Оценка погрешности уравнения регрессии
Определение математического ожидания, дисперсии, функции распределения, вероятности событий, ошибок измерений. Построение эмпирической функции распределения. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении. Оценка коэффициента корреляции.
Рубрика | Математика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 13.05.2014 |
Размер файла | 168,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Нефтяная компания, изучив данные геологоразведки, оценивает вероятность обнаружения нефти в некотором районе как 0,3. Из предыдущего опыта подобных работ известно, что если нефть действительно должна быть обнаружена, первые пробные бурения дают положительные образцы с вероятностью 0,4. Если оказалось, что первые бурения дали отрицательный результат, какова вероятность того, что нефть, тем не менее, будет обнаружена в данном районе?
Решение
Пусть А: «Нефть не обнаружили в некотором районе».
Зададим гипотезы:
Н1 = {Нефть есть},
H2 = {Нефти нет},
По условию P( H1 ) = 0,3, P( H2 ) = 0,7. Сумма их вероятностей равна 1.
Далее Р(А/Н1) = 0,6, Р(А/Н2) = 1.
Значение Р(А), вычислим по формуле полной вероятности
Р(А) = Р( Н1 )Р( А/H1 ) + P( H2 )P( A/H2 ) =0,3*0,6+0,7*1=0,88.
Событие А={Нефть не обнаружили в некотором районе} осуществилось, т.е. данная задача на формулу Байеса. Событие {нефть есть, но ее не обнаружили в некотором районе}? это гипотеза H1 . По формуле Байеса
Ответ:
2. Число дефектов в изделии может быть любым - 0,1, 2, 3, 4 и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта - 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?
Решение
Пусть А: «в изделии не больше, чем один дефект»
А1: «в изделии один дефект»
А2: «в изделии нет дефектов»
События А1 и А2 несовместны. По теореме сложения для несовместных событий: Р(А)=P (A1+A2) = P (A1) + P (A2)=0,9+0,05=0,95
Ответ:0,95.
3. В программе экзамена 45 вопросов, из которых студент знает 30. В билете 3 вопроса. Случайная величина Х - число вопросов билета, которые знает студент.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
Решение
1) Пусть Х - число вопросов билета, которые знает студент.
Случайная величина Х может принять значения х1=0, х2=1, х3=2.
По формуле классической вероятности Р=, где m-благоприятствующее число исходов, n- общее число исходов.
Найдем Р(х1=0)=
Р(х2=1)=
Р(х3=2)=
Р(х4=3)=
Пользовались формулой
Получили закон гипергеометрического распределения:
Таблица 1
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
P |
0,03 |
0,22 |
0,46 |
0,29 |
Проверка: .
2)Найдем математическое ожидание
M(X) =0*0,03+1*0,22+2*0,46+3*0,29=2,01
Найдем дисперсию
D(Х)= 0*0,03+1*0,22+2*0,46+3*0,29-2,012=0,6299
3)Найдем функцию распределения .
Пусть , тогда
Пусть , тогда
Пусть , тогда
Пусть , тогда
Пусть , тогда
Имеем
-функция распределения.
Построим ее график
Рис. 1
4) Найти вероятность P(0,5<X<3)=.
Ответ: 1)
Таблица 2
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
P |
0,03 |
0,22 |
0,46 |
0,29 |
2) M(X) =2,01 , D(Х)= 0,6299
3)
4)р= 0,68
4. Ошибка измерения высоты полета гидрометеорологического спутника относительно наземной станции подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и средним квадратическим отклонением, равным 1 км. Ошибка принимает отрицательное значение, если измеряемая высота слишком мала и положительное значение, если измеряемая высота слишком велика. Найти вероятность того, что а) ошибка будет больше чем +0.75 км; б) значение ошибки будет заключено в пределах между + 0.10 км и + 0.60 км; в) ошибка будет меньше чем - 1.25 км.
Решение
А) По условию
Воспользуемся формулой
Б) Далее
В)
5. Отдел маркетинга крупной швейной фабрики провёл анкетирование 500 человек (женщин) по вопросу роста (Х) см и веса (Y) кг. В результате была выявлена следующая зависимость (таблица 2.2.1).
Требуется:
1 часть.
произвести выборку из 200 значений;
построить эмпирическую функцию распределения, полигон, гистограмму для случайной величины Х;
построить точечные и интервальные оценки для мат. ожидания и дисперсии генеральной совокупности Х;
сделать статистическую проверку гипотезы о законе распределения случайной величины Х;
часть 2.
1) нанести на координатную плоскость данные выборки (x;y) и по виду корреляционного облака подобрать вид функции регрессии;
2) составить корреляционную таблицу по сгруппированным данным;
вычислить коэффициент корреляции;
получить уравнение регрессии;
Решение
1) Произведём из генеральной совокупности N=500 выборку n=200 значений. Cлучайное число - 6316. Нужно выбрать столбцы 2,6,11,16.
Получилась выборка:
Таблица 3
156 |
387 |
50 |
80 |
371 |
323 |
332 |
296 |
105 |
149 |
|
176 |
171 |
166 |
182 |
165 |
168 |
170 |
181 |
161 |
169 |
|
65 |
70 |
57 |
76 |
59 |
62 |
76 |
68 |
66 |
67 |
Таблица 4
316 |
491 |
54 |
385 |
360 |
354 |
238 |
380 |
145 |
399 |
1 |
307 |
175 |
|
161 |
161 |
165 |
176 |
165 |
161 |
166 |
167 |
167 |
165 |
168 |
161 |
163 |
|
55 |
66 |
63 |
78 |
56 |
51 |
62 |
65 |
63 |
63 |
73 |
59 |
65 |
Таблица 5
458 |
5 |
163 |
277 |
189 |
240 |
265 |
98 |
73 |
16 |
255 |
112 |
410 |
|
168 |
175 |
161 |
171 |
184 |
173 |
166 |
170 |
172 |
176 |
162 |
157 |
188 |
|
66 |
66 |
52 |
63 |
72 |
63 |
67 |
61 |
74 |
81 |
60 |
60 |
75 |
Таблица 6
466 |
96 |
113 |
328 |
47 |
77 |
220 |
274 |
39 |
307 |
372 |
22 |
43 |
|
164 |
167 |
174 |
161 |
172 |
171 |
173 |
176 |
156 |
167 |
165 |
174 |
183 |
|
53 |
64 |
69 |
62 |
63 |
69 |
68 |
70 |
54 |
59 |
63 |
66 |
73 |
Таблица 7
221 |
412 |
255 |
364 |
249 |
418 |
374 |
120 |
154 |
473 |
70 |
438 |
64 |
|
173 |
165 |
164 |
171 |
172 |
171 |
166 |
164 |
164 |
169 |
169 |
163 |
173 |
|
71 |
67 |
61 |
60 |
72 |
65 |
62 |
56 |
63 |
65 |
75 |
54 |
75 |
Таблица 8
435 |
34 |
342 |
336 |
493 |
285 |
182 |
152 |
160 |
168 |
135 |
19 |
275 |
|
176 |
168 |
169 |
168 |
166 |
178 |
165 |
164 |
161 |
170 |
164 |
171 |
171 |
|
67 |
55 |
66 |
67 |
64 |
80 |
62 |
62 |
51 |
66 |
53 |
62 |
67 |
Таблица 9
353 |
204 |
273 |
5 |
341 |
219 |
76 |
345 |
456 |
337 |
417 |
114 |
351 |
|
163 |
167 |
165 |
159 |
171 |
174 |
164 |
166 |
161 |
169 |
163 |
168 |
166 |
|
63 |
64 |
63 |
60 |
66 |
67 |
59 |
78 |
55 |
64 |
64 |
58 |
63 |
Таблица 10
45 |
110 |
460 |
4 |
150 |
301 |
359 |
224 |
292 |
458 |
112 |
143 |
489 |
|
172 |
165 |
166 |
171 |
161 |
163 |
165 |
172 |
167 |
176 |
174 |
169 |
167 |
|
69 |
76 |
71 |
75 |
56 |
58 |
72 |
66 |
57 |
70 |
69 |
71 |
61 |
Таблица 11
22 |
55 |
259 |
303 |
351 |
68 |
113 |
143 |
315 |
280 |
187 |
184 |
416 |
|
176 |
175 |
167 |
480 |
176 |
176 |
168 |
175 |
177 |
167 |
170 |
158 |
171 |
|
75 |
80 |
64 |
75 |
65 |
71 |
58 |
67 |
78 |
65 |
69 |
61 |
62 |
Таблица 12
24 |
146 |
420 |
478 |
453 |
473 |
162 |
145 |
42 |
470 |
45 |
380 |
83 |
|
176 |
172 |
165 |
178 |
157 |
167 |
169 |
172 |
177 |
159 |
172 |
169 |
164 |
|
60 |
64 |
60 |
71 |
60 |
63 |
62 |
64 |
67 |
61 |
60 |
61 |
70 |
Таблица 13
262 |
23 |
465 |
190 |
292 |
367 |
5 |
295 |
323 |
172 |
422 |
153 |
438 |
|
174 |
176 |
159 |
169 |
164 |
165 |
159 |
165 |
173 |
172 |
173 |
167 |
167 |
|
74 |
75 |
48 |
67 |
60 |
61 |
60 |
60 |
63 |
67 |
66 |
68 |
57 |
Таблица 14
351 |
462 |
337 |
42 |
139 |
187 |
242 |
359 |
90 |
482 |
45 |
358 |
251 |
|
176 |
168 |
175 |
183 |
170 |
165 |
176 |
165 |
182 |
173 |
172 |
166 |
163 |
|
65 |
67 |
59 |
73 |
61 |
69 |
62 |
56 |
66 |
65 |
60 |
61 |
65 |
Таблица 15
62 |
130 |
286 |
361 |
183 |
79 |
371 |
378 |
419 |
307 |
56 |
374 |
168 |
|
173 |
161 |
159 |
166 |
163 |
163 |
165 |
168 |
172 |
167 |
171 |
168 |
164 |
|
66 |
66 |
55 |
55 |
64 |
58 |
63 |
71 |
67 |
59 |
67 |
70 |
60 |
Таблица 16
43 |
298 |
239 |
145 |
325 |
65 |
153 |
373 |
9 |
340 |
142 |
192 |
260 |
|
163 |
173 |
167 |
172 |
162 |
156 |
164 |
160 |
170 |
171 |
174 |
167 |
170 |
|
63 |
66 |
60 |
64 |
65 |
53 |
63 |
61 |
68 |
64 |
70 |
65 |
58 |
Таблица 17
116 |
26 |
253 |
59 |
202 |
439 |
21 |
199 |
221 |
332 |
273 |
286 |
106 |
|
170 |
172 |
166 |
164 |
172 |
167 |
155 |
159 |
165 |
173 |
176 |
171 |
162 |
|
65 |
67 |
62 |
60 |
73 |
57 |
61 |
55 |
68 |
65 |
70 |
65 |
66 |
Таблица 18
468 |
103 |
240 |
106 |
424 |
414 |
296 |
283 |
|
165 |
173 |
169 |
190 |
169 |
169 |
170 |
162 |
|
61 |
64 |
74 |
80 |
58 |
59 |
75 |
53 |
Составим ранжированный (по увеличению) ряд для случайной величины Х.
