Критерии тренда и случайности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1 Критерии тренда и случайности

1.1 Сериальный критерий случайности

1.2 Критерий Вальда-Волфовитца

1.3 Критерий Рамачандрана-Ранганатана

1.4 Сериальный критерий Шахнесси

1.5 Критерий Олмстеда

1.6 Критерий числа серий знаков первых разностей

1.7 Критерии ранговой корреляции

1.7.1 Критерий Вальда-Волфовитца

1.7.2 Критерий Бартлеса

2 Проверка критериев тренда и случайности

2.1 Проверка критерия Вальда-Волфовитца

2.1.1 Постановка задачи

2.2 Проверка критерия Рамачандрана-Ранганатана

2.2.1 Постановка задачи

2.3 Проверка критерия Шахнесси

2.3.1 Постановка задачи

Заключение

Список использованных источников

Введение

Критерии тренда и случайности предназначены для проверки гипотез о случайности расположения полученных выборочных данных, т.е. отсутствия взаимосвязи между значениями реализацией наблюдаемой случайной величины и их номерами в выборочной последовательности.

В приводимых в работе критериях используются выборочные значения случайной величины в порядке их проявления (они образуют временной ряд).

Наибольшее применение критерий тренда находит при статистическом контроле и предупредительном регулировании технологических процессов в промышленности, позволяя заранее статистически обоснованно выявить намечающуюся тенденцию ухудшения качества продукции. Для медика наличие тренда в исследуемом ряду данных о заболеваниях является объектным критерием оценки надвигающейся эпидемии. Количество возможных ситуаций, в которых выявление тренда (закономерности, а не случайности появления ряда данных) дает практически полезную информацию, велико, и каждый инженер или исследователь повседневно встречается с необходимостью использовать критерии настоящего раздела в своей работе.

Целью работы является изучение критериев тренда и случайности. Достижение данной цели предопределило решение задач: изучить необходимые теоретические основы критериев; использовать критерии тренда и случайности для решения практических задач.

Контрольная работа состоит из двух разделов:

Первый раздел включает в себя изучение теоретических подходов к анализу случайности выборки с помощью сериальных критериев (Вальда-Волфовитца, Рамачандрана-Ранганатана, Шахнесси, Олмстеда, знаков первых разностей), а так же с помощью критериев ранговой корреляции (Вальда-Волфовитца, Бартелса). Второй раздел отведён на подготовку статистического материала для проверки случайности выборки.

1. Критерии тренда и случайности

1.1 Сериальный критерий случайности

Предположим, имеются две выборки случайных величин и. Частичная последовательность элементов одной из выборок в упорядоченной по возрастанию объединённой выборке, ограниченная с обеих сторон элементами другой выборки (на границах последовательности - с одной стороны), называется серией.

Например, последовательность

,,,,,

содержит 6 серий (3 серии элементов и 3 серии элементов).

Последовательности , содержит две серии (одну элементов и одну элементов). Количество и структура серий характеризует случайность появления последовательности против альтернативы тренда, т.е. наличие закономерности в распоряжении элементов одной выборки.

Например, малое число серий будет указывать на тенденцию объединения элементов одной выборки в группы, т.е. на случайный характер их расположения в общей последовательности.

Большинство сериальных критериев, основанных на числе и структуре серий, обладает невысокой мощностью, но требует минимальных расчётов.

1.2 Критерий Вальда-Волфовитца

Имеется выборка значений случайной величины в порядке их проявления; - выборочная медиана. Значения обозначаем числом , а значения символом . Статистикой критерия является - общее число полученных серий элементов и .

Гипотеза случайности ряда применяется с вероятностью , если; в ином случае она отклоняется в пользу альтернативы не случайности ряда.

Критические значения и сериального критерия Вальда-Волфовитца приведены в таблице 175 [1] . Если и - соответственно количество элементов и в последовательности, то при ,справедлива аппроксимация

(1.1)

имеющая стандартное нормальное распределение. Тогда нулевая гипотеза отклоняется с достоверностью , если .

1.3 Критерий Рамачандрана-Ранганатана

Критерий Рамачандрана-Ранганатана учитывает не только количество, но и длины серий (количества элементов в сериях). Статистика критерия имеет вид

(1.2)

где - длина серии,

- объём выборки;

- количество серий длины .

Гипотеза случайности не отклоняется с вероятностью при . Критические значения приведены в таблице 176 [1] . Критерий обладает большей мощностью по сравнению c - критерием Вальда-Волфовитца.

