Осуществление математических операций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО»

Контрольная работа

по дисциплине «Математика»

студента заочной формы обучения

Матвеенко Кристины Дмитриевны

Проверила Зиновьева Татьяна Фёдоровна

Саратов 2014

1. Докажите, опираясь на аксиоматическую теорию натуральных чисел, что а) 3 < 5; б) 24 + 32 > 22 + 32; в) 4Ч6 > 4Ч3

Решение:

а) Вначале найдем значение выражения 3 + 2, для этого воспользуемся определением сложения.

Найдём сумму чисел 3 и 1. По аксиоме 5 имеем 3 + 1 = 3' = 4. Теперь, опираясь на этот результат, найдем значение выражения 3 + 2. Заменим второе слагаемое 2 на 1' по аксиоме 3, получим: 3 + 2 = 3 + 1' = (3 + 1)' = 4' = 5. Здесь мы использовали аксиому 6 и аксиому 2. Таким образом, 3 + 2 = 5.

Определение № 1. Число a меньше числа b (a < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с такое, что a + c = b.

Отсюда следует, что согласно определению № 1 3 < 5.

б) Используя определение сложения, предварительно найдем значение выражения 22 + 2. Найдем сначала сумму чисел 22 и 1. По аксиоме 5 имеем 22 + 1 = 22' = 23. Теперь, опираясь на этот результат, найдем значение выражения 22 + 2. Заменим второе слагаемое 2 на 1' по аксиоме 3, получим: 22 + 2 = 22 + 1' = (22 + 1)' = 23' = 24. Здесь были использованы аксиома 6 и аксиома 2. Таким образом, 22 + 2 = 24. Тогда по определению (1) 22 < 24 или 24 > 22, откуда согласно третьему свойству монотонности следует, что 24 + 32 > 22 + 32.

в) Предварительно найдем 3 + 3 = 3 + 2' = (3 + 2)' = 5' = 6. Первое равенство основано на аксиоме 3, второе - на аксиоме 6, третье равенство записано на основании полученного ранее случая сложения 3 + 2 = 5, наконец, последнее равенство опирается на аксиому 2. Следовательно, по определению №1 3 < 6 или 6 > 3, откуда согласно третьему свойству монотонности 4Ч6 > 4Ч3.

2. Примените законы сложения и умножения и вычислите результат, каждый случай использования законов объясните

а) 4064 + (1732 + 936); б) 486 + 387 + 813 + 914; в) 624*187 + 376*187.

Р е ш е н и е.

а) 4064 + (1732 + 936) = Поменяем местами слагаемые 2817 + 909, применив коммутативное свойство сложения.

= 4064 + (936 + 1732) = Применим ассоциативное свойство сложения, переставим скобки.

= (4064 + 936) + 1732 = Выполним сложение в скобках и найдем окончательный результат.

= 5000 + 1732 = 6732.

б) 486 + 387 + 813 + 914 = Применим коммутативное свойство сложения.

= 486 + 914 + 387 + 813 = Применим ассоциативное свойство сложения.

= (486 + 914) + (387 + 813) = Выполним сложение в скобках и найдем окончательный результат.

= 1400 + 1200 = 2600.

в) 624•187 + 376•187 = Применим дистрибутивное свойство умножения относительно сложения.

= (624 +376)•187 = Выполним сложение в скобках и найдем окончательный результат.

= 1000•187 = 187000.

3. Докажите, используя метод математической индукции, что для любого натурального п истинно равенство:

Решение:

Пусть n = 1. Тогда в левой части равенства будет только , а в правой части . После простых вычислений получим: . Таким образом, для n = 1 данное равенство является истинным.

Предположим, что для произвольного n = k данное равенство истинно, т.е.

.

Докажем, что равенство является истинным и для n = k + 1. Надо доказать, что

.

В левой части последнего равенства находится k + 1 слагаемое, сумма первых k слагаемых по предположению равна , заменим ее этим значением, получим: . Умножим обе части этого равенства на , получим равенство: или , которое является истинным. Следовательно, истинным является и исходное равенство.

Значит, на основании принципа математической индукции равенство

справедливо для всех натуральных чисел.

4. При делении с остатком числа 100 на натуральное число b получили остаток, равный 6. Найдите число b

Решение:

По условию число 100 при делении на натуральное число b дает в остатке 6 и поэтому имеет вид: 100 = b•q + 6, q N_0, причем 6 < b (т.к. остаток должен быть меньше делителя). Тогда b•q = 100 - 6 = 94. Число 94 в виде произведения натурального числа b на целое неотрицательное число q можно представить четырьмя возможными способами:

94 = 1•94, 94 = 2•47, 94 = 47•2, 94 = 94•1,

откуда (учитывая, что b > 6) находим: b = 47 или b = 94.

5. При делении с остатком на 7 чисел а и b получаются остатки 2 и 3. Какой остаток при делении на 7 дает произведение a•b

Р е ш е н и е.

Число а при делении на 7 дает в остатке 2 и поэтому имеет вид: а = 7q + 2, q N_0. Аналогично: b = 7p + 3, p N_0. Рассмотрим произведение чисел:

a•b = (7q + 2)•(7p + 3) = 49pq + 21q + 14p + 6 = 7(7pq + 3q + 2p) + 6.

Число, стоящее в скобках, представляет собой некоторое целое неотрицательное число, которое обозначим через k, тогда получим: a•b = 7k + 6, откуда следует, что при делении на 7 произведения a•b получается остаток 6.

6. Дайте теоретико-множественное обоснование вычитания и умножения, наглядно проиллюстрировав каждое условие

а) Из коробки вынули сначала 6 карандашей, а затем 2 карандаша вернули обратно. Сколько всего карандашей вынули из коробки?

