Періодичні розв’язки нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсною дією в нефіксовані моменти часу

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ПЕРІОДИЧНІ РОЗВ'ЯЗКИ НЕЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ІМПУЛЬСНОЮ ДІЄЮ В НЕФІКСОВАНІ МОМЕНТИ ЧАСУ

Собчук Валентин Володимирович

Київ-2001

Анотація

Собчук В.В. Періодичні розв'язки нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсною дією в нефіксовані моменти часу (на площині). -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 -- диференціальні рівняння.-- Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2001.

У дисертації наведено теоретичне узагальнення і дано нове вирішення наукової задачі, що виявляється у встановленні конструктивних умов, які забезпечують існування періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку типу Льєнара та Релея з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу.

Встановлено конструктивні умови існування періодичних розв'язків планарних нелінійних диференціальних рівнянь типу Льєнара, як для загального випадку, так і, зокрема, для рівнянь математичного маятника і Дюффінга, та типу Релея з імпульсною дією в нефіксовані моменти часу. Дано приклади функцій імпульсної дії, при яких розглядувані нелінійні диференціальні рівняння з імпульсною дією мають періодичні розв'язки. Наведено явний вигляд функцій, для яких в даних системах має місце явище співіснування періодичних розв'язків згідно порядку Шарковського.

Показано, що існування періодичних розв'язків нелінійних планарних диференціальних рівнянь з імпульсною дією пов'язано з задачею про існування нерухомих та періодичних точок певного відображення прямої в себе, при цьому вихідна задача має періодичні розв'язки з n, n - натуральне, імпульсними діями за період тоді і тільки тоді, коли відповідне відображення має нерухомі або періодичні точки періоду n, n>1.

Ключові слова: диференціальні рівняння з імпульсною дією, фазова площина, особлива точка, рівняння Льєнара, рівняння Дюффінга, рівняння математичного маятника, функція Пуанкаре, складна особлива точка.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В зв'язку з розвитком сучасного природознавства та техніки виникає необхідність дослідження нелінійних динамічних систем, у яких мають місце короткотривалі процеси або які знаходяться під дією зовнішніх сил, тривалістю яких можна знехтувати при складанні відповідних математичних моделей.

Такі системи зустрічаються, наприклад, в механіці, хімічній технології, медицині та біології, динаміці літальних апаратів, математичній економіці, теорії керування та в інших галузях науки та техніки, де доводиться вивчати системи, що перебувають під впливом короткотривалих (імпульсних) зовнішніх сил, які називають системами з імпульсною дією.

Дослідження з теорії систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією найбільшого розвитку досягли в Київській школі з нелінійної механіки, заснованої Криловим М.М. та Боголюбовим М.М.

В працях Митропольського Ю.О., Самойленка А.М., Перестюка М.О., Асланяна А.А., Ахметова М.У., Бойчука О.А., Мартинюка Д.І., Кириченко С.Б., Роговченко С.І., Роговченка Ю.В., Самойленка В.Г., Теплінського Ю.В., Ткаченка В.І., Трофимчука С.І., Трофимчук О.П. та їх учнів вивчено широке коло питань теорії диференціальних рівнянь з імпульсною дією, а саме: метод усереднення, стійкість розв'язків, чисельно-аналітичний метод, періодичні та майже періодичні розв'язки, інваріантні множини, керування та ін.

Як виявилось, наявність імпульсної дії може суттєво ускладнити поведінку траєкторій таких систем навіть для випадків порівняно простих диференціальних рівнянь. В загальному випадку, за наявності імпульсної дії поведінка розв'язків диференціальних рівнянь (навіть лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами) може бути суттєво нелінійною і значно відрізнятися від поведінки таких систем за відсутності імпульсної дії.

Незважаючи на значну кількість праць, присвячених різним питанням теорії диференціальних рівнянь з імпульсною дією, значне коло питань якісної теорії таких систем залишається ще не з'ясованим. Зокрема, не завершено дослідження нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсною дією на площині, не вивчено в достатній мірі питання про існування періодичних розв'язків таких систем та вплив умов імпульсної дії на існування (чи відсутність) їх періодичних розв'язків. Саме тому вивчення питань про періодичні розв'язки таких систем є актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках теми: 97-050 "Побудова та теоретичне обгрунтування ефективних методів розв'язання лінійних та нелінійних крайових задач для рівнянь в частинних похідних" (номер держреєстрації 0198U002031). Особистий внесок дисертанта в рамках даної теми полягає в проведені досліджень про існування періодичних розв'язків для нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією.

