Главная Коллекция "Otherreferats" Математика Оценка погрешности уравнения регрессии

Оценка погрешности уравнения регрессии

Определение математического ожидания, дисперсии, функции распределения, вероятности событий, ошибок измерений. Построение эмпирической функции распределения. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении. Оценка коэффициента корреляции.

Рубрика	Математика
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	13.05.2014
Размер файла	168,6 K

посмотреть текст работы

скачать работу можно здесь

полная информация о работе

весь список подобных работ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Нефтяная компания, изучив данные геологоразведки, оценивает вероятность обнаружения нефти в некотором районе как 0,3. Из предыдущего опыта подобных работ известно, что если нефть действительно должна быть обнаружена, первые пробные бурения дают положительные образцы с вероятностью 0,4. Если оказалось, что первые бурения дали отрицательный результат, какова вероятность того, что нефть, тем не менее, будет обнаружена в данном районе?

Решение

Пусть А: «Нефть не обнаружили в некотором районе».

Зададим гипотезы:

Н₁ = {Нефть есть},

H₂= {Нефти нет},

По условию P( H₁ ) = 0,3, P( H₂ ) = 0,7. Сумма их вероятностей равна 1.

Далее Р(А/Н₁) = 0,6, Р(А/Н₂) = 1.

Значение Р(А), вычислим по формуле полной вероятности

Р(А) = Р( Н₁ )Р( А/H₁ ) + P( H₂ )P( A/H₂ ) =0,3*0,6+0,7*1=0,88.

Событие А={Нефть не обнаружили в некотором районе} осуществилось, т.е. данная задача на формулу Байеса. Событие {нефть есть, но ее не обнаружили в некотором районе}? это гипотеза H₁ . По формуле Байеса

Ответ:

2. Число дефектов в изделии может быть любым - 0,1, 2, 3, 4 и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта - 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?

Решение

Пусть А: «в изделии не больше, чем один дефект»

А₁: «в изделии один дефект»

А₂: «в изделии нет дефектов»

События А₁ и А₂ несовместны. По теореме сложения для несовместных событий: Р(А)=P (A₁+A₂) = P (A₁) + P (A₂)=0,9+0,05=0,95

Ответ:0,95.

3. В программе экзамена 45 вопросов, из которых студент знает 30. В билете 3 вопроса. Случайная величина Х - число вопросов билета, которые знает студент.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5<X<3).

Решение

1) Пусть Х - число вопросов билета, которые знает студент.

Случайная величина Х может принять значения х1=0, х2=1, х3=2.

По формуле классической вероятности Р=, где m-благоприятствующее число исходов, n- общее число исходов.

Найдем Р(х1=0)=

Р(х2=1)=

Р(х3=2)=

Р(х4=3)=

Пользовались формулой

Получили закон гипергеометрического распределения:

Таблица 1

Х	0	1	2	3
P	0,03	0,22	0,46	0,29

Проверка: .

2)Найдем математическое ожидание

M(X) =0*0,03+1*0,22+2*0,46+3*0,29=2,01

Найдем дисперсию

D(Х)= 0*0,03+1*0,22+2*0,46+3*0,29-2,01²=0,6299

3)Найдем функцию распределения .

Пусть , тогда

Имеем

-функция распределения.

Построим ее график

Рис. 1

4) Найти вероятность P(0,5<X<3)=.

Ответ: 1)

Таблица 2

Х	0	1	2	3
P	0,03	0,22	0,46	0,29

2) M(X) =2,01 , D(Х)= 0,6299

4)р= 0,68

4. Ошибка измерения высоты полета гидрометеорологического спутника относительно наземной станции подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и средним квадратическим отклонением, равным 1 км. Ошибка принимает отрицательное значение, если измеряемая высота слишком мала и положительное значение, если измеряемая высота слишком велика. Найти вероятность того, что а) ошибка будет больше чем +0.75 км; б) значение ошибки будет заключено в пределах между + 0.10 км и + 0.60 км; в) ошибка будет меньше чем - 1.25 км.

Решение

А) По условию

Воспользуемся формулой

Б) Далее

В)

5. Отдел маркетинга крупной швейной фабрики провёл анкетирование 500 человек (женщин) по вопросу роста (Х) см и веса (Y) кг. В результате была выявлена следующая зависимость (таблица 2.2.1).

Требуется:

1 часть.

произвести выборку из 200 значений;

построить эмпирическую функцию распределения, полигон, гистограмму для случайной величины Х;

построить точечные и интервальные оценки для мат. ожидания и дисперсии генеральной совокупности Х;

сделать статистическую проверку гипотезы о законе распределения случайной величины Х;

часть 2.

1) нанести на координатную плоскость данные выборки (x;y) и по виду корреляционного облака подобрать вид функции регрессии;

2) составить корреляционную таблицу по сгруппированным данным;

вычислить коэффициент корреляции;

получить уравнение регрессии;

Решение

1) Произведём из генеральной совокупности N=500 выборку n=200 значений. Cлучайное число - 6316. Нужно выбрать столбцы 2,6,11,16.

Получилась выборка:

Таблица 3

156	387	50	80	371	323	332	296	105	149
176	171	166	182	165	168	170	181	161	169
65	70	57	76	59	62	76	68	66	67

Таблица 4

316	491	54	385	360	354	238	380	145	399	1	307	175
161	161	165	176	165	161	166	167	167	165	168	161	163
55	66	63	78	56	51	62	65	63	63	73	59	65

Таблица 5

458	5	163	277	189	240	265	98	73	16	255	112	410
168	175	161	171	184	173	166	170	172	176	162	157	188
66	66	52	63	72	63	67	61	74	81	60	60	75

Таблица 6

466	96	113	328	47	77	220	274	39	307	372	22	43
164	167	174	161	172	171	173	176	156	167	165	174	183
53	64	69	62	63	69	68	70	54	59	63	66	73

Таблица 7

221	412	255	364	249	418	374	120	154	473	70	438	64
173	165	164	171	172	171	166	164	164	169	169	163	173
71	67	61	60	72	65	62	56	63	65	75	54	75

Таблица 8

435	34	342	336	493	285	182	152	160	168	135	19	275
176	168	169	168	166	178	165	164	161	170	164	171	171
67	55	66	67	64	80	62	62	51	66	53	62	67

Таблица 9

353	204	273	5	341	219	76	345	456	337	417	114	351
163	167	165	159	171	174	164	166	161	169	163	168	166
63	64	63	60	66	67	59	78	55	64	64	58	63

Таблица 10

45	110	460	4	150	301	359	224	292	458	112	143	489
172	165	166	171	161	163	165	172	167	176	174	169	167
69	76	71	75	56	58	72	66	57	70	69	71	61

Таблица 11

22	55	259	303	351	68	113	143	315	280	187	184	416
176	175	167	480	176	176	168	175	177	167	170	158	171
75	80	64	75	65	71	58	67	78	65	69	61	62

Таблица 12

24	146	420	478	453	473	162	145	42	470	45	380	83
176	172	165	178	157	167	169	172	177	159	172	169	164
60	64	60	71	60	63	62	64	67	61	60	61	70

Таблица 13

262	23	465	190	292	367	5	295	323	172	422	153	438
174	176	159	169	164	165	159	165	173	172	173	167	167
74	75	48	67	60	61	60	60	63	67	66	68	57

Таблица 14

351	462	337	42	139	187	242	359	90	482	45	358	251
176	168	175	183	170	165	176	165	182	173	172	166	163
65	67	59	73	61	69	62	56	66	65	60	61	65

Таблица 15

62	130	286	361	183	79	371	378	419	307	56	374	168
173	161	159	166	163	163	165	168	172	167	171	168	164
66	66	55	55	64	58	63	71	67	59	67	70	60

Таблица 16

43	298	239	145	325	65	153	373	9	340	142	192	260
163	173	167	172	162	156	164	160	170	171	174	167	170
63	66	60	64	65	53	63	61	68	64	70	65	58

Таблица 17

116	26	253	59	202	439	21	199	221	332	273	286	106
170	172	166	164	172	167	155	159	165	173	176	171	162
65	67	62	60	73	57	61	55	68	65	70	65	66

Таблица 18

468	103	240	106	424	414	296	283
165	173	169	190	169	169	170	162
61	64	74	80	58	59	75	53

Составим ранжированный (по увеличению) ряд для случайной величины Х.

