Плотность вероятности

Зеленая линия соответствует стандартному нормальному распределению

Функция распределения

Цвета на этом графике соответствуют графику наверху

Нормальное распределение, также называемое гауссовским распределением или распределением Гаусса -- распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр м -- среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, ауІ -- дисперсия.

Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа случайных помех, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из его названий).

Нормальное распределение зависит от двух параметров -- смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Свойства. Если случайные величины X1 и X2 независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями м1 и м2 и дисперсиями  и  соответственно, то X1 + X2 также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием м1 + м2 и дисперсией .

Моделирование нормальных случайных величин. Простейшие, но неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения. Тем не менее, с увеличением слагаемых распределение суммы стремится к нормальному.

Использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса -- Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.

Центральная предельная теорема. Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

· отклонение при стрельбе

· погрешности измерений

· рост живых организмов

Такое широкое распространение закона связано с тем, что он является предельным законом, к которому приближаются многие другие (например, биномиальный).

Доказано, что сумма очень большого числа случайных величин, влияние каждой из которых близко к 0, имеет распределение, близкое к нормальному. Этот факт является содержанием центральной предельной теоремы.

Нормальный закон. Про нормальное распределение написана куча книг и статей, в том числе и научно-популярного характера. Все это вы при желании легко сможете найти в сети. Здесь мы зафиксируем лишь некоторые самые важные или примечательные факты. Для начала, чтобы продвинуться в понимании, «демистифицируем» формулу для плотности вероятности нормального закона:

exp{-Ѕ[(x - µ)/у]2}/у/(2р)Ѕ

Так она выглядит в строчном варианте записи. Новичку такая конструкция может показаться довольно устрашающей. На самом деле общую форму нормального распределения - знаменитую колоколобразную кривую задает гораздо более простая формула:

нормальный гауссовский распределение

exp{-x2}

Под знаком экспоненты стоит знакомая еще со школы функция x2- парабола. Знак минус переворачивает эту кривую «вверх ногами». Так, в первом приближении уже получается кривая почти пригодная для плотности вероятности - пик в центре, убывание по краям. Однако эта функция не ограничена снизу и может принимать отрицательные значения, что для такой величины как вероятность является нонсенсом. Тут на помощь приходит экспонента, под знак которой вставляется наша перевернутая парабола (композиция функций). Такая кривая уже будет положительной на всей оси x и стремится к нулю при движении в плюс или минус бесконечность, что согласуется с интуитивным представлением о том, что вероятность экстремальных событий стремится к нулю.

Можно пойти дальше и ввести параметры µ и у. «Мю» задает положение пика кривой на горизонтальной оси, а «сигма» степень «раздутости» относительно центра. Все остальные элементы в формуле для нормальной плотности нужны только для того, что бы площадь этой кривой равнялась единице - формальное условие для закона распределения. Как правило, вся сложность формул и для других законов возникает в результате этой нормировки. Сама же общая форма кривых обычно задается достаточно простыми выражениями.

Максимальность энтропии. Нормальное распределение обладает свойством максимальной энтропии. Это означает, что если о какой-то случайной величине вам известны только среднее (µ) и стандартное отклонение (у) - типичный размах колебаний, на финансовом жаргоне - волатильность, то наиболее вероятным «кандидатом» для ее моделирования является нормальный закон, т.е. используя в таких ситуациях нормальное распределение, вы в среднем ошибетесь меньше, чем если бы использовали какое-то другое распределение вероятностей. По этой причине нормальное распределение является простейшим законом пригодным для моделирования доходностей финансовых активов, которые часто описываются через среднюю доходность и волатильность. Точно так же, если для величины известен лишь диапазон ее колебаний, следует использовать равномерное распределение на этом интервале. Свойство максимальной энтропии можно еще проиллюстрировать следующим примером. Допустим, ваш знакомый давно торгует каким-то инструментом. В статистике он не разбирается, но «интуитивно» за годы торговли он изучил его «вдоль и поперек» и по его наблюдениям типичное дневное колебание цены составляет 1.5%. Если он попросит вас подсчитать вероятность какого-либо движения по этому инструменту, вам в отсутствие других данных наиболее естественно будет использовать нормальное распределение с параметрами µ=0 и у=0.015. «Мю» обнуляем в предположении, что на дневных «свечках» волатильность значительно преобладает над доходностью, что, в общем-то, подтверждается историческими котировками по многим инструментам.

