1.1 Геометрическое определение пирамиды

геометрический египетский пирамида пропорция

Пирамида - это многогранник, основание которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

Что бы лучше разобраться, представьте себе, что в некоторой плоскости (будем считать ее горизонтальной) расположен некоторый многоугольник, обозначаемый буквой М, а над этой плоскостью взята некоторая точка А. Рассмотрим отрезок, одним концом которого является некоторая точка фигуры М, а вторым - точка А. Всевозможные такие отрезки, вместе взятые, образуют многогранник, называемый пирамидой с основанием М и вершиной А. Поверхность пирамиды кроме основания содержит еще ряд боковых граней. Каждая из них представляет собой треугольник, основанием которого является одна из сторон многоугольника М, а вершиной - точка А. Таким образом, пирамида содержит одну грань - основание, которое может быть многоугольником с любым числом сторон, а все остальные грани (называемые боковыми) представляют собой треугольники, имеющие основанием одну общую сторону, причем все боковые грани имеют одну общую вершину. Это описание пирамиды можно принять за ее определение. Например, пакеты молока часто делают в форме треугольной пирамиды, т. е. пирамиды с треугольным основанием

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

1.2 История египетских пирамид

Теперь, когда мы разобрались, что же такое пирамида, давайте устроим небольшой экскурс в историю и узнаем, благодаря чему эта геометрическая фигура, обрела такую славу.

Египетские пирамиды - величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «семи чудес света» - пирамида Хеопса и почётный кандидат «новых семи чудес света» - Пирамиды Гизы. Пирамиды представляют собой огромные каменные сооружения пирамидальной формы, использовавшиеся в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта. Слово «пирамида» - греческое, означает многогранник. По мнению одних исследователей, большая куча пшеницы и стала прообразом пирамиды. По мнению других учёных, это слово произошло от названия поминального пирога пирамидальной формы. Всего в Египте было обнаружено 118 пирамид.

При упоминании египетских пирамид, как правило, имеют в виду Великие Пирамиды, расположенные в Гизе, неподалёку от Каира. Но они не являются единственными пирамидами в Египте. Многие другие пирамиды гораздо хуже сохранились и сейчас напоминают холмы или груды камней.

В период первых династий появляются специальные «дома после жизни» - мастабы - погребальные здания, состоявшие из подземной погребальной камеры и каменного сооружения над поверхностью земли. Сам термин относится уже к арабскому времени и связан с тем, что форма этих похожих в разрезе на трапецию гробниц напоминала арабам большие скамьи, называвшиеся «мастаба».

Мастабы строили для себя и первые фараоны. Древнейшие царские мастабы, относящиеся ко временам I династии, сооружались из адобов - необожженных кирпичей из глины и/или речного ила. Они строились в Нагадеи Абидосе в Верхнем Египте, а также в Саккаре, где находился главный некрополь Мемфиса, столицы правителей первых династий. В наземной части этих построек находились молельни и помещения с погребальным инвентарем, а в подземной - собственно погребальные камеры.

1.3 Некоторые замечательные пирамиды

Пирамида Джосера

Это первая пирамида ступенчатого типа. Постройка датируется приблизительно 2670 годом до нашей эры. Имхотеп - архитектор пирамиды, разработал способ кладки из тёсаного камня. Впоследствии египтяне глубоко почитали зодчего первой пирамиды, и даже обожествили его. Он считался сыном бога Птаха, покровителя искусств и ремёсел.

Пирамида Джосера расположена в Саккаре, к северо-востоку от древнего Мемфиса, в 15 км от Гизы. Её высота составляет 62 м.

Пирамида Хабы

Пирамида находится в Завиет-эль-Эриане. Архитектором её считается Хаба - предпоследний фараон III династии. Пирамида Хабы крупнее пирамиды Сехемхета - фараона I Династии, и в отличие от последней, она сохранилась немного лучше.

В центральной части пирамиды в Завиет-эль-Эриане хорошо видна структура кладки - слои камня чуть наклонены в сторону центра и как бы опираются на него (из-за этого её иногда еще называют «Слоёной»). Материал постройки - грубо отёсанный камень небольшого размера и глиняный раствор. Технология постройки пирамиды в Завиет-эль-Эриане сходна с той, которая использовалась при постройке пирамиды Сехемхета и Ступенчатой пирамиды в Саккаре.

