Геометричне моделювання спіралеподібних дискретно представлених кривих ліній

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКА ДЕРЖАВНА АГРОТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ

ЩЕРБИНА ВІКТОР МИХАЙЛОВИЧ

УДК 514.8

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СПІРАЛЕПОДІБНИХ

ДИСКРЕТНО ПРЕДСТАВЛЕНИХ КРИВИХ ЛІНІЙ

Спеціальність 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття

наукового ступеня кандидата технічних наук

Мелітополь - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійській державній агротехнічній академії Міністерства аграрної політики України.

Науковий керівник: - Заслужений діяч науки і техніки України,

доктор технічних наук, професор Найдиш Володимир Михайлович, завідувач кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки, Таврійська державна агротехнічна академія

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор Скидан Іван Андрійович, завідувач кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки, Донецький національний технічний університет

- кандидат технічних наук, доцент Яхненко Віктор Мифодійович, доцент кафедри графіки і нарисної геометрії, Запорізька державна інженерна академія

Провідна установа: Національний технічний університет України,

“Київський політехнічний інститут”, м. Київ.

Захист відбудеться “09” сiчня 2003 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К18.819.02 у Таврійській державній агротехнічній академії за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б. Хмельницького, 18.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврійської державної агротехнічної академії за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б. Хмельницького, 18.

Автореферат розісланий “06” грудня 2002 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради _________________В.М. Малкіна

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Традиційно важливим для науки і техніки є побудова і дослідження моделей кривих ліній і поверхонь, що графічно відображають явища або процеси. Особливо це стосується аеро- і гідродинамічних поверхонь, поверхонь робочих органів сільгоспмашин, поверхонь лопаток і проточних частин газо-, гідро- і паротурбін; впускних і випускних каналів двигунів внутрішнього згоряння і ін. Велика складність цих поверхонь і їхніх плоских перерізів, високі вимоги до їхнього моделювання і виготовлення викликають значну кількість геометричних проблем:

- неможливість аналітичного опису всієї поверхні або її відсіку і, як наслідок, моделювання локальних ділянок з наступним гладким їхнім стикуванням;

- необхідність забезпечення достатньої точності моделювання і його погодження з технологічним процесом виготовлення або функціонування поверхні й ін.

При розв'язанні цих і інших проблем необхідно враховувати дискретний характер обчислювальних процесів у ПЕОМ і роботи виконавчих механізмів пристроїв виведення і відтворення інформації. У цих умовах зростає роль дискретного геометричного моделювання (ДГМ) у порівнянні з неперервним. Методи ДГМ дозволяють роздрібнити обчислювальний процес на досить дрібні складові з одночасним контролем похибок; запобігати появі осциляції розв'язку, завдяки вибору зони стійкості і корекції розв'язку; заощаджувати час на обробку інформації і машинні ресурси на її збереження.

Актуальність теми.

Серед різноманіття криволінійних поверхонь, розповсюджених у техніці, важливе місце займають поверхні каналів, плоскими перерізами яких є спіралеподібні чи замкнені криві. Складність їхнього опису полягає в неоднозначності щодо осі 0x, у зв'язку з чим класичні методи інтерполяції непридатні. Спеціальні методи для опису замкнених кривих, розроблені в авіабудуванні, дають прийнятні результати при невеликому числі початкових умов, а введення додаткових параметрів у пропоновані при цьому моделі з метою задоволення додаткових вимог приводить до значного ускладнення розрахунків, виникнення осциляції і зводить нанівець переваги первісної моделі.

Для опису спіралеподібних і замкнених кривих зручною може виявитися полярна система координат і як моделюючі функції - різного роду спіралі. Однак при цьому не контролюється, а, отже, і не запобігається осциляція. Збільшення кількості вимог веде до підвищення ступеня полінома і до падіння точності розрахунків. Крім того, усі зазначені функції мають істотний недолік: неможливість локальної зміни кривої без порушення її форми в цілому.

Експериментальні наукові дослідження, а також розв'язання практичних задач моделювання різного роду каналових поверхонь і їхніх плоских перерізів висувають ряд вимог:

- простота геометричної моделі і розрахункових алгоритмів;

- задоволення довільному числу заданих умов;

- можливість локальних змін форми кривої лінії або поверхні;

- відсутність осциляції розв'язку.

Існуючі і відомі методи не в змозі задовольнити повною мірою зазначеним вимогам. Задача може бути вирішена в рамках дискретного геометричного моделювання. Тому розробка методу ДГМ, що відповідає повною мірою викладеним вимогам, є актуальна.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами, планами.

Робота виконана в рамках науково-технічної програми “Моделювання явищ і процесів в АПК” Таврійської державної агротехнічної академії (номер держреєстрації 0102 V 000695) відповідно до планів науково-дослідних робіт кафедр нарисної геометрії й інженерної графіки та прикладної математики та обчислювальної техніки. У процесі впровадження розв'язувалися задачі в рамках науково-виробничої програми ВО “Південдизельмаш” по удосконалюванню експлуатаційних показників дизельних двигунів.

Мета і задачі дослідження.

Метою дисертаційної роботи є розробка методу дискретної інтерполяції спіралеподібних і замкнених кривих на основі кутів суміжності супровідної ламаної лінії (СЛЛ) дискретно представленої кривої (ДПК), що задовольняє вимогам простоти розрахунків, локальної корекції кривої, запобігання осциляції.

Об'єктом досліджень є спіралеподібні і замкнені ДПК у декартовій системі координат.