Коэффициент Шарпа. Нормальное распределение задается при помощи всего двух параметров - µ и у. Оказывается, их отношение, называемое в финансовой литературе коэффициентом Шарпа, обладает интересным свойством для нормального распределения. Согласно модели нормального распределения любые два актива с одинаковыми коэффициентами Шарпа имеют одинаковую вероятность убытка x<0 на том или ином временном диапазоне. Получается, что риск в модели нормального распределения зависит, по сути, только от одного параметра - коэффициента Шарпа: вероятность убытков одинакова, а их размеры можно уравнять при помощи финансового рычага, напр., вкладывая меньшую долю средств в актив с более высокой волатильностью, поскольку плечо одинаково воздействует как на среднюю доходность, так и на стандартное отклонение, их отношение не меняется, а размах колебаний доходности можно понизить, тем самым, уравняв убытки.

Примечание: на самом деле это не совсем точно, поскольку коэффициенты Шарпа для обычных доходностей и логдоходностей несколько отличаются, но мы здесь не будем углубляться в эти тонкости.

Логнормальное распределение. До сих пор мы достаточно вольно обращались с термином «доходность». На самом деле во всех случаях, когда мы имели дело с нормальным распределением, мы говорили не об обычных доходностях вида Close/Open - 1, а о т.н. «логдоходностях» - ln(Close/Open). Эта величина в отличие от более привычной для большинства трейдеров обычной доходности симметрична и поэтому лучше подходит для моделирования при помощи нормального распределения, у которого левый хвост формально уходит в минус бесконечность. Обычная же доходность не может быть меньше -1 или -100%, если обращаться с процентами. Этот факт связан с тем, что цена упирается в ноль как в нижнюю границу. Логдоходности как раз и исправляют такую асимметрию, поскольку они могут изменяться в интервале от -? до +?. Если же мы хотим иметь дело не с логдоходностями, а с обычными доходностями, нам следует использовать не нормальное, а логнормальное распределение. Логнормальное распределение предназначено для моделирования величин варьирующихся в интервале от 0 до +?. Если, используя модель простой доходности, вычесть единицу, получается искомый интервал от -1 до +?. По большому счету практически нет разницы, работать с обычными доходностями при помощи логнормального распределения или с логдоходностями в рамках нормального. Эти величины и распределения однозначно связываются преобразованиями вида ln(x) - exp(x). Используя функции логарифма и экспоненты можно легко переходить из одной шкалы в другую и обратно в исходную. На практике при оценке по выборке тех или иных статистик, пожалуй, все-таки удобнее работать с логдоходностями и нормальным распределением, поскольку не представляет никакой сложности перевести полученные результаты в формат обычных доходностей.

Вычисление вероятностей и риск-метрик. Итак, мы научились подгонять параметры обобщенного нормального распределения к историческим котировкам активов. Как только параметры идентифицированы, становится возможным вычисление интересующих вероятностей и расчет рисков в рамках модели ОНР. Предположим, что мы получили следующие оценки параметров: µ=0.001, у=0.03, ф=0.75. Такие цифры вполне можно получить для дневных доходностей какой-нибудь акции или индекса. Давайте теперь вычислим некоторые интересные вероятности и риск-метрики.

Так, кто-то может заинтересоваться вопросом: какова вероятность дневного падения цены, превышающего 9%. Для ответа на этот вопрос надо использовать функцию распределения. Для ОНР ее можно выразить через кумулятивную функцию гамма-распределения:

Ѕ+Ѕsign(x - µ)GCDF[|(x - µ)/K/у|ф, 1/ф, 1],

где sign() - функция знака, возвращающая -1 для отрицательного и +1 для положительного числа, GCDF() - кумулятивная функция гамма-распределения.