Розовая пирамида

Северная пирамида фараона Снофру в Дахшуре, на момент своего строительства в XXVI в. до н. э. являвшаяся самым высоким сооружением на Земле. По размерам уступает только двум египетским пирамидам в Гизе - Хуфу и Хафра.

Историческое значение Розовой пирамиды состоит в том, что это первая царская усыпальница правильной пирамидальной формы. Хотя «розовая» усыпальница и считается первой «истинной» пирамидой, ей присущ чрезвычайно низкий наклон стен (только 43°36'; основание 218,5 Ч 221,5 м. при высоте 104,4 м.).

Название связано с тем, что известняковые блоки, из которых сложена пирамида, приобретают в лучах заходящего солнца розовый цвет. Вход через наклонный проход на северной стороне спускается в три смежные камеры, доступные для посещения. Эта пирамида приписывается Снофру оттого, что на нескольких блоках обшивки красной краской начертано его имя.

2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОПОРЦИИ ЕГИПЕТСКИХ ПИРАМИД

2.1 Геометрическое определение «золотого» треугольника

Форма прямоугольного треугольника задаётся отношением его катетов. К выбору этой формы приводит проблема выбора отношения между размахом основания a и высотой h при строительстве пирамид (рис. 1). Пирамида - это священное сооружение, а потому она должна иметь не какой-то случайным образом выбранный угол наклона грани, но самый лучший из всех возможных углов.

Современному читателю такая постановка вопроса может показаться странной, если не бессмысленной. В самом деле, разве один треугольник может быть лучше другого? Но в древности люди мыслили иначе, и для них одна фигура действительно могла быть лучше, совершеннее другой. Самая совершенная фигура - это круг: эта мысль была общим местом всей философии математики от античности до эпохи Возрождения.

Прямой угол совершеннее острого и тупого, квадрат совершеннее прямоугольника, а прямоугольник в свою очередь совершеннее трапеции. То же и для чисел: и не случайно числа, равные сумме своих делителей, получили название совершенных ещё в глубокой древности. А в списке парных начал пифагорейцев, который приводит Аристотель в Метафизике (986a20-26), такие начала, как предел, прямое, неподвижное, квадратное соответствуют хорошему, а парные к ним беспредельное, кривое, движущееся, продолговатое сопутствуют дурному.

Общий принцип этого противопоставления обсуждал А. В. Родин (2003). Мы рассмотрим его на примере трёх видов углов. Прямой угол - один единственный, и в пределах своего вида он не может быть больше или меньше. А вот острый угол как таковой - не определён, и в пределах своего вида всякий острый угол может сделаться большим или меньшим. То же самое и для тупого угла. Поэтому прямой угол - самый совершенный, ведь он в границах своего вида всегда равен самому себе. А прочие углы могут быть как больше, так и меньше прямого. И определения их зависимы от определения прямого угла - «острым называется угол, который меньше прямого, а тупым - угол, который больше прямого». Прямой же угол - это «золотая середина» (aureamediocrita) между избытком и недостатком, если воспользоваться выражением, которое употребил Гораций В оде II,3. Точно так же имеется одна определённая прямая линиясреди беспредельного множества кривых, один квадрат среди беспредельного множества продолговатых прямоугольников, и так далее. И всё определённое - то, что не может измениться, не потеряв своего видового качества, - является совершенным.

Теперь мы вернёмся к исходному вопросу о том, как «наилучшим образом» должны соотноситься между собой базовые размеры пирамиды. Понятно, что ответы на этот вопрос могут быть самыми разными. Один человек может сказать, что самым совершенным среди треугольников является равносторонний треугольник, а поэтому пирамида в сечении должна иметь вид такого треугольника. Другой - что самым совершенным среди четырёхугольников является квадрат, а потому и пирамида в сечении должна быть половиной квадрата. При этом могут рассматриваться как фронтальные, так и диагональные сечения. Достаточно изящным выглядит решение, в котором боковые грани пирамиды являются равносторонними треугольниками. Именно такие пропорции имеет пирамида в Лиште, построенная Аменемхетом I, основателем XII династии Среднего царства. Однако пирамиды в Гизе, принадлежащие фараонам IV династии Древнего царства, построены по другим пропорциям.