Таблица 19
X |
155 |
156 |
156 |
157 |
157 |
157 |
158 |
159 |
159 |
159 |
159 |
159 |
159 |
|
Y |
61 |
53 |
54 |
60 |
60 |
53 |
61 |
55 |
60 |
48 |
61 |
55 |
60 |
Таблица 20
160 |
161 |
161 |
161 |
161 |
161 |
161 |
161 |
161 |
161 |
161 |
161 |
|
61 |
66 |
56 |
55 |
51 |
66 |
55 |
66 |
52 |
62 |
51 |
59 |
Таблица 21
162 |
162 |
162 |
162 |
163 |
|
66 |
53 |
65 |
60 |
65 |
Таблица 22
163 |
163 |
163 |
163 |
163 |
163 |
164 |
164 |
164 |
164 |
164 |
164 |
164 |
|
58 |
63 |
65 |
63 |
64 |
54 |
62 |
53 |
59 |
63 |
53 |
56 |
61 |
Таблица 23
164 |
164 |
164 |
164 |
164 |
165 |
165 |
165 |
165 |
165 |
165 |
165 |
165 |
165 |
165 |
|
70 |
60 |
60 |
63 |
60 |
76 |
63 |
63 |
62 |
67 |
56 |
69 |
60 |
72 |
60 |
Таблица 24
165 |
165 |
165 |
165 |
165 |
165 |
165 |
166 |
166 |
166 |
166 |
166 |
166 |
166 |
|
61 |
59 |
56 |
63 |
68 |
63 |
63 |
62 |
71 |
78 |
60 |
55 |
64 |
57 |
Таблица 25
166 |
166 |
166 |
166 |
167 |
167 |
167 |
167 |
167 |
167 |
167 |
167 |
167 |
167 |
|
62 |
63 |
62 |
67 |
64 |
65 |
64 |
59 |
60 |
65 |
57 |
63 |
59 |
64 |
Таблица 26
167 |
167 |
167 |
167 |
167 |
167 |
168 |
168 |
168 |
168 |
168 |
168 |
168 |
168 |
168 |
168 |
|
57 |
61 |
65 |
68 |
57 |
63 |
66 |
58 |
67 |
73 |
62 |
70 |
67 |
58 |
67 |
55 |
Таблица 27
169 |
169 |
169 |
169 |
169 |
169 |
169 |
169 |
169 |
169 |
169 |
170 |
170 |
|
65 |
75 |
71 |
64 |
64 |
67 |
61 |
62 |
74 |
58 |
66 |
61 |
66 |
Таблица 28
170 |
170 |
170 |
170 |
170 |
170 |
170 |
170 |
171 |
171 |
171 |
171 |
171 |
171 |
171 |
|
75 |
76 |
65 |
68 |
69 |
58 |
61 |
73 |
75 |
62 |
65 |
67 |
62 |
64 |
67 |
Таблица 29
171 |
171 |
171 |
171 |
171 |
171 |
171 |
172 |
172 |
172 |
172 |
172 |
172 |
172 |
|
65 |
70 |
60 |
63 |
69 |
64 |
66 |
73 |
67 |
64 |
67 |
64 |
72 |
64 |
Таблица 30
172 |
172 |
172 |
172 |
172 |
172 |
172 |
173 |
173 |
173 |
173 |
173 |
173 |
|
60 |
67 |
60 |
66 |
69 |
63 |
74 |
75 |
64 |
66 |
65 |
66 |
63 |
Таблица 31
173 |
173 |
173 |
173 |
173 |
174 |
174 |
174 |
174 |
174 |
174 |
175 |
175 |
175 |
|
66 |
71 |
63 |
63 |
68 |
70 |
74 |
69 |
67 |
66 |
69 |
66 |
59 |
67 |
Таблица 32
175 |
176 |
176 |
176 |
176 |
176 |
176 |
176 |
176 |
176 |
176 |
176 |
176 |
176 |
176 |
177 |
177 |
|
80 |
70 |
70 |
62 |
78 |
65 |
65 |
81 |
67 |
70 |
75 |
60 |
71 |
65 |
75 |
67 |
78 |
Таблица 33
178 |
178 |
180 |
181 |
182 |
182 |
183 |
183 |
184 |
188 |
190 |
|
71 |
80 |
75 |
68 |
66 |
76 |
73 |
73 |
72 |
75 |
80 |
Cоставим новую таблицу, в которой отразим частоты появления случайных величин и относительные частоты .
Таблица 34
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
155 |
156 |
157 |
158 |
159 |
160 |
161 |
162 |
163 |
164 |
165 |
166 |
||
1 |
2 |
3 |
1 |
6 |
1 |
11 |
4 |
7 |
12 |
17 |
11 |
||
Таблица 35
i |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
167 |
168 |
169 |
170 |
171 |
172 |
173 |
174 |
175 |
176 |
177 |
178 |
||
16 |
11 |
11 |
10 |
14 |
14 |
11 |
6 |
4 |
14 |
2 |
2 |
||
Таблица 36
i |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
|
180 |
181 |
182 |
183 |
184 |
188 |
190 |
||
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
||
Минимальное и максимальное значения случайной величины: Тогда интервал варьирования R («размах») будет равен R= . Длину интервала рассчитывают по формуле:
=4,18
округлим до 4, т.е. размер интервала h=4, а число интервалов будет равно 9.
Соответствующий интервальный вариационный ряд приведён в таблице
Таблица 37
Индекс интервала i |
Число покупателей (интервалы) |
Частота |
Относительная частота |
|
1 |
155-159 |
13 |
13/200 |
|
2 |
159-163 |
23 |
23/200 |
|
3 |
163-167 |
56 |
56/200 |
|
4 |
167-171 |
46 |
46/200 |
|
5 |
171-175 |
35 |
35/200 |
|
6 |
175-179 |
18 |
18/200 |
|
7 |
179-183 |
6 |
6/200 |
|
8 |
183-187 |
1 |
1/200 |
|
9 |
187-191 |
2 |
2/200 |
=1
2) После составления вариационного ряда необходимо построить функцию распределения выборки или эмпирическую функцию
F*(x)=,
то есть функцию, найденную опытным путём. Здесь - относительная частота события Х< х, n - общее число значений. Эмпирическое распределение можно изобразить в виде полигона, гистограммы или ступенчатой кривой. Построим выборочную функцию распределения. Очевидно, что для функция так как . На концах интервалов значения функции рассчитаем в виде «нарастающей относительной частоты»
Таблица 38 «Расчёт эмпирической функции распределения»
Индекс интервала i |
||
1 |
13/200 |
|
2 |
13/200+23/200=36/200 |
|
3 |
36/200+56/200=92/200 |
|
4 |
92/200+46/200=138/200 |
|
5 |
138/200+35/200=173/200 |
|
6 |
173/200+18/200=191/200 |
|
7 |
191/200+6/200=197/200 |
|
8 |
197/200+1/200=198/200 |
|
9 |
198/200+2/200=1 |
Табличные значения не полностью определяют выборочную функцию распределения непрерывной случайной величины, поэтому при графическом изображении её доопределяют, соединив точки графика, соответствующие концам интервала, отрезками прямой .
Полученные данные, представленные в виде вариационного ряда, изобразим графически в виде ломаной линии (полигона), связывающей на плоскости точки с координатами , где - среднее значение интервала , а - относительная частота. На этом же рисунке отобразим пунктирной линией выравнивающие (теоретические) частоты.
Рис. 2
Таблица 39 Дискретный вариационный ряд
Номер интервала i |
Среднее значение интервала |
Относительная частота |
Выборочная оценка плотности вероятности |
|
1 |
157 |
13/200 |
0,01625 |
|
2 |
161 |
23/200 |
0,02875 |
|
3 |
165 |
56/200 |
0,07 |
|
4 |
169 |
46/200 |
0,0575 |
|
5 |
173 |
35/200 |
0,04375 |
|
6 |
177 |
18/200 |
0,0225 |
|
7 |
181 |
6/200 |
0,0075 |
|
8 |
185 |
1/200 |
0,00125 |
|
9 |
189 |
2/200 |
0,0025 |
Рис. 3
На основании полученных выборочных данных необходимо сделать предположение, что изучаемая величина распределена по некоторому определённому закону. Для того чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты полученных в наблюдениях значений, т.е. находят теоретически сколько раз величина Х должна была принять каждое из наблюдавшихся значений, если она распределена по предполагаемому закону. Для этого находят выравнивающие (теоретические) частоты по формуле:
где n - число испытаний,
- вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.
Эмпирические (полученные из таблицы) и выравнивающие частоты сравнивают, и при небольшом расхождении данных делают заключение о выбранном законе распределения.