Предметом досліджень є співвідношення між кутами суміжності ланок СЛЛ ДПК у процесі згущення й отримані на цій основі розрахункові схеми.

Методи досліджень: методи інтерполяції, чисельні методи, методи дискретного геометричного моделювання кривих ліній і поверхонь.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі:

- обґрунтувати основні геометричні параметри дискретної інтерполяції спіралеподібних і замкнених ДПК, головними серед яких є кути суміжності СЛЛ, і дослідити їхні властивості;

- довести тотожність згущення на основі кутів суміжності у вузлах ДПК;

- запропонувати способи інтерполяції на основі співвідношень між кутами суміжності у вузлах ДПК до і після згущення;

- розробити різницеві схеми згущення на основі отриманої тотожності;

- дослідити можливості формування заданого закону зміни кутів суміжності в процесі згущення;

- розробити спосіб неперервної локальної інтерполяції на основі спеціальної функції, що забезпечує перший порядок гладкості обводу;

- запропонувати спосіб згущення на основі геометричних співвідношень між кутами суміжності й обґрунтувати їхній вибір у процесі згущення;

- запропонувати спосіб згущення ДПК на основі спеціальної функції й обґрунтувати вибір її параметрів з урахуванням поставлених вимог;

- створити програмне забезпечення запропонованого методу і здійснити впровадження результатів досліджень у практику.

Наукова новизна отриманих результатів.

- уперше складена і доведена тотожність згущення на основі кутів суміжності у вузлах ДПК до і після згущення;

- запропоновано різні різницеві схеми згущення на основі співвідношень між кутами суміжності до і після згущення;

- уперше запропоновано і теоретично обґрунтовано спосіб згущення на основі геометричних співвідношень між кутами суміжності;

- розроблено способи неперервної і дискретної інтерполяції на основі спеціальної функції і формування множини дотичних у вузлах ДПК.

Практичне значення отриманих результатів полягає у підвищенні точності моделювання, зниженні часових і матеріальних витрат за рахунок одержання більш досконалих моделей. Запропоновані способи - наочні і дозволяють проектувальнику шляхом корекції форми швидше досягати бажаного результату.

Запропонований у роботі метод і програмний продукт формування плоских перерізів і осьової лінії каналу прийняті до впровадження в ВГК ВО “Південдизельмаш”.

Основні положення методу і програми розрахунку використовуються в курсах “Математичне моделювання в розрахунках на ЕОМ” і “Нарисна геометрія й інженерна графіка”.

Особистий внесок здобувача. Автором особисто складена і доведена тотожність згущення на основі кутів суміжності і на підставі цієї тотожності отримані різні різницеві схеми згущення шляхом накладення додаткових зв'язків на співвідношення між кутами суміжності до і після згущення у вузлах ДПК. Запропоновано спеціальну функцію для локальної неперервної і дискретної інтерполяції обводу 1-го порядку гладкості з вибором дотичних, що запобігають появі осциляції. Обґрунтовано співвідношення між кутами суміжності після згущення, що гарантують побудову неосцилюючої згущеної ДПК. Конкретний внесок здобувача в спільні публікації полягає в розробці та висвітленні поняття кутів суміжності ланок СЛЛ та нових результатів дискретної інтерполяції на їх основі.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на Міжнародній науково-методичній конференції “Геометричне моделювання. Інженерна та комп'ютерна графіка” (м. Львів, 1994 р.), Міжнародних науково-практичних конференціях “Моделювання процесів і технологічного обладнання в сільському господарстві” (м. Мелітополь, 1994 р.), “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Харків, 1998 р., м. Донецьк, 2000 р.), на щорічних науково-методичних конференціях ТДАТА (м. Мелітополь, 2000, 2001, 2002 р.).

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 15 робіт (10 статей у міжвузівських і вузівських збірниках наукових праць, визначених ВАК України фаховими, та 5 публікацій у матеріалах наукових конференцій).

Структура й обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновку, списку використаних джерел з 151 найменування та 2 додатків. Робота містить 131 сторінку машинописного тексту, 56 рисунків, 23 таблиці.

ЗМІСТ РОБОТИ

крива згущення кут інтерполяція

Вступ містить загальну характеристику роботи. Розкривається зміст і стан розв'язання науково прикладних задач, їх значущість для науки і практики, сформульовані мета і задачі дослідження, показано наукову новизну, практичну цінність, рівень апробації і публікації результатів досліджень та їх впровадження в практику.

У першому розділі розглядається аналіз відомих методів геометричного моделювання неоднозначних відносно осі Оx кривих (спіралеподібних і замкнених). Серед таких кривих відзначаються аеродинамічні профілі Жуковського, криві Бартіні; криві, побудовані за методами проф. Осипова В.А.; обводи кіл, широко розповсюджені в автомобілебудуванні і при формуванні поверхонь каналів; криві, побудовані за методом Лаймінга; обводи кривих із дуг різноманітних спіралей (спосіб Петрової А.Т.) та ін. Найбільш розвиненими методами моделювання згаданих кривих є такі:

моделювання на основі їх параметричного завдання;

кускове моделювання;

моделювання в полярній системі координат;

локальне моделювання;

моделювання кривими заданого виду з дотриманням необхідної форми і розмірів;

дискретне моделювання.

Параметричне представлення ДПК дає можливість застосувати глибоко розроблені класичні методи інтерполяції. Проте таке представлення має серйозні вади, пов'язані з побудовою точок з дробовими значеннями параметрів та визначенням похідних у вузлах ДПК.