Таблица 19

X	155	156	156	157	157	157	158	159	159	159	159	159	159
Y	61	53	54	60	60	53	61	55	60	48	61	55	60

Таблица 20

160	161	161	161	161	161	161	161	161	161	161	161
61	66	56	55	51	66	55	66	52	62	51	59

Таблица 21

162	162	162	162	163
66	53	65	60	65

Таблица 22

163	163	163	163	163	163	164	164	164	164	164	164	164
58	63	65	63	64	54	62	53	59	63	53	56	61

Таблица 23

164	164	164	164	164	165	165	165	165	165	165	165	165	165	165
70	60	60	63	60	76	63	63	62	67	56	69	60	72	60

Таблица 24

165	165	165	165	165	165	165	166	166	166	166	166	166	166
61	59	56	63	68	63	63	62	71	78	60	55	64	57

Таблица 25

166	166	166	166	167	167	167	167	167	167	167	167	167	167
62	63	62	67	64	65	64	59	60	65	57	63	59	64

Таблица 26

167	167	167	167	167	167	168	168	168	168	168	168	168	168	168	168
57	61	65	68	57	63	66	58	67	73	62	70	67	58	67	55

Таблица 27

169	169	169	169	169	169	169	169	169	169	169	170	170
65	75	71	64	64	67	61	62	74	58	66	61	66

Таблица 28

170	170	170	170	170	170	170	170	171	171	171	171	171	171	171
75	76	65	68	69	58	61	73	75	62	65	67	62	64	67

Таблица 29

171	171	171	171	171	171	171	172	172	172	172	172	172	172
65	70	60	63	69	64	66	73	67	64	67	64	72	64

Таблица 30

172	172	172	172	172	172	172	173	173	173	173	173	173
60	67	60	66	69	63	74	75	64	66	65	66	63

Таблица 31

173	173	173	173	173	174	174	174	174	174	174	175	175	175
66	71	63	63	68	70	74	69	67	66	69	66	59	67

Таблица 32

175	176	176	176	176	176	176	176	176	176	176	176	176	176	176	177	177
80	70	70	62	78	65	65	81	67	70	75	60	71	65	75	67	78

Таблица 33

178	178	180	181	182	182	183	183	184	188	190
71	80	75	68	66	76	73	73	72	75	80

Cоставим новую таблицу, в которой отразим частоты появления случайных величин и относительные частоты .

Таблица 34

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	155	156	157	158	159	160	161	162	163	164	165	166
	1	2	3	1	6	1	11	4	7	12	17	11

Таблица 35

i	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
	167	168	169	170	171	172	173	174	175	176	177	178
	16	11	11	10	14	14	11	6	4	14	2	2

Таблица 36

i	25	26	27	28	29	30	31
	180	181	182	183	184	188	190
	1	1	2	2	1	1	1

Минимальное и максимальное значения случайной величины: Тогда интервал варьирования R («размах») будет равен R= . Длину интервала рассчитывают по формуле:

=4,18

округлим до 4, т.е. размер интервала h=4, а число интервалов будет равно 9.

Соответствующий интервальный вариационный ряд приведён в таблице

Таблица 37

Индекс интервала i	Число покупателей (интервалы)	Частота	Относительная частота
1	155-159	13	13/200
2	159-163	23	23/200
3	163-167	56	56/200
4	167-171	46	46/200
5	171-175	35	35/200
6	175-179	18	18/200
7	179-183	6	6/200
8	183-187	1	1/200
9	187-191	2	2/200

2) После составления вариационного ряда необходимо построить функцию распределения выборки или эмпирическую функцию

F*(x)=,

то есть функцию, найденную опытным путём. Здесь - относительная частота события Х< х, n - общее число значений. Эмпирическое распределение можно изобразить в виде полигона, гистограммы или ступенчатой кривой. Построим выборочную функцию распределения. Очевидно, что для функция так как . На концах интервалов значения функции рассчитаем в виде «нарастающей относительной частоты»

Таблица 38 «Расчёт эмпирической функции распределения»

Индекс интервала i
1	13/200
2	13/200+23/200=36/200
3	36/200+56/200=92/200
4	92/200+46/200=138/200
5	138/200+35/200=173/200
6	173/200+18/200=191/200
7	191/200+6/200=197/200
8	197/200+1/200=198/200
9	198/200+2/200=1

Табличные значения не полностью определяют выборочную функцию распределения непрерывной случайной величины, поэтому при графическом изображении её доопределяют, соединив точки графика, соответствующие концам интервала, отрезками прямой .

Полученные данные, представленные в виде вариационного ряда, изобразим графически в виде ломаной линии (полигона), связывающей на плоскости точки с координатами , где - среднее значение интервала , а - относительная частота. На этом же рисунке отобразим пунктирной линией выравнивающие (теоретические) частоты.

Рис. 2

Таблица 39 Дискретный вариационный ряд

Номер интервала i	Среднее значение интервала	Относительная частота	Выборочная оценка плотности вероятности
1	157	13/200	0,01625
2	161	23/200	0,02875
3	165	56/200	0,07
4	169	46/200	0,0575
5	173	35/200	0,04375
6	177	18/200	0,0225
7	181	6/200	0,0075
8	185	1/200	0,00125
9	189	2/200	0,0025

Рис. 3

На основании полученных выборочных данных необходимо сделать предположение, что изучаемая величина распределена по некоторому определённому закону. Для того чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты полученных в наблюдениях значений, т.е. находят теоретически сколько раз величина Х должна была принять каждое из наблюдавшихся значений, если она распределена по предполагаемому закону. Для этого находят выравнивающие (теоретические) частоты по формуле:

где n - число испытаний,

- вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.

Эмпирические (полученные из таблицы) и выравнивающие частоты сравнивают, и при небольшом расхождении данных делают заключение о выбранном законе распределения.

Предположим, что случайная величина Х распределена нормально. В этом случае выравнивающие частоты находят по формуле:

где n - число испытаний,

h - длина частичного интервала,

- выборочное среднее квадратичное отклонение,

( - середина i - го частичного интервала)

- функция Лапласа

Результаты вычислений отобразим в таблице

Таблица 40

Номер Интервала k	Центр Интервала xk*	Границы Интервала [xk-1 , xk ]	nk*/n	Hk
1	156.94444	155.00000...158.88889	0.03500	0.00900
2	160.83333	158.88889...162.77778	0.11000	0.02829
3	164.72222	162.77778...166.66667	0.23500	0.06043
4	168.61111	166.66667...170.55556	0.24000	0.06171
5	172.50000	170.55556...174.44444	0.22500	0.05786
6	176.38889	174.44444...178.33333	0.11000	0.02829
7	180.27778	178.33333...182.22222	0.02000	0.00514
8	184.16667	182.22222...186.11111	0.01500	0.00386
9	188.05556	186.11111...190.00000	0.01000	0.00257

Рис. 4

1) Найдём числовые характеристики вариационного ряда.

Выборочная средняя ():

или ,

где - частоты,

а -объём выборки. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания (среднего значения теоретического закона распределения).

168.62.

Выборочная дисперсия ():

= 36.6689

Среднеквадратическое отклонение:

==6,05548

Найдем несмещённую оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения («исправленную» выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение) по формулам:

==36,853165 и S=6,055=6,070118625

Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95 определяют по формуле:

P(-tФ(t)=

Из соотношения Ф(z)=/2 вычисляют значение функции Лапласа: Ф(z)=0,475. По таблице значений функции Лапласа находят z=1,96. Таким образом,

168.62-1,96,

167,78<a<169,459.

Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины находят по формуле:

где S - несмещённое значение выборочного среднего квадратичного отклонения;

q - параметр, который находится по таблице на основе известного объёма выборки n и заданной надёжности оценки .

На основании данных значений =0,95 и n=200 по таблице (Приложение В) можно найти значение q=0,099. Таким образом,

5,509<

4)Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (r=2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Таблица 41

i			Ф()
0		0	-0,5	0,0268	5,36
	157		-0,4732
1	157	13	-0,4732	0,077	15,4
	161		-0,3962
2	161	23	-0,3962	0,1705	34,1
	165		-0,2257
3	165	56	-0,2257	0,2496	49,92
	169		0,0239
4	169	46	0,0239	0,2403	48,06
	173		0,2642
5	173	35	0,2642	0,1535	30,7
	177		0,4177
6	177	18	0,4177	0,0626	12,52
	181		0,4803
7	181	6	0,4803	0,0162	3,24
	185		0,4965
8	185	1	0,4965	0,0029	0,58
	189		0,4994
9	189	2	0,4994	0,0006	0,12
	+		0,5

Вычислим сумму Пирсона =

=16,15

По таблице можно найти число по схеме: для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы l=k-r-1=9-2-1=6=12,6. Следовательно, критическая область - (12,6;). Величина =16,15 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, отвергается.