Предположим, что случайная величина Х распределена нормально. В этом случае выравнивающие частоты находят по формуле:
где n - число испытаний,
h - длина частичного интервала,
- выборочное среднее квадратичное отклонение,
( - середина i - го частичного интервала)
- функция Лапласа
Результаты вычислений отобразим в таблице
Таблица 40
Номер Интервала k |
Центр Интервала xk* |
Границы Интервала [xk-1 , xk ] |
nk*/n |
Hk |
|
1 |
156.94444 |
155.00000...158.88889 |
0.03500 |
0.00900 |
|
2 |
160.83333 |
158.88889...162.77778 |
0.11000 |
0.02829 |
|
3 |
164.72222 |
162.77778...166.66667 |
0.23500 |
0.06043 |
|
4 |
168.61111 |
166.66667...170.55556 |
0.24000 |
0.06171 |
|
5 |
172.50000 |
170.55556...174.44444 |
0.22500 |
0.05786 |
|
6 |
176.38889 |
174.44444...178.33333 |
0.11000 |
0.02829 |
|
7 |
180.27778 |
178.33333...182.22222 |
0.02000 |
0.00514 |
|
8 |
184.16667 |
182.22222...186.11111 |
0.01500 |
0.00386 |
|
9 |
188.05556 |
186.11111...190.00000 |
0.01000 |
0.00257 |
Рис. 4
1) Найдём числовые характеристики вариационного ряда.
Выборочная средняя ():
или ,
где - частоты,
а -объём выборки. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания (среднего значения теоретического закона распределения).
168.62.
Выборочная дисперсия ():
= 36.6689
Среднеквадратическое отклонение:
=
==6,05548
Найдем несмещённую оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения («исправленную» выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение) по формулам:
и
==36,853165 и S=6,055=6,070118625
Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95 определяют по формуле:
P(-tФ(t)=
Из соотношения Ф(z)=/2 вычисляют значение функции Лапласа: Ф(z)=0,475. По таблице значений функции Лапласа находят z=1,96. Таким образом,
168.62-1,96,
167,78<a<169,459.
Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины находят по формуле:
,
где S - несмещённое значение выборочного среднего квадратичного отклонения;
q - параметр, который находится по таблице на основе известного объёма выборки n и заданной надёжности оценки .
На основании данных значений =0,95 и n=200 по таблице (Приложение В) можно найти значение q=0,099. Таким образом,
,
5,509<
4)Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (r=2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
Таблица 41
i |
Ф() |
|||||
0 |
0 |
-0,5 |
0,0268 |
5,36 |
||
157 |
-0,4732 |
|||||
1 |
157 |
13 |
-0,4732 |
0,077 |
15,4 |
|
161 |
-0,3962 |
|||||
2 |
161 |
23 |
-0,3962 |
0,1705 |
34,1 |
|
165 |
-0,2257 |
|||||
3 |
165 |
56 |
-0,2257 |
0,2496 |
49,92 |
|
169 |
0,0239 |
|||||
4 |
169 |
46 |
0,0239 |
0,2403 |
48,06 |
|
173 |
0,2642 |
|||||
5 |
173 |
35 |
0,2642 |
0,1535 |
30,7 |
|
177 |
0,4177 |
|||||
6 |
177 |
18 |
0,4177 |
0,0626 |
12,52 |
|
181 |
0,4803 |
|||||
7 |
181 |
6 |
0,4803 |
0,0162 |
3,24 |
|
185 |
0,4965 |
|||||
8 |
185 |
1 |
0,4965 |
0,0029 |
0,58 |
|
189 |
0,4994 |
|||||
9 |
189 |
2 |
0,4994 |
0,0006 |
0,12 |
|
+ |
0,5 |
Вычислим сумму Пирсона =
=16,15
По таблице можно найти число по схеме: для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы l=k-r-1=9-2-1=6=12,6. Следовательно, критическая область - (12,6;). Величина =16,15 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, отвергается.
При б=0,1 =10,6. Критическая область - (10,6;). Величина =16,15 также входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х не принимается.
При б=0,01 =16,8 (16,8;). В этом случае гипотеза о нормальном законе распределения величины Х принимается.
2 часть
1) Данные сгруппируем в корреляционную таблицу.
2) Строим в системе координат множество, состоящее из 200 экспериментальных точек.
По расположению точек делаем заключение о том, что экономико-математическую модель можно искать в виде .
3) Найдём выборочные уравнения линейной регрессии.
Для упрощения расчётов разобьём случайные величины на интервалы и выберем средние значения. Для величины Х указанные действия были выполнены в 1 части задания.
1. Вычисляем коэффициент ковариации.
Коэффициент ковариации характеризует степень линейной зависимости двух случайных величин Х и Y и вычисляется по формуле:
cov(X,Y) = 1/n У n k = 1 (xk-Mx)(yk-My) (1.1),
где Mx = 1 / n Уn k = 1xk, My = 1 / n Уn k = 1yk ( 1.2 ),
- оценки математического ожидания случайных величин X и Y соответственно.
То есть, ковариация, это математическое ожидание произведения центрированных случайных величин 1.1. Вычислим оценку математического ожидания случайной величины Х. При больших объемах выборки числитель и знаменатель дроби (1.2) могут принимать большие значения, что, в свою очередь, может привести к потере точности. Поэтому при практических вычислениях лучше избегать суммирования большого числа слагаемых. В нашем случае объем выборки n = 200, и поэтому лучше суммировать по 10 элементов:
S1 = x1 +…+ x10, S2 = x11 +…+ x20, - - - - - - - - - - - S20 = x191 +…+ x200,
Затем делим S1, S2,..., S20 на 10.
В дробях
s1 = S1 /10 , s2 = S2 /10 , s20 = S20 /10
числитель и знаменатель не столь велики, как в формуле ( 1.2 ) затем вычисляем
Mx = (s1 + s2 + ... + s20 )/20
1.1.1. Складывая последовательно по 10 элементов выборки X получим следующие значения для Sk :
1573 1603 1616 1634 1642 1650 1655 1664 1670 1678 1687 1696 1706 1712 1720 1728 1738 1757 1764 1831
1.1.2. Каждое из чисел S1, S2,…, S20 делим на 10. Получаем 20 чисел
sk = Sk/10:
157.3 160.3 161.6 163.4 164.2 165 165.5 166.4 167 167.8 168.7 169.6 170.6 171.2 172 172.8 173.8 175.7 176.4 183.1
1.1.3. Искомая оценка математического ожидания X есть
Mx = (s1 + s2 + ... + s20 )/ 20 = 3372.4 / 20 =168,6
1.2. Аналогичным образом вычислим оценку математического ожидания случайной величины Y.
1.2.1. Складывая последовательно по 10 элементов выборки Y получим следующие значения для Sk :
565 586 599 594 632 622 647 623 616 651 658 662 661 663 659 662 675 708 717 718
1.2.2. Каждое из чисел S1, S2,…, S20 делим на 10. Получаем 20 чисел
sk = Sk/10 :
56.5 58.6 59.9 59.4 63.2 62.2 64.7 62.3 61.6 65.1 65.8 66.2 66.1 66.3 65.9 66.2 67.5 70.8 71.7 71.8
1.2.3. Искомая оценка математического ожидания Y есть
Mx = (s1 + s2 + ... + s20 )/ 20 = 1291,8 / 20 =64,59
1.3. Вычислим значения центрированных величин (xk-Mx) и (yk-My) для всех элементов выборки. Результаты занесем в таблицу 1. 1.4. Вычислим произведение центрированных величин (xk-Mx)*(yk-My). Результаты занесем в таблицу 1.
