Определение и свойства локального экстремума функции

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Функция достигает в точке локального максимума (минимума), если можно указать такое , что ее приращение в точке удовлетворяет неравенству:

,

соответственно:

По теореме Ферма, если функция достигает в точке локального экстремума и в этой точке производная существует, то она равна нулю:

.

По определению точка называется стационарной для функции , если в ней производная от существует и равна нулю .

Если задана на некотором интервале функция , и надо найти все ее точки локального экстремума, то их, очевидно, надо искать среди, во-первых, стационарных точек, т.е. таких, в которых производная существует и равна нулю и, во-вторых, среди точек, где не имеет производной, если таковые на самом деле имеются. Стационарные точки находятся из уравнения:

, (1)

которое надо решить. Конечно, не всякая стационарная точка функции есть точка локального экстремума .

Условие (1) является необходимым для того, чтобы дифференцируемая функция имела в точке локальный экстремум, но недостаточным. Например, есть стационарная точка функции , но в ней эта функция возрастает.

Очевидно также, что не всякая точка, где не имеет производной, есть точка локального экстремума .

Так или иначе, если нам уже известно, что есть стационарная точка или точка, где производная от не существует, нам нужны критерии распознавания, будет ли действительно эта точка точкой локального экстремума, а если будет, то какого - максимума или минимума.

Ниже мы приводим достаточные критерии локального экстремума.

Теорема 1. Пусть - стационарная точка функции (т.е. ) и имеет вторую непрерывную производную в окрестности . Тогда: если , то есть точка локального максимума ; если же , то есть точка локального минимума .

Доказательство. Разложим по формуле Тейлора по степеням при . Так как , то формула Тейлора функции в окрестности точки имеет вид:

. (2)

В этой формуле может быть .

Пусть . Так как производная по условию непрерывна в окрестности , то найдется такое, что:

.

Но тогда остаточный член в формуле (2):

,

что показывает, что:

.

локальный экстремум стационарный

т.е. имеет в локальный максимум.

Аналогично, если , то в некоторой окрестности и . Поэтому остаточный член формулы (2) в окрестности неотрицательный, а вместе с ним и , т. е. имеет в локальный минимум.

Теорема 2. Пусть и , и непрерывна в окрестности точки , тогда:

- если - четное и , то имеет в локальный максимум;

- если - четное и , то имеет в локальный минимум;

- если - нечетное и , то заведомо не имеет в локального экстремума.

Доказательство этой теоремы снова основано на применении формулы Тейлора. Имеем:

. (3)

В случае если - четное, рассуждаем в точности так же, как в случае формулы (2). Пусть теперь - нечетное, и пусть, как было предположено, . Вследствие непрерывности в окрестности существует интервал , на котором сохраняет знак . Если будет возрастать в окрестности слева направо, то при переходе через переменит знак, а будет сохранять один и тот же знак. Это показывает, что правая часть (4) и, следовательно, при переходе через меняет знак и экстремум в невозможен.

Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную отдельно на интервалах и . При этом:

, (4)

. (5)

Тогда есть точка локального максимума (минимума) функции .

Здесь не обязательно предполагается, что существует.

Доказательство. Из непрерывности на отрезке и свойства (4) следует, что не убывает (не возрастает) на этом отрезке и, следовательно:

. (6)

А из непрерывности на и свойства (5) следует:

. (7)

Но тогда из (6) и (7) следует:

,

и мы доказали теорему 3.

Теорема 3 утверждает, что если первая производная функции при переходе через точку меняет знак, то имеет в точке минимум, если знак меняется (при возрастании !) с на , и максимум, если он меняется с на . При этом не обязательно, чтобы существовала. Но требуется, чтобы была непрерывна в точке .

Теорема 4. Пусть функция удовлетворяет условиям и . Тогда в точке имеет локальный минимум (максимум).

Доказательство. Так как:

,

то на основании теоремы 2 § 3.2 в достаточно малой окрестности точки , т.е. для и для . По теореме 3 заключаем, что в точке локальный минимум. Случай исследуется аналогично.

Замечание 1. Теорема 4 содержит в себе теорему 1 как частный случай, потому что в ней не предполагается, что непрерывна в окрестности точки . Требуется лишь существование .

Размещено на Allbest.ru