Математика дискретных преобразований

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

дискретный последовательность лаплас

Цифровая обработка сигналов оперирует с дискретными представлениями сигналов. Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после появления первых вычислительных машин. В принципе, в своих основных положениях математический аппарат дискретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и систем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, а его игнорирование может приводить к существенным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической математике.

Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform). Оно играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как для аналоговых - преобразование Лапласа. Большое значение z-преобразование имеет для расчетов рекурсивных цифровых систем обработки сигналов, а потому рассматривается отдельной темой перед началом изучения рекурсивных цифровых фильтров.

1. Z-преобразование

Если имеется передаточная характеристика аналогового фильтра H (s) в виде нулей и полюсов фильтра, то для того чтобы фильтр стал дискретным необходимо периодически «размножить» нули и полюса с периодом T (см. рис. 1).

Рис. 1. Образы по Лапласу для непрерывного и дискретного сигналов

При этом мы получим бесконечное количество нулей и полюсов дискретного фильтра, что не совсем удобно. Для облегчения анализа вводят z-преобразование путем отображения комплексной s-плоскости в комплексную z-плоскость вида:

(1)

Тогда преобразование Лапласа дискретного сигнала переходит в z - преобразование:

(2)

Поскольку

(3)

то все бесконечные периодические повторения нулей и полюсов дискретного фильтра в плоскости s преобразуются в одну точку в плоскости z.

Давайте рассмотрим подробнее свойства этого отображения:

Если s = 0, то z = 1.

Если s = у (чисто вещественно), то z = exp (у • T), также чисто вещественно, причем z ? 0. При у < 0, z < 1, а при у ? 0, z ? 1.

Если s = j • щ (чисто мнимое), то z = exp (j • щ • T) - точка расположенная на единичной окружности повернутся на угол щ • T. Таким образом вся мнимая ось плоскости s отображается в единичную окружность плоскости z.

Если s = у + j • щ, то z = r • exp (j • щ • T), где r = exp (у • T). Точка расположена на окружности радиуса r = exp (у • T), повернутая на угол щ • T. Если у < 0, то r = exp (у • T) < 1, т.е. вся левая полуплоскость плоскости s отображается внутрь единичной окружности плоскости z, а если у > 0, то r = exp (у • T) > 1 и вся правая полуплоскость s отображается вне единичной окружности на плоскости z.

Графически отображение s-плоскости в комплексную z-плоскость показано на рисунке 2.

Рис. 2. Преобразование комплексной s-плоскости в комплексную z-плоскость

При переходе из комплексной s - плоскости в комплексную z-плоскость все бесконечно-повторяющиеся нули и полюса дискретного фильтра в s плоскости отображаются в конечное количество нулей и полюсов в z-плоскости. Тогда выражение для передаточной характеристики дискретного фильтра может быть представлено при помощи подстановки (1) через конечное количество нулей и полюсов в z-плоскости как:

(4)

где в_n б_m и - отображение нулей и полюсов дискретного фильтра в z плоскости, а b_n и a_m - коэффициенты дискретного фильтра, полученные путем раскрытия произведений нулей и полюсов и приведении подобных слагаемых. Таким образом, главный вывод, который мы должны сделать заключается в следующем: при переходе от аналогового фильтра к дискретному, образ по Лапласу становится периодическим по мнимой оси, а количество нулей и полюсов фильтра бесконечным. Но при переходе в комплексную z - плоскость мы получаем снова конечное количество нулей и полюсов, и соответственно конечное количество коэффициентов дискретного фильтра. Поэтому z-преобразование можно считать аналогом преобразования Лапласа для дискретных фильтров.

2. Дискретные передаточные функции

При соответствующих входе и выходе динамическая система на рис. 3 может представлять промышленный процесс, экономику страны или поведение какой-либо корпорации или министерства.