Кускове моделювання замкнених кривих також дає можливість застосувати класичні методи інтерполяції, але при цьому виникають певні труднощі (передусім втрата точності) при стикуванні ділянок внаслідок вертикальності дотичних і неможливості застосувати розділені різниці в околі точок стикування.

Неперервному моделюванню неоднозначних ДПК в полярній системі координат присвятили свої дисертації Петрова А.Т., Гірш А.Г., Матосян А.А., Мірдавидов М.М. Запропоновані при цьому методи дають можливість отримати обводи високої гладкості, використовуючи стандартне програмне забезпечення для розв'язання систем лінійних рівнянь. Однак, вони не гарантують відсутності осциляції розв'язку, мають значні труднощі в обчислювальній реалізації при врахуванні похідних, особливо вищих порядків.

Особливе місце при т.з. “вільному проектуванні” замкнених кривих, коли регламентуються форма кривої та її габаритні розміри, займають методи, запропоновані проф. Котовим І.І. та його учнями, проф. Павловим А.В. і його учнями. При цьому були запропоновані різноманітні способи побудови обводів 1-го та 2-го порядків гладкості, алгоритми їх розрахунку та координації стосовно до компонувальних вимог.

Значне розповсюдження отримали обводи із дуг кіл (особливо в роботах проф. Бадаєва Ю.І. і його учнів), зважаючи на їх високу технологічність та можливість отримати криві довільної конфігурації. Однак, нерегулярність зміни кривини, особливо в точках стикування з прямолінійними ділянками, стримують їх подальше поширення.

Особливо слід відмітити метод Лаймінга, який дозволяє здійснити плавний перехід від одного поперечного перерізу каналової поверхні до іншого.

Значний вклад в розробку методів проектування замкнених контурів в авіабудуванні вніс проф. Осипов В.А. зі своїми учнями. Запропонований ним метод спецконтуру має простий аналітичний опис, дає можливість проектування досить складних контурів, що задовольняють аеродинамічним та компонувальним вимогам. Останні вимоги спряжені зі введенням додаткових параметрів та їх функцій, що суттєво ускладнює модель.

Згадані методи в основному орієнтовані на т.зв. “вільне проектування”, не розраховані на велику кількість додаткових вимог та позиційних умов, не відслідковують та не запобігають осциляції. Таким чином, назріла необхідність розробки методу, що не залежить від кількості наперед заданих умов, забезпечує відсутність осциляції, необхідну точність і швидкодію розрахунків, а також можливість локальної інтерполяції і корекції кривої.

У другому розділі розглядається дискретна інтерполяція неоднозначних ДПК на основі кутів суміжності ланок СЛЛ. Вперше ця ідея була сформульована і частково розвинута стосовно однозначних ДПК проф. Верещагою В.М. В наших дослідженнях ця ідея поглиблена та розвинута для неоднозначних ДПК.

При дослідженні властивостей ДПК та її моделюванні в роботі приймається напрямок її обходу та нумерації точок за годинниковою стрілкою, щоб пов'язати це з нумерацією точок однозначної ДПК зліва-направо. Як точки, так і сам процес моделювання розглядається в декартовій системі координат (рис.1). Вважається, що кожна ланка СЛЛ має напрямок від попередньої точки до наступної. Кутом нахилу і-ї ланки СЛЛ до осі Оx є кут, утворений додатними напрямками ланки СЛЛ і осі Оx . При цьому, якщо вісь Оx найкоротшим шляхом суміщується з ланкою СЛЛ обертанням проти годинникової стрілки, то кут вважається додатним (рис.1). Очевидно, що крива опукла догори тоді, коли множина кутів монотонно спадна,

, (1)

а для кривої, опуклої донизу, множина кутів є монотонно зростаючою.

Кут суміжності двох сусідніх ланок СЛЛ - це кут, утворений їх додатними напрямками (рис.2). Очевидно, що

(2)

Для опуклої догори ДПК кути , для опуклої донизу .

Доводиться твердження:

Для довільної опуклої замкненої ДПК сума кутів суміжності ланок СЛЛ дорівнює 2.

В незамкнених ДПК нульова і остання точка не співпадають. Тому кути суміжності та в них не визначені.

Розглядаються лінійні параметри згущення - довжина хорди (ланки СЛЛ), перевищення точки згущення (і-0,5) над хордою (рис. 3). Приймається схема згущення (дискретної інтерполяції) ДПК, за якою точка згущення будується на серединному перпендикулярі відповідної хорди. Доводиться основна тотожність згущення на основі кутів суміжності.

(3)

Індекс угорі означає перший або нульовий крок згущення. Система рівнянь (3) справедлива при будь-якій конфігурації ДПК. Вона має (n-1) рівнянь з (2n-1) невідомими і не є різницевою схемою. Для отримання єдиного її розв'язку необхідно задати n додаткових умов (рівнянь).

Основний алгоритм методу згущення на основі серединних перпендикулярів і кутів суміжності полягає у наступному:

1. Розраховуються кути суміжності , , ланок згущеної ДПК.

2. Визначаються довжини l_і ланок початкової ДПК

, (4)

3.Знаходяться перевищення точок згущення над відповідними хордами.