Таблица 1
k |
xk |
yk |
( хk-Mx ) |
( yk-My ) |
( хk-Mx )*( yk-My ) |
|
1 |
155 |
61 |
-13.62000 |
-3.59000 |
48.89580 |
|
2 |
156 |
53 |
-12.62000 |
-11.59000 |
146.26580 |
|
3 |
156 |
54 |
-12.62000 |
-10.59000 |
133.64580 |
|
4 |
157 |
60 |
-11.62000 |
-4.59000 |
53.33580 |
|
5 |
157 |
60 |
-11.62000 |
-4.59000 |
53.33580 |
|
6 |
157 |
53 |
-11.62000 |
-11.59000 |
134.67580 |
|
7 |
158 |
61 |
-10.62000 |
-3.59000 |
38.12580 |
|
8 |
159 |
55 |
-9.62000 |
-9.59000 |
92.25580 |
|
9 |
159 |
60 |
-9.62000 |
-4.59000 |
44.15580 |
|
10 |
159 |
48 |
-9.62000 |
-16.59000 |
159.59580 |
|
11 |
159 |
61 |
-9.62000 |
-3.59000 |
34.53580 |
|
12 |
159 |
55 |
-9.62000 |
-9.59000 |
92.25580 |
|
13 |
159 |
60 |
-9.62000 |
-4.59000 |
44.15580 |
|
14 |
160 |
61 |
-8.62000 |
-3.59000 |
30.94580 |
|
15 |
161 |
66 |
-7.62000 |
1.41000 |
-10.74420 |
|
16 |
161 |
56 |
-7.62000 |
-8.59000 |
65.45580 |
|
17 |
161 |
55 |
-7.62000 |
-9.59000 |
73.07580 |
|
18 |
161 |
51 |
-7.62000 |
-13.59000 |
103.55580 |
|
19 |
161 |
66 |
-7.62000 |
1.41000 |
-10.74420 |
|
20 |
161 |
55 |
-7.62000 |
-9.59000 |
73.07580 |
|
21 |
161 |
66 |
-7.62000 |
1.41000 |
-10.74420 |
|
22 |
161 |
52 |
-7.62000 |
-12.59000 |
95.93580 |
|
23 |
161 |
62 |
-7.62000 |
-2.59000 |
19.73580 |
|
24 |
161 |
51 |
-7.62000 |
-13.59000 |
103.55580 |
|
25 |
161 |
59 |
-7.62000 |
-5.59000 |
42.59580 |
|
26 |
162 |
66 |
-6.62000 |
1.41000 |
-9.33420 |
|
27 |
162 |
53 |
-6.62000 |
-11.59000 |
76.72580 |
|
28 |
162 |
65 |
-6.62000 |
0.41000 |
-2.71420 |
|
29 |
162 |
60 |
-6.62000 |
-4.59000 |
30.38580 |
|
30 |
163 |
65 |
-5.62000 |
0.41000 |
-2.30420 |
|
31 |
163 |
58 |
-5.62000 |
-6.59000 |
37.03580 |
|
32 |
163 |
63 |
-5.62000 |
-1.59000 |
8.93580 |
|
33 |
163 |
65 |
-5.62000 |
0.41000 |
-2.30420 |
|
34 |
163 |
64 |
-5.62000 |
-0.59000 |
3.31580 |
|
35 |
163 |
54 |
-5.62000 |
-10.59000 |
59.51580 |
|
36 |
163 |
62 |
-5.62000 |
-2.59000 |
14.55580 |
|
37 |
164 |
53 |
-4.62000 |
-11.59000 |
53.54580 |
|
38 |
164 |
59 |
-4.62000 |
-5.59000 |
25.82580 |
|
39 |
164 |
63 |
-4.62000 |
-1.59000 |
7.34580 |
|
40 |
164 |
53 |
-4.62000 |
-11.59000 |
53.54580 |
|
41 |
164 |
56 |
-4.62000 |
-8.59000 |
39.68580 |
|
42 |
164 |
61 |
-4.62000 |
-3.59000 |
16.58580 |
|
43 |
164 |
70 |
-4.62000 |
5.41000 |
-24.99420 |
|
44 |
164 |
60 |
-4.62000 |
-4.59000 |
21.20580 |
|
45 |
164 |
60 |
-4.62000 |
-4.59000 |
21.20580 |
|
46 |
164 |
63 |
-4.62000 |
-1.59000 |
7.34580 |
|
47 |
164 |
60 |
-4.62000 |
-4.59000 |
21.20580 |
|
48 |
164 |
76 |
-4.62000 |
11.41000 |
-52.71420 |
|
49 |
165 |
63 |
-3.62000 |
-1.59000 |
5.75580 |
|
50 |
165 |
63 |
-3.62000 |
-1.59000 |
5.75580 |
|
51 |
165 |
62 |
-3.62000 |
-2.59000 |
9.37580 |
|
52 |
165 |
67 |
-3.62000 |
2.41000 |
-8.72420 |
|
53 |
165 |
56 |
-3.62000 |
-8.59000 |
31.09580 |
|
54 |
165 |
69 |
-3.62000 |
4.41000 |
-15.96420 |
|
55 |
165 |
60 |
-3.62000 |
-4.59000 |
16.61580 |
|
56 |
165 |
72 |
-3.62000 |
7.41000 |
-26.82420 |
|
57 |
165 |
60 |
-3.62000 |
-4.59000 |
16.61580 |
|
58 |
165 |
61 |
-3.62000 |
-3.59000 |
12.99580 |
|
59 |
165 |
59 |
-3.62000 |
-5.59000 |
20.23580 |
|
60 |
165 |
56 |
-3.62000 |
-8.59000 |
31.09580 |
|
61 |
165 |
63 |
-3.62000 |
-1.59000 |
5.75580 |
|
62 |
165 |
68 |
-3.62000 |
3.41000 |
-12.34420 |
|
63 |
165 |
63 |
-3.62000 |
-1.59000 |
5.75580 |
|
64 |
165 |
63 |
-3.62000 |
-1.59000 |
5.75580 |
|
65 |
165 |
62 |
-3.62000 |
-2.59000 |
9.37580 |
|
66 |
166 |
71 |
-2.62000 |
6.41000 |
-16.79420 |
|
67 |
166 |
78 |
-2.62000 |
13.41000 |
-35.13420 |
|
68 |
166 |
60 |
-2.62000 |
-4.59000 |
12.02580 |
|
69 |
166 |
55 |
-2.62000 |
-9.59000 |
25.12580 |
|
70 |
166 |
64 |
-2.62000 |
-0.59000 |
1.54580 |
|
71 |
166 |
57 |
-2.62000 |
-7.59000 |
19.88580 |
|
72 |
166 |
62 |
-2.62000 |
-2.59000 |
6.78580 |
|
73 |
166 |
63 |
-2.62000 |
-1.59000 |
4.16580 |
|
74 |
166 |
62 |
-2.62000 |
-2.59000 |
6.78580 |
|
75 |
166 |
67 |
-2.62000 |
2.41000 |
-6.31420 |
|
76 |
166 |
64 |
-2.62000 |
-0.59000 |
1.54580 |
|
77 |
167 |
65 |
-1.62000 |
0.41000 |
-0.66420 |
|
78 |
167 |
64 |
-1.62000 |
-0.59000 |
0.95580 |
|
79 |
167 |
59 |
-1.62000 |
-5.59000 |
9.05580 |
|
80 |
167 |
60 |
-1.62000 |
-4.59000 |
7.43580 |
|
81 |
167 |
65 |
-1.62000 |
0.41000 |
-0.66420 |
|
82 |
167 |
57 |
-1.62000 |
-7.59000 |
12.29580 |
|
83 |
167 |
63 |
-1.62000 |
-1.59000 |
2.57580 |
|
84 |
167 |
59 |
-1.62000 |
-5.59000 |
9.05580 |
|
85 |
167 |
64 |
-1.62000 |
-0.59000 |
0.95580 |
|
86 |
167 |
57 |
-1.62000 |
-7.59000 |
12.29580 |
|
87 |
167 |
61 |
-1.62000 |
-3.59000 |
5.81580 |
|
88 |
167 |
65 |
-1.62000 |
0.41000 |
-0.66420 |
|
89 |
167 |
68 |
-1.62000 |
3.41000 |
-5.52420 |
|
90 |
167 |
57 |
-1.62000 |
-7.59000 |
12.29580 |
|
91 |
167 |
63 |
-1.62000 |
-1.59000 |
2.57580 |
|
92 |
167 |
66 |
-1.62000 |
1.41000 |
-2.28420 |
|
93 |
168 |
58 |
-0.62000 |
-6.59000 |
4.08580 |
|
94 |
168 |
67 |
-0.62000 |
2.41000 |
-1.49420 |
|
95 |
168 |
73 |
-0.62000 |
8.41000 |
-5.21420 |
|
96 |
168 |
62 |
-0.62000 |
-2.59000 |
1.60580 |
|
97 |
168 |
70 |
-0.62000 |
5.41000 |
-3.35420 |
|
98 |
168 |
67 |
-0.62000 |
2.41000 |
-1.49420 |
|
99 |
168 |
58 |
-0.62000 |
-6.59000 |
4.08580 |
|
100 |
168 |
67 |
-0.62000 |
2.41000 |
-1.49420 |
|
101 |
168 |
55 |
-0.62000 |
-9.59000 |
5.94580 |
|
102 |
168 |
65 |
-0.62000 |
0.41000 |
-0.25420 |
|
103 |
168 |
75 |
-0.62000 |
10.41000 |
-6.45420 |
|
104 |
169 |
71 |
0.38000 |
6.41000 |
2.43580 |
|
105 |
169 |
64 |
0.38000 |
-0.59000 |
-0.22420 |
|
106 |
169 |
64 |
0.38000 |
-0.59000 |
-0.22420 |
|
107 |
169 |
67 |
0.38000 |
2.41000 |
0.91580 |
|
108 |
169 |
61 |
0.38000 |
-3.59000 |
-1.36420 |
|
109 |
169 |
62 |
0.38000 |
-2.59000 |
-0.98420 |
|
110 |
169 |
74 |
0.38000 |
9.41000 |
3.57580 |
|
111 |
169 |
58 |
0.38000 |
-6.59000 |
-2.50420 |
|
112 |
169 |
66 |
0.38000 |
1.41000 |
0.53580 |
|
113 |
169 |
61 |
0.38000 |
-3.59000 |
-1.36420 |
|
114 |
169 |
66 |
0.38000 |
1.41000 |
0.53580 |
|
115 |
170 |
75 |
1.38000 |
10.41000 |
14.36580 |
|
116 |
170 |
76 |
1.38000 |
11.41000 |
15.74580 |
|
117 |
170 |
65 |
1.38000 |
0.41000 |
0.56580 |
|
118 |
170 |
68 |
1.38000 |
3.41000 |
4.70580 |
|
119 |
170 |
69 |
1.38000 |
4.41000 |
6.08580 |
|
120 |
170 |
58 |
1.38000 |
-6.59000 |
-9.09420 |
|
121 |
170 |
61 |
1.38000 |
-3.59000 |
-4.95420 |
|
122 |
170 |
73 |
1.38000 |
8.41000 |
11.60580 |
|
123 |
170 |
75 |
1.38000 |
10.41000 |
14.36580 |
|
124 |
170 |
62 |
1.38000 |
-2.59000 |
