H_n/A).

Для получения искомой формулы запишем теорему умножения вероятностей в двух формах

.

Отсюда следует, что

,

или с учетом формулы полной вероятности

.

Эта формула называется формулой Байеса.

>Пример. В цехе работают 20 станков, изготавливающих одинаковые детали:

10 станков -- 1-го типа;

6 станков -- 2-го типа;

4 станка -- 3-го типа.

Вероятности того, что качество детали окажется отличным на станках этих типов, равны соответственно 0,9; 0,8 и 0,7. Производительность всех типов станков одинакова.

1. Какова вероятность, что наугад взятая деталь, изготовленная в цехе, окажется отличного качества?

2. Наугад взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность, что она была изготовлена на станке 1-го типа?

Р е ш е н и е. Обозначим событие и гипотезы:

А --взятая деталь отличного качества;

Н₁ --взятая деталь изготовлена на станке 1-го типа;

Н₂ --взятая деталь изготовлена на станке 2-го типа;

Н₃ --взятая деталь изготовлена на станке 3-го типа.

Так как производительность всех типов станков одинакова, то количество деталей, изготовленных на станках данного типа, пропорционально количеству станков. Поэтому

.

Вероятности даны в условии задачи:

.

а) по формуле полной вероятности

б) по формуле Байеса получим ответ на второй вопрос

. >

6. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли

Пусть проводятся п независимых испытаний в одинаковых условиях, в результате которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью

Р(А) = р

или не произойти с вероятностью

q = 1- р.

Наступление события А называется успехом, а если это событие не наступает, такой исход испытания называется неуспехом. В этом случае говорят, что имеют место повторные независимые испытания. Такая схема называется последовательностью испытаний Бернулли или схемой Бернулли.

Пусть X -- число успехов в п испытаниях Бернулли. Тогда вероятность события {X = т} (ровно т успехов в п испытаниях) вычисляется по формуле Бернулли

P_{m, n} = Р_n(т) = Р{Х = т} = ,

где -- число сочетаний из n по m.

Указанную формулу легко получить, если разбить событие, состоящее в наступлении события А ровно m раз, на частные случаи, отличающиеся совокупностью номеров тех испытаний, в которых наступает событие А. Всего таких частных случаев , и все они равновозможны и несовместны. Для того чтобы найти вероятность каждого такого частного случая, нужно по теореме умножения вероятностей для n независимых событий перемножить m раз вероятность p (что А наступит) и (n - m) раз вероятность q (что А не наступит).

>Пример. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,05. Какова вероятность того, что среди купленных 10 билетов окажутся 2 выигрышных?

Решение. Требуется найти вероятность 2 успехов из 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха

р = 0,05. По формуле Бернулли эта вероятность равна

. >

Контрольная работа

1. Вычислить

2. В экзаменационном билете 2 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,9, а на второй -- 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого надо ответить хотя бы на один вопрос.

3. Из партии деталей, в которой 31 деталь без дефектов и 6 -- с дефектами, берут наудачу 2 детали. Найти вероятность того, что обе детали без дефектов.

Домашняя работа

1. Студент успел подготовить к экзамену 30 вопросов из 40. Какова вероятность, что он ответит на оба вопроса, содержащихся в билете?

2. Из колоды 36 карт вынимается карта, записывается (например, это оказывается туз), затем карта возвращается в колоду и колода перемешивается. Найти вероятность того, что из 7 вынутых карт будет 3 туза.

3. В семье три дочери: Галя, Таня, Лида, на которых возложена мойка посуды. Галя моет 50% тарелок, Таня -- 40% и младшая Лида -- 10%. Вероятность разбить тарелку во время мытья у Гали 0,01, у Тани -- 0,02 и у Лиды -- 0,04. Родители из комнаты услышали звон разбитой тарелки. Подсчитав вероятности, скажите, кто наиболее вероятная виновница.

4. Вероятность всхода зерна равна 0,8. Найти вероятность того, что из 5 посеянных зерен взойдут: а) ровно два; б) не более трех; в) не менее четырех.

Задачи для самостоятельного решения

1. В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наугад достает 2 детали. Найти вероятность, что хоть одна из них окрашенная.

2. Преподаватель может вызвать к доске с равной вероятностью любого из 20 студентов группы. На занятии он вызывает двух разных студентов. Какова вероятность, что он сегодня не вызовет ни Иванова, ни Петрова, ни Сидорова?

3. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность, что хотя бы на одной выпадет 5 очков?

4. В стрелковом тире тренируются 4 стрелка I разряда, 2 стрелка II разряда и 4 стрелка III разряда. Вероятность попадания в цель для стрелка I разряда равна 0,9, для стрелка II разряда -- 0,85 и для стрелка III разряда -- 0,75. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

5. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 наугад выбираются 2 цифры. Найти вероятность того, что они обе будут нечетными.

6. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?

7. Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность того, что суммарное число очков больше 16?

8. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых изготавливают одинаковые детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,05; для второго -- 0,02 и для третьего -- 0,01. Производительность первых двух станков одинакова, а производительность третьего -- в 3 раза выше. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь будет бракованной.

9. В первом ящике находится 40 годных деталей и 10 бракованных, а во втором -- 30 годных и 20 бракованных. Из каждого ящика наугад достают по одной детали. Найти вероятность того, что хоть одна из них бракованная.

10. На сельскохозяйственном предприятии имеется 3 молочных фермы, на которых соответственно 40, 35 и 25 коров. Вероятность того, что годовой удой коровы превысит 3000 л для 1-й фермы равна 0,4; для 2-й -- 0,5 и для 3-й -- 0,7. а) Найти вероятность того, что годовой удой наугад выбранной коровы превысит 3000 л. б) Годовой удой наугад выбранной коровы превышает 3000 л. Найти вероятность того, что эта корова с 3-ей фермы.

11. Произведено 3 выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,5, при втором -- 0,6, а при третьем -- 0,75. Найти вероятность того, что хотя бы один выстрел попадет в цель.

12. Контролер ОТК, проверив качество сшитых 20 пальто, установил, что среди них 12 -- первого сорта, а остальные -- второго. Найти вероятность того, что из взятых наугад трех пальто не будет ни одного второсортного.

13. Мастер обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены не потребует наладки, равна 0,7, второй -- 0,6 и третий -- 0,5. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок потребует наладки.

14. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Производительность каждого из станков равна соответственно 35, 10 и 5 деталей в час. Вероятность брака для первого станка равна 0,05, для второго -- 0,02 и третьего -- 0,01. а) Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной. б) Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность, что она изготовлена на первом станке.

15. В коробке 10 красных и 5 синих карандашей. Наугад вынимают 2 карандаша. Найти вероятность, что они оба одного цвета.

Размещено на Allbest.ru