, (5)

4. Визначаються координати точок згущення

,

(6)

Відзначаються переваги запропонованого методу:

в максимальній мірі використовуються геометричні параметри , , початкової ДПК;

немає ніяких обмежень на параметри згущення і взаємне розташування точок,

окрім умови опуклості всієї ДПК або її ділянки;

розрахунки спираються на основну тотожність (3), що відрізняється простотою і значними можливостями введення додаткових умов;

схема легко реалізується простими геометричними побудовами;

процес згущення можна провести локально з урахуванням кривини початкової ДПК. Критерієм закінчення процесу згущення на даній ділянці є досягнення для перевищення (на k-му кроці згущення) значення , де як завгодно мале число. При досягненні цієї умови точки згущеної ДПК з'єднуються відрізками СЛЛ, яка і вважається (з похибкою ) остаточною формою інтерполюючої кривої. Для побудови довільної точки цієї кривої привизначається інтервал і розраховується ордината

(7)

Аналогічно розраховується абсциса шуканої точки, коли задана її ордината (зворотна інтерполяція).

Розглядаються умови виконання п.1 основного алгоритму шляхом введення додаткових n умов до системи рівняння (3). Найпростішою умовою є вибір

, , (8)

При цьому автоматично дотримуються умови опуклості згущеної ДПК та висока точність розрахунків за рахунок їх простоти та незалежності формул згущення від значень початкової ДПК.

До недоліків способу слід віднести появу стрибків кривини згущеної ДПК у вузлах початкової ДПК, зменшення кривини в точках згущення в порівнянні з вузловими. Тому спосіб ефективний тоді, коли множина має незначний розкид, а .

Пропонується спосіб , коли

, (9)

тобто, кут суміжності в точці згущення дорівнює половині меншого з кутів суміжності СЛЛ початкової ДПК в сусідніх з точкою згущення вузлах. В порівнянні зі способом алгоритм відслідковує при згущенні не тільки ділянки випрямлення, але й зміни кривини, гарантуючи при цьому відсутність осциляції, а також простоту і високу точність розрахунків. На рис. 4 показано 2 кроки згущення тестової ДПК, що має прямолінійну ділянку.

Недоліком способу є його однозначність, неможливість керування формою кривої і її кривиною в точках згущення. Пропонуються різноманітні різницеві схеми дискретної інтерполяції, отримані на основі введення додаткових співвідношень на кути суміжності в тотожності (3). Зокрема, при отримується різницева схема 1-го порядку

, (10)

стійка при прямій прогонці, коли граничною умовою є . Методика розв'язання різницевих схем у випадку дискретного геометричного моделювання, запропонована проф. Найдишем В.М., полягає у наступному:

Отримуються залежності невідомих , від , вибраного в якості керуючого параметра. В нашому випадку

, (11)

Вводяться в (11) умови опуклості для ДПК або її ділянок (в нашому випадку , ) і отримуються обмеження на значення .

(12)

Визначається інтервал розв'язку системи (12), якщо він є, і звідти вибирається підходяще значення .

Отримане значення підставляється в (11) і розраховуються решта значень .

Після цього розраховується згущення за основним алгоритмом. Відмітимо, що шляхом вибору значення в межах інтервалу розв'язку, коли відсутня осциляція, можна здійснювати корекцію форми ДПК.

При необхідності подальшого згущення точки перенумеруються і розрахунок повторюється.

Інші можливості виникають при . Тоді

(13)

а керуючим параметром є , щоб забезпечити стійкість обчислювального процесу при розв'язанні (13).

Якщо погодитися, що

(14)

то це веде до різницевої схеми

(15)

що є нестійкою згідно з теорією. Але, якщо розв'язати її згідно з методикою і вибрати значення керуючого параметра в межах отриманого інтервалу, то можна отримати прийнятні результати.

Наведеними прикладами не вичерпується множина можливих варіантів складання схем. Наприклад, при

(16)

різницева схема має вигляд

(17)

і залежить від двох керуючих параметрів.

Розв'язання цієї схеми за методикою Найдиша В.М. вимагає притягнення спеціального матзабезпечення. Зокрема, за допомогою пакета Maple 5.0 можна отримати залежності, аналогічні (11) і (12), побудувати систему обмежень на площині параметрів і вибрати для них прийнятні значення із многокутника розв'язку. В роботі досліджується можливість оптимального вибору пари керуючих параметрів, даються порівняльні графіки для випадків ( і ), а також ( і ). В першому випадку похибка менше, в другому - область вибору зручніша для автоматизованого розв'язку. Даються відповідні рекомендації.

Схема (17) в порівнянні з іншими володіє більш широкими можливостями корекції кривої, але має суттєвий недолік: зі збільшенням числа точок складність розрахунків значно зростає.

В роботі розглядається складене згущення на основі поетапного узгодження припустимих значень параметрів. При цьому точковий ряд розбивається на декілька ділянок, для кожної з яких розв'язується задача (17). Причому кінцевий параметр першої ділянки є одночасно початковим для другої ділянки і т.д. до кінця. За рахунок цього спрощуються формули, падає похибка, виникає більше можливостей по корекції ДПК за рахунок варіювання проміжними параметрами, які в процесі розв'язання узгоджуються на межах ділянок. При великій кількості ділянок для узгодження обмежень та значень параметрів застосовується афінна система координат.

Наведені міркування покладені в основу локальної дискретної інтерполяції, необхідність в якій завжди виникає на певному кроці згущення або при корекції кривої. При цьому згущення ведеться тільки на заданій ділянці, а узгодження параметрів - вздовж всієї ДПК.

При побудові згущення важливе значення має закон зміни кутів суміжності вздовж ДПК. Доводиться твердження: Для побудови графіка залежності кутів суміжності СЛЛ від номера точки згущеної ДПК у вигляді параболи m-го порядку необхідно і достатньо, щоб значення кутів суміжності початкової ДПК відповідали рівнянню параболи m-го порядку.