1.4 Сериальный критерий Шахнесси

Критерий Шахнесси является множественным аналогом критерия Вальда-Волфовитца. Если в критерии Вальда-Волфовитца рассматривается количество серий элементов двух «сортов», то критерий Шахнесси предполагает анализ серий элементов «сортов» . Это делает его более эффективным, так как позволяет противостоять большему количеству альтернатив (сдвиг, колебания, изменения в определённой точке).

Статистикой критерия остаётся, как и ранее, - общее количество серий элементов. Если количество серий то гипотеза случайности отклоняется с вероятностью . Здесь - критические значения, приведённые в таблице 177 [1]. В ней приняты обозначения: - количество элементов -го «сорта», - количество «сортов» элементов, составляющих ряд.

1.5 Критерий Олмстеда

Олмстедом рассмотрена серия критериев случайности, так же, как и в случае критерия Рамачандрана-Ранганатана учитывающих длины серий. В критериях Олмстеда рассматриваются экстремальные длины серий одного вида, вероятность появления которых связывается с возможным присутствием тренда в исследуемых рядах. Олмстедом предложено четыре варианта критерия: наибольшая длина серии, лежащей по какую-либо одну сторону от медианы; наибольшая длина серии, лежащая по одну (заранее выбранную) сторону от медианы; кратчайшая из обеих наибольших длин серий, лежащих по разные стороны от медианы; кратчайшая из обеих наибольших длин серий, лежащих по разные стороны от точки раздела, максимизирующей .

Во всех вариантах для заданных на уровне значимости статистикой критерия Олмстеда является наименьший объём выборки . Гипотеза случайности отклоняется при . Критические значения приведены в таблице 178 [1].

1.6 Критерий числа серий знаков первых разностей

Для выборки вычисляется значений вида

(1.3)

В ряду значений фиксируем количество серий , которое и является статистикой рассматриваемого критерия.

Гипотеза случайности ряда не отклоняется при Критические значения и приведены в таблице 179 [1]. При распределение удовлетворительно аппроксимируется нормальным распределением со средним и дисперсией , где ; Тогда нулевая гипотеза проверяется критерием и при гипотеза случайности отклоняется.

Хальд ,Уолис и Мур дополнили критерий числа серий рассмотрением длин серий знаков + и -. Вероятность появления серий длины при справедливости гипотезы случайности ряда равна

(1.4)

Критерий с учётом длин серий основан на статистике

(1.5)

где суммирование ведётся для и ( - количество серий длины - вероятность появления серии длины ).

В частности

(1.6)

(1.7)

`(1.8)

Правило проверки нулевой гипотезы формируется следующим образом:

-при нулевая гипотеза отклоняется с вероятностью ,если где -квантиль распределения хи-квадрат с степенями свободы;

-при нулевая гипотеза отклоняется, если

1.7 Критерии ранговой корреляции

1.7.1 Критерий Вальда-Волфовитца

Пусть ранг наблюдения в упорядоченном по возрастанию ряду значений . В качестве аналога критерия сериальной корреляции известен коэффициент ранговой сериальной корреляции Вальда-Волфовитца

(1.9)

При распределение асимптотически нормально со средним и дисперсией , где

(1.10)

Тогда если то с вероятностью гипотеза случайности отклоняется. Для распределений нормального типа асимптотическая эффективность -критерия по отношению к сериальной корреляции первого порядка, для любых других распределений - не менее .

1.7.2 Критерий Бартлеса

Пусть - ранг -го наблюдения в последовательности наблюдений . Бартлесом рассмотрен ранговый критерий случайности ряда, основанный на статистике

(1.11)

При совпадении элементов выборки ранги следует случайным образом распределить среди них. Значение заключено в интервале

.(1.12)

В пределе при имеем Моменты распределения равны: Коэффициент асимметрий распределения равен , коэффициент эксцесса Отсюда следует, что распределение симметрично, но медленно стремится к нормальному эксцессу.

Гипотеза случайности отклоняется на уровне значимости , если Критические точки определяются по формуле где - коэффициенты, приведенные в таблице 182 [1] .

2. Проверка критериев тренда и случайности

2.1 Проверка критерия Вальда-Волфовитца

2.1.1 Постановка задачи

Для ряда значений : 2, 1, 11, 21, 3, 8, 6, 23, 28, 38, 37 () проверить гипотезу случайности ряда наблюдений критерием Вальда-Волфовитца при доверительной вероятности .

Имеем медиану ряда. Обозначим символом значения и символом значения . Получаем ряд символов

В нашем случае имеем элементов и элементов . Всего имеем серии элементов -- две серии элементов и две серии элементов .

Из табл. 175 [1] для и находим и . Таким образом и ряд признается случайным. Следует отметить малую мощность таких критериев (их рекомендуется применять при ). Для нормальной аппроксимации имеем

,

что меньше следовательно, гипотеза принимается.