-3.57420 |
|
125 |
171 |
65 |
2.38000 |
0.41000 |
0.97580 |
|
126 |
171 |
67 |
2.38000 |
2.41000 |
5.73580 |
|
127 |
171 |
62 |
2.38000 |
-2.59000 |
-6.16420 |
|
128 |
171 |
64 |
2.38000 |
-0.59000 |
-1.40420 |
|
129 |
171 |
67 |
2.38000 |
2.41000 |
5.73580 |
|
130 |
171 |
65 |
2.38000 |
0.41000 |
0.97580 |
|
131 |
171 |
70 |
2.38000 |
5.41000 |
12.87580 |
|
132 |
171 |
60 |
2.38000 |
-4.59000 |
-10.92420 |
|
133 |
171 |
63 |
2.38000 |
-1.59000 |
-3.78420 |
|
134 |
171 |
69 |
2.38000 |
4.41000 |
10.49580 |
|
135 |
171 |
64 |
2.38000 |
-0.59000 |
-1.40420 |
|
136 |
171 |
66 |
2.38000 |
1.41000 |
3.35580 |
|
137 |
171 |
73 |
2.38000 |
8.41000 |
20.01580 |
|
138 |
171 |
67 |
2.38000 |
2.41000 |
5.73580 |
|
139 |
172 |
64 |
3.38000 |
-0.59000 |
-1.99420 |
|
140 |
172 |
67 |
3.38000 |
2.41000 |
8.14580 |
|
141 |
172 |
64 |
3.38000 |
-0.59000 |
-1.99420 |
|
142 |
172 |
72 |
3.38000 |
7.41000 |
25.04580 |
|
143 |
172 |
64 |
3.38000 |
-0.59000 |
-1.99420 |
|
144 |
172 |
60 |
3.38000 |
-4.59000 |
-15.51420 |
|
145 |
172 |
67 |
3.38000 |
2.41000 |
8.14580 |
|
146 |
172 |
60 |
3.38000 |
-4.59000 |
-15.51420 |
|
147 |
172 |
66 |
3.38000 |
1.41000 |
4.76580 |
|
148 |
172 |
69 |
3.38000 |
4.41000 |
14.90580 |
|
149 |
172 |
63 |
3.38000 |
-1.59000 |
-5.37420 |
|
150 |
172 |
74 |
3.38000 |
9.41000 |
31.80580 |
|
151 |
172 |
75 |
3.38000 |
10.41000 |
35.18580 |
|
152 |
172 |
64 |
3.38000 |
-0.59000 |
-1.99420 |
|
153 |
173 |
66 |
4.38000 |
1.41000 |
6.17580 |
|
154 |
173 |
65 |
4.38000 |
0.41000 |
1.79580 |
|
155 |
173 |
66 |
4.38000 |
1.41000 |
6.17580 |
|
156 |
173 |
63 |
4.38000 |
-1.59000 |
-6.96420 |
|
157 |
173 |
66 |
4.38000 |
1.41000 |
6.17580 |
|
158 |
173 |
71 |
4.38000 |
6.41000 |
28.07580 |
|
159 |
173 |
63 |
4.38000 |
-1.59000 |
-6.96420 |
|
160 |
173 |
63 |
4.38000 |
-1.59000 |
-6.96420 |
|
161 |
173 |
68 |
4.38000 |
3.41000 |
14.93580 |
|
162 |
173 |
70 |
4.38000 |
5.41000 |
23.69580 |
|
163 |
173 |
74 |
4.38000 |
9.41000 |
41.21580 |
|
164 |
174 |
69 |
5.38000 |
4.41000 |
23.72580 |
|
165 |
174 |
67 |
5.38000 |
2.41000 |
12.96580 |
|
166 |
174 |
66 |
5.38000 |
1.41000 |
7.58580 |
|
167 |
174 |
69 |
5.38000 |
4.41000 |
23.72580 |
|
168 |
174 |
66 |
5.38000 |
1.41000 |
7.58580 |
|
169 |
174 |
59 |
5.38000 |
-5.59000 |
-30.07420 |
|
170 |
175 |
67 |
6.38000 |
2.41000 |
15.37580 |
|
171 |
175 |
80 |
6.38000 |
15.41000 |
98.31580 |
|
172 |
175 |
70 |
6.38000 |
5.41000 |
34.51580 |
|
173 |
175 |
70 |
6.38000 |
5.41000 |
34.51580 |
|
174 |
176 |
62 |
7.38000 |
-2.59000 |
-19.11420 |
|
175 |
176 |
78 |
7.38000 |
13.41000 |
98.96580 |
|
176 |
176 |
65 |
7.38000 |
0.41000 |
3.02580 |
|
177 |
176 |
65 |
7.38000 |
0.41000 |
3.02580 |
|
178 |
176 |
81 |
7.38000 |
16.41000 |
121.10580 |
|
179 |
176 |
67 |
7.38000 |
2.41000 |
17.78580 |
|
180 |
176 |
70 |
7.38000 |
5.41000 |
39.92580 |
|
181 |
176 |
75 |
7.38000 |
10.41000 |
76.82580 |
|
182 |
176 |
60 |
7.38000 |
-4.59000 |
-33.87420 |
|
183 |
176 |
71 |
7.38000 |
6.41000 |
47.30580 |
|
184 |
176 |
65 |
7.38000 |
0.41000 |
3.02580 |
|
185 |
176 |
75 |
7.38000 |
10.41000 |
76.82580 |
|
186 |
176 |
67 |
7.38000 |
2.41000 |
17.78580 |
|
187 |
176 |
78 |
7.38000 |
13.41000 |
98.96580 |
|
188 |
177 |
71 |
8.38000 |
6.41000 |
53.71580 |
|
189 |
177 |
80 |
8.38000 |
15.41000 |
129.13580 |
|
190 |
178 |
75 |
9.38000 |
10.41000 |
97.64580 |
|
191 |
178 |
68 |
9.38000 |
3.41000 |
31.98580 |
|
192 |
180 |
66 |
11.38000 |
1.41000 |
16.04580 |
|
193 |
181 |
76 |
12.38000 |
11.41000 |
141.25580 |
|
194 |
182 |
73 |
13.38000 |
8.41000 |
112.52580 |
|
195 |
182 |
73 |
13.38000 |
8.41000 |
112.52580 |
|
196 |
183 |
72 |
14.38000 |
7.41000 |
106.55580 |
|
197 |
183 |
75 |
14.38000 |
10.41000 |
149.69580 |
|
198 |
184 |
80 |
15.38000 |
15.41000 |
237.00580 |
|
199 |
188 |
66 |
19.38000 |
1.41000 |
27.32580 |
|
200 |
190 |
69 |
21.38000 |
4.41000 |
94.28580 |
1.5. Вычислим ковариацию cov(X,Y) как среднее значение элементов 6-го столбца таблицы 1.
1.5.1. Складывая последовательно по 10 элементов выборки Y получим следующие значения для Sk :
904.288 495.568 343.838 261.318 61.038 86.518 1.068 49.638 48.438 -2.982 3.368 29.578 23.298 42.518 44.278 60.698 140.738 432.068 567.358 1029.208
1.5.2. Каждое из чисел S1, S2,…, S20 делим на 10. Получаем 20 чисел
sk = Sk/10:
90.4288 49.5568 34.3838 26.1318 6.1038 8.6518 0.1068 4.9638 4.8438 -0.2982 0.3368 2.9578 2.3298 4.2518 4.4278 6.0698 14.0738 43.2068 56.7358 102.9208
1.5.3. Искомая оценка коэффициента ковариации cov(X,Y) есть
Mx = (s1 + s2 + ... + s20 )/ 20 = 462.184 / 20 = 23,1092
ОТВЕТ: cov(X,Y) = 23.1092
2. Вычисляем коэффициент корреляции.
Коэффициент корреляции -- это показатель взаимного вероятностного влияния двух случайных величин. Коэффициент корреляции R может принимать значения от -1 до +1. Если абсолютное значение находится ближе к 1, то это свидетельство сильной связи между величинами, а если ближе к 0 -- то, это говорит о слабой связи или ее отсутствии. Если абсолютное значение R равно единице, то можно говорить о функциональной связи между величинами, то есть одну величину можно выразить через другую посредством математической функции.
Вычислить коэффициент корреляции можно по следующим формулам:
Rx,y = cov( X,Y ) /уxуy ( 2.1 ),
где cov( X,Y ) - ковариация случайных величин Х и Y
уx2 = 1 /n У n k = 1 (xk-Mx)2 , уy2 = 1 / n У n k = 1 (yk-My)2 (2.2),
- оценки дисперсий случайных величин X и Y соответственно.
Mx = 1 /n У n k = 1 xk , My = 1 / n У n k = 1 yk ( 2.3 ),
- оценки математического ожидания случайных величин X и Y соответственно.
или по формуле
Rx,y = (Mxy - MxMy) / SxSy (2.4), где:
Mx = 1 /n У n k = 1 xk , My = 1 / n У n k = 1 yk ,
Mxy = 1 /n У n k = 1 xkyk ( 2.5 )
Sx2 = 1 / n У n k = 1 (xk2 - Mx2) , Sy2 = 1 / n У n k = 1 yk2 - My2 ( 2.6 )
На практике, для вычисления коэффициента корреляции чаще используется формула (2.4) т.к. она требует меньше вычислений. Однако если предварительно была вычислена ковариация cov(X,Y), то выгоднее использовать формулу (2.1), т.к. кроме собственно значения ковариации можно воспользоваться и результатами промежуточных вычислений.
2.1 Вычислим коэффициент корреляции по формуле (2.1) для этого воспользуемся результатами, представленными в таблице 1, дополнив последнюю двумя новыми столбцами в которые запишем (предварительно вычислив) значения квадратов центрированных случайных величин (xk-Mx)2 и (yk-My)2. Получим таблицу 2.