Очевидно, що твердження має місце і для лінійного закону зміни кутів суміжності (m=0 і m=1).

У третьому розділі досліджується дискретна інтерполяція ДПК довільної конфігурації на основі кутів суміжності. Такі криві виникають при реальному проектуванні поверхонь складної форми. Передусім це стосується однозначних по відношенню до осі абсцис ДПК. Завдяки тому, що нумерація точок вказаних ДПК ведеться зліва - направо, то стає можливим без всіляких змін застосувати при їх моделюванні алгоритми і програми згущення неоднозначних ДПК із застосуванням основної тотожності згущення, отриманої на основі серединних перпендикулярів. Але при цьому з'являються і додаткові можливості моделювання на основі співвідношень між кутовими та лінійними параметрами згущення, оскільки, якщо відмовитись від серединних перпендикулярів, то основна тотожність (3) не має місця. Отримані обмеження для ланок СЛЛ, опуклої, наприклад, догори, згущеної ДПК

(18)

Ці обмеження дозволяють побудувати смугу неосцилюючих розв'язків , у смузі значень заданої ДПК (рис.5) та вибрати прийнятний результат за формулами

(19)

де - коефіцієнт вибору точки в межах смуги.

Тоді

(20)

Однозначні ДПК довільної конфігурації розбиваються на ділянки: опуклі догори, опуклі донизу та перехідні ділянки, де є точка перегину. В роботі пропонується спосіб згущення цих ділянок на основі геометричних співвідношень між кутами суміжності ланок СЛЛ або перевищеннями точок над хордами, що стягують сусідні точки ДПК. Отримані такі співвідношення (рис.6):

для опуклої догори або донизу ділянки на прикладі ()

(21)

- для перехідної ділянки ()

(22)

Виведені аналогічні формули в залежності від перевищень .

Розглянуті співвідношення не можна використати при моделюванні неоднозначних ДПК. Але, якщо взяти до уваги серединні перпендикуляри, то можна здійснити локальне згущення за тими ж формулами, де роль кроку сітки відіграє довжина ланки СЛЛ, а перевищення вздовж осі Оy стає відстанню точки від відповідної хорди.

В багатьох галузях науки і техніки неперервне моделювання займає провідне місце. Однак, існуючі методи не гарантують відсутності осциляції. Крім того, при значних розмірах числових масивів накопичується похибка моделювання, чого можна запобігти застосуванням локальних методів. Так постає задача розробки локального способу інтерполяції, здатного запобігти появі осциляції.

В якості інтерполюючої функції на ділянці () в локальній системі координат, де вісь співпадає з ланкою (), а початок - з вузлом , вибрана функція

(23)

де коефіцієнти і вибираються із умов неперервності першої похідної у вузлах обводу. Зокрема

(24)

де і - кути між хордою і дотичними і у відповідних вузлах ДПК. Очевидно, що за таких умов крива (23) проходить через вузли і і має задані в них дотичні. Для того, щоб не викликати осциляції згущеної ДПК, кожна з дотичних повинна розташовуватись усередині відповідного кута суміжності. Крім того, функція (23) накладає додаткові вимоги на співвідношення і .

Проведеними в роботі дослідженнями доведено, що для запобігання осциляції незалежно від напряму опуклості дуги кривої коефіцієнт повинен відповідати обмеженням

(25)

на кожній ділянці неоднозначної ДПК.

При глобальному формуванні множини дотичних коефіцієнти на кожній з ланок залежать від значень решти коефіцієнтів і впливають на їх вибір. Розв'язана задача встановлення їх взаємозв'язку, складена - система нерівностей - обмежень, що дозволяє через вибір значення управляючого параметра розрахувати кути нахилу до осі Оx дотичних в кожному вузлі ДПК. Розв'язання системи ведеться на основі раніше згаданої методики. За допомогою складеного програмного забезпечення проведені відповідні розрахунки, приведені таблиці і відповідні ілюстрації.

Досліджується можливість формування обводу другого порядку гладкості на основі функції (23). Доведено, що такий обвід можна побудувати, коли кути нахилу дотичних складають різницеву схему 2-го порядку

(26)

Для отримання неосцилюючого обводу необхідно при розв'язанні - системи врахувати співвідношення (26).

Розглядається спосіб дискретної інтерполяції ДПК на основі введеної функції (23), як базисної функції інтерполяції. Локальні ординати та похідні в точках згущення розраховуються за формулами:

(27)

а потім перераховуються в глобальну систему координат. Після цього точки перенумеруються і процес згущення повторюється.

В процесі згущення на кожному кроці і для кожної ланки вибираються відповідні значення в залежності від бажаної форми дуги. Для цього виконано комп'ютерне дослідження форми кривої (23) при і розроблені рекомендації по вибору . З використанням запропонованого способу згущення на основі геометричних співвідношень кутів суміжності (або перевищень ) (див. (21), (22)) розраховано конкретний приклад профілювання випускного каналу спіралеподібної форми дизеля ВО “Південдизельмаш”. Найбільш характерні перерізи мають форму рис.7. Всього таких перерізів 8. Вісь каналу - просторова спіралеподібна крива. В кожному з перерізів відмічено по 20 характерних точок. В процесі згущення в кожному перерізі отримана згущена, неосцилююча ДПК. Після того, як процес згущення закінчено, відповідні точки двох сусідніх перерізів у просторі з'єднуються відрізками прямих (рис.8). Таким чином забезпечується не тільки моделювання кожного перерізу, а й неперервний перехід від одного з них до іншого. Для зручності моделювання і розрахунку проміжних перерізів поверхня каналу задається в прямокутній системі координат . Визначені площі кожного з перерізів, побудовано графік їх зміни вздовж осі каналу.