2.2 Проверка критерия Рамачандрана-Ранганатана

2.2.1 Постановка задачи

Для данных задачи 1 проверить гипотезу случайности ряда критерием Рамачандрана-Ранганатана.

Имеем две серии элементов длины и две серии элементов длины . Тогда

Из табл. 176 для и имеем

Так как , ряд значений признается случайным, а, альтернатива тренда отклоняется.

2.3 Проверка критерия Шахнесси

2.3.1 Постановка задачи

Дан ряд наблюдений над случайной величиной

12, 8, 6, 0, -4, -3, 1, -2, -6, -10, 8, 4, 2, -1, 5, 15, 21, 32.

Необходимо проверить гипотезу случайности ряда критерием Шахнесси при доверительной вероятности .

Элементам, для которых , присвоен код ; элементам, у которых , присвоим код , а элементам, для которых , присвоим код . Тогда получаем ряд

Видим, что общее количество серий равно 10 ( 3 серии элементов , 3 серии элементов и 4 серии элементов ). Количества элементов равны В табл. 177 [1] для при находим .

Так как , гипотеза случайности не отклоняется.

Задача 1

Для ряда наблюдений

13, 8, 7, 4, 10, 17, 21, 34, 48, 1, 0, 12, 10, 4, 16, 17, 11, 0, 1, 3, 12, 54, 16, -1

проверить гипотезу случайности критерием Олмстеда на уровне значимости .

Находим медиану ряда . Для значений ряда примем индекс , а для значений -- индекс . Получаем ряд

,

в котором 5 серий элементов и 5 серий элементов , причем Из табл. 178 [1] для находим Так как то всеми критериями гипотеза случайности не отклоняется.

Легко убедиться, что и последний критерий также отклоняет гипотезу тренда.

Задача 2

Проверить гипотезу случайности ряда из задачи 1 критерием числа серий знаков первых разностей при доверительной вероятности .

Ряд знаков первых разностей имеет вид :

-- -- -- + + + + + -- -- + -- --+ + -- -- + + + + -- --

Из него получаем число серий (5 серий „--" и 4 серии „+"). Из табл. 179 [1] для и имеем и .

Так как , гипотеза случайности выборки отклоняется.

Для нормальной аппроксимации имеем

Так как , то и этот критерий отклоняет гипотезу случайности ряда.

Рассмотрим теперь критерий с учетом длин серий. Вычисляем

В нашем случае имеются серия длины серий длины и серии длины . Находим

Так как , то используем критическое значение

Из того, что, следует, что и этот критерий отклоняет гипотезу случайности.

Задача 3

Проверить гипотезу случайности ряда значений, заданных в задаче 2, критерием ранговой автокорреляции при доверительной вероятности .

Имеем ряд ( -- порядковый номер в последовательности, -- ранг в последовательности):

Таблица 1 - Исходные данные

1	13	12	6	17	14	11	12	11	16	-3	2
2	8	8	7	21	16	12	9	9	17	49	19
3	7	7	8	34	17	13	3	5	18	50	20
4	4	6	9	48	18	14	18	15	19	0	3
5	10	10	10	1	4	15	-1	1	20	14	13

Вычисляем

и гипотеза случайности не отклоняется.

Задача 4

Проверить гипотезу случайности ряда значений, заданных в задаче 3, критерием Бартелса. число случайность шахнесси

Вычисляем (используем ранги, приведенные в задаче 3)

При и из табл. 182 [1] имеем

Тогда

Так как гипотеза случайности не отклоняется.

Заключение

В работе раскрыты понятия сериальных критериев таких как: критерий Вальда-Волфовитца, Рамачандрана-Ранганатана, Шахнесси, Олмстеда, критерий знаков первых разностей; а так же критерии ранговой корреляции: Вальда-Волфовитца и Бартлеса. С помощью их изучены теоретические подходы к анализу случайности выборки. На конкретных примерах рассмотрены использование данных критериев.

Список использованных источников

1 Кобзарь, А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников: научное издание /А.И. Кобзарь. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006,

2 Герасимович, А.И. Математическая статистика: учеб. пособие для инж. Тех. И экон. Спец. / А.И. Герасимович. - Мн.: Выcш.школа, 1983.

3 Математическая статистика: учеб. для вузов / В.Б. Бояринов [и др.]. Под ред.В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Из-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

4 Лагутин, М.Б. наглядная математическая статистика: учебное пособие / М.Б. Лагутин. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.

5 http://belstat.gov.by/

Размещено на Allbest.ru