При б=0,1 =10,6. Критическая область - (10,6;). Величина =16,15 также входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х не принимается.

При б=0,01 =16,8 (16,8;). В этом случае гипотеза о нормальном законе распределения величины Х принимается.

2 часть

1) Данные сгруппируем в корреляционную таблицу.

2) Строим в системе координат множество, состоящее из 200 экспериментальных точек.

По расположению точек делаем заключение о том, что экономико-математическую модель можно искать в виде .

3) Найдём выборочные уравнения линейной регрессии.

Для упрощения расчётов разобьём случайные величины на интервалы и выберем средние значения. Для величины Х указанные действия были выполнены в 1 части задания.

1. Вычисляем коэффициент ковариации.

Коэффициент ковариации характеризует степень линейной зависимости двух случайных величин Х и Y и вычисляется по формуле:

cov(X,Y) = 1/n У ⁿ_{k = 1}(x_k-M_x)(y_k-M_y) (1.1),

где M_x = 1 / n Уⁿ_{k = 1}x_k, M_y = 1 / n Уⁿ_{k = 1}y_k ( 1.2 ),

- оценки математического ожидания случайных величин X и Y соответственно.

То есть, ковариация, это математическое ожидание произведения центрированных случайных величин 1.1. Вычислим оценку математического ожидания случайной величины Х. При больших объемах выборки числитель и знаменатель дроби (1.2) могут принимать большие значения, что, в свою очередь, может привести к потере точности. Поэтому при практических вычислениях лучше избегать суммирования большого числа слагаемых. В нашем случае объем выборки n = 200, и поэтому лучше суммировать по 10 элементов:

S₁ = x₁ +…+ x₁₀, S₂ = x₁₁ +…+ x₂₀, - - - - - - - - - - - S₂₀ = x₁₉₁ +…+ x₂₀₀,

Затем делим S₁, S₂,..., S₂₀ на 10.

В дробях

s₁ = S₁ /10 , s₂ = S₂ /10 , s₂₀= S₂₀ /10

числитель и знаменатель не столь велики, как в формуле ( 1.2 ) затем вычисляем

M_x = (s₁ + s₂ + ... + s₂₀ )/20

1.1.1. Складывая последовательно по 10 элементов выборки X получим следующие значения для S_{k :}

1573 1603 1616 1634 1642 1650 1655 1664 1670 1678 1687 1696 1706 1712 1720 1728 1738 1757 1764 1831

1.1.2. Каждое из чисел S₁, S₂,…, S₂₀ делим на 10. Получаем 20 чисел

s_k = S_k/10:

157.3 160.3 161.6 163.4 164.2 165 165.5 166.4 167 167.8 168.7 169.6 170.6 171.2 172 172.8 173.8 175.7 176.4 183.1

1.1.3. Искомая оценка математического ожидания X есть

M_x = (s₁ + s₂ + ... + s₂₀ )/ 20 = 3372.4 / 20 =168,6

1.2. Аналогичным образом вычислим оценку математического ожидания случайной величины Y.

1.2.1. Складывая последовательно по 10 элементов выборки Y получим следующие значения для S_{k :}

565 586 599 594 632 622 647 623 616 651 658 662 661 663 659 662 675 708 717 718

1.2.2. Каждое из чисел S₁, S₂,…, S₂₀ делим на 10. Получаем 20 чисел

s_k = S_k/10 :

56.5 58.6 59.9 59.4 63.2 62.2 64.7 62.3 61.6 65.1 65.8 66.2 66.1 66.3 65.9 66.2 67.5 70.8 71.7 71.8

1.2.3. Искомая оценка математического ожидания Y есть

M_x = (s₁ + s₂ + ... + s₂₀ )/ 20 = 1291,8 / 20 =64,59

1.3. Вычислим значения центрированных величин (x_k-M_x) и (y_k-M_y) для всех элементов выборки. Результаты занесем в таблицу 1. 1.4. Вычислим произведение центрированных величин (x_k-M_x)*(y_k-M_y). Результаты занесем в таблицу 1.