Среди возможных ответов на поставленный выше вопрос может быть предложен и такой. Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник, стоящий на одном из катетов. Опустим в этом треугольнике перпендикуляр из вершины прямого угла на гипотенузу. Он разделит треугольник на два - верхний и нижний. В верхнем треугольнике вновь опустим перпендикуляр из вершины прямого угла на гипотенузу. Она опятьразделит этот треугольник на две части. Все получившиеся треугольники подобны между собой. Будем сравнивать между собой самый нижний и самый верхний треугольники. В зависимости от наклона гипотенузы возможны случаи, когда верхний треугольник будет меньше нижнего, равен ему и больше его (рис. 2). Срединный случай равенства мы и объявим самым совершенным, «золотым».

2.2 Описание золотого треугольника на языке пропорций

Наш «золотой» треугольник ещё раз изображён на рис. 3. C одной стороны, мы видим, что гипотенуза AC делится точкой D на два отрезка s = a + b. С другой стороны, из подобия прямоугольных треугольников ABC и AED мы получаем непрерывную пропорцию s : a = a : b. Таким образом, в «золотом» треугольнике гипотенуза s так относится к меньшему катету a, как этот катет относится к его дополнению b до гипотенузы.

Тем самым гипотенуза AC делится точкой D в так называемом «среднем и крайнем отношении». Такая терминология была принята в Началах ЕВКЛИДА, а ныне данное отношение принято называть также «золотым сечением».

Полученная пропорция перемножением «крест-накрест» приводится к виду a2 = sb. Тем самым получается ещё одному определение золотого сечения: «Отрезок разделён в отношении золотого сечения, если прямоугольник, заключённый между целым отрезком и одной из его частей, равен квадрату на оставшейся части».

Из подобия прямоугольных треугольников ABC и ADB мы получаем ещё одну непрерывную пропорцию s : h = h : a. Тем самым больший катет h «золотого» треугольника является средним пропорциональным между его гипотенузой s и меньшим катетом a. Наличие такой пропорции между сторонами может служить ещё одним определением «золотого» треугольника, называемого в пирамидологической литературе «треугольником Кеплера» или «треугольником Прайса».

Последняя пропорция перемножением «крест-накрест» приводится к виду h2 = sa. При выполнении этого соотношения площадь грани пирамиды очевидно оказывается равной квадрату её высоты. Ниже мы увидим, что именно этим равенством площадей Геродот определяет пропорции пирамиды Хеопса.

2.3 Усыпальница в пирамиде Хеопса

Истинная цель пирамиды - вечное сохранение тела правителя после его смерти. После смерти тщательно забальзамированное тело умершего помещали в погребальную камеру пирамиды. Внутренние органы умершего помещали в специальные герметические сосуды, так называемые канопы, которые ставили рядом с саркофагом в погребальной камере. Итак, бренные останки фараона находили свое последнее земное пристанище в пирамиде, а "ка" умершего покидало гробницу. "Ка", по египетским представлениям, считалось чем-то вроде двойника человека, его "вторым я", которое покидало тело в момент смерти и могло свободно перемещаться между земным и загробным миром. Покинув погребальную камеру, "ка" устремлялось на вершину пирамиды по внешней ее облицовке, настолько гладкой, что никто из смертных не смог бы по ней передвигаться. Там уже находился отец фараонов - бог солнца Ра в своей солнечной ладье, в которой умерший фараон начинал свое путешествие в бессмертие.

В последнее время некоторые ученые высказывают сомнение в том, что Большая пирамида действительно была усыпальницей фараона Хеопса. В пользу такого предположения они выдвигают три аргумента:

1. Погребальная камера, вопреки обычаям того времени, не имеет никаких украшений.

2. Саркофаг, в котором должно было покоиться тело умершего фараона, лишь грубо отесан, т. е. окончательно не готов; крышка отсутствует.

3. И, наконец, два узких хода, по которым через небольшие отверстия в корпусе пирамиды в погребальную камеру проникает воздух снаружи. Но мертвые в воздухе не нуждаются - вот еще один весомый аргумент в пользу того, что пирамида Хеопса не была местом погребения.

Более 3500 лет внутренность Большой пирамиды не была потревожена никем: все входы в нее были тщательно замурованы, а саму гробницу, охраняли духи, готовые умертвить каждого, кто попытается проникнуть.

2.4 Строительный шнур в 420 дюймов как базовая единица длины

Мы будем исходить из того факта, что один строительный шнур состоит из 20 · 21 = 420 дюймов. Число 420 примечательно своим разложением на все простые множители от 2 до 7: 420 = 22 · 3 · 5 · 7. Это разложение порождает 24 различные меры длины, полученные делением шнура на разные доли:

Подтверждение тому, что в древности действительно существовали системы мер,основанные на числах с большим количеством делителей, мы находим в Законах Платона. Приведём соответствующие отрывки целиком, особо подчеркнув ту фразу, которая имеет к нашей гипотезе самое прямое отношение. Платон считает, что число жителей идеального государства должно быть равно 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040; при этом после деления всего этого числа на 12 частей в каждой такой части оказывается 5040 : 12 =420 человек.

«Пусть будущих граждан будет пять тысяч сорок. Это - число подходящее, так земледельцы смогут отразить врага от своих наделов. На столько же частей будут разделены земля и жилища; человек и участок, полученный им по жребию, составят основу надела. Всё указанное число можно прежде всего разделить на две части, затем на три. По своей природе оно делится и на четыре, и на пять, и так вплоть до десяти. Что касается чисел, то всякий законодатель должен отдавать себе отчёт в том, какое число и какие свойства числа всего удобнее для любых государств. Мы признаём наиболее удобным то число, которое обладает наибольшим количеством последовательных делителей. Конечно, всякое число имеет свои разнообразные разделения; число же пять тысяч сорок имеет целых пятьдесят девять разделений, последовательных же - от единицы до десяти...

Надо разбить страну на двенадцать частей... Граждан также надо разделить на двенадцать частей. Вслед за тем эти двенадцать наделов надо поделить между двенадцатью богами и каждую определённую жребием часть посвятить тому или иному богу, назвав его именем. Такая часть будет носить название филы. В свою очередь и город надо разделить на двенадцать частей, точно так же как разделена остальная страна...

Теперь нужно внимательно рассмотреть, какой смысл в этом принятом нами разделении на двенадцать частей. Ведь внутри этих двенадцати частей есть много подразделений, а также других, вытекающих из этих последних как их естественное порождение. Так мы дойдём и до числа пять тысяч сорок. Этими подразделениями будут: фратрии, демы, комы, боевые и маршевые отряды; будут и такие подразделения, как деньги, меры веса, сухих и жидких тел. Закон должен установить соразмерность и взаимную согласованность всего этого...

Нам надо вспомнить о числе пять тысяч сорок: на сколько удобных частей оно делилось - да и делится - как вообще, так и по филам? Каждая фила составляет, как мы положили, одну двенадцатую часть этого числа и образуется всего правильнее путём умножения числа двадцать один на двадцать. Общее наше число делится на двенадцать частей, настолько же делится число, составляющее филу. Следует вдуматься в то, что каждая такая часть - это священный дар бога: она соответствует месяцам и обращению вселенной».

2.5 Пропорции красной пирамиды в Джахуре

Фараону Снорфу, основателю VI династии, приписывается постройка не одной, а целых трёх пирамид. Сначала он достроил пирамиду в Мейдуме, превратив её из ступенчатой в настоящую. Затем он возвёл в Джахуре ещё две пирамиды: «красную» (названа так по цвету песчаника, из которого она сложена) и «ломаную» (названа по своей необычной форме). Эти две пирамиды уступают по своим размерам, только возведённым позднее пирамидам Хеопса и Хефрена.

Угол наклона грани «красной» пирамиды примерно равен 43,5°. В книгах о пирамидах утверждается, что эта пирамида выстроена по отношению высоты к размаху, равному . Нетрудно понять, что из обмеров как таковых это отношение извлечено быть не может. Рассмотрим две пирамиды с отношениямии . Приведя основания к общему кратному 20 · 21, получим две высоты 20 · 20 = 400 и 19 · 21 = 399, разнящиеся на единицу. Тем самым для уверенного различения пропорций этих двух пирамид высоту следует измерять с относительной погрешностью, в несколько раз

меньшей . Стало быть, при высоте пирамиды в 100 метров эту высоту надо измерить с погрешностью менее 10 см. Понятно, что практически это требование невыполнимо.

И тем не менее утверждение о том, что «красная» пирамида выстроена по отношению , легко извлекается из дополнительных данных метрологии. Дело в том, что её высота приближённо равна 105 м, а размах основания - 110 м. Но 105 м - это, конечно же, удесятерённая длина строительного шнура в 10,47 м. А разность высоты и размаха в 5 м - это как раз половина длины шнура. Отсюда делается вывод, что «красная» пирамида задумывалась высотой в 20 полушнуров и размахом в 21 полу шнур.

Прямоугольный треугольник с катетами 20 и 21 примечателен тем, что его гипотенуза имеет целочисленную длину 29. И можно предположить, что получение целочисленной длины всех трёх сторон формообразующего треугольника входило в замысел создателей «красной» пирамиды.

2.6 Пропорции ломаной пирамиды в Джахуре

Вторую пирамиду Снорфу в Джахуре называют «ломаной» за её необычную форму. Грани «ломаной» пирамиды сначала круто поднимаются вверх под наклоном 7 : 5, но затем, поднявшись приблизительно на треть от возможной при этом наклоне высоты, они делают излом, становясь более пологими, и поднимаясь примерно под тем же наклоном, что и грани «красной» пирамиды.

Согласно общепринятой гипотезе, строители сначала планировали придать этой пирамиде правильную форму, а решение об уменьшении наклона граней в верхней части пирамиды было принято уже по ходу строительства - то ли из-за того, что пирамиду «не успевали достроить в срок», то ли потому, что во внутренних галереях и камерах пирамиды стали обнаруживаться трещины.

Впрочем, эта гипотеза игнорирует тот примечательный факт, что обе пирамиды в Джахуре, воздвигнутые Снорфу, имеют одинаковую высоту в 105 метров = 10 шнуров, и одинаковый угол наклона граней в верхней части. Размах «красной» пирамиды составляет 110 метров = шнуров, а размах «ломаной» пирамиды составляет:

94 метра = 9 шнуров (рис. 4).

Дальнейшая логика пропорций «ломаной» пирамиды не слишком понятна. Если уклон верхней части действительно составляет 20: 21, то тогда на каждый локоть по вертикали расхождение граней «ломаной» и «красной» пирамид составляет по горизонтали

локтя

и тем самым общее горизонтальное расхождение в полтора шнура = 30 локтей приобретается на высоте в

30 локтя = 46,8 метра.

Другие справочные данные по «ломаной» пирамиде:

Высота излома = 49 метров = 93,6 локтя.

Угол наклона верхней грани =,

tg

Угол наклона нижней грани =,

tg

Подсчитаем высоту излома для уклона верхней части 17: 18. Расхождение на локоть вертикали равно

локтя,

отсюда высота излома равна

30 локтя = 45,6 метра.

Как видно, данные обмера пирамиды не согласуются друг с другом. По-видимому, всё-таки легче померить высоту излома с точностью до метра, чем угол наклона верхней грани с точностью до нескольких минут. Так что попробуем по высоте излома установить угол наклона.

(1) 49 метров = 93,6 локтя.

(2) 30: 93,6 = 0,3205.

(3) 0,3205+= 1,0348.

Этот результат не отличается особой осмысленностью; по-видимому, точность данных обмера не позволяет вскрыть замысел пропорций «ломаной» пирамиды.

3. МАТЕМАТИКА ПИРАМИД

3.1 Пирамидология

Комментарий, которым Д. Д. Мордухай-Болтовский (Начала Евклида 1950, т. 3, с.298-299) сопровождает обсуждение приведённого выше свидетельства Геродота, показателен во многих отношениях, и я приведу его целиком.

Так как время путешествия Геродота определяется 455-447 годами до н. э., то, во-первых, мы имеем точно датируемое и притом самое раннее документальное свидетельство, касающееся истории греческой математики и связи последней с Египтом. Во-вторых, мы имеем доказательство, что египтяне эпохи Геродота умели квадрировать площади прямолинейных фигур и что греки (один из них - Геродот) получили соответствующие познания из Египта. В-третьих, если рассматривать треугольник, гипотенузой которого является апофема боковой грани, вертикальным катетом - высота пирамиды, а горизонтальным - половина стороны основания, то легко видеть, что апофема так относится к высоте, как высота к половине основания, а в этом, между прочим, лежит зародыш принципа золотого сечения, или деления в крайнем и среднем отношении, которое также должно было быть известно египтянам около 450 г. до н. э.

Говоря это, я никоим образом не хочу утверждать, как это делают некоторые буржуазные «пирамидологи», что Хеопсова пирамида построена по принципу золотого сечения. Если рассматривать все пирамиды в совокупности (а не только одну пирамиду Хеопса), то открыть принцип их построения не так уж трудно, но он не будет иметь ничего общего с золотым сечением. Следует различать, что видели в пирамидах египтяне эпохи Древнего царства, и как их понимали египтяне во времена Геродота.

Схожей точки зрения придерживается в своей книге и Ж.-Ф. Лауэр, отрицающий знание египтянами эпохи строительства пирамид не только золотого сечения, но даже теоремы Пифагора. Он пишет буквально следующее (Лауэр 1966, с. 222-223):

В эпоху сооружения больших пирамид геометрия не выходила из стадии интуитивного и утилитарного эмпиризма. Жрецы-зодчие, поставленные перед трудными техническими задачами, изыскивают всё более совершенные методы их разрешения. Ум, всё ещё направленный на решение практических вопросов, не был способен отдаться чисто отвлечённым исследованиям. Хотя до настоящего времени и не найдено никаких египетских математических документов сокровенного характера, всё же, если верить грекам, известно, что египетские жрецы тщательно скрывали свои математические секреты. Вполне можно допустить, что египетские геометры действительно обладали обширными знаниями, тщательно собираемыми и секретно хранимыми в храмах. Знаниями, полученными благодаря неусыпным наблюдениям в течение многих веков, отделяющих эпоху сооружения первых пирамид, т. е. около 2900 г. до н. э., от эпохи пробуждения математического мышления греков, т. е. начала VI в. до н. э. Что же касается, в частности, геометрии, то изучение таких сооружений, как знаменитая Великая пирамида, должно было занимать значительное место в исследованиях этих жрецов, и вполне понятно, что они сумели обнаружить в этих памятниках, без сомнения гораздо позже их сооружения, общие свойства, о которых не подозревали их строители.

Думается всё же, что уважаемые авторы были излишне категоричны в своих суждениях. По их представлениям, очевидно связанным с идеей прогрессивного накопление знаний, египтяне Древнего царства были подкованы в математике существенно слабее, чем их потомки времён Геродота. Поэтому строители пирамид руководствовались в своих проектах некими достаточно простыми принципами, не имеющими ничего общего с сознательно применяемой идеей золотого сечения; и только потом их потомки произвели обмер пирамиды Хеопса и отыскали в её конструкции воплощение этой идеи, которая исходно туда заложена не была. Концепция, на мой взгляд, более чем странная - ведь о математических знаниях эпохи Древнего царства у нас нет никаких иных свидетельств, кроме самих пирамид и других памятников древнеегипетской архитектуры. Почему же мы должны предполагать, что египтяне в V в. до н. э., то есть на закате своей цивилизации, имели более развитую математику, нежели строители пирамид в эпоху расцвета этой цивилизации? Не станем же мы настаивать на том, что несколько дошедших до нас однотипных математических папирусов эпохи владычества гикcосов* (XVIII в. до н. э.) содержат в себе все основы египетской математики? Наши реконструкции, конечно, не должны противоречить этим сохранившимся письменным свидетельствам, - но они и не могут быть ими жёстко связаны, если у нас есть другие, неписьменные свидетельства, которые мы тоже можем пытаться «прочитать».

Если же изучение «математики пирамид» изгоняется за пределы истории математики, тем самым одно отдаётся на откуп пирамидологам, сочиняющим о размерах и пропорциях пирамид самые удивительные теории, которые кочуют из книги в книгу. Так среди пирамидологов принято считать, что в пропорциях пирамиды Хеопса заложено знание о числе р, вычисленном с высокой степенью точности А именно, отношение удвоенной стороны пирамиды к её высоте ? 3,143, что даёт для р три верных десятичных знака. Однако это совпадение является случайным, поскольку дробь является хорошим приближением и для квадратного корня из отношения золотого сечения, и для отношения площадей квадрата и вписанного в него круга. Но для последнего отношения эта дробь впервые была найдена Архимедом. Сами же египтяне систематически пользовались менее точным приближением .

Не выдерживает серьёзной критики и другая теория, согласно которой угол наклона грани пирамид выбирался равным от прямого угла. Приём построения вписанного в круг семиугольника первым разработал всё тот же Архимед, использовавший метод вставки, так как данное построение неосуществимо с помощью циркуля и линейки. Если мы захотим рассчитать пропорции соответствующего треугольника, это приведёт нас к кубическому уравнению, наибольший корень которого представляет горизонтальный катет формообразующего прямоугольного треугольника, гипотенуза которого принята за единицу. Этот наибольший корень с высокой точностью равен . Таким образом, если гипотенузу положить равной 8, то катет будет равен 5 -это и есть пропорция пирамиды Микерина. Всё замечательно, за исключением одного обстоятельства: предполагать, что древние египтяне (а) владели техникой геометрических построений на уровне Архимеда и (б) были знакомы с применением кубических уравнений для решения геометрических задач, я решительно не могу.

3.2 Геродот о пирамиде Хеопса

Геродот Галикарнасский (около 484 до н. э. - около 425 до н. э.) - древнегреческий историк, автор первого полномасштабного исторического трактата - «Истории», - описывающего греко-персидские войны и обычаи многих современных ему народов. Труды Геродота имели огромное значение для античной культуры. Цицерон назвал его «отцом истории»

Нижеприведенный отрывок - первое описание пирамид. Вместе с тем он подтверждает, что еще в V в. до н. э., несмотря на два с половиной тысячелетия, протекших со времени правления Хеопса, в народной памяти продолжали храниться воспоминания о притеснениях и бедствиях, в которые этот фараон поверг Египет, заставив всю страну трудиться над сооружением своей гробницы. Описание процесса сооружения пирамиды, как показывают последние изыскания, близко к действительности.

Говорили, что до царя Рамсеса в Египте были благие во всех отношениях законы, и Египет весьма процветал; Хеопс же, царствовавший над ними [египтянами], поверг страну во всевозможные беды, ибо он сперва запер все святилища и воспретил им [египтянам] приносить жертвы, после же принудил всех египтян работать на него. Одним было, как говорят, приказано из каменоломен в Аравийских горах таскать камни к Нилу; после же того, как камни переправлялись через реку на судах, другим он приказал принимать их и тащить к хребту, называемому Ливийским.

Работали же непрерывно каждые три месяца по сто тысяч людей. Времени же прошло, как говорят, десять лет, пока народ томился над проведением дороги, по которой таскали камни, труд только немного легче сооружения пирамиды, как мне кажется (ибо длина ее - пять стадиев* ширина же - десять оргий* высота же, где она всего выше - восемь оргий, причем она сделана из шлифованного камня с высеченными на нем изображениями живых существ); и вот на постройку этой дороги и подземных помещений в том холме, на котором стоят пирамиды, пошло десять лет; эти помещения он [Хеопс] сделал себе усыпальницей на острове, проведя канал от Нила. На сооружение же самой пирамиды пошло, как говорят, двадцать лет; каждая ее сторона имеет восемь плетров*,причем сама она - четырехугольная, и столько же высоты; сделана она из шлифованного камня, наилучшим образом пригнанного друг к другу; ни один из камней не меньше тридцати футов.

125. Сама же пирамида сделана следующим образом: при помощи уступов, которые некоторые называют зубцами, иные же алтарчиками. Когда сперва ее сделали такой, остающиеся камни стали поднимать машинами, сделанными из коротких кусков дерева; камень поднимали с земли на первый ряд уступов; когда же камень попадал на свое место, его клали на вторую машину, стоявшую на первом ряду уступов; отсюда на второй ряд камень поднимали с помощью другой машины; ибо сколько было рядов уступов, столько было и машин, или же была одна и та же машина, легко передвигаемая с одного ряда на другой, когда хотели поднять камень; итак, мы рассказали об обоих способах, именно так, как говорится. Сперва были отделаны верхние части пирамиды, после же - несущие их части, последними были отделаны ее наземные и самые нижние, что лежат на земле. В египетской надписи, начертанной на пирамиде, обозначено, сколько истрачено на редьку, лук и чеснок для рабочих; и как я хорошо помню, переводчик, читавший письмена, сказал мне, что было истрачено тысяча шестьсот талантов серебра. Если же это обстоит так, сколько могло быть еще истрачено на железо, которым работали, и пищу и одежду для рабочих? Если сказанное время пошло на эти работы, то, как я думаю, прошло немалое время также и в том, что ломали камни и перетаскивали их и устраивали подкоп под землей.

ВЫВОД