Таблица 2
k |
xk |
yk |
( хk-Mx ) |
( хk-Mx )2 |
( yk-My ) |
( yk-My )2 |
|
1 |
155 |
61 |
-13.62000 |
185.50440 |
-3.59000 |
12.88810 |
|
2 |
156 |
53 |
-12.62000 |
159.26440 |
-11.59000 |
134.32810 |
|
3 |
156 |
54 |
-12.62000 |
159.26440 |
-10.59000 |
112.14810 |
|
4 |
157 |
60 |
-11.62000 |
135.02440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
5 |
157 |
60 |
-11.62000 |
135.02440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
6 |
157 |
53 |
-11.62000 |
135.02440 |
-11.59000 |
134.32810 |
|
7 |
158 |
61 |
-10.62000 |
112.78440 |
-3.59000 |
12.88810 |
|
8 |
159 |
55 |
-9.62000 |
92.54440 |
-9.59000 |
91.96810 |
|
9 |
159 |
60 |
-9.62000 |
92.54440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
10 |
159 |
48 |
-9.62000 |
92.54440 |
-16.59000 |
275.22810 |
|
11 |
159 |
61 |
-9.62000 |
92.54440 |
-3.59000 |
12.88810 |
|
12 |
159 |
55 |
-9.62000 |
92.54440 |
-9.59000 |
91.96810 |
|
13 |
159 |
60 |
-9.62000 |
92.54440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
14 |
160 |
61 |
-8.62000 |
74.30440 |
-3.59000 |
12.88810 |
|
15 |
161 |
66 |
-7.62000 |
58.06440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
16 |
161 |
56 |
-7.62000 |
58.06440 |
-8.59000 |
73.78810 |
|
17 |
161 |
55 |
-7.62000 |
58.06440 |
-9.59000 |
91.96810 |
|
18 |
161 |
51 |
-7.62000 |
58.06440 |
-13.59000 |
184.68810 |
|
19 |
161 |
66 |
-7.62000 |
58.06440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
20 |
161 |
55 |
-7.62000 |
58.06440 |
-9.59000 |
91.96810 |
|
21 |
161 |
66 |
-7.62000 |
58.06440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
22 |
161 |
52 |
-7.62000 |
58.06440 |
-12.59000 |
158.50810 |
|
23 |
161 |
62 |
-7.62000 |
58.06440 |
-2.59000 |
6.70810 |
|
24 |
161 |
51 |
-7.62000 |
58.06440 |
-13.59000 |
184.68810 |
|
25 |
161 |
59 |
-7.62000 |
58.06440 |
-5.59000 |
31.24810 |
|
26 |
162 |
66 |
-6.62000 |
43.82440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
27 |
162 |
53 |
-6.62000 |
43.82440 |
-11.59000 |
134.32810 |
|
28 |
162 |
65 |
-6.62000 |
43.82440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
29 |
162 |
60 |
-6.62000 |
43.82440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
30 |
163 |
65 |
-5.62000 |
31.58440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
31 |
163 |
58 |
-5.62000 |
31.58440 |
-6.59000 |
43.42810 |
|
32 |
163 |
63 |
-5.62000 |
31.58440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
33 |
163 |
65 |
-5.62000 |
31.58440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
34 |
163 |
64 |
-5.62000 |
31.58440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
35 |
163 |
54 |
-5.62000 |
31.58440 |
-10.59000 |
112.14810 |
|
36 |
163 |
62 |
-5.62000 |
31.58440 |
-2.59000 |
6.70810 |
|
37 |
164 |
53 |
-4.62000 |
21.34440 |
-11.59000 |
134.32810 |
|
38 |
164 |
59 |
-4.62000 |
21.34440 |
-5.59000 |
31.24810 |
|
39 |
164 |
63 |
-4.62000 |
21.34440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
40 |
164 |
53 |
-4.62000 |
21.34440 |
-11.59000 |
134.32810 |
|
41 |
164 |
56 |
-4.62000 |
21.34440 |
-8.59000 |
73.78810 |
|
42 |
164 |
61 |
-4.62000 |
21.34440 |
-3.59000 |
12.88810 |
|
43 |
164 |
70 |
-4.62000 |
21.34440 |
5.41000 |
29.26810 |
|
44 |
164 |
60 |
-4.62000 |
21.34440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
45 |
164 |
60 |
-4.62000 |
21.34440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
46 |
164 |
63 |
-4.62000 |
21.34440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
47 |
164 |
60 |
-4.62000 |
21.34440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
48 |
164 |
76 |
-4.62000 |
21.34440 |
11.41000 |
130.18810 |
|
49 |
165 |
63 |
-3.62000 |
13.10440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
50 |
165 |
63 |
-3.62000 |
13.10440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
51 |
165 |
62 |
-3.62000 |
13.10440 |
-2.59000 |
6.70810 |
|
52 |
165 |
67 |
-3.62000 |
13.10440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
53 |
165 |
56 |
-3.62000 |
13.10440 |
-8.59000 |
73.78810 |
|
54 |
165 |
69 |
-3.62000 |
13.10440 |
4.41000 |
19.44810 |
|
55 |
165 |
60 |
-3.62000 |
13.10440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
56 |
165 |
72 |
-3.62000 |
13.10440 |
7.41000 |
54.90810 |
|
57 |
165 |
60 |
-3.62000 |
13.10440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
58 |
165 |
61 |
-3.62000 |
13.10440 |
-3.59000 |
12.88810 |
|
59 |
165 |
59 |
-3.62000 |
13.10440 |
-5.59000 |
31.24810 |
|
60 |
165 |
56 |
-3.62000 |
13.10440 |
-8.59000 |
73.78810 |
|
61 |
165 |
63 |
-3.62000 |
13.10440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
62 |
165 |
68 |
-3.62000 |
13.10440 |
3.41000 |
11.62810 |
|
63 |
165 |
63 |
-3.62000 |
13.10440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
64 |
165 |
63 |
-3.62000 |
13.10440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
65 |
165 |
62 |
-3.62000 |
13.10440 |
-2.59000 |
6.70810 |
|
66 |
166 |
71 |
-2.62000 |
6.86440 |
6.41000 |
41.08810 |
|
67 |
166 |
78 |
-2.62000 |
6.86440 |
13.41000 |
179.82810 |
|
68 |
166 |
60 |
-2.62000 |
6.86440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
69 |
166 |
55 |
-2.62000 |
6.86440 |
-9.59000 |
91.96810 |
|
70 |
166 |
64 |
-2.62000 |
6.86440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
71 |
166 |
57 |
-2.62000 |
6.86440 |
-7.59000 |
57.60810 |
|
72 |
166 |
62 |
-2.62000 |
6.86440 |
-2.59000 |
6.70810 |
|
73 |
166 |
63 |
-2.62000 |
6.86440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
74 |
166 |
62 |
-2.62000 |
6.86440 |
-2.59000 |
6.70810 |
|
75 |
166 |
67 |
-2.62000 |
6.86440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
76 |
166 |
64 |
-2.62000 |
6.86440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
77 |
167 |
65 |
-1.62000 |
2.62440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
78 |
167 |
64 |
-1.62000 |
2.62440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
79 |
167 |
59 |
-1.62000 |
2.62440 |
-5.59000 |
31.24810 |
|
80 |
167 |
60 |
-1.62000 |
2.62440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
81 |
167 |
65 |
-1.62000 |
2.62440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
82 |
167 |
57 |
-1.62000 |
2.62440 |
-7.59000 |
57.60810 |
|
83 |
167 |
63 |
-1.62000 |
2.62440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
84 |
167 |
59 |
-1.62000 |
2.62440 |
-5.59000 |
31.24810 |
|
85 |
167 |
64 |
-1.62000 |
2.62440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
86 |
167 |
57 |
-1.62000 |
2.62440 |
-7.59000 |
57.60810 |
|
87 |
167 |
61 |
-1.62000 |
2.62440 |
-3.59000 |
12.88810 |
|
88 |
167 |
65 |
-1.62000 |
2.62440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
89 |
167 |
68 |
-1.62000 |
2.62440 |
3.41000 |
11.62810 |
|
90 |
167 |
57 |
-1.62000 |
2.62440 |
-7.59000 |
57.60810 |
|
91 |
167 |
63 |
-1.62000 |
2.62440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
92 |
167 |
66 |
-1.62000 |
2.62440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
93 |
168 |
58 |
-0.62000 |
0.38440 |
-6.59000 |
43.42810 |
|
94 |
168 |
67 |
-0.62000 |
0.38440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
95 |
168 |
73 |
-0.62000 |
0.38440 |
8.41000 |
70.72810 |
|
96 |
168 |
62 |
-0.62000 |
0.38440 |
-2.59000 |
6.70810 |
|
97 |
168 |
70 |
-0.62000 |
0.38440 |
5.41000 |
29.26810 |
|
98 |
168 |
67 |
-0.62000 |
0.38440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
99 |
168 |
58 |
-0.62000 |
0.38440 |
-6.59000 |
43.42810 |
|
100 |
168 |
67 |
-0.62000 |
0.38440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
101 |
168 |
55 |
-0.62000 |
0.38440 |
-9.59000 |
91.96810 |
|
102 |
168 |
65 |
-0.62000 |
0.38440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
103 |
168 |
75 |
-0.62000 |
0.38440 |
10.41000 |
108.36810 |
|
104 |
169 |
71 |
0.38000 |
0.14440 |
6.41000 |
41.08810 |
|
105 |
169 |
64 |
0.38000 |
0.14440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
106 |
169 |
64 |
0.38000 |
0.14440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
107 |
169 |
67 |
0.38000 |
0.14440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
108 |
169 |
61 |
0.38000 |
0.14440 |
-3.59000 |
12.88810 |
|
109 |
169 |
62 |
0.38000 |
0.14440 |
-2.59000 |
6.70810 |
|
110 |
169 |
74 |
0.38000 |
0.14440 |
9.41000 |
88.54810 |
|
111 |
169 |
58 |
0.38000 |
0.14440 |
-6.59000 |
43.42810 |
|
112 |
169 |
66 |
0.38000 |
0.14440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
113 |
169 |
61 |
0.38000 |
0.14440 |
-3.59000 |
12.88810 |
|
114 |
169 |
66 |
0.38000 |
0.14440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
115 |
170 |
75 |
1.38000 |
1.90440 |
10.41000 |
108.36810 |