Таблица 1

k	xk	yk	( хk-Mx )	( yk-My )	( хk-Mx )*( yk-My )
1	155	61	-13.62000	-3.59000	48.89580
2	156	53	-12.62000	-11.59000	146.26580
3	156	54	-12.62000	-10.59000	133.64580
4	157	60	-11.62000	-4.59000	53.33580
5	157	60	-11.62000	-4.59000	53.33580
6	157	53	-11.62000	-11.59000	134.67580
7	158	61	-10.62000	-3.59000	38.12580
8	159	55	-9.62000	-9.59000	92.25580
9	159	60	-9.62000	-4.59000	44.15580
10	159	48	-9.62000	-16.59000	159.59580
11	159	61	-9.62000	-3.59000	34.53580
12	159	55	-9.62000	-9.59000	92.25580
13	159	60	-9.62000	-4.59000	44.15580
14	160	61	-8.62000	-3.59000	30.94580
15	161	66	-7.62000	1.41000	-10.74420
16	161	56	-7.62000	-8.59000	65.45580
17	161	55	-7.62000	-9.59000	73.07580
18	161	51	-7.62000	-13.59000	103.55580
19	161	66	-7.62000	1.41000	-10.74420
20	161	55	-7.62000	-9.59000	73.07580
21	161	66	-7.62000	1.41000	-10.74420
22	161	52	-7.62000	-12.59000	95.93580
23	161	62	-7.62000	-2.59000	19.73580
24	161	51	-7.62000	-13.59000	103.55580
25	161	59	-7.62000	-5.59000	42.59580
26	162	66	-6.62000	1.41000	-9.33420
27	162	53	-6.62000	-11.59000	76.72580
28	162	65	-6.62000	0.41000	-2.71420
29	162	60	-6.62000	-4.59000	30.38580
30	163	65	-5.62000	0.41000	-2.30420
31	163	58	-5.62000	-6.59000	37.03580
32	163	63	-5.62000	-1.59000	8.93580
33	163	65	-5.62000	0.41000	-2.30420
34	163	64	-5.62000	-0.59000	3.31580
35	163	54	-5.62000	-10.59000	59.51580
36	163	62	-5.62000	-2.59000	14.55580
37	164	53	-4.62000	-11.59000	53.54580
38	164	59	-4.62000	-5.59000	25.82580
39	164	63	-4.62000	-1.59000	7.34580
40	164	53	-4.62000	-11.59000	53.54580
41	164	56	-4.62000	-8.59000	39.68580
42	164	61	-4.62000	-3.59000	16.58580
43	164	70	-4.62000	5.41000	-24.99420
44	164	60	-4.62000	-4.59000	21.20580
45	164	60	-4.62000	-4.59000	21.20580
46	164	63	-4.62000	-1.59000	7.34580
47	164	60	-4.62000	-4.59000	21.20580
48	164	76	-4.62000	11.41000	-52.71420
49	165	63	-3.62000	-1.59000	5.75580
50	165	63	-3.62000	-1.59000	5.75580
51	165	62	-3.62000	-2.59000	9.37580
52	165	67	-3.62000	2.41000	-8.72420
53	165	56	-3.62000	-8.59000	31.09580
54	165	69	-3.62000	4.41000	-15.96420
55	165	60	-3.62000	-4.59000	16.61580
56	165	72	-3.62000	7.41000	-26.82420
57	165	60	-3.62000	-4.59000	16.61580
58	165	61	-3.62000	-3.59000	12.99580
59	165	59	-3.62000	-5.59000	20.23580
60	165	56	-3.62000	-8.59000	31.09580
61	165	63	-3.62000	-1.59000	5.75580
62	165	68	-3.62000	3.41000	-12.34420
63	165	63	-3.62000	-1.59000	5.75580
64	165	63	-3.62000	-1.59000	5.75580
65	165	62	-3.62000	-2.59000	9.37580
66	166	71	-2.62000	6.41000	-16.79420
67	166	78	-2.62000	13.41000	-35.13420
68	166	60	-2.62000	-4.59000	12.02580
69	166	55	-2.62000	-9.59000	25.12580
70	166	64	-2.62000	-0.59000	1.54580
71	166	57	-2.62000	-7.59000	19.88580
72	166	62	-2.62000	-2.59000	6.78580
73	166	63	-2.62000	-1.59000	4.16580
74	166	62	-2.62000	-2.59000	6.78580
75	166	67	-2.62000	2.41000	-6.31420
76	166	64	-2.62000	-0.59000	1.54580
77	167	65	-1.62000	0.41000	-0.66420
78	167	64	-1.62000	-0.59000	0.95580
79	167	59	-1.62000	-5.59000	9.05580
80	167	60	-1.62000	-4.59000	7.43580
81	167	65	-1.62000	0.41000	-0.66420
82	167	57	-1.62000	-7.59000	12.29580
83	167	63	-1.62000	-1.59000	2.57580
84	167	59	-1.62000	-5.59000	9.05580
85	167	64	-1.62000	-0.59000	0.95580
86	167	57	-1.62000	-7.59000	12.29580
87	167	61	-1.62000	-3.59000	5.81580
88	167	65	-1.62000	0.41000	-0.66420
89	167	68	-1.62000	3.41000	-5.52420
90	167	57	-1.62000	-7.59000	12.29580
91	167	63	-1.62000	-1.59000	2.57580
92	167	66	-1.62000	1.41000	-2.28420
93	168	58	-0.62000	-6.59000	4.08580
94	168	67	-0.62000	2.41000	-1.49420
95	168	73	-0.62000	8.41000	-5.21420
96	168	62	-0.62000	-2.59000	1.60580
97	168	70	-0.62000	5.41000	-3.35420
98	168	67	-0.62000	2.41000	-1.49420
99	168	58	-0.62000	-6.59000	4.08580
100	168	67	-0.62000	2.41000	-1.49420
101	168	55	-0.62000	-9.59000	5.94580
102	168	65	-0.62000	0.41000	-0.25420
103	168	75	-0.62000	10.41000	-6.45420
104	169	71	0.38000	6.41000	2.43580
105	169	64	0.38000	-0.59000	-0.22420
106	169	64	0.38000	-0.59000	-0.22420
107	169	67	0.38000	2.41000	0.91580
108	169	61	0.38000	-3.59000	-1.36420
109	169	62	0.38000	-2.59000	-0.98420
110	169	74	0.38000	9.41000	3.57580
111	169	58	0.38000	-6.59000	-2.50420
112	169	66	0.38000	1.41000	0.53580
113	169	61	0.38000	-3.59000	-1.36420
114	169	66	0.38000	1.41000	0.53580
115	170	75	1.38000	10.41000	14.36580
116	170	76	1.38000	11.41000	15.74580
117	170	65	1.38000	0.41000	0.56580
118	170	68	1.38000	3.41000	4.70580
119	170	69	1.38000	4.41000	6.08580
120	170	58	1.38000	-6.59000	-9.09420
121	170	61	1.38000	-3.59000	-4.95420
122	170	73	1.38000	8.41000	11.60580
123	170	75	1.38000	10.41000	14.36580
124	170	62	1.38000	-2.59000	-3.57420
125	171	65	2.38000	0.41000	0.97580
126	171	67	2.38000	2.41000	5.73580
127	171	62	2.38000	-2.59000	-6.16420
128	171	64	2.38000	-0.59000	-1.40420
129	171	67	2.38000	2.41000	5.73580
130	171	65	2.38000	0.41000	0.97580
131	171	70	2.38000	5.41000	12.87580
132	171	60	2.38000	-4.59000	-10.92420
133	171	63	2.38000	-1.59000	-3.78420
134	171	69	2.38000	4.41000	10.49580
135	171	64	2.38000	-0.59000	-1.40420
136	171	66	2.38000	1.41000	3.35580
137	171	73	2.38000	8.41000	20.01580
138	171	67	2.38000	2.41000	5.73580
139	172	64	3.38000	-0.59000	-1.99420
140	172	67	3.38000	2.41000	8.14580
141	172	64	3.38000	-0.59000	-1.99420
142	172	72	3.38000	7.41000	25.04580
143	172	64	3.38000	-0.59000	-1.99420
144	172	60	3.38000	-4.59000	-15.51420
145	172	67	3.38000	2.41000	8.14580
146	172	60	3.38000	-4.59000	-15.51420
147	172	66	3.38000	1.41000	4.76580
148	172	69	3.38000	4.41000	14.90580
149	172	63	3.38000	-1.59000	-5.37420
150	172	74	3.38000	9.41000	31.80580
151	172	75	3.38000	10.41000	35.18580
152	172	64	3.38000	-0.59000	-1.99420
153	173	66	4.38000	1.41000	6.17580
154	173	65	4.38000	0.41000	1.79580
155	173	66	4.38000	1.41000	6.17580
156	173	63	4.38000	-1.59000	-6.96420
157	173	66	4.38000	1.41000	6.17580
158	173	71	4.38000	6.41000	28.07580
159	173	63	4.38000	-1.59000	-6.96420
160	173	63	4.38000	-1.59000	-6.96420
161	173	68	4.38000	3.41000	14.93580
162	173	70	4.38000	5.41000	23.69580
163	173	74	4.38000	9.41000	41.21580
164	174	69	5.38000	4.41000	23.72580
165	174	67	5.38000	2.41000	12.96580
166	174	66	5.38000	1.41000	7.58580
167	174	69	5.38000	4.41000	23.72580
168	174	66	5.38000	1.41000	7.58580
169	174	59	5.38000	-5.59000	-30.07420
170	175	67	6.38000	2.41000	15.37580
171	175	80	6.38000	15.41000	98.31580
172	175	70	6.38000	5.41000	34.51580
173	175	70	6.38000	5.41000	34.51580
174	176	62	7.38000	-2.59000	-19.11420
175	176	78	7.38000	13.41000	98.96580
176	176	65	7.38000	0.41000	3.02580
177	176	65	7.38000	0.41000	3.02580
178	176	81	7.38000	16.41000	121.10580
179	176	67	7.38000	2.41000	17.78580
180	176	70	7.38000	5.41000	39.92580
181	176	75	7.38000	10.41000	76.82580
182	176	60	7.38000	-4.59000	-33.87420
183	176	71	7.38000	6.41000	47.30580
184	176	65	7.38000	0.41000	3.02580
185	176	75	7.38000	10.41000	76.82580
186	176	67	7.38000	2.41000	17.78580
187	176	78	7.38000	13.41000	98.96580
188	177	71	8.38000	6.41000	53.71580
189	177	80	8.38000	15.41000	129.13580
190	178	75	9.38000	10.41000	97.64580
191	178	68	9.38000	3.41000	31.98580
192	180	66	11.38000	1.41000	16.04580
193	181	76	12.38000	11.41000	141.25580
194	182	73	13.38000	8.41000	112.52580
195	182	73	13.38000	8.41000	112.52580
196	183	72	14.38000	7.41000	106.55580
197	183	75	14.38000	10.41000	149.69580
198	184	80	15.38000	15.41000	237.00580
199	188	66	19.38000	1.41000	27.32580
200	190	69	21.38000	4.41000	94.28580

1.5. Вычислим ковариацию cov(X,Y) как среднее значение элементов 6-го столбца таблицы 1.

1.5.1. Складывая последовательно по 10 элементов выборки Y получим следующие значения для S_{k :}

904.288 495.568 343.838 261.318 61.038 86.518 1.068 49.638 48.438 -2.982 3.368 29.578 23.298 42.518 44.278 60.698 140.738 432.068 567.358 1029.208

1.5.2. Каждое из чисел S₁, S₂,…, S₂₀ делим на 10. Получаем 20 чисел

s_k = S_k/10:

90.4288 49.5568 34.3838 26.1318 6.1038 8.6518 0.1068 4.9638 4.8438 -0.2982 0.3368 2.9578 2.3298 4.2518 4.4278 6.0698 14.0738 43.2068 56.7358 102.9208

1.5.3. Искомая оценка коэффициента ковариации cov(X,Y) есть

M_x = (s₁ + s₂ + ... + s₂₀ )/ 20 = 462.184 / 20 = 23,1092

ОТВЕТ: cov(X,Y) = 23.1092

2. Вычисляем коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции -- это показатель взаимного вероятностного влияния двух случайных величин. Коэффициент корреляции R может принимать значения от -1 до +1. Если абсолютное значение находится ближе к 1, то это свидетельство сильной связи между величинами, а если ближе к 0 -- то, это говорит о слабой связи или ее отсутствии. Если абсолютное значение R равно единице, то можно говорить о функциональной связи между величинами, то есть одну величину можно выразить через другую посредством математической функции.