Мета і задачі дослідження. Метою і задачею досліджень даної роботи є встановлення умов існування періодичних розв'язків для коливних систем на площині, для яких мають місце короткотривалі процеси імпульсної природи, вивчення нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсною дією в нефіксовані моменти часу та знаходження умов існування періодичних розв'язків коливних систем, що описуються рівнянням Льєнара, Дюффінга, математичного маятника та систем, що мають особливі точки складного характеру, а також дослідження впливу умов імпульсної дії на властивості сімейств розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу.

Об'єктом дослідження є нелінійні диференціальні рівня другого порядку з імпульсною дією в нефіксовані моменти часу, зокрема, рівняння Льєнара, Дюффінга, математичного маятника та систем, що мають особливі точки складного характеру.

Предметом дослідження є вивчення впливу умов імпульсної дії на асимптотичні властивості сімейств розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсною дією в нефіксовані моменти часу, зокрема, для рівняння Льєнара, Дюффінга, математичного маятника та систем, що мають особливі точки складного характеру.

Методи дослідження. В даній дисертаційній роботі для дослідження структури фазових портретів розглядуваних задач використано методи якісної теорії диференціальних рівнянь, метод топографічної системи в сенсі Пуанкаре, для встановлення умов існування періодичних режимів у досліджуваних системах використано метод функції слідування Пуанкаре та методи теорії одновимірних динамічних систем.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну та виносяться на захист є наступні:

- знайдено достатні умови існування періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку типу Льєнара, як для загального випадку, так і, зокрема, для рівняння математичного маятника та рівняння Дюффінга, а також для однієї релейної системи з особливою точкою складного характеру, та імпульсною дією у нефіксовані моменти часу;

- за допомогою функції Пуанкаре встановлено необхідні та достатні умови існування періодичних розв'язків для згаданих вище систем;

- показано, що нелінійні диференціальні рівняння з імпульсною дією завдяки останній можуть мати періодичні розв'язки для випадків, коли фазові траєкторії вихідної системи не є замкненими;

- знайдено явний вигляд функцій імпульсної дії, при яких розглядувані нелінійні диференціальні рівняння з імпульсною дією мають періодичні розв'язки;

- наведено явний вигляд функцій імпульсної дії, для яких має місце явище співіснування періодичних розв'язків згідно порядку Шарковського.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані результати доповнюють відповідні дослідження існування періодичних розв'язків нелінійних розривних динамічних систем. Результати дисертаційної роботи демонструють широку різноманітність поведінки розв'язків диференціальних рівнянь з імпульсною дією, спричинену останньою, можуть бути використані в якості прикладів таких систем при читанні спеціальних курсів з даної дисципліни. При вивченні періодичних розв'язків дифереціальних рівнянь другого порядку можуть бути використані результати третього розділу.

Специфічні ефекти, обумовлені наявністю імпульсної дії, що демонструють складну поведінку розв'язків систем нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсною дією, виявлені при дослідженні розглянутих систем нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсною дією, можуть знайти певне застосування на практиці при вивченні моделей реальних коливних процесів та явищ, яким притаманні короткотермінові впливи зовнішніх сил.

Особистий внесок здобувача. Співавторам належать: Самойленку А.М. [2] обговорення одержаних результатів про періодичні розв'язки рівняння математичного маятника з імпульсною дією; в спільних роботах з науковим керівником Самойленком В.Г., йому належать постановка задач [2-5], [8-10], [12]; Єлгондиєву K.K. -- обговорення одержаних результатів про періодичні розв'язки рівняння Дюффінга. Формулювання та доведення усіх результатів дисертації, які виносяться на захист, проведено автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на семінарах кафедри математичної фізики та кафедри диференціальних і інтегральних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка; на міжнародних конференціях:

“Dynamical systems modeling and stability investigation” (травень 1999р., Київ);

“The problems of differential equations, analysis and algebra” (вересень 1999 р., Актобе, Казахстан);

“Differential Equations and Applications” (червень 2000 р., Санкт-Петербург, Росія);

“3 European Congress Mathematics” (липень 2000 р., Барселона, Іспанія);

“Диференціальні та інтегральні рівняння” (вересень 2000 р., Одеса);

“International conference dedicated to M.A.Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary “ (жовтень-листопад 2000 р., Київ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-12].

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, розбитих на 9 параграфів, списку використаних джерел (121 найменування) та одного додатку. Загальний обсяг дисертації становить 139 стор., основний зміст викладено на 120 стор.

Автор дисертації висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику Самойленку Валерію Григоровичу за постановку розглянутих в дисертаційній роботі задач та постійну увагу до роботи, а також Бондаренку Віталію Вікторовичу за допомогу в проведенні обчислювальних експериментів.