|
116 |
170 |
76 |
1.38000 |
1.90440 |
11.41000 |
130.18810 |
|
117 |
170 |
65 |
1.38000 |
1.90440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
118 |
170 |
68 |
1.38000 |
1.90440 |
3.41000 |
11.62810 |
|
119 |
170 |
69 |
1.38000 |
1.90440 |
4.41000 |
19.44810 |
|
120 |
170 |
58 |
1.38000 |
1.90440 |
-6.59000 |
43.42810 |
|
121 |
170 |
61 |
1.38000 |
1.90440 |
-3.59000 |
12.88810 |
|
122 |
170 |
73 |
1.38000 |
1.90440 |
8.41000 |
70.72810 |
|
123 |
170 |
75 |
1.38000 |
1.90440 |
10.41000 |
108.36810 |
|
124 |
170 |
62 |
1.38000 |
1.90440 |
-2.59000 |
6.70810 |
|
125 |
171 |
65 |
2.38000 |
5.66440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
126 |
171 |
67 |
2.38000 |
5.66440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
127 |
171 |
62 |
2.38000 |
5.66440 |
-2.59000 |
6.70810 |
|
128 |
171 |
64 |
2.38000 |
5.66440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
129 |
171 |
67 |
2.38000 |
5.66440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
130 |
171 |
65 |
2.38000 |
5.66440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
131 |
171 |
70 |
2.38000 |
5.66440 |
5.41000 |
29.26810 |
|
132 |
171 |
60 |
2.38000 |
5.66440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
133 |
171 |
63 |
2.38000 |
5.66440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
134 |
171 |
69 |
2.38000 |
5.66440 |
4.41000 |
19.44810 |
|
135 |
171 |
64 |
2.38000 |
5.66440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
136 |
171 |
66 |
2.38000 |
5.66440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
137 |
171 |
73 |
2.38000 |
5.66440 |
8.41000 |
70.72810 |
|
138 |
171 |
67 |
2.38000 |
5.66440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
139 |
172 |
64 |
3.38000 |
11.42440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
140 |
172 |
67 |
3.38000 |
11.42440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
141 |
172 |
64 |
3.38000 |
11.42440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
142 |
172 |
72 |
3.38000 |
11.42440 |
7.41000 |
54.90810 |
|
143 |
172 |
64 |
3.38000 |
11.42440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
144 |
172 |
60 |
3.38000 |
11.42440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
145 |
172 |
67 |
3.38000 |
11.42440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
146 |
172 |
60 |
3.38000 |
11.42440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
147 |
172 |
66 |
3.38000 |
11.42440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
148 |
172 |
69 |
3.38000 |
11.42440 |
4.41000 |
19.44810 |
|
149 |
172 |
63 |
3.38000 |
11.42440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
150 |
172 |
74 |
3.38000 |
11.42440 |
9.41000 |
88.54810 |
|
151 |
172 |
75 |
3.38000 |
11.42440 |
10.41000 |
108.36810 |
|
152 |
172 |
64 |
3.38000 |
11.42440 |
-0.59000 |
0.34810 |
|
153 |
173 |
66 |
4.38000 |
19.18440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
154 |
173 |
65 |
4.38000 |
19.18440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
155 |
173 |
66 |
4.38000 |
19.18440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
156 |
173 |
63 |
4.38000 |
19.18440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
157 |
173 |
66 |
4.38000 |
19.18440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
158 |
173 |
71 |
4.38000 |
19.18440 |
6.41000 |
41.08810 |
|
159 |
173 |
63 |
4.38000 |
19.18440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
160 |
173 |
63 |
4.38000 |
19.18440 |
-1.59000 |
2.52810 |
|
161 |
173 |
68 |
4.38000 |
19.18440 |
3.41000 |
11.62810 |
|
162 |
173 |
70 |
4.38000 |
19.18440 |
5.41000 |
29.26810 |
|
163 |
173 |
74 |
4.38000 |
19.18440 |
9.41000 |
88.54810 |
|
164 |
174 |
69 |
5.38000 |
28.94440 |
4.41000 |
19.44810 |
|
165 |
174 |
67 |
5.38000 |
28.94440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
166 |
174 |
66 |
5.38000 |
28.94440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
167 |
174 |
69 |
5.38000 |
28.94440 |
4.41000 |
19.44810 |
|
168 |
174 |
66 |
5.38000 |
28.94440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
169 |
174 |
59 |
5.38000 |
28.94440 |
-5.59000 |
31.24810 |
|
170 |
175 |
67 |
6.38000 |
40.70440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
171 |
175 |
80 |
6.38000 |
40.70440 |
15.41000 |
237.46810 |
|
172 |
175 |
70 |
6.38000 |
40.70440 |
5.41000 |
29.26810 |
|
173 |
175 |
70 |
6.38000 |
40.70440 |
5.41000 |
29.26810 |
|
174 |
176 |
62 |
7.38000 |
54.46440 |
-2.59000 |
6.70810 |
|
175 |
176 |
78 |
7.38000 |
54.46440 |
13.41000 |
179.82810 |
|
176 |
176 |
65 |
7.38000 |
54.46440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
177 |
176 |
65 |
7.38000 |
54.46440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
178 |
176 |
81 |
7.38000 |
54.46440 |
16.41000 |
269.28810 |
|
179 |
176 |
67 |
7.38000 |
54.46440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
180 |
176 |
70 |
7.38000 |
54.46440 |
5.41000 |
29.26810 |
|
181 |
176 |
75 |
7.38000 |
54.46440 |
10.41000 |
108.36810 |
|
182 |
176 |
60 |
7.38000 |
54.46440 |
-4.59000 |
21.06810 |
|
183 |
176 |
71 |
7.38000 |
54.46440 |
6.41000 |
41.08810 |
|
184 |
176 |
65 |
7.38000 |
54.46440 |
0.41000 |
0.16810 |
|
185 |
176 |
75 |
7.38000 |
54.46440 |
10.41000 |
108.36810 |
|
186 |
176 |
67 |
7.38000 |
54.46440 |
2.41000 |
5.80810 |
|
187 |
176 |
78 |
7.38000 |
54.46440 |
13.41000 |
179.82810 |
|
188 |
177 |
71 |
8.38000 |
70.22440 |
6.41000 |
41.08810 |
|
189 |
177 |
80 |
8.38000 |
70.22440 |
15.41000 |
237.46810 |
|
190 |
178 |
75 |
9.38000 |
87.98440 |
10.41000 |
108.36810 |
|
191 |
178 |
68 |
9.38000 |
87.98440 |
3.41000 |
11.62810 |
|
192 |
180 |
66 |
11.38000 |
129.50440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
193 |
181 |
76 |
12.38000 |
153.26440 |
11.41000 |
130.18810 |
|
194 |
182 |
73 |
13.38000 |
179.02440 |
8.41000 |
70.72810 |
|
195 |
182 |
73 |
13.38000 |
179.02440 |
8.41000 |
70.72810 |
|
196 |
183 |
72 |
14.38000 |
206.78440 |
7.41000 |
54.90810 |
|
197 |
183 |
75 |
14.38000 |
206.78440 |
10.41000 |
108.36810 |
|
198 |
184 |
80 |
15.38000 |
236.54440 |
15.41000 |
237.46810 |
|
199 |
188 |
66 |
19.38000 |
375.58440 |
1.41000 |
1.98810 |
|
200 |
190 |
69 |
21.38000 |
457.10440 |
4.41000 |
19.44810 |
2.2. Вычислим уx2 как среднее значение элементов 5-го столбца таблицы 2.
2.2.1. Складывая последовательно по 10 элементов 5-го столбца получим следующие значения для Sk :
1299.524 700.324 497.204 274.884 196.964 131.044 99.844 51.684 26.244 8.324 2.164 12.004 41.604 68.164 114.244 176.324 271.924 503.364 609.684 2211.604
2.2.2. Каждое из чисел S1, S2,…, S20 делим на 10. Получаем 20 чисел
sk = Sk/10:
129.9524 70.0324 49.7204 27.4884 19.6964 13.1044 9.9844 5.1684 2.6244 0.8324 0.2164 1.2004 4.1604 6.8164 11.4244 17.6324 27.1924 50.3364 60.9684 221.1604
2.2.3. Искомая уx2 есть
уx2 = (s1 + s2 + ... + s20 ) / 20 = 729.712 /20 = 36.4856.
2.3. Вычислим уy2 как среднее значение элементов 7-го столбца таблицы 2.
2.3.1. Складывая последовательно по 10 элементов 7-го столбца получим следующие значения для Sk :
836.981 585.201 540.861 467.761 316.921 320.721 360.221 132.541 231.801 215.501 356.241 373.521 217.701 157.341 216.061 163.521 215.181 787.241 851.621 707.441
2.3.2. Каждое из чисел S1, S2,…, S20 делим на 10. Получаем 20 чисел
sk = Sk/10:
83.6981 58.5201 54.0861 46.7761 31.6921 32.0721 36.0221 13.2541 23.1801 21.5501 35.6241 37.3521 21.7701 15.7341 21.6061 16.3521 21.5181 78.7241 85.1621 70.7441
2.3.3. Искомая уy2 есть
уx2 = (s1 + s2 + ... + s20 ) / 20 = 805,438/20=40,2719
2.4. Вычислим произведение уx2уy2/уx2уy2 = 36.4856*40.2719 = 1469.344435
2.5. Извлечем из последнего числа квадратный корень, получим значение уxуy. уxуy = 38.332029 2.5.Вычислим коэффициент корреляции по формуле ( 2.1 ).
Rx,y = cov( X,Y ) /уxуy = 23.109200 / 38.332029 = 0.602869
ОТВЕТ: Rx,y = 0.602869
3. Проверяем значимость коэффициента корреляции (проверяем гипотезу зависимости).
Поскольку оценка коэффициента корреляции вычислена на конечной выборке, и поэтому может отклоняться от своего генерального значения, необходимо проверить значимость коэффициента корреляции. Проверка производится с помощью t-критерия:
t = (Rx,y v (n - 2)) / v (1 - R2x,y ) ( 3.1 )
Случайная величина t следует t-распределению Стьюдента и по таблице t-распределения необходимо найти критическое значение критерия (tкр.б) при заданном уровне значимости б. Если вычисленное по формуле ( 3.1 ) t по модулю окажется меньше чем tкр.б, то зависимости между случайными величинами X и Y нет. В противном случае, экспериментальные данные не противоречат гипотезе о зависимости случайных величин.