Мы будем иногда называть величину выхода, полученную при фиксированном входе, установившимся значением. Под ним мы подразумеваем значение дискретного выхода устойчивой системы, пришедшей к окончательному равновесий после того, как вход был зафиксирован на постоянном уровне . Очень часто в пределах интересующего нас диапазона соотношение между и примерно линейное. Отсюда, если мы будем обозначать через и отклонения от удобных для нас уровней, мы можем записать стационарное соотношение как

, (2.1)

где называется установившимся усилением: подразумевается, что -- функция .

Рис. 3. Вход и выход динамической системы

Положим теперь, что значения входа меняются и что и -- это отклонения от равновесия в момент . Тогда во многих случаях с достаточной точностью удается представить инерционные свойства системы линейным фильтром вида

, (2.2)

в котором выходное отклонение в некоторый момент времени представимо линейной комбинацией входных отклонений в моменты . Функция называется передаточной функцией фильтра.

Рис. 4. Линейная передача входа на выход 

Функция отклика на единичный импульс. Веса, , , ... в (2.2), рассматриваемые в зависимости от их номера, называют функцией отклика на единичный импульс (сокращенно, импульсным откликом). Функция отклика показана на рис. 3 в виде дискретных линий. Когда мгновенной реакции на вход нет, одно или несколько начальных значений (например, , , …,) равны нулю.

Согласно (2.2), выходное отклонение можно рассматривать как линейную комбинацию ряда налагающихся друг на друга функций отклика на единичный импульс, умноженных на отклонение . Это иллюстрируется рис. 4, где показана гипотетическая функция отклика на единичный импульс и соответствующий ей процесс получения выходных значений по входным. В рассматриваемом случае вход и выход вначале находятся в равновесии; отклонения, возникающие на входе в моменты и , вызывают соответствующие отклики на выходе, складывая которые можно получить результирующую полную реакцию выхода.

Соотношения между приращениями на входе и выходе. Обозначим через

и

приращения и . Часто необходимо уметь связывать такие приращения входа и выхода. Беря разности в (2.2), получаем

.

Мы видим, что приращения и удовлетворяют той же модели передаточной функции, что и , .

Устойчивость. Если бесконечный ряд сходится при , система называется устойчивой. Мы будем рассматривать здесь только устойчивые системы и, следовательно, наложим такое ограничение на изучаемые модели. Требование устойчивости означает, что конечное приращение входа должно вызывать конечное приращение выхода.

Положим, что зафиксировано на неопределенно долгое время на значении . Тогда, согласно (10.1.1), постепенно придет к значению и установится на нем. Подставляя в (10.1.2) значения , , получаем

. (2.3)

Таким образом, для устойчивой системы сумма весов функции отклика на единичный импульс сходится к установившемуся усилению.

Экономичность. Часто параметризация системы через веса может быть неудовлетворительной. Тогда расточительство в использовании параметров может привести к неточному и неустойчивому оцениванию модели на этапе оценивания. Далее, обычно неудобно непосредственно оценивать веса , поскольку, как мы увидим, во многих реальных ситуациях между разными существует функциональная связь.

3. Частотные характеристики импульсных систем

Записав частотную характеристику КИХ-фильтров с линейной фазой в виде

(3.1)

где -- действительная функция, а и определяются формулами (3.18), выразим функцию через значения коэффициентов импульсной характеристики для каждого из четырех видов фильтров с линейной фазой. Соответствующие формулы будут получены в данном разделе. Позже они будут использованы при изложении различных методов расчета КИХ- фильтров с заданными частотными характеристиками.