В Excel это можно записать так:

0.5+0.5*ЗНАК(x-µ)*ГАММАРАСП(ABS((x-µ)/K/у)^ф;1/ф;1)

Естественно, нужно задать конкретные значения параметров:

0.5+0.5*ЗНАК(LN(1-0.09)-0.001)*ГАММАРАСП(ABS((LN(1-0.09)-0.001)/K/0.03)^0.75;1/0.75;1;1)

K = EXP(0.5*(ГАММАНЛОГ(1/ф)-ГАММАНЛОГ(3/ф))) лучше сохранить в отдельную ячейку присвоив ей имя K, чтобы не перегромождать формулу.

Итак, имеем K = EXP(0.5*(ГАММАНЛОГ(1/0.75)-ГАММАНЛОГ(3/0.75))) ? 0.3858. Искомая вероятность: ?0.78%, т.е. это событие не такое уж редкое и должно в среднем происходить раз в 1/0.0078 ? 128 дней.

Следует отметить, что в формулу мы подставляли не исходную доходность -0.09, а LN(1-0.09). Тем самым мы ее конвертировали в логдоходность, для работы с которыми и предназначено обобщенное нормальное распределение.

Можно задаться и обратным вопросом: какой убыток будет превышен в худшем дне в году? Иными словами нам надо найти убыток соответствующий вероятностному уровню 1/250 = 0.004. Предполагается, что в году 250 торговых дней. Для этого надо воспользоваться квантильной функцией. Как и кумулятивная функция, она может быть выражена через гамма-распределение:

sign(2p - 1)GINV(|2p - 1|, 1/ф, 1)1/ф Kу + µ,

где GINV() - квантильная функция гамма-распределения.

В Excel: ЗНАК(2*p-1)*ГАММАОБР(ABS(2*p-1);1/ф;1)^(1/ф)*K*у+µ

Аналогично предыдущему примеру подставляем конкретные значения и получаем: EXP(ЗНАК(2*0.004-1)*ГАММАОБР(ABS(2*0.004-1);1/0.75;1)^(1/0.75)*K*0.03+0.001)-1 ? -10.7%,

т.е. как минимум такой убыток будет получен в худшем дне в году.

Здесь мы опять использовали трансформации. На сей раз, мы переводили логдоходности, которые дает на выходе квантильная функция обобщенного нормального распределения, в обычные доходности и поэтому использовали экспоненту.

Наконец, можно узнать средний размер убытка, который будет получен в худшем дне в году. Ясно, что он больше 10.7%. Точный ответ на этот вопрос дает риск-метрика под названием Conditional Value-at-Risk, CVaR. Предыдущая квантильная функция в риск-менеджменте называется просто VaR. Выражение для CVaR наиболее сложное:

µ - KуГ(2/ф)/Г(1/ф)/2/p{1 - GCDF[GINV(|2p - 1|, 1/ф, 1), 2/ф, 1]}

Для Excel получаем:

µ-K*у*EXP(ГАММАНЛОГ(2/ф)-ГАММАНЛОГ(1/ф))/2/p*(1-ГАММАРАСП(ГАММАОБР(ABS(2*p-1);1/ф;1);2/ф;1;1))

K у нас уже подсчитано, остается только задать значения остальным параметрам:

EXP(0.001-K*0.03*EXP(ГАММАНЛОГ(2/0.75)-ГАММАНЛОГ(1/0.75))/2/0.004*(1-ГАММАРАСП(ГАММАОБР(ABS(2*0.004-1);1/0.75;1);2/0.75;1;1)))-1

Получаем средний убыток худшего дня в году: 13.36%.

Здесь мы, как и в случае с VaR, использовали экспоненту, чтобы перейти от логдоходностей к обычным доходностям.

Итоги

Теперь мы более тесно познакомились с нормальным распределением, узнали наиболее важные его свойства и причины его популярности в финансах. Было также рассмотрено его обобщение, позволяющее более точно моделировать исторические доходности активов. Мы научились оценивать параметры обобщенного нормального распределения по выборке методом моментов и узнали, как рассчитывать важные для практики вероятности и риск-метрики в Excel.

Список использованных источников и интернет-ресурсов