Вычислить коэффициент корреляции можно по следующим формулам:

R_x,y = cov( X,Y ) /у_xу_y ( 2.1 ),

где cov( X,Y ) - ковариация случайных величин Х и Y

у_x² = 1 /n Уⁿ _k_{= 1} (x_k-M_x)² , у_y² = 1 / n Уⁿ _k_{= 1} (y_k-M_y)² (2.2),

- оценки дисперсий случайных величин X и Y соответственно.

M_x = 1 /n Уⁿ _{k = 1}x_k , M_y = 1 / n Уⁿ _{k = 1} y_k ( 2.3 ),

- оценки математического ожидания случайных величин X и Y соответственно.

или по формуле

R_x,y = (M_xy - M_xM_y) / S_xS_y (2.4), где:

M_x = 1 /n Уⁿ _{k = 1} x_k , M_y = 1 / n Уⁿ _{k = 1} y_k ,

M_xy = 1 /n Уⁿ _{k = 1}x_ky_k ( 2.5 )

S_x² = 1 / n Уⁿ _{k = 1}(x_k² - M_x²) , S_y² = 1 / n Уⁿ _{k = 1} y_k² - M_y² ( 2.6 )

На практике, для вычисления коэффициента корреляции чаще используется формула (2.4) т.к. она требует меньше вычислений. Однако если предварительно была вычислена ковариация cov(X,Y), то выгоднее использовать формулу (2.1), т.к. кроме собственно значения ковариации можно воспользоваться и результатами промежуточных вычислений.

2.1 Вычислим коэффициент корреляции по формуле (2.1) для этого воспользуемся результатами, представленными в таблице 1, дополнив последнюю двумя новыми столбцами в которые запишем (предварительно вычислив) значения квадратов центрированных случайных величин (x_k-M_x)² и (y_k-M_y)². Получим таблицу 2.

Таблица 2

k	xk	yk	( хk-Mx )	( хk-Mx )2	( yk-My )	( yk-My )2
1	155	61	-13.62000	185.50440	-3.59000	12.88810
2	156	53	-12.62000	159.26440	-11.59000	134.32810
3	156	54	-12.62000	159.26440	-10.59000	112.14810
4	157	60	-11.62000	135.02440	-4.59000	21.06810
5	157	60	-11.62000	135.02440	-4.59000	21.06810
6	157	53	-11.62000	135.02440	-11.59000	134.32810
7	158	61	-10.62000	112.78440	-3.59000	12.88810
8	159	55	-9.62000	92.54440	-9.59000	91.96810
9	159	60	-9.62000	92.54440	-4.59000	21.06810
10	159	48	-9.62000	92.54440	-16.59000	275.22810
11	159	61	-9.62000	92.54440	-3.59000	12.88810
12	159	55	-9.62000	92.54440	-9.59000	91.96810
13	159	60	-9.62000	92.54440	-4.59000	21.06810
14	160	61	-8.62000	74.30440	-3.59000	12.88810
15	161	66	-7.62000	58.06440	1.41000	1.98810
16	161	56	-7.62000	58.06440	-8.59000	73.78810
17	161	55	-7.62000	58.06440	-9.59000	91.96810
18	161	51	-7.62000	58.06440	-13.59000	184.68810
19	161	66	-7.62000	58.06440	1.41000	1.98810
20	161	55	-7.62000	58.06440	-9.59000	91.96810
21	161	66	-7.62000	58.06440	1.41000	1.98810
22	161	52	-7.62000	58.06440	-12.59000	158.50810
23	161	62	-7.62000	58.06440	-2.59000	6.70810
24	161	51	-7.62000	58.06440	-13.59000	184.68810
25	161	59	-7.62000	58.06440	-5.59000	31.24810
26	162	66	-6.62000	43.82440	1.41000	1.98810
27	162	53	-6.62000	43.82440	-11.59000	134.32810
28	162	65	-6.62000	43.82440	0.41000	0.16810
29	162	60	-6.62000	43.82440	-4.59000	21.06810
30	163	65	-5.62000	31.58440	0.41000	0.16810
31	163	58	-5.62000	31.58440	-6.59000	43.42810
32	163	63	-5.62000	31.58440	-1.59000	2.52810
33	163	65	-5.62000	31.58440	0.41000	0.16810
34	163	64	-5.62000	31.58440	-0.59000	0.34810
35	163	54	-5.62000	31.58440	-10.59000	112.14810
36	163	62	-5.62000	31.58440	-2.59000	6.70810
37	164	53	-4.62000	21.34440	-11.59000	134.32810
38	164	59	-4.62000	21.34440	-5.59000	31.24810
39	164	63	-4.62000	21.34440	-1.59000	2.52810
40	164	53	-4.62000	21.34440	-11.59000	134.32810
41	164	56	-4.62000	21.34440	-8.59000	73.78810
42	164	61	-4.62000	21.34440	-3.59000	12.88810
43	164	70	-4.62000	21.34440	5.41000	29.26810
44	164	60	-4.62000	21.34440	-4.59000	21.06810
45	164	60	-4.62000	21.34440	-4.59000	21.06810
46	164	63	-4.62000	21.34440	-1.59000	2.52810
47	164	60	-4.62000	21.34440	-4.59000	21.06810
48	164	76	-4.62000	21.34440	11.41000	130.18810
49	165	63	-3.62000	13.10440	-1.59000	2.52810
50	165	63	-3.62000	13.10440	-1.59000	2.52810
51	165	62	-3.62000	13.10440	-2.59000	6.70810
52	165	67	-3.62000	13.10440	2.41000	5.80810
53	165	56	-3.62000	13.10440	-8.59000	73.78810
54	165	69	-3.62000	13.10440	4.41000	19.44810
55	165	60	-3.62000	13.10440	-4.59000	21.06810
56	165	72	-3.62000	13.10440	7.41000	54.90810
57	165	60	-3.62000	13.10440	-4.59000	21.06810
58	165	61	-3.62000	13.10440	-3.59000	12.88810
59	165	59	-3.62000	13.10440	-5.59000	31.24810
60	165	56	-3.62000	13.10440	-8.59000	73.78810
61	165	63	-3.62000	13.10440	-1.59000	2.52810
62	165	68	-3.62000	13.10440	3.41000	11.62810
63	165	63	-3.62000	13.10440	-1.59000	2.52810
64	165	63	-3.62000	13.10440	-1.59000	2.52810
65	165	62	-3.62000	13.10440	-2.59000	6.70810
66	166	71	-2.62000	6.86440	6.41000	41.08810
67	166	78	-2.62000	6.86440	13.41000	179.82810
68	166	60	-2.62000	6.86440	-4.59000	21.06810
69	166	55	-2.62000	6.86440	-9.59000	91.96810
70	166	64	-2.62000	6.86440	-0.59000	0.34810
71	166	57	-2.62000	6.86440	-7.59000	57.60810
72	166	62	-2.62000	6.86440	-2.59000	6.70810
73	166	63	-2.62000	6.86440	-1.59000	2.52810
74	166	62	-2.62000	6.86440	-2.59000	6.70810
75	166	67	-2.62000	6.86440	2.41000	5.80810
76	166	64	-2.62000	6.86440	-0.59000	0.34810
77	167	65	-1.62000	2.62440	0.41000	0.16810
78	167	64	-1.62000	2.62440	-0.59000	0.34810
79	167	59	-1.62000	2.62440	-5.59000	31.24810
80	167	60	-1.62000	2.62440	-4.59000	21.06810
81	167	65	-1.62000	2.62440	0.41000	0.16810
82	167	57	-1.62000	2.62440	-7.59000	57.60810
83	167	63	-1.62000	2.62440	-1.59000	2.52810
84	167	59	-1.62000	2.62440	-5.59000	31.24810
85	167	64	-1.62000	2.62440	-0.59000	0.34810
86	167	57	-1.62000	2.62440	-7.59000	57.60810
87	167	61	-1.62000	2.62440	-3.59000	12.88810
88	167	65	-1.62000	2.62440	0.41000	0.16810
89	167	68	-1.62000	2.62440	3.41000	11.62810
90	167	57	-1.62000	2.62440	-7.59000	57.60810
91	167	63	-1.62000	2.62440	-1.59000	2.52810
92	167	66	-1.62000	2.62440	1.41000	1.98810
93	168	58	-0.62000	0.38440	-6.59000	43.42810
94	168	67	-0.62000	0.38440	2.41000	5.80810
95	168	73	-0.62000	0.38440	8.41000	70.72810
96	168	62	-0.62000	0.38440	-2.59000	6.70810
97	168	70	-0.62000	0.38440	5.41000	29.26810
98	168	67	-0.62000	0.38440	2.41000	5.80810
99	168	58	-0.62000	0.38440	-6.59000	43.42810
100	168	67	-0.62000	0.38440	2.41000	5.80810
101	168	55	-0.62000	0.38440	-9.59000	91.96810
102	168	65	-0.62000	0.38440	0.41000	0.16810
103	168	75	-0.62000	0.38440	10.41000	108.36810
104	169	71	0.38000	0.14440	6.41000	41.08810
105	169	64	0.38000	0.14440	-0.59000	0.34810
106	169	64	0.38000	0.14440	-0.59000	0.34810
107	169	67	0.38000	0.14440	2.41000	5.80810
108	169	61	0.38000	0.14440	-3.59000	12.88810
109	169	62	0.38000	0.14440	-2.59000	6.70810
110	169	74	0.38000	0.14440	9.41000	88.54810
111	169	58	0.38000	0.14440	-6.59000	43.42810
112	169	66	0.38000	0.14440	1.41000	1.98810
113	169	61	0.38000	0.14440	-3.59000	12.88810
114	169	66	0.38000	0.14440	1.41000	1.98810
115	170	75	1.38000	1.90440	10.41000	108.36810
116	170	76	1.38000	1.90440	11.41000	130.18810
117	170	65	1.38000	1.90440	0.41000	0.16810
118	170	68	1.38000	1.90440	3.41000	11.62810
119	170	69	1.38000	1.90440	4.41000	19.44810
120	170	58	1.38000	1.90440	-6.59000	43.42810
121	170	61	1.38000	1.90440	-3.59000	12.88810
122	170	73	1.38000	1.90440	8.41000	70.72810
123	170	75	1.38000	1.90440	10.41000	108.36810
124	170	62	1.38000	1.90440	-2.59000	6.70810
125	171	65	2.38000	5.66440	0.41000	0.16810
126	171	67	2.38000	5.66440	2.41000	5.80810
127	171	62	2.38000	5.66440	-2.59000	6.70810
128	171	64	2.38000	5.66440	-0.59000	0.34810
129	171	67	2.38000	5.66440	2.41000	5.80810
130	171	65	2.38000	5.66440	0.41000	0.16810
131	171	70	2.38000	5.66440	5.41000	29.26810
132	171	60	2.38000	5.66440	-4.59000	21.06810
133	171	63	2.38000	5.66440	-1.59000	2.52810
134	171	69	2.38000	5.66440	4.41000	19.44810
135	171	64	2.38000	5.66440	-0.59000	0.34810
136	171	66	2.38000	5.66440	1.41000	1.98810
137	171	73	2.38000	5.66440	8.41000	70.72810
138	171	67	2.38000	5.66440	2.41000	5.80810
139	172	64	3.38000	11.42440	-0.59000	0.34810
140	172	67	3.38000	11.42440	2.41000	5.80810
141	172	64	3.38000	11.42440	-0.59000	0.34810
142	172	72	3.38000	11.42440	7.41000	54.90810
143	172	64	3.38000	11.42440	-0.59000	0.34810
144	172	60	3.38000	11.42440	-4.59000	21.06810
145	172	67	3.38000	11.42440	2.41000	5.80810
146	172	60	3.38000	11.42440	-4.59000	21.06810
147	172	66	3.38000	11.42440	1.41000	1.98810
148	172	69	3.38000	11.42440	4.41000	19.44810
149	172	63	3.38000	11.42440	-1.59000	2.52810
150	172	74	3.38000	11.42440	9.41000	88.54810
151	172	75	3.38000	11.42440	10.41000	108.36810
152	172	64	3.38000	11.42440	-0.59000	0.34810
153	173	66	4.38000	19.18440	1.41000	1.98810
154	173	65	4.38000	19.18440	0.41000	0.16810
155	173	66	4.38000	19.18440	1.41000	1.98810
156	173	63	4.38000	19.18440	-1.59000	2.52810
157	173	66	4.38000	19.18440	1.41000	1.98810
158	173	71	4.38000	19.18440	6.41000	41.08810
159	173	63	4.38000	19.18440	-1.59000	2.52810
160	173	63	4.38000	19.18440	-1.59000	2.52810
161	173	68	4.38000	19.18440	3.41000	11.62810
162	173	70	4.38000	19.18440	5.41000	29.26810
163	173	74	4.38000	19.18440	9.41000	88.54810
164	174	69	5.38000	28.94440	4.41000	19.44810
165	174	67	5.38000	28.94440	2.41000	5.80810
166	174	66	5.38000	28.94440	1.41000	1.98810
167	174	69	5.38000	28.94440	4.41000	19.44810
168	174	66	5.38000	28.94440	1.41000	1.98810
169	174	59	5.38000	28.94440	-5.59000	31.24810
170	175	67	6.38000	40.70440	2.41000	5.80810
171	175	80	6.38000	40.70440	15.41000	237.46810
172	175	70	6.38000	40.70440	5.41000	29.26810
173	175	70	6.38000	40.70440	5.41000	29.26810
174	176	62	7.38000	54.46440	-2.59000	6.70810
175	176	78	7.38000	54.46440	13.41000	179.82810
176	176	65	7.38000	54.46440	0.41000	0.16810
177	176	65	7.38000	54.46440	0.41000	0.16810
178	176	81	7.38000	54.46440	16.41000	269.28810
179	176	67	7.38000	54.46440	2.41000	5.80810
180	176	70	7.38000	54.46440	5.41000	29.26810
181	176	75	7.38000	54.46440	10.41000	108.36810
182	176	60	7.38000	54.46440	-4.59000	21.06810
183	176	71	7.38000	54.46440	6.41000	41.08810
184	176	65	7.38000	54.46440	0.41000	0.16810
185	176	75	7.38000	54.46440	10.41000	108.36810
186	176	67	7.38000	54.46440	2.41000	5.80810
187	176	78	7.38000	54.46440	13.41000	179.82810
188	177	71	8.38000	70.22440	6.41000	41.08810
189	177	80	8.38000	70.22440	15.41000	237.46810
190	178	75	9.38000	87.98440	10.41000	108.36810
191	178	68	9.38000	87.98440	3.41000	11.62810
192	180	66	11.38000	129.50440	1.41000	1.98810
193	181	76	12.38000	153.26440	11.41000	130.18810
194	182	73	13.38000	179.02440	8.41000	70.72810
195	182	73	13.38000	179.02440	8.41000	70.72810
196	183	72	14.38000	206.78440	7.41000	54.90810
197	183	75	14.38000	206.78440	10.41000	108.36810
198	184	80	15.38000	236.54440	15.41000	237.46810
199	188	66	19.38000	375.58440	1.41000	1.98810
200	190	69	21.38000	457.10440	4.41000	19.44810