б) За одну минуту Щелкунчик может разгрызть 4 ореха. Сколько орехов Щелкунчик разгрызет за 3 минуты?

Р е ш е н и е.

а) В задаче идет речь о двух множествах: множестве первоначально вынутых из коробки карандашей (А) и множестве карандашей (В), вынутых из коробки в итоге. Известно, что в первом множестве 6 элементов, т.е. n (А) = 6. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 2 элемента меньше, чем в первом (поскольку 2 карандаша вернули обратно). Отношение «меньше на 2» означает, что в множестве B элементов столько же, сколько их в A, но без двух (рис. 1). Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что первоначально вынутых из коробки карандашей столько же, сколько вынутых в итоге, но без двух. Таким образом, n (В) = n (А₁ ) = n (A) - n (A \ A₁ ) = 6 - 2. Так как 6 - 2 = 4, то получим ответ на вопрос задачи: всего из коробки вынули 4 карандаша.

Рис. 1

б) В задаче речь идет о трех множествах (минутах), в каждом из которых 4 элемента (ореха). Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств (рис. 2).

Если n (А₁ ) = n (А₂ ) = n (А₃ ) = 4, то n (А₁ ? А₂ ?А₃ ) = n (А₁ ) + n (А₂ ) + n (А₃ ) = 4 + 4 + 4 = 4•3. Произведение 4•3 является математической моделью данной задачи. Так как 4•3 = 12, то получаем ответ на вопрос задачи: за 3 минуты Щелкунчик разгрызет 12 орехов.

Рис. 2

7. Каждое из двух слагаемых увеличили на 40. Как изменится сумма

Р е ш е н и е.

Пусть дана сумма двух слагаемых: а + b = с. Используя коммутативное и ассоциативное свойства сложения, найдем изменение суммы с после увеличения каждого из двух слагаемых на 40:

(a + 40) + (b + 40) = a + 40 + b + 40 = a + b + 40 + 40 = (a + b) + (40 + 40) = с +80.

Как видим, сумма увеличилась на 80.

8. Делимое увеличили в 10 раз, а делитель уменьшили в 2 раза. Как изменится частное

Р е ш е н и е.

Пусть a : b = с. Предположим, что после увеличения делимого а в 10 раз и уменьшения делителя b в 2 раза частное с увеличилось в k раз. Тогда, применяя теорему о делимости произведения, а также коммутативное и ассоциативное свойства умножения, найдем изменение частного:

(a•10) : (b : 2) = c•k, откуда a•10 = (b : 2)•(c•k) = ((b•(c•k)) : 2.

Следовательно, b•(c•k) = 2•(a•10) = a•(10•2) = a•20 или c•k = (a•20) : b = (a : b)•20 = c•20. Таким образом, k = 20, т.е. частное увеличилось в 20 раз.

9. Какой смысл имеет натуральное число 8, если оно получено в результате измерения: а) длины отрезка; б) площади фигуры; в) массы тела

математический сложение умножение вычитание

Р е ш е н и е.

а) По условию задачи измерили некоторый отрезок а и получили численное значение длины, равное 8. Это означает, что отрезок а состоит из 8 единичных отрезков е: m_e a = 8 или а = 8е.

б) В этом случае измеряли площадь фигуры F с помощью единицы площади - квадрата Е (единичного квадрата). Фигура F состоит из 8 единичных квадратов Е: m_Е F = 8 или F = 8E.

в) Для измерения массы выбирают некоторое физическое тело, массу которого принимают за единицу, например, цилиндр массой 1 килограмм. На рычажных весах устанавливают равновесие массы измеряемого тела Х и 8 килограммов. Тело Х состоит из 8 килограммов: m_кг Х = 8 или Х = 8 кг. Здесь в качестве единицы массы выбрана масса в 1 килограмм, можно было бы взять произвольный эталон массы е, тогда и записи измерения массы тела Х получили бы общий вид: m_e Х = 8 или Х = 8е.

10. Обоснуйте выбор действий при решении следующих задач

а) Мама купила 5 кг огурцов, 2 кг свеклы и помидоры. Сколько килограммов помидоров купила мама, если масса всех овощей 12 кг?

б) На одной полке 30 книг, на другой на 7 книг меньше. Сколько книг на двух полках?

Р е ш е н и е.

а) В данной задаче рассматривается масса овощей, и известно ее численное значение 12 кг. Эта масса складывается из массы огурцов и массы свеклы, численные значения которых тоже известны, а также из массы помидоров. Требуется узнать численное значение массы помидоров. Так как массу помидоров можно получить, вычитая из всей массы купленных овощей общую массу огурцов и свеклы, то вначале нужно найти численное значение этой массы. Для этого надо сложить численные значения массы огурцов и массы свеклы. Поскольку их численные значения 5 и 2 кг соответственно, то с помощью сложения находим: 5 + 2 = 7, т.е. общая масса огурцов и свеклы равна 7 кг. Искомое численное значение массы помидоров найдем вычитанием: 12 - 7 =5. Ответ: мама купила 5 кг помидоров.

б) В задаче рассматривается количество книг на полках. Нужно найти общее количество книг на двух полках. Оно состоит из числа книг на одной полке, численное значение которого известно (30 книг), и количества книг на другой полке. Найдем сначала, сколько книг на второй полке. По условию на второй полке на 7 книг меньше, чем на первой, поэтому количество книг на второй полке находится с помощью вычитания: 30 - 7 = 23, т.е. на второй полке 23 книги. Теперь найдем суммарное количество книг на двух полках с помощью сложения: 30 + 23 = 53. Ответ: всего на двух полках 53 книги.

Размещено на Allbest.ru