Стабилизация нелинейной модели маятника

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Проблемы демпфирования и стабилизации динамических систем [1, 2] относятся к центральным проблемам теории управления [3-5]. Классические методы решения этих проблем основаны на классических результатах теории устойчивости (метод функций Ляпунова [6], частотные методы [7] и т.п.). Многие из известных методов предполагают заданной структуру обратной связи с точностью до нескольких параметров и сводят задачу стабилизации к подбору таких значений параметров, при которых выполняются достаточные условия асимптотической устойчивости. При таком подходе, как правило, трудно учесть ограничения на стабилизирующие воздействия. Однако из-за требований практики наличие таких ограничений стало характерным для современных постановок задач. В связи с этим с начала последнего десятилетия XX века стали систематически исследовать указанные проблемы для линейных систем с ограничениями. При этом оказалось, что при использовании (для учета ограничений на управляющие воздействия) операции «насыщения» (срезки) для классических линейных стабилизирующих обратных связей получаются малые области притяжения состояний равновесия замкнутых систем. Ограничения на стабилизирующие обратные связи учитываются и в рамках систем с переменной структурой [8, 9]. С созданием теории оптимального управления появилась возможность естественным образом учитывать ограничения на управления, поскольку указанные ограничения являются неотъемлемым элементом современных задач оптимального управления. При этом можно не задавать структуру обратных связей, получать большие области притяжения и придавать переходным процессам дополнительные полезные качества.

В [10, 11] (на основе рассмотрения линейной задачи оптимального управления) предложен новый подход к проблеме синтеза оптимальных систем, который в [12] был использован для построения стабилизаторов линейных систем. Новый подход, в частности, позволяет учитывать любые ограничения. В [13, 14] подход [10-12] обобщается на случай нелинейных систем. При этом используется вспомогательная задача оптимального управления с негладким критерием качества. А в [15] этот подход применяется для решения задач с квадратичным критерием качества.

1. Постановка нелинейной задачи

Будем рассматривать математическую модель маятника с двумя нелинейностями, ось подвеса которого можно перемещать по горизонтальной прямой. В этом случае уравнение движения маятника примет вид:

где , - угол отклонения маятника от нижнего положения равновесия и угловое ускорение (в момент ) соответственно, - управляющий момент, приложенный к оси подвеса маятника, - время.

Состояние является устойчивым нижним положением равновесия системы (2.1), а состояние - ее неустойчивым верхним положением равновесия.

Функция

,

называется дискретной (с периодом квантования ) стабилизирующей обратной связью, если:

1) ;

2) траектория замкнутой системы

представляет непрерывное решение уравнения с управлением , , ;

3) ненулевое решение , , уравнения асимптотически устойчиво и - область притяжения состояния равновесия .

Задача построения ограниченной стабилизирующей обратной связи состоит в поиске такой стабилизирующей обратной связи (2.2), которая при заданном , , удовлетворяет ограничению

, .

Очевидно, что таким образом определенная обратная связь (2.2) может быть построена многими способами. При этом естественно потребовать, чтобы:

4) область притяжения X была достаточно большой;

5) переходные процессы в замкнутой системе (2.3) были в некотором смысле наилучшими. Учитывая перечисленные требования, в данной работе одна из возможных реализаций функции (2.2) строится с помощью определяемой кусочно-линейно-квадратичной задачи оптимального управления.

2. Кусочно-линейная и кусочно-постоянная аппроксимация нелинейности

Для того, чтобы определить кусочно-линейно-квадратичную задачу оптимального управления введем кусочно-линейную аппроксимацию нелинейности.

В качестве возьмем область:

.

Область (2.2) разобьем на подобласти:

,

,

,

,

,

,

.

Выберем следующие аппроксимации функций и :

3. Сопровождающая кусочно-линейно-квадратичная задача

математический маятник аппроксимация нелинейность

Решать приводимую ниже вспомогательную (сопровождающую) задачу оптимального управления можно в различных классах функций. В связи с ориентацией на использование вычислительных устройств дискретного действия, эта задача (в качестве простейшего варианта) рассматривается в классе кусочно-постоянных функций с периодом квантования :

, ,

Выберем параметр (N - натуральное число) и рассмотрим в классе допустимых управлений (4.1) вспомогательную (сопровождающую) задачу оптимального управления:

,

, , ,

, .

Пусть , , - оптимальное программное (дискретное) управление задачи (4.2), - множество начальных состояний , для которых существует данное управление. Тогда функцию

, ,

назовем оптимальным (стартовым) управлением типа обратной связи.

В дальнейшем именно данное оптимальное стартовое управление типа обратной связи будет рассматриваться в качестве искомой ограниченной стабилизирующей обратной связи.

Размещено на Allbest.ru