ВИСНОВКИ

На підставі проведених у дисертаційній роботі досліджень розв'язана важлива науково-прикладна задача неосцилюючої дискретної інтерполяції спіралеподібних і замкнених кривих на основі різних співвідношень між кутами суміжності ланок супровідних ламаних ліній вихідної і згущеної дискретно представлених кривих.

Для цього розроблений новий метод, що спирається на тотожність згущення, виражену через кути суміжності у вузлі ДПК до і після її згущення і на геометричні співвідношення між перевищеннями, вираженими через кути суміжності. Метод відзначається простотою розрахунків, локальністю корекції і властивістю запобігання осциляції.

Значення для науки запропонованого методу в тім, що він розвиває теорію розв'язання задач інтерполяції стосовно спіралеподібних і замкнених ДПК.

Використання отриманих результатів у наукових дослідженнях доцільно при розробці нових методів геометричного моделювання і розв'язання прикладних задач, що вимагають локальності розрахунків і запобігання явища осциляції розв'язку.

Значення для практики складається в підвищенні варіативності рішення, найшвидшого досягнення бажаного результату на основі широкої корекції розв'язку, задоволення великому числу вихідних вимог, скорочення термінів пошуку і підвищення точності моделювання.

Загальні висновки по роботі:

1. Подальший розвиток теорії і практики геометричного моделювання кривих ліній і поверхонь вимагає розв'язання наступних проблем:

простота геометричних моделей і розрахункових алгоритмів;

задоволення довільному числу заданих диференціально-геометричних умов;

можливість локальної корекції форми лінії, що моделюється;

запобігання осциляції розв'язку.

Усе це стосується моделювання спіралеподібних і замкнених кривих і поверхонь, що спираються на зазначені плоскі перерізи.

2. Шляхом розв'язання зазначених проблем є застосування дискретного геометричного моделювання (ДГМ), одним з напрямків якого є дискретна інтерполяція (згущення). Відомі методи ДГМ дозволяють вирішити всі зазначені проблеми, за винятком неоднозначних кривих, для яких відповідні методи ще не розроблені.

3. Як критерій опуклості ДПК чи її ділянки виступає значення кута суміжності між ланками СЛЛ. Для опуклої ДПК кути суміжності додатні, для увігнутої - від'ємні, на ділянці перегину кут суміжності змінює знак. У роботі отримані співвідношення між лінійними і кутовими параметрами розглянутих ДПК, робиться висновок про особливу роль кутів суміжності для розробки ефективного методу розв'язання поставлених задач.

4. Обґрунтована і доведена тотожність згущення, що зв'язує значення кутів суміжності у вузлі ДПК до і після згущення і спирається на схему одержання точки згущення на перпендикулярі, що проходить через середину ланки СЛЛ, що зв'язує попередній і наступний після точки згущення вузол. Тотожність справедлива для будь-яких ділянок моделюючої ДПК і є основною при встановленні співвідношень між кутами суміжності.

5. Розроблено способи згущення на основі розв'язання різницевих схем, одержуваних шляхом накладення певних співвідношень між кутами суміжності, що беруть участь у тотожності. Такий шлях дозволяє одержати велику розмаїтість розв'язків, серед яких можна вибрати оптимальний чи побудувати його за визначеним критерієм.

6. Досліджено можливість одержати в процесі згущення значення кутів суміжності, що підкоряються деякому закону. Доведено, що значення кутів суміжності згущеної ДПК можна сформувати за деяким алгебраїчним поліноміальним законом в тому випадку, коли значення кутів суміжності вихідної ДПК уже задовольняють цьому закону. Урахування цього факту дозволяє вести цілеспрямований пошук варіанта згущення і його оптимізації.

7. Запропоновано спосіб дискретної інтерполяції на основі вибору положення точки згущення в залежності від співвідношення між кутами суміжності у вузлах, що примикають, чи перевищеннями цих вузлів над відповідними хордами вихідної ДПК. Спосіб спирається на отримані співвідношення для опуклих, увігнутих і перехідних ділянок і дозволяє проводити згущення ДПК довільної конфігурації.

8. Розроблено способи локальної неперервної і дискретної інтерполяції на основі спеціальної функції, параметри якої залежать від нахилу дотичних у вузлах ДПК. Отримано обмеження на вибір дотичних з умови відсутності осциляції локальної ділянки й обводу в цілому.

9. Складено програмне забезпечення пропонованого методу, що включає в себе підпрограми розрахунку згущення відповідно до розроблених способів.

10. Упровадження результатів роботи здійснене на ВО “Південдизельмаш” (м. Токмак) при профілюванні впускних і випускних каналів дизельних двигунів, а також у навчальному процесі Таврійської державної агротехнічної академії (м. Мелітополь).

Вірогідність отриманих результатів підтверджується розрахунками тестових прикладів, візуалізацією розв'язку, а також розв'язанням практичних задач профілювання в процесі впровадження.

СПИСОК ОСНОВНИХ ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Щербина В.М. Моделирование спиралеобразных кривых // Прикл. геом. и инж. графика., Вып 58, К., КДТУБА, 1995.- С. 171-173.