2.2. Вычислим у_x² как среднее значение элементов 5-го столбца таблицы 2.

2.2.1. Складывая последовательно по 10 элементов 5-го столбца получим следующие значения для S_{k :}

1299.524 700.324 497.204 274.884 196.964 131.044 99.844 51.684 26.244 8.324 2.164 12.004 41.604 68.164 114.244 176.324 271.924 503.364 609.684 2211.604

2.2.2. Каждое из чисел S₁, S₂,…, S₂₀ делим на 10. Получаем 20 чисел

s_k = S_k/10:

129.9524 70.0324 49.7204 27.4884 19.6964 13.1044 9.9844 5.1684 2.6244 0.8324 0.2164 1.2004 4.1604 6.8164 11.4244 17.6324 27.1924 50.3364 60.9684 221.1604

2.2.3. Искомая у_x² есть

у_x² = (s₁ + s₂ + ... + s₂₀ ) / 20 = 729.712 /20 = 36.4856.

2.3. Вычислим у_y² как среднее значение элементов 7-го столбца таблицы 2.

2.3.1. Складывая последовательно по 10 элементов 7-го столбца получим следующие значения для S_{k :}

836.981 585.201 540.861 467.761 316.921 320.721 360.221 132.541 231.801 215.501 356.241 373.521 217.701 157.341 216.061 163.521 215.181 787.241 851.621 707.441

2.3.2. Каждое из чисел S₁, S₂,…, S₂₀ делим на 10. Получаем 20 чисел

s_k = S_k/10:

83.6981 58.5201 54.0861 46.7761 31.6921 32.0721 36.0221 13.2541 23.1801 21.5501 35.6241 37.3521 21.7701 15.7341 21.6061 16.3521 21.5181 78.7241 85.1621 70.7441

2.3.3. Искомая у_y² есть

у_x² = (s₁ + s₂ + ... + s₂₀ ) / 20 = 805,438/20=40,2719

2.4. Вычислим произведение у_x²у_y²/у_x²у_y² = 36.4856*40.2719 = 1469.344435

2.5. Извлечем из последнего числа квадратный корень, получим значение у_xу_y. у_xу_y = 38.332029 2.5.Вычислим коэффициент корреляции по формуле ( 2.1 ).