3.1. Вычислим значение t-критерия по формуле ( 3.1 ) получим:
t = (0.60287 v (200 - 2)) / v (1 - 0.602872 ) = 10.63261
3.2. Определим по таблице t-распределения критическое значение параметра tкр.б Искомое значение tкр.б располагается на пересечении строки соответствующей числу степеней свободы и столбца соответствующего заданному уровню значимости б. В нашем случае число степеней свободы есть n - 2 = 200 - 2 = 198 и б = 0.1 , что соответствует критическому значению критерия tкр.б = 1.658 (см. табл. 3)
Таблица 3 t-распределение
Число степеней свободы ( n - 2 ) |
б = 0.1 |
б = 0.05 |
б = 0.02 |
б = 0.01 |
б = 0.002 |
б = 0.001 |
|
1 |
6.314 |
12.706 |
31.821 |
63.657 |
318.31 |
636.62 |
|
2 |
2.920 |
4.303 |
6.965 |
9.925 |
22.327 |
31.598 |
|
3 |
2.353 |
3.182 |
4.541 |
5.841 |
10.214 |
12.924 |
|
4 |
2.132 |
2.776 |
3.747 |
4.604 |
7.173 |
8.610 |
|
5 |
2.015 |
2.571 |
3.365 |
4.032 |
5.893 |
6.869 |
|
6 |
1.943 |
2.447 |
3.143 |
3.707 |
5.208 |
5.959 |
|
7 |
1.895 |
2.365 |
2.998 |
3.499 |
4.785 |
5.408 |
|
8 |
1.860 |
2.306 |
2.896 |
3.355 |
4.501 |
5.041 |
|
9 |
1.833 |
2.262 |
2.821 |
3.250 |
4.297 |
4.781 |
|
10 |
1.812 |
2.228 |
2.764 |
3.169 |
4.144 |
4.587 |
|
11 |
1.796 |
2.201 |
2.718 |
3.106 |
4.025 |
4.437 |
|
12 |
1.782 |
2.179 |
2.681 |
3.055 |
3.930 |
4.318 |
|
13 |
1.771 |
2.160 |
2.650 |
3.012 |
3.852 |
4.221 |
|
14 |
1.761 |
2.145 |
2.624 |
2.977 |
3.787 |
4.140 |
|
15 |
1.753 |
2.131 |
2.602 |
2.947 |
3.733 |
4.073 |
|
16 |
1.746 |
2.120 |
2.583 |
2.921 |
3.686 |
4.015 |
|
17 |
1.740 |
2.110 |
2.567 |
2.898 |
3.646 |
3.965 |
|
18 |
1.734 |
2.101 |
2.552 |
2.878 |
3.610 |
3.922 |
|
19 |
1.729 |
2.093 |
2.539 |
2.861 |
3.579 |
3.883 |
|
20 |
1.725 |
2.086 |
2.528 |
2.845 |
3.552 |
3.850 |
|
21 |
1.721 |
2.080 |
2.518 |
2.831 |
3.527 |
3.819 |
|
22 |
1.717 |
2.074 |
2.508 |
2.819 |
3.505 |
3.792 |
|
23 |
1.714 |
2.069 |
2.500 |
2.807 |
3.485 |
3.767 |
|
24 |
1.711 |
2.064 |
2.492 |
2.797 |
3.467 |
3.745 |
|
25 |
1.708 |
2.060 |
2.485 |
2.787 |
3.450 |
3.725 |
|
26 |
1.706 |
2.056 |
2.479 |
2.779 |
3.435 |
3.707 |
|
27 |
1.703 |
2.052 |
2.473 |
2.771 |
3.421 |
3.690 |
|
28 |
1.701 |
2.048 |
2.467 |
2.763 |
3.408 |
3.674 |
|
29 |
1.699 |
2.045 |
2.462 |
2.756 |
3.396 |
3.659 |
|
30 |
1.697 |
2.042 |
2.457 |
2.750 |
3.385 |
3.646 |
|
40 |
1.684 |
2.021 |
2.423 |
2.704 |
3.307 |
3.551 |
|
60 |
1.671 |
2.000 |
2.390 |
2.660 |
3.232 |
3.460 |
|
120 |
1.658 |
1.980 |
2.358 |
2.617 |
3.160 |
3.373 |
|
? |
1.645 |
1.960 |
2.326 |
2.576 |
3.090 |
3.291 |
3.2. Сравним абсолютное значение t-критерия и tкр.б Абсолютное значение t-критерия не меньше критического t = 10.63261, tкр.б = 1.658, следовательно экспериментальные данные, с вероятностью 0.9 ( 1 - б ), не противоречат гипотезе о зависимости случайных величин X и Y.
4. Вычисляем коэффициенты уравнения линейной регрессии.
Уравнение линейной регрессии представляет собой уравнение прямой, аппроксимирующей (приблизительно описывающей) зависимость между случайными величинами X и Y. Если считать, что величина X свободная, а Y зависимая от Х, то уравнение регрессии запишется следующим образом
Y = a + b*X ( 4.1 ), где:
b = Rx,y (уy / уx) Rx,y = Sy / Sx (4.2),
a = My - b*Mx ( 4.3 )
Рассчитанный по формуле (4.2) коэффициент b называют коэффициентом линейной регрессии. В некоторых источниках a называют постоянным коэффициентом регрессии и b соответственно переменным. Погрешности предсказания Y по заданному значению X вычисляются по формулам:
уy/x = уy v (1-R2x,y ) = Syv (1-R2x,y ) (4.4)
- абсолютная погрешность,
дy/x = (уy/x / My )* 100% ( 4.5 ) - относительная погрешность
Величину уy/x (формула 4.4) еще называют остаточным средним квадратическим отклонением, оно характеризует уход величины Y от линии регрессии, описываемой уравнением (4.1), при фиксированном (заданном) значении X.
4.1. Вычислим отношение уy2 / уx2.
уy2 / уx2 = 40.27190 / 36.48560 = 1.10378
4.2. Вычислим отношение уy / уx
Извлечем из последнего числа квадратный корень - получим: уy / уx = 1.05061
4.3 Вычислим коэффициент b по формуле ( 4.2 ) b = 0.60287 * 1.05061 = 0.63338
4.4 Вычислим коэффициент a по формуле ( 4.3 ) a = 64.59000 - 0.63338 * 168.62000 = -42.21031
4.5 Оценим погрешности уравнения регрессии.
4.5.1 Извлечем из уy2 квадратный корень получим:
уy = v40.2719 = 6.34601;
4.5.2 Возведем в квадрат Rx,y получим: R2x,y = 0.602872 = 0.36345 4.5.3 Вычислим абсолютную погрешность (остаточное среднее квадратическое отклонение) по формуле ( 4.4 )
уy/x = (6.34601v (1 - 0.36345 ))= 5.06310
4.5.4 Вычислим относительную погрешность по формуле ( 4.5 ) дy/x = ( 5.06310 / 64.59000)100% = 7.83884%
Ответ: Уравнение линейной регрессии имеет вид: Y = 0.63338 X -42.21031 ( 4.6 )
Погрешности уравнения: уy/x = 5.06310 ; дy/x = 7.83884%
5. Строим диаграмму рассеяния (корреляционное поле) и график линии регрессии.
Диаграмма рассеяния -- это графическое изображение соответствующих пар (xk, yk) в виде точек плоскости, в прямоугольных координатах с осями X и Y. Корреляционное поле является одним из графических представлений связанной (парной) выборки. В той же системе координат строится и график линии регрессии. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы диаграмма была максимально наглядной.
5.1. Находим минимальный и максимальный элемент выборки X это 1-й и 200-й элементы соответственно, xmin = 1550 и xmax = 1900.
5.2. Находим минимальный и максимальный элемент выборки Y это 10-й и 178-й элементы соответственно, ymin = 480 и ymax = 810.
5.3. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x1 = 1550, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка x200 = 1900 и отчетливо различались остальные точки.
5.4. На оси ординат выбираем начальную точку чуть левее точки y10 = 480, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка y178 = 810 и отчетливо различались остальные точки.
5.5. На оси абсцисс размещаем значения xk, а на оси ординат значения yk.
5.6. Наносим точки (x1, y1 ), (x2, y2 ),…,(x200, y200 ) на координатную плоскость. Получаем диаграмму рассеяния (корреляционное поле), изображенное на рисунке ниже.
5.7. Начертим линию регрессии. Для этого найдем две различные точки с координатами (xr1, yr1) и (xr2, yr2) удовлетворяющие уравнению (4.6), нанесем их на координатную плоскость и проведем через них прямую. В качестве абсциссы первой точки возьмем значение xmin=1550. Подставим значение xmin в уравнение (4.6), получим ординату первой точки. Таким образом имеем точку с координатами (1550, 55.96338). Аналогичным образом получим координаты второй точки, положив в качестве абсциссы значение xmax = 1900. Вторая точка будет: ( 1900, 78.13164 ).
Линия регрессии показана на рисунке ниже красным цветом
вероятность дисперсия статистический корреляция
Рис. 5
Обратите внимание, что линия регрессии всегда проходит через точку средних значений величин Х и Y, т.е. с координатами (Mx , My).
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Исследование сходимости рядов. Степенной ряд интеграла дифференциального уравнения. Определение вероятности событий, закона распределения случайной величины, математического ожидания, эмпирической функции распределения, выборочного уравнения регрессии.
контрольная работа [420,3 K], добавлен 04.10.2010Определение вероятности наступления события по формуле Бернулли. Построение эмпирической функции распределения и гистограммы для случайной величины. Вычисление коэффициента корреляции, получение уравнения регрессии. Пример решения задачи симплекс-методом.
контрольная работа [547,6 K], добавлен 02.02.2012Определение вероятность срабатывания устройств при аварии. Расчет математического ожидания, дисперсии и функции распределения по заданному ряду распределения. Построение интервального статистического ряда распределения значений статистических данных.
контрольная работа [148,8 K], добавлен 12.02.2012Вычисление математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции. Определение функции распределения и его плотности. Нахождение вероятности попадания в определенный интервал. Особенности построения гистограммы частот. Применение критерия Пирсона.
задача [140,0 K], добавлен 17.11.2011Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [59,7 K], добавлен 26.07.2010Построение диаграммы рассеивания, полигонов, гистограмм нормированных относительных частот, эмпирических функций распределения по X и по Y. Параметры для уравнения параболической регрессии. Проверка гипотезы о нормальном распределении признака Х.
курсовая работа [511,8 K], добавлен 08.12.2013Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015