Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни «Математичний аналіз»

Застосування кратних та криволінійних інтегралів

Полтава 2012



Зміст

1. Короткі теоретичні відомості

1.1 Подвійний інтеграл

1.1.1 Зміна порядку інтегрування

1.1.2 Обчислення площ фігур за допомогою подвійного інтегралу

1.1.3 Обчислення об'єму тіла за допомогою подвійного інтеграла

1.1.4 Обчислення площ поверхонь за допомогою подвійного інтеграла

1.1.5 Фізичний додаток подвійного інтегралу

1.2 Криволінійний інтеграл Р роду

1.2.1 Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду

1.2.2 Механічний зміст криволінійного інтегралу І-го роду

1.3 Криволінійний інтеграл РР роду

1.3.1 Обчислення криволінійного інтегралу ІІ-го роду

1.3.2 Механічний зміст криво лінійного інтегралу ІІ-го роду

2. Приклади задач

3. Виконання курсової роботи

Список літератури

1. Короткі теоретичні відомості

1.1 Подвійний інтеграл

1.1.1 Зміна порядку інтегрування в подвійному інтегралі

Хай маємо область D як показано на рис. 1:

рис. 1

і вона задається нерівностями:

Подвійний інтеграл по цій області D має вигляд:

Хай область також можна задати нерівностями:

Тоді подвійний інтеграл має вид:

Тоді:

Такий перехід і є зміною порядку інтегрування.

1.1.2 Обчислення площ фігур за допомогою подвійного інтегралу

Площа плоскої фігури обчислюється по такій формулі:

Якщо фігура відноситься до прямокутної системи координат то формула набуває вигляду:

Якщо фігура відноситься у полярній системі координат то формула має вигляд:

1.1.3 Обчислення об'єму тіла за допомогою подвійного інтегралу

Об'єм тіла обчислюється за формулою:

Для обчислення об'єму у полярній системі координат використовується формула:

1.1.4 Обчислення площ поверхонь за допомогою подвійного інтегралу

Хай поверхня задається рівнянням:

Площа кривої поверхні обчислюється за формулою:

Інколи для спрощення обчислень вигідно проектувати поверхню, площу якої обчислюємо, не на площину xOy, а на площину yOz або xOz. Тоді формула набуває вигляду:

Або

1.1.4 Фізичний додаток подвійного інтегралу

Маса, центр маси та статичні моменти:

Координати центра маси області S, з густиною , знаходяться за формулою:

Де m - маса області S:

Аналогічно і для тривимірного простору:

1.2 Криволінійний інтеграл І-го роду

У випадку криволінійного інтегралу функція інтегрується по кривій.

Аналогічно для тривимірного простору:

1.1.2 Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду

Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду зводиться до обчислення визначеного інтегралу.

Якщо крива задана параметрично:

а параметр t змінюється на дузі АВ від a до b, то криволінійний інтеграл І-го роду обчислюється за формулою:

Де похідні від функцій і - неперервні.

Якщо крива задана рівнянням , то:

Аналогічно і для тривимірного простору.

1.1.2 Механічний зміст криволінійного інтегралу І-го роду

Маса, центр маси та статичні моменти

Маса кривої обчислюється за формулою:

Якщо маса розподілена неперервно вздовж дуги кривої АВ з густиною:

в кожній точці цієї кривої, то статичні моменти дуги обчислюються за формулами:

Координати центра маси обчислюються за формулами:

Якщо густина однорідна , то:

1.3 Криволінійного інтеграла РР роду

Криволінійний інтеграл ІІ-го роду має вигляд:

1.3.1 Обчислення криволінійного інтегралу ІІ-го роду

Обчислення криволінійного інтегралу ІІ-го роду зводиться до обчислення визначеного інтегралу.

Якщо крива L, по якій обчислюється інтеграл, задана параметрично:

і їх похідні - неперервні, то обчислення робиться по формулі:

Якщо крива задана рівнянням де , то:

Аналогічно для тривимірного простору.

1.3.2 Механічний зміст криволінійного інтегралу ІІ-го роду

Робота сили

Якщо - сила, яка вздовж кривої L змінюється по величині та напрямку , то при переміщенні матеріальної точки одиничної маси під дією цієї сили виконується робота:

Робота тоді і тільки тоді не залежить від шляху L, з'єднуючого дві точки, коли підінтегральний вираз є повним диференціалом деякої функції U(x,y,z) (так званого потенціалу силового поля). В цьому випадку робота обчислюється як різниця потенціалів в у даних точках.



2. Приклади задач

Змінити порядок інтегрування:

Розв'язання:

Побудуємо область D, враховуючи межі інтегрування:

Рис. 2

Ця область обмежена лініями:

Спроектуємо область D на вісь Ох. Це буде відрізок [0,2] (рис.2). Область D розбивається на дві частини.

Маємо

Отже маємо:

Площа фігури за допомогою подвійного інтегралу:

Знайти площу області, обмежену астроїдою (рис.3):

В результаті введення криволінійних координат:

Отримуємо:

Об'єм тіла за допомогою подвійного інтегралу:

Знайти об'єм тіла, що обмежене поверхнями:

Розв'язання:

Побудуємо тіло:

Рис. 4

Об'єм тіла обчислюється за формулою:

Областю інтегрування буде трикутник на площині хОу, що є проекцією.

