Математический анализ

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

• 1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
• 2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение
• 3. Интегральное исчисление функции одного переменного
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
• 1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
• 1. Вычислить предел
• Решение
• .
• Ответ: 0.
• 2. Найти асимптоты функции
• Решение
• Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва . Т.к. при , при , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции.
• .
• Значит, - горизонтальная асимптота функции.
• ,
• Следовательно, наклонных асимптот нет.
• Ответ: - вертикальная асимптота,
• - горизонтальная асимптота, наклонных асимптот нет.
• 3. Определить глобальные экстремумы , при
• Решение
• Вычислим производную функции: . Решая уравнение , получаем точку возможного экстремума: . Но в интервал эта точка не входит.
• ,
• .
• Ответ: (т. глобального максимума),
• (т. глобального минимума).
• 4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции
• Решение
• Вычислим производную функции: . Решая уравнение , получаем три точки возможного экстремума , , .
• - т. максимума,
• - т. минимума.
• - функция возрастает,
• - функция убывает.
• Эскиз графика функции .
• 5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
• Решение дифференциальный интегральный экстремум производный
• Вычислим первую производную функции:
• .
• Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:
• Решая уравнение , получаем .
• - точка перегиба.
• - направление выпуклости графика вверх, а на - вниз.
• 2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение
• 1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции
• Решение
• 1. .
• 2. График функции оси 0x и 0y в точке начала координат (0;0).
• 3. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва . Т.к. при , при , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции.
• .
• Значит, горизонтальной асимптоты у графика нет.
• ,
• .
• Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту .
• 4. , , , .
• - т. максимума,
• - т. минимума.
• - функция возрастает, - функция убывает.
• 5.
• Т.к. в нуль не обращается, то точек перегиба нет.
• - направление выпуклости графика вверх, а на - вниз.
• 6. Эскиз графика

• 2. Найти локальные экстремумы функции
• Решение
• Первые частные производные функции имеют вид
• = , = .
• Для нахождения подозрительных на локальный экстремум точек необходимо решить систему уравнений:
• Следовательно, O₁ (0;0) и O₂ (-1;1) - точки возможного экстремума.
• Определяем вторые частные производные:
• , , .
• ,
• , т.е. в точке O₁ (0;0) экстремума нет.
• , . Значит, в точке O₂ (-1;1) функция имеет строгий локальный максимум, при этом .
• Ответ: - точка локального максимума.
• 3. Определить экстремумы функции , если , , .
• Решение
• Составляем функцию Лагранжа , где - неопределенный числовой множитель.
• Ее первые производные равны , .
• Составляем и решаем систему уравнений:
• При , O (10;10) - точка возможного экстремума.
• Определяем вторые производные функции Лагранжа
• , , .
• Составляем выражение:
• .
• Находя производные:
• , и подставляя их в равенство , получаем связь или .
• Значит, .
• При , , . В точке O (10;10) функция имеет строгий условный минимум.
• Ответ: - строгий условный минимум.
• 3. Интегральное исчисление функции одного переменного
• 1-3. Найти неопределенный интеграл
• 1. .
• 2.
• .
• 3. .
• 4. Вычислить
• Решение
• .
• Ответ: .
• 5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми ,
• Решение
• ,
• Ответ: .
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
• 1. А.П. Девятков, А.А. Макаров, Е.Г. Пыткеев, А.Г. Хохлов «Математика: математический анализ и линейная алгебра»
• Размещено на Allbest.ru