Щербина В.М. Дискретное моделирование неоднозначных кривых. // Прикл. геом. та інж. графіка., Вип.61, К., КДТУБА, 1997. - С.187-190.

Щербина В.М. Дискретне диференціювання спiралеподiбних дискретно представлених кривих //Прикл. геом. и инж. графика. Труды / ТГАТА. - вып.4, - Т.1.- Мелитополь: ТГАТА, 1997. - С. 103-106.

Щербина В.М. Дискретное геометрическое моделирование поверхностей каналов //Прикл. геом. и инж. графика. Труды / ТГАТА. - вып.4, - Т.4.- Мелитополь: ТГАТА, 1998.- С. 59-61.

Найдиш А.В., Щербина В.М. Неосцилююча інтерполяція плоских дискретно поданих кривих.// Прикладна геометрія та інженерна графіка., Вип.66 - К., КНУБА, 1999, С. 54-57.

Щербина В.М. Дискретное моделирование на основе углов смежности. //Прикладная геометрия и инженерная графика. Труды / ТГАТА. - вып.4, - Т.7.- Мелитополь: ТГАТА, 1999. - С. 82-85.

Щербина В.М. Згущення замкнених дискретно поданих кривих з нелінійним законом змінювання кутів суміжності. //Прикл. геом. и инж. графика. Труды / ТГАТА. - вып.4, - Т.10.- Мелитополь: ТГАТА, 1999. - С. 95-97.

Щербина В.М. Різницеві схеми дискретної інтерполяції спіралевидних ДПК. //Прикл. геом. та інж. графіка. Праці / ТДАТА. - Вип.4, - Т.11.- Мелітополь: ТДАТА, 2000. - С. 99-103.

Щербина В.М. Особливості визначення початкових умов при згущенні спіралеподібних дискретно поданих кривих. //Прикл. геом. та інж. графіка. Праці / ТДАТА. - Вип.4, - Т.15.- Мелітополь: ТДАТА, 2002. - С. 97-105.

Верещага В.М., Щербина В.М. Дискретное моделирование замкнутых кривых // Мелитоп. ин-т механиз. с.хоз-ва. - Мелитополь, 1994. Деп. в ГНТБ Украины 20.04.94г., N 803-Ук 94.

Верещага В. М., Щербина В. М. Локальная интерполяция на основе

трансцендентных функций // Тез. докл. Международной научно-практической конференции "Моделирование процессов и технологического оборудования в сельском хозяйстве" Том 2.- Мелитополь: ТГАТА. 1994. - С.44.

Верещага В.М., Щербина В.М. Моделирование неоднозначных кривых //Тези доп. Мiжнародної науково-методичної конференцiї "Геометричне моделювання, iнженерна та комп'ютерна графiка" - Львiв: "Львiвска полiтехнiка".- 1994. - С. 55-56.

Найдыш А.В., Щербина В.М. Моделирование дискретно представленых кривых в полярной системе координат // Сучаснi проблеми геометричного моделювання. - Харкiв: ХIПБ МВС України, 1998. - Ч.1.- С. 106-107.

Найдыш А.В., Щербина В.М. Сгущение ДПК на основании линейного закона изменения углов смежности. Тезисы докл. международ. научно-практич. конференции “Современные проблемы геометрического моделирования.” Донецк: Дон. ГТУ, 2000. - С. 161-162.

Найдыш В.М., Щербина В.М. Параболический закон изменения углов смежности при сгущении ДПК. Тезисы докл. международ. научно-практич. конференции “Современные проблемы геометрического моделирования.” Донецк: Дон. ГТУ, 2000. - С. 160-161.

АНОТАЦІЇ

Щербина В.М. Геометричне моделювання спіралеподібних дискретно представлених кривих ліній. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Таврійська державна агротехнічна академія. Україна, Мелітополь, 2002.

Захищається дисертація і 15 наукових праць, у яких досліджується дискретна інтерполяція спіралеподібних і замкнених дискретно представлених кривих (ДПК) на основі аналізу характеру змін кутів суміжності ланок супровідної ламаної лінії ДПК із наступним формуванням множини названих кутів для згущеної ДПК. Запропонований метод, що базується на доведеній в роботі тотожності згущення на основі кутів суміжності до і після згущення. Шляхом введення додаткових умов на співвідношення між зазначеними кутами отримуються різноманітні різницеві схеми, що гарантують високу точність розрахунків та відсутність осциляції згущеної ДПК. Пропонується згущення ДПК на основі геометричних співвідношень між кутами суміжності до і після ділянки згущення. Цей спосіб однаково ефективно працює і на опуклих і на перехідних ділянках, відслідковуючи точки перегину. Пропонується спеціальна тригонометрична функція для неперервного, а також дискретного локального моделювання ДПК, аналізується її форма в залежності від зміни параметрів, визначаються співвідношення їх значень для запобігання осциляції або для формування перехідної ділянки. вказані задачі розв'язуються як при локальному, так і при глобальному згущенні.

Результати досліджень впроваджено при профілюванні спіралеподібних випускних каналів дизелів та в навчальному процесі .

Ключові слова: кути суміжності, згущення, осциляція, різницеві схеми, дискретно представлена крива.

Щербина В.М. Геометрическое моделирование спиралеобразных дискретно представленных кривых линий. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - Прикладная геометрия, инженерная графика. - Таврическая государственная агротехническая академия. Украина, Мелитополь, 2002.