Отже:

Обчислимо внутрішній інтеграл:

Тепер обчислимо об'єм:

Площа поверхні за допомогою подвійного інтегралу:

Обчислити площу тієї частини поверхні що знаходиться у першому октанті та обмежена площиною

Розв'язання:

Побудуємо тіло:

Рис. 5

Спроектуємо поверхню на площину xOz. Проекцією поверхні є чверть кола:

З рівняння задачі

Щоб скористатися формулою, знайдемо частинні похідні:

Тому:

З рівняння кола видно, що радіус дорівнює

Введемо полярні координати:

Обчислимо внутрішній інтеграл:

Остаточно:

Фізичний зміст подвійного інтегралу:

Знайти координати центра маси однорідної області, обмеженої верхньою частиною еліпса, що спирається на велику вісь.

Розв'язання:

Оскільки верхньою частиною еліпса є фігура, симетрична відносно вісі Оу, то центр маси знаходиться на Оу (рис. 6), тобто х=0.

Рис. 6

Знайдемо:

Отже:

Фізичний зміст криволінійного інтегралу І-го роду:

Знайти масу дуги кривої:

якщо лінійна густина змінюється за законом:

Розв'язання:

Фізичний зміст криволінійного інтегралу ІІ-го роду:

Обчислити роботу сили:

При переміщенні одиниці маси по L: пряма О(0,0) А(5,3).

Розв'язання:

Запишемо рівняння прямої:

Рис. 7

Введемо параметр t:

Звідси:

Використаємо формулу:

Маємо:

Отже:



3. Виконання курсової роботи

1. Змінити порядок інтегрування

Розв?язання:

Побудуємо область інтегрування.

рис. 8

Розв?язання:

Побудуємо область інтегрування.

рис. 9

2. За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу фігур,обмежених лініями

; ;

Розв?язання:

Побудуємо фігуру, площу якої потрібно обчислити (рис.10).

рис. 10

Знаходимо межі інтегрування:

;

Тоді,



3. За допомогою подвійного інтеграла обчислити об?єм тіла, обмеженого поверхнею:

Розв?язання:

Об'єм знаходимо за формулою:

Побудуємо задане тіло:

рис 11.

Знаходимо функцію z(x,y):

Користуючись рис 11. знаходимо межі інтерування:

Отже:

При інтегруванні по y змінна x вважається постійною. Зручно для скорочення запису величину замінити на тобто:

1? ;

Звідси виходить:

t=2;

Отже:

4. Обчислити площу поверхні:

Розв?язання:

Побудуємо задану поверхню (рис.12):

рис. 12

Обчислюватимемо за формулою:

Отже:

; ;

Знайдемо похідні:

Отримаємо:

Знаходимо межі інтерування:

Отже:



5. Визначити центр ваги площі:

Однорідної фігури, що лежить в першій чверті та обмеженої еліпсом

інтеграл площа об'єм криволінійний

та координатними осями.

Розв?язання:

Побудуємо фігуру:

рис. 13

Для визначення центра ваги використовуємо формули:

Знайдемо межі інтегрування:

Знайдемо масу:

Знайдемо статичні моменти:

6. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду:

Розв?язання:

Знайдемо межі інтегрування:

Оскільки дано коло, то:

;

Перейдемо до полярних координат:

При переході формула набуде вигляду:

Знайдемо похідну:

Отже:

7. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду по заданій кривій L:

Розв?язання:

Побудуємо відрізок:

Рис. 14

Знайдемо dl:

Отже:

8. Обчислити інтеграл I вздовж кривої L:

Розв?язання:

Побудуємо рисунок:

рис. 15

Межі інтегрування:

Знайдемо функцію y(x):

;

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо ds:

Отже:

Для обчислення цього інтегралу зручно виконати підстановку:

Тоді:

Враховуючи, що:

Відповідь:

9. За допомогою криволінійного інтеграла другого роду обчислити:

Площу, обмежену кривою

Вказівка: перейти до параметричних рівнянь, вводячи параметр t

підстановкою

Розв?язання:

Введемо параметр t:

Знайдемо x:

;

Знайдемо y:

Для обчислення площі використовуємо формулу:

Побудуємо криву:

Рис. 16

Знайдемо dx та dy:

Отже:

10. Поле утворено силою . Обчислити роботу при переміщенні одиниці маси по контуру L, якщо:

Розв?язання:

Побудуємо контур L:

Рис. 17

Запишемо рівняння прямої у параметричному вигляді:

Звідси маємо:

Знайдемо значення роботи:



Список літератури

1. Ємець О.О., Недобачій С.І. Методичні вказівки до виконання курсової роботи з дисципліни «Математичний аналіз» (2-ий курс, 3-ій семестр) для студентів спеціальностей «Прикладна математика», «Інформатика». Полтава: ПолтНТУ, 2003.

2. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін.. Вища математика у прикладах і задачах. Частина 2. Харків: Фактор-Друк, 2002.

3. Бронштейн И.Н.,Семендяєв К.А. «Справочник по математике для инжинеров и учащихся втузов». Москва «Наука», 1986.

4. Каплан И.А. «Практические занятия по высшей математике» Том 3. Харьков. 1971.

5. Сборник индивидуальных задач по высшей математики: Учеб. Пособие. В 3 ч. Ч.3/Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державцев В.В., Юруть И.Е. М.: Выс. Шк., 1991.

Размещено на Allbest.ru