2. Основний зміст роботи

нелінійний динамічний площина диференціальний

У вступі аналізується сучасний стан досліджень з теорії нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсною дією. Обгрунтовується актуальність розв'язання задач вказаного класу та визначається мета досліджень. Встановлена наукова новизна та практичне значення роботи, вказується особистий внесок здобувача, апробація роботи та публікації автора, в яких викладено основний зміст. Вказано на зв'язок проведеного дослідження з науковими темами.

У першому розділі дисертації зроблено огляд наукових праць за даною проблематикою, наведено означення функції слідування Пуанкаре, топографічної системи в сенсі Пуанкаре та основні поняття теорії систем з імпульсною дією. Зокрема, викладено результати по дослідженню лінійних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами і імпульсною дією в нефіксовані моменти часу.

У другому розділі дисертації досліджено питання про існування періодичних розв'язків диференціального рівняння Льєнара, а також однієї релейної системи з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу. В цьому розділі знайдено умови, при виконані яких згадані вище задачі мають періодичні розв'язки.

Вивчено питання про існування періодичних розв'язків рівняння Льєнара з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу вигляду

Спочатку дається опис фізичної інтерпретації рівняння Льєнара та характеристика його фазового портрету.

За допомогою вивчення руху фазової точки системи (1), (2) будується відображення Пуанкаре для прямої x=x_*, яке використовується для дослідження питання про існування періодичних розв'язків задачі (1), (2).

Доведена така теорема.

Теорема 2.1.2. Нехай виконуються умови 1⁰ - 3⁰ та для існує таке, що справджується нерівність

Тоді рівняння (1) з імпульсною дією (2), де I(0)=0, має періодичні траєкторії періоду T(n) (n -- натуральне), при русі за якими фазова точка системи (1), (2) зазнає імпульсної дії рівно n раз () за період T(n) тоді і тільки тоді, коли відображення Пуанкаре має на інтервалі (-y_*, y_*) нерухому точку або періодичну точку періоду n, n>1 де n -- деяке натуральне число.

Показано, що задача про існування періодичних розв'язків системи (1), (2) зводиться до задачі про існування періодичних та нерухомих точок деякого відображення відрізка в цей самий відрізок, яке визначається формулою

У параграфі 2.2 дисертації досліджено умови існування періодичних розв'язків релейної системи зі складним станом рівноваги та з імпульсною дією вигляду (2).

Для системи (7), (2) встановлено, що при виконанні умови і I(u)<u для всіх, де, визначено відображення Пуанкаре, прямої x=x_* в себе.

Існування періодичних розв'язків задачі (7), (2) безпосередньо залежить від існування періодичних точок відображення (6). Якщо fⁿ(u₀)=f(f(…f(u)))= u₀, то точці u₀ відповідає деякий T(n)-періодичний режим системи (7), (2), причому такий, що для даного режиму система (7), (2) зазнає імпульсної дії рівно n разів за період.

Показано, що при певному вигляді функції в системі (7), (2) виникають періодичні режими. Зокрема, поведінка системи (7), (2) матиме складний характер, наприклад, в ній можуть співіснувати періодичні розв'язки з різними періодами, що безпосередньо залежатиме від властивостей відображення (6).

У третьому розділі дисертації досліджено питання про існування періодичних розв'язків рівняння математичного маятника і рівняння Дюффінга, з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу. В цьому розділі знайдено умови, при виконані яких згадані вище задачі мають періодичні розв'язки. Вивчена задача про біфуркації цих періодичних розв'язків, в залежності від значень параметра у функції імпульсної дії в (2).

Вивчається питання про існування періодичних розв'язків рівняння коливань математичного маятника

Диференціальне рівняння (8) є рівнянням Льєнара, що задовольняє умови існування періодичних розв'язків, оскільки функція g(x)=sinx неперервна та xg(x)>0 для всіх з досить малого околу початку координат.

Використовуючи явний вигляд першого інтегралу для рівняння (8), проведено якісний аналіз поведінки фазових траєкторій та встановлено необхідні та достатні умови існування (неіснування) періодичних розв'язків рівняння математичного маятника з імпульсною дією (2).

Зокрема, доведено такі твердження.

Теорема 3.1.1. Нехай для всіх цілих чисел n. Якщо для деякого натурального числа k, (k>1) і для всіх значень, де, виконується нерівність, де f^k(y)--k-та ітерація функції, то задача (8), (2) не має періодичних розв'язків.

Твердження 3.1.3. Нехай -- розв'язок задачі (8), (2), що задовольняє початкові умови, для яких виконується одна з умов:

1⁰.якщо та для всіх значень виконується нерівність;

2⁰. якщо та для всіх значень виконується нерівність.