R_x_,_y = cov( X,Y ) /у_xу_y = 23.109200 / 38.332029 = 0.602869

ОТВЕТ: R_x,y = 0.602869

3. Проверяем значимость коэффициента корреляции (проверяем гипотезу зависимости).

Поскольку оценка коэффициента корреляции вычислена на конечной выборке, и поэтому может отклоняться от своего генерального значения, необходимо проверить значимость коэффициента корреляции. Проверка производится с помощью t-критерия:

t = (R_x,yv (n - 2)) / v (1 - R²_x,y ) ( 3.1 )

Случайная величина t следует t-распределению Стьюдента и по таблице t-распределения необходимо найти критическое значение критерия (t_кр.б) при заданном уровне значимости б. Если вычисленное по формуле ( 3.1 ) t по модулю окажется меньше чем t_кр.б, то зависимости между случайными величинами X и Y нет. В противном случае, экспериментальные данные не противоречат гипотезе о зависимости случайных величин.

3.1. Вычислим значение t-критерия по формуле ( 3.1 ) получим:

t = (0.60287 v (200 - 2)) / v (1 - 0.60287² ) = 10.63261

3.2. Определим по таблице t-распределения критическое значение параметра t_кр.б Искомое значение t_кр.б располагается на пересечении строки соответствующей числу степеней свободы и столбца соответствующего заданному уровню значимости б. В нашем случае число степеней свободы есть n - 2 = 200 - 2 = 198 и б = 0.1 , что соответствует критическому значению критерия t_кр.б = 1.658 (см. табл. 3)

Таблица 3 t-распределение

Число степеней свободы ( n - 2 )	б = 0.1	б = 0.05	б = 0.02	б = 0.01	б = 0.002	б = 0.001
1	6.314	12.706	31.821	63.657	318.31	636.62
2	2.920	4.303	6.965	9.925	22.327	31.598
3	2.353	3.182	4.541	5.841	10.214	12.924
4	2.132	2.776	3.747	4.604	7.173	8.610
5	2.015	2.571	3.365	4.032	5.893	6.869
6	1.943	2.447	3.143	3.707	5.208	5.959
7	1.895	2.365	2.998	3.499	4.785	5.408
8	1.860	2.306	2.896	3.355	4.501	5.041
9	1.833	2.262	2.821	3.250	4.297	4.781
10	1.812	2.228	2.764	3.169	4.144	4.587
11	1.796	2.201	2.718	3.106	4.025	4.437
12	1.782	2.179	2.681	3.055	3.930	4.318
13	1.771	2.160	2.650	3.012	3.852	4.221
14	1.761	2.145	2.624	2.977	3.787	4.140
15	1.753	2.131	2.602	2.947	3.733	4.073
16	1.746	2.120	2.583	2.921	3.686	4.015
17	1.740	2.110	2.567	2.898	3.646	3.965
18	1.734	2.101	2.552	2.878	3.610	3.922
19	1.729	2.093	2.539	2.861	3.579	3.883
20	1.725	2.086	2.528	2.845	3.552	3.850
21	1.721	2.080	2.518	2.831	3.527	3.819
22	1.717	2.074	2.508	2.819	3.505	3.792
23	1.714	2.069	2.500	2.807	3.485	3.767
24	1.711	2.064	2.492	2.797	3.467	3.745
25	1.708	2.060	2.485	2.787	3.450	3.725
26	1.706	2.056	2.479	2.779	3.435	3.707
27	1.703	2.052	2.473	2.771	3.421	3.690
28	1.701	2.048	2.467	2.763	3.408	3.674
29	1.699	2.045	2.462	2.756	3.396	3.659
30	1.697	2.042	2.457	2.750	3.385	3.646
40	1.684	2.021	2.423	2.704	3.307	3.551
60	1.671	2.000	2.390	2.660	3.232	3.460
120	1.658	1.980	2.358	2.617	3.160	3.373
?	1.645	1.960	2.326	2.576	3.090	3.291

3.2. Сравним абсолютное значение t-критерия и t_кр.б Абсолютное значение t-критерия не меньше критического t = 10.63261, t_кр.б = 1.658, следовательно экспериментальные данные, с вероятностью 0.9 ( 1 - б ), не противоречат гипотезе о зависимости случайных величин X и Y.

4. Вычисляем коэффициенты уравнения линейной регрессии.

Уравнение линейной регрессии представляет собой уравнение прямой, аппроксимирующей (приблизительно описывающей) зависимость между случайными величинами X и Y. Если считать, что величина X свободная, а Y зависимая от Х, то уравнение регрессии запишется следующим образом

Y = a + b*X ( 4.1 ), где:

b = R_x,y (у_y / у_x) R_x,y = S_y / S_x (4.2),

a = M_y - b*M_x ( 4.3 )

Рассчитанный по формуле (4.2) коэффициент b называют коэффициентом линейной регрессии. В некоторых источниках a называют постоянным коэффициентом регрессии и b соответственно переменным. Погрешности предсказания Y по заданному значению X вычисляются по формулам:

у_y/x = у_yv (1-R²_x,y ) = S_yv (1-R²_x,y ) (4.4)

- абсолютная погрешность,

д_y/x = (у_y/x / M_y )* 100% ( 4.5 ) - относительная погрешность

Величину у_y/x (формула 4.4) еще называют остаточным средним квадратическим отклонением, оно характеризует уход величины Y от линии регрессии, описываемой уравнением (4.1), при фиксированном (заданном) значении X.

4.1. Вычислим отношение у_y² / у_x².

у_y² / у_x² = 40.27190 / 36.48560 = 1.10378

4.2. Вычислим отношение у_y / у_x

Извлечем из последнего числа квадратный корень - получим: у_y / у_x = 1.05061

4.3 Вычислим коэффициент b по формуле ( 4.2 ) b = 0.60287 * 1.05061 = 0.63338

4.4 Вычислим коэффициент a по формуле ( 4.3 ) a = 64.59000 - 0.63338 * 168.62000 = -42.21031

4.5 Оценим погрешности уравнения регрессии.

4.5.1 Извлечем из у_y² квадратный корень получим:

у_y = v40.2719 = 6.34601;

4.5.2 Возведем в квадрат R_x,y получим: R²_x,y = 0.60287² = 0.36345 4.5.3 Вычислим абсолютную погрешность (остаточное среднее квадратическое отклонение) по формуле ( 4.4 )

у_y/x = (6.34601v (1 - 0.36345 ))= 5.06310

4.5.4 Вычислим относительную погрешность по формуле ( 4.5 ) д_y/x = ( 5.06310 / 64.59000)100% = 7.83884%

Ответ: Уравнение линейной регрессии имеет вид: Y = 0.63338 X -42.21031 ( 4.6 )

Погрешности уравнения: у_y/x = 5.06310 ; д_y/x = 7.83884%

5. Строим диаграмму рассеяния (корреляционное поле) и график линии регрессии.

Диаграмма рассеяния -- это графическое изображение соответствующих пар (x_k, y_k) в виде точек плоскости, в прямоугольных координатах с осями X и Y. Корреляционное поле является одним из графических представлений связанной (парной) выборки. В той же системе координат строится и график линии регрессии. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы диаграмма была максимально наглядной.

5.1. Находим минимальный и максимальный элемент выборки X это 1-й и 200-й элементы соответственно, x_min = 1550 и x_max = 1900.

5.2. Находим минимальный и максимальный элемент выборки Y это 10-й и 178-й элементы соответственно, y_min = 480 и y_max = 810.

5.3. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x₁ = 1550, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка x₂₀₀ = 1900 и отчетливо различались остальные точки.

5.4. На оси ординат выбираем начальную точку чуть левее точки y₁₀ = 480, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка y₁₇₈ = 810 и отчетливо различались остальные точки.

5.5. На оси абсцисс размещаем значения x_k, а на оси ординат значения y_k.

5.6. Наносим точки (x₁, y₁ ), (x₂, y₂ ),…,(x₂₀₀, y₂₀₀ ) на координатную плоскость. Получаем диаграмму рассеяния (корреляционное поле), изображенное на рисунке ниже.

5.7. Начертим линию регрессии. Для этого найдем две различные точки с координатами (x_r1, y_r1) и (x_r2, y_r2) удовлетворяющие уравнению (4.6), нанесем их на координатную плоскость и проведем через них прямую. В качестве абсциссы первой точки возьмем значение x_min=1550. Подставим значение x_min в уравнение (4.6), получим ординату первой точки. Таким образом имеем точку с координатами (1550, 55.96338). Аналогичным образом получим координаты второй точки, положив в качестве абсциссы значение x_max = 1900. Вторая точка будет: ( 1900, 78.13164 ).

Линия регрессии показана на рисунке ниже красным цветом

вероятность дисперсия статистический корреляция

Рис. 5

Обратите внимание, что линия регрессии всегда проходит через точку средних значений величин Х и Y, т.е. с координатами (M_x , M_y).

Размещено на Allbest.ru

контрольная работа "Оценка погрешности уравнения регрессии" скачать

Подобные документы

Математическая статистика
Исследование сходимости рядов. Степенной ряд интеграла дифференциального уравнения. Определение вероятности событий, закона распределения случайной величины, математического ожидания, эмпирической функции распределения, выборочного уравнения регрессии.

контрольная работа [420,3 K], добавлен 04.10.2010
Теория вероятности
Определение вероятности наступления события по формуле Бернулли. Построение эмпирической функции распределения и гистограммы для случайной величины. Вычисление коэффициента корреляции, получение уравнения регрессии. Пример решения задачи симплекс-методом.

контрольная работа [547,6 K], добавлен 02.02.2012
Расчет вероятности событий
Определение вероятность срабатывания устройств при аварии. Расчет математического ожидания, дисперсии и функции распределения по заданному ряду распределения. Построение интервального статистического ряда распределения значений статистических данных.

контрольная работа [148,8 K], добавлен 12.02.2012
Теория вероятности и математическая статистика
Вычисление математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции. Определение функции распределения и его плотности. Нахождение вероятности попадания в определенный интервал. Особенности построения гистограммы частот. Применение критерия Пирсона.

задача [140,0 K], добавлен 17.11.2011
Несовместные и достоверные события. Случайные величины
Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.

контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012
Определение вероятности событий
Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.

контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010
Теория вероятностей и математическая статистика
Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.

контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010
Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.

контрольная работа [59,7 K], добавлен 26.07.2010
Исследование статистической зависимости давления идеального газа от его температуры при изохорном процессе
Построение диаграммы рассеивания, полигонов, гистограмм нормированных относительных частот, эмпирических функций распределения по X и по Y. Параметры для уравнения параболической регрессии. Проверка гипотезы о нормальном распределении признака Х.

курсовая работа [511,8 K], добавлен 08.12.2013
Теория вероятностей и математическая статистика
Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.

контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015

Другие документы, подобные "Оценка погрешности уравнения регрессии"

весь список подобных работ

скачать работу можно здесь

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

156	387	50	80	371	323	332	296	105	149
176	171	166	182	165	168	170	181	161	169
65	70	57	76	59	62	76	68	66	67

316	491	54	385	360	354	238	380	145	399	1	307	175
161	161	165	176	165	161	166	167	167	165	168	161	163
55	66	63	78	56	51	62	65	63	63	73	59	65

458	5	163	277	189	240	265	98	73	16	255	112	410
168	175	161	171	184	173	166	170	172	176	162	157	188
66	66	52	63	72	63	67	61	74	81	60	60	75

466	96	113	328	47	77	220	274	39	307	372	22	43
164	167	174	161	172	171	173	176	156	167	165	174	183
53	64	69	62	63	69	68	70	54	59	63	66	73

221	412	255	364	249	418	374	120	154	473	70	438	64
173	165	164	171	172	171	166	164	164	169	169	163	173
71	67	61	60	72	65	62	56	63	65	75	54	75

435	34	342	336	493	285	182	152	160	168	135	19	275
176	168	169	168	166	178	165	164	161	170	164	171	171
67	55	66	67	64	80	62	62	51	66	53	62	67

353	204	273	5	341	219	76	345	456	337	417	114	351
163	167	165	159	171	174	164	166	161	169	163	168	166
63	64	63	60	66	67	59	78	55	64	64	58	63

45	110	460	4	150	301	359	224	292	458	112	143	489
172	165	166	171	161	163	165	172	167	176	174	169	167
69	76	71	75	56	58	72	66	57	70	69	71	61

22	55	259	303	351	68	113	143	315	280	187	184	416
176	175	167	480	176	176	168	175	177	167	170	158	171
75	80	64	75	65	71	58	67	78	65	69	61	62

24	146	420	478	453	473	162	145	42	470	45	380	83
176	172	165	178	157	167	169	172	177	159	172	169	164
60	64	60	71	60	63	62	64	67	61	60	61	70

156	387	50	80	371	323	332	296	105	149
176	171	166	182	165	168	170	181	161	169
65	70	57	76	59	62	76	68	66	67

316	491	54	385	360	354	238	380	145	399	1	307	175
161	161	165	176	165	161	166	167	167	165	168	161	163
55	66	63	78	56	51	62	65	63	63	73	59	65

458	5	163	277	189	240	265	98	73	16	255	112	410
168	175	161	171	184	173	166	170	172	176	162	157	188
66	66	52	63	72	63	67	61	74	81	60	60	75

466	96	113	328	47	77	220	274	39	307	372	22	43
164	167	174	161	172	171	173	176	156	167	165	174	183
53	64	69	62	63	69	68	70	54	59	63	66	73

221	412	255	364	249	418	374	120	154	473	70	438	64
173	165	164	171	172	171	166	164	164	169	169	163	173
71	67	61	60	72	65	62	56	63	65	75	54	75

435	34	342	336	493	285	182	152	160	168	135	19	275
176	168	169	168	166	178	165	164	161	170	164	171	171
67	55	66	67	64	80	62	62	51	66	53	62	67

353	204	273	5	341	219	76	345	456	337	417	114	351
163	167	165	159	171	174	164	166	161	169	163	168	166
63	64	63	60	66	67	59	78	55	64	64	58	63

45	110	460	4	150	301	359	224	292	458	112	143	489
172	165	166	171	161	163	165	172	167	176	174	169	167
69	76	71	75	56	58	72	66	57	70	69	71	61

22	55	259	303	351	68	113	143	315	280	187	184	416
176	175	167	480	176	176	168	175	177	167	170	158	171
75	80	64	75	65	71	58	67	78	65	69	61	62

24	146	420	478	453	473	162	145	42	470	45	380	83
176	172	165	178	157	167	169	172	177	159	172	169	164
60	64	60	71	60	63	62	64	67	61	60	61	70

156	387	50	80	371	323	332	296	105	149
176	171	166	182	165	168	170	181	161	169
65	70	57	76	59	62	76	68	66	67

316	491	54	385	360	354	238	380	145	399	1	307	175
161	161	165	176	165	161	166	167	167	165	168	161	163
55	66	63	78	56	51	62	65	63	63	73	59	65

458	5	163	277	189	240	265	98	73	16	255	112	410
168	175	161	171	184	173	166	170	172	176	162	157	188
66	66	52	63	72	63	67	61	74	81	60	60	75

466	96	113	328	47	77	220	274	39	307	372	22	43
164	167	174	161	172	171	173	176	156	167	165	174	183
53	64	69	62	63	69	68	70	54	59	63	66	73

221	412	255	364	249	418	374	120	154	473	70	438	64
173	165	164	171	172	171	166	164	164	169	169	163	173
71	67	61	60	72	65	62	56	63	65	75	54	75

435	34	342	336	493	285	182	152	160	168	135	19	275
176	168	169	168	166	178	165	164	161	170	164	171	171
67	55	66	67	64	80	62	62	51	66	53	62	67

353	204	273	5	341	219	76	345	456	337	417	114	351
163	167	165	159	171	174	164	166	161	169	163	168	166
63	64	63	60	66	67	59	78	55	64	64	58	63

45	110	460	4	150	301	359	224	292	458	112	143	489
172	165	166	171	161	163	165	172	167	176	174	169	167
69	76	71	75	56	58	72	66	57	70	69	71	61

22	55	259	303	351	68	113	143	315	280	187	184	416
176	175	167	480	176	176	168	175	177	167	170	158	171
75	80	64	75	65	71	58	67	78	65	69	61	62

24	146	420	478	453	473	162	145	42	470	45	380	83
176	172	165	178	157	167	169	172	177	159	172	169	164
60	64	60	71	60	63	62	64	67	61	60	61	70