Фильтр вида 1

Симметричная импульсная характеристика, нечетное . Для этого случая можно представить в виде

(3.2)

Делая замену во второй сумме, получим

(3.3)

Поскольку , две суммы в (3.21) можно объединить, а член вынести за скобки, что дает

(3.4)

(3.5)

Подставив , получим

(3.6)

Окончательно при и , где , выражение (3.24) принимает вид

(3.7)

что и дает искомую частотную характеристику. Таким образом, для фильтра вида 1

(3.8)

Фильтр вида 2. Симметричная импульсная характеристика, четное . В этом случае принимает вид

(3.9)

Подставляя в это выражение

получим

(3.10)

Таким образом, для фильтра вида 2

(3.11)

Необходимо отметить, что при независимо от значений [или ]. Отсюда следует, что нельзя использовать фильтры этого вида для аппроксимации частотной характеристики, отличной от нуля при (например, при проектировании фильтров верхних частот).

Фильтр вида 3. Антисимметричная импульсная характеристика, нечетное .

В этом случае вывод формулы для почти такой же, как и для фильтров вида 1, за исключением того, что из-за антисимметрии сумма косинусов заменяется на сумму синусов, умноженную на , т. е. вместо формулы (3.6) следует записать

(3.12)

где , как было показано выше.

Делая подстановку при , получим

(3.13)

Таким образом, для фильтра вида 3

(3.14)

Рис. 5. Четыре вида фильтров с линейной фазовой характеристикой

Видно, что на частотах и независимо от значений [или значений , что то же самое]. Более того, множитель в формуле (3.31) показывает, что без учета множителя с линейным изменением фазы частотная характеристика является чисто мнимой функцией. Поэтому этот вид фильтров наиболее пригоден для проектирования преобразователей Гильберта и дифференциаторов.

Фильтр вида 4. Антисимметричная импульсная характеристика, четное .

В этом случае есть аналогия с фильтрами вида 2. Заменяя сумму косинусов суммой синусов, умноженной на , вместо (3.9) получим

(3.15)

Подстановка в это выражение

дает

(3.16)

Таким образом, для фильтра вида 4

(3.17)

причём при . Следовательно, этот вид фильтров больше всего подходит для аппроксимации дифференциаторов и преобразователей Гильберта.

На фиг. графически представлены все основные результаты, полученные в этом разделе, а именно типичные импульсные характеристики , соответствующие им сдвинутые последовательности [от до для каждого конкретного случая] и типичные частотные характеристики для каждого из четырех видов КИХ-фильтров с линейной фазой.

Заключение

В данном реферате были рассмотрены темы Z-преобразование, дискретные передаточные функции и частотные характеристики импульсных систем. В реферате были рассмотрены различные формулы, рисунки, виды фильтров и т.д. Эти темы были выбраны не случайно, т.к. они рассматриваются в цифровых обработках сигналов. Цифровая обработка сигналов (ЦОС, DSP -- англ. digital signal processing) -- это преобразование сигналов, представленных в цифровой форме. Современное применение методов цифровой обработки лежит в области мультимедийных технологий, то есть обработки звука и изображений, включающей их сжатие, кодировку. В области цифровой связи цифровыми методами выполняется модуляция и демодуляция данных для передачи по каналам связи. Сегодня многие пользователи, имеющие на своем рабочем столе персональный компьютер, даже и не подозревают о наличии вычислительных средств -- микропроцессоров, построенных на принципах цифровой обработки сигналов, находящихся на расстоянии вытянутой руки. Процессоры цифровой обработки сигналов перерабатывают в компьютерах цифровую информацию: фильтруют, анализируют, распознают, модулируют/демодулируют, уплотняют и разуплотняют, кодируют/декодируют и т.д.

Литература

1. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. - М., "Вильямс", 2004.

2. Дорф Р., Бишоп Р. Автоматика. Современные системы управления. 2002 г. - 832 с.

3. Харазов В.Г. Интегрированные системы управления технологическими процессами: Справочник. Издательство: ПРОФЕССИЯ, ИЗДАТЕЛЬСТВО, 2009. - 550 с.

4. Чебурахин И. Синтез дискретных управляющих систем и математическое моделирование: теория, алгоритмы, программы. Изд-во: НИЦ РХД, ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 248 c.

Размещено на Allbest.ru