Защищается диссертация и 15 научных работ, в которых исследуется дискретная интерполяция спиралеобразных и замкнутых дискретно представленных кривых (ДПК) на основании анализа характера изменений углов смежности звеньев сопровождающей ломаной линии ДПК с последующим формированием множества указанных углов в процессе построения сгущенной ДПК. Предлагается метод, который базируется на сформулированном и доказанном в работе основном тождестве сгущения, увязывающем значения углов смежности в узлах ДПК до и после сгущения. Составлен алгоритм сгущения ДПК на основе серединных перпендикуляров, дающий следующие преимущества:

в максимальной степени используются геометрические параметры исходной ДПК;

на параметры сгущения и взаимное расположение точек накладывается только условие, определяющее характер кривой (выпуклости или вогнутости исходной ДПК);

расчеты опираются на основное тождество, имеющее простую форму и большие возможности в наложении дополнительных условий;

широкая вариация начальных условий при одинаковом соблюдении условий выпуклости исходной ДПК;

возможность проведения локального сгущения с учетом кривизны исходной ДПК.

Путем введения дополнительных условий на соотношения между углами смежности в тождестве получаются различные разностные схемы, гарантирующие высокую точность расчетов и отсутствие осцилляции сгущенной ДПК при надлежащем выборе начальных данных внутри специально рассчитываемого диапазона. Предлагается способ сгущения, учитывающий соотношения между линейными и угловыми параметрами, на основе расчета превышения в точках сгущения, позволяющий учитывать кривизну ряда и гарантирующий отсутствие осцилляции при сгущении. Предлагаются способы составного сгущения на основе поэтапного согласования допустимых значений параметров, а также доказывается возможность применения локального сгущения точечного ряда, дающие широкие возможности корректировки и управления ДПК. Доказывается, что значения углов смежности сгущенной ДПК можно сформировать по некоторому алгебраическому полиномиальному закону в том случае, когда значения углов исходной ДПК уже удовлетворяют этому закону. Составлены алгоритмы расчета сгущения ДПК с параболическим и прямолинейным законами изменения углов смежности. Полученные расчетные формулы и разнообразная методика, гарантирующая отсутствие осцилляции и дающая широкие возможности коррекции решения и удовлетворения множества дополнительных требований, предоставляют максимальные возможности проектировщику в поиске оптимального решения. Сгущение на основе тождества для углов смежности звеньев ломаной линии позволяет рассчитывать ДПК произвольной конфигурации, в том числе с особенностями. Предлагается способ дискретной интерполяции на основе выбора положения точки сгущения в зависимости от соотношения между углами смежности в примыкающих узлах или превышениями этих узлов над соответствующими хордами исходной ДПК. Этот способ одинаково эффективно работает и на выпуклых (вогнутых), и на переходных участках, отслеживая точки перегиба и не допуская появления новых. Предлагается специальная тригонометрическая функция для непрерывного, а также дискретного моделирования ДПК, анализируется ее форма в зависимости от изменения параметров, определяются соотношения их значений для предотвращения осцилляции выпуклых участков или для формирования переходного участка. Рассматривается возможность назначения касательных в узловых точках исходной ДПК и получения обводов первого и второго порядков гладкости из дуг интерполирующей функции. Указанные задачи решаются как при локальном, так и при глобальном сгущении.

Использование полученных результатов в научных исследованиях целесообразно при разработке новых методов геометрического моделирования и решения прикладных задач, обладающих локальностью расчетов и недопустимостью явления осцилляции решения. С практической точки зрения полученные результаты повышают вариативность решения и направлены на быстрейшее достижение желаемого результата на основе широкой коррекции решения, удовлетворение большому числу исходных требований, повышение точности моделирования.

Результаты исследований внедрены при профилировании спиралеобразных выпускных каналов дизелей и в учебном процессе академии.

Ключевые слова: углы смежности, сгущение, осцилляция, разностные схемы, дискретно представленная кривая.

Sherbina V. M. Geometrical modeling spiral discretely submitted curve lines. - Manuscript.

Dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science on a speciality 05.01.01 - Applied geometry, engineering graphics. - Tavria State Agrotechnical Academy, Ukraine, Melitopol, 2002.

The dissertation and scientific works is protected, in which the discrete interpolation spiral and closed discretely presented curves (DPC) is investigated on the basis of the analysis of character of changes of corners of a contiguity of parts accompanying polygonal of a line DPC with the subsequent formation of set of the specified corners during construction condensed DPC. The method is offered which is based on the basic identity, formulated and proved in work, of a condensation coordinating importance of corners of a contiguity in units DPC before and after a condensation. By introduction of additional conditions on parities between corners of a contiguity in identity it turn out various differenced the circuits guaranteeing high accuracy of accounts and absence oscillation condensed DPC at an appropriate choice, of the condensed, data inside of a specially considered range. The condensation DPC is offered on the basis of geometrical parities between corners of a contiguity before and after a site of a condensation. This way equally effectively works both on convex and on transitive sites, tracing points of an excess and not supposing occurrence new. The special trigonometrical function for continuous is offered, and also discrete modeling DPC, its form is analyzed depending on change of parameters, the parities of their importance for prevention oscillation of convex sites or for formation of a transitive site are determined. The specified tasks are solved both at local, and at a global condensation, carrying out thus correction and management of the form of a curve.

The results of researches are introduced at profiled spiral of final channels of diesel engines and in educational process of academy.

Key words: corners of a contiguity, condensation, oscillation, differenced of the circuit discretely presented curve.

Размещено на Аllbest.ru