Теория игр

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 1

s=2, t=3, u=2, v=3

Решение:

Матрица 1

a= max(15,5,5,2) = 15. b=min(15,23,17,17)=15

Ответ: Нижняя цена равна верхней и равна 15т.к. b=a=q. Седловая точка (А1;В1).

Матрица 2

а= max(2,2,2,7) = 7. b=min(13,11,19,13)=11

Ответ: Нижняя цена a=7, верхняя b= 11. Седловой точки нет, так как а<b

Матрица 3

а=max(4,1,-4,4) = 4. b=min(4,20,4,16,20)=4

Ответ: Нижняя граница равна верхней а=b=q=4 Седловых точек 4 : A1B1; А1В3; А4В1; А4В3.

Задание 2

Решение

Сначала необходимо определить, решается ли данная игра в чистых стратегиях, то есть существует ли седловая точка или нет.

а=max(2,1)=2 b=min(4,5)=4

б < в => Игра не имеет седловой точки, следовательно не решается в чистых стратегиях.

Каждый из игроков А и В обладает единственной оптимальной смешанной стратегией S_A=|х1, х2| и S_B=|у1, у2|

Х1+Х2=1

У1+У2=1

Х1= (а₂₂-а₂₁)/( а₁₁ +а₂₂ - а₂₁ - а₁₂)=(5-1)/(4+5-1-2)=0,667

Х2=1-0,667=0,333

У1=(а₂₂-а₁₂)/( (а₁₁ +а₂₂ )- (а₁₂ + а₂₁))=(5-2)/((4+5)-(2+1))=0,5

У2=1-0,5=0,5

V= (а₁₁*а₂₂ - а₁₂*а₂₁)/ (а₁₁ +а₂₂ - а₂₁ - а₁₂)=(4*5-2*1)/(4+5-1-2)=18/6=3

Ответ: Оптимальной смешанной стратегией игрока А является стратегия S_А=|0,667, 0,333|. Оптимальной смешанной стратегией игрока В является стратегия S_B=|0,5, 0,5|. Цена игры V=3.

Задание 3

А) Решение.

Построим в декартовой системе координат графики

Прямых

Заметим, что при х2= 0 имеем F(x, j) = q1j, а при x2= 1 имеем F(x, j) = q2j, т.е. каждый столбец платежной матрицы определяет две точки, проведя через которые прямую, получаем требуемый график выигрышей для чистой стратегии Вj .Применим для построения этих прямых электронные таблицы Excel. Поместим на лист Excel платежную матрицу, добавив столбец со значениями 0 и1 координаты х2. В ячейках H2:H4 вычисляем минимумы по строкам, а в ячейках С4:G4-- максимумы по столбцам. Находим нижнюю цену игры а=max ai = 1 и верхнюю цену игры b = min bj= 5. Они не совпадают, поэтому седловой точки нет, и игра не имеет решения в чистых стратегиях.

Выделяем диапазон B2-G3.Вызываем надстройку Мастер диаграмм, указываем тип диаграммы (Точечная) и вид диаграммы (Точечная диаграмма, на которой значения соединены отрезками), нажимаем кнопку Далее

На листе Excel появится диаграмма, на которой построены графики выигрышей игрока А для всех чистых стратегий игрока В(номер ряда совпадает с номером стратегии в платежной матрице)

Анализируя графики на диаграмме, находим, что в верхней точке нижней огибающей прямых пересекаются графики стратегий В4 иВ5, которые и следует считать активными стратегиями в оптимальном решении рассматриваемой игры.

Для нахождения xi* и yj* составляем платежную матрицу (2 Ч 2):

Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Вычисляем

D = (q12+q23)- (q13+q22) = (3 +2)- (5 + 5) = -5.

Находим цену игры в смешанных стратегиях:

q= (q12q23- q13q22) / D = (3 · 2 - 5 · 5) / (-5) = 3,8

Определяем оптимальные смешанные стратегии игроков А и В:

x1*= (q23- q22) / D = (2 - 5) / (-5) = 0,6,

x2* = (q12- q13) / D = (3 - 5) / (-5) = 0,4,

y2* = (q23- q13) / D= (2 - 5) / (-5) = 0,6,

y3* = (q12- q22) / D = (3 - 5) / (-5) = 0,4,

а также у1* = 0, у4*= 0

Б) Решение

Построим в декартовой системе координат графики

прямых:F (i, y) = qi1y1+qi2y2= qi1(1- y2) + qi2y2, i = 1, 2, 3, 4.

Заметим, что при у2= 0 имеем F (i, у) = qi1, а при у2= 1 имеем

F(i, у) = qi2, т.е. каждая строка платежной матрицы определяет две точки, проведя через которые прямую, получаем требуемый график выигрышей для чистой стратегии Аi. Применим для построения этих прямых электронные таблицы Excel. Поместим на лист Excel платежную матрицу , добавив строку со значениями 0 и1 координаты у2. В ячейках D4:D7 вычисляем минимумы по строкам, а в ячейках В8:С8-- максимумы

По столбцам. Находим нижнюю цену игры а = max ai = 2 и верхнюю цену игры b = min bj = 3. Они не совпадают, поэтому седловой точки нет, и игра не имеет решения в чистых стратегиях.

Выделим диапазон ячеек В2-С6. Вызываем надстройку Мастер диаграмм, указываем тип диаграммы (Точечная) и вид диаграммы (Точечная диаграмма, на которой значения соединены отрезками), нажимаем кнопку Далее.

Появится следующее окно Мастера диаграмм, в котором следует указать Ряды в строках и нажать кнопку Готово (при необходимости можно вызвать следующее окно Мастера диаграмм и ввести обозначения на диаграмме).

На листе Excel появится диаграмма, на которой построены графики выигрышей игрока А(проигрышей игрока В) для всех чистых стратегий игрока А(номер ряда совпадает с номером стратегии в платежной матрице). Анализируя графики на диаграмме, находим, что в нижней точке верхней огибающей прямых пересекаются графики стратегий А3 и А4, которые и следует считать активными стратегиями в оптимальном решении рассматриваемой игры. матрица игра графоаналитический

Составляем платежную матрицу (2 Ч 2):

Находим решение игры в смешанных стратегиях. Вычисляем:

D = (q11+q32)- (q12 + q31) = (8 + 6)- (4 + 2) = 8.

Находим цену игры в смешанных стратегиях q = (q11q32- q12q31) / D = (8 · 6 - 4 · 2) / (8) = 5. Определяем оптимальные смешанные стратегии игроков А и В:

x1*= (q32-- q31) / D = (6 - 2) / (8) = 0,5

x3* = (q11-- q12) / D = (8 - 4) / (8) = 0,5

y1* = (q32-- q12) / D = (6 - 4) / (8) = 0,25

y2* = (q11-- q31) / D = (8 - 2) / (8) = 0,75

а также х2* = 0, х4* = 0.

Размещено на Allbest.ru