Тоді фазова точка системи (8), (2) не зазнає імпульсної дії ні при жодному значенні, а розв'язок не є періодичним.

Доведено також теорему, аналогічну сформулюваній вище теоремі2.1.2 про необхідні та достатні умови існування періодичних розв'язків рівняння математичного маятника з імпульсною дією. Крім того, вказано явний вигляд функції, яка забезпечує існування періодичних режимів у системі (8), (2) періоду T(n), де n задовольняє порядок Шарковського.

Відображення є неперервним для всіх і має такі властивості: при існує лише одна нерухома точка, яка є стійкою; при -- дві нерухомі точки, дві періодичні точки періоду 2 та шість періодичних точок періоду 3.

Точки періоду 3 для відображення (10) утворюють два цикли

Таким чином, диференціальне рівняння (8) з імпульсною дією (2), (10), при має T(n)-періодичні розв'язки такі, що фазова точка даної системи при русі вздовж відповідної траєкторії зазнає рівно n імпульсних дій за період, де n -- довільне натуральне число.

Зазначимо також, що для випадку коли система, визначена рівнянням математичного маятника (8) та умовами імпульсної дії (2), в області топологічно еквівалентна системі, визначеної в деякій області рівнянням гармонійного осцилятора та тими ж самими умовами імпульсної дії.

Проведений в даній роботі аналіз якісної поведінки системи (1), (2), (10), демонструє складний характер поведінки траєкторій систем, визначених диференціальними рівняннями та умовами імпульсної дії, причому в таких системах можуть проявлятись певні специфічні ефекти (зміна асимптотичних властивостей розв'язку, співіснування періодичних розв'язків), спричинені саме умовами імпульсної дії.

Встановлено умови існування та відсутності періодичних режимів для математичного маятника (8) з імпульсною дією вигляду

що описує миттєву зміну просторових координат.

Зауважимо, що розглянуті розв'язки мають розриви першого роду, а ліві та праві похідні для таких розв'язків є неперервними. Доведено такі твердження.

Теорема 3.2.1. Нехай y_*=0 і значення є нулем функції I(x). Тоді якщо виконується рівність, то розв'язок задачі (7), (11) з початковими умовами є періодичним, а фазова точка системи при русі вздовж його траєкторії не зазнає імпульсного впливу.

Твердження 3.3.1. Якщо для початкових деякого розв'язку має місце властивість:, крім того, або, то фазова точка системи (13), (2) при русі вздовж траєкторії даного розв'язку не зазнає впливу імпульсної дії жодного разу за весь час її еволюції, а задача (13), (2) має двопараметричне сімейство періодичних розв'язків з одним і тим самим періодом.

Твердження 3.3.2. Якщо, то розв'язки задачі (13), (2) з початковими умовами, що мають властивість, де, є періодичними з одним і тим самим періодом. Більш того, всі такі розв'язки утворюють двопараметричну сім'ю функцій.

При русі фазової точки системи (13), (2) вздовж траєкторій таких розв'язків вона не зазнає впливу імпульсних сил.

Твердження 3.3.3. Припустимо, що для розв'язку виконується одна з умов: 1⁰ для всіх виконується нерівність та 2⁰. для всіх виконується нерівність таоді розв'язок не є періодичним, а фазова точка системи (13), (2) не зазнає імпульсної дії ні при жодному значенні.

Твердження 3.3.5. Диференціальне рівняння (13) з імпульсною дією (2) має періодичні розв'язки періоду T(n), такі, що фазова точка системи (13), (2) при русі по відповідній траєкторії зазнає імпульсної дії n разів за період T(n), тоді і тільки тоді, коли відображенняf(y)=-y+I(-y) має на інтервалі (0,y_*), де, нерухому або періодичну точку періоду n, де n -- деяке натуральне число.

У параграфі 3.4 показано, що поведінка фазових траєкторій системи (13), (2) має досить складний характер, зокрема, при кожному значенні параметра існує лише один стійкий періодичний розв'язок з початковими значеннями.

Даний розв'язок відповідає циклу періоду 2ⁿ відображення прямої R в себе.

Висновки

У дисертації наведено теоретичне узагальнення і дано нове вирішення наукової задачі, що виявляється у встановленні конструктивних умов, які забезпечують існування періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку типу Льєнара та Релея з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу.

Дана задача розв'язана за допомогою методів якісної теорії звичайних диференціальних рівнянь та одновимірних динамічних систем, причому при дослідженні розглядуваних задач в значній мірі використано наявність перших інтегралів в відповідних системах.

Встановлено конструктивні умови існування періодичних розв'язків планарних нелінійних диференціальних рівнянь типу Льєнара, як для загального випадку, так і, зокрема, для рівнянь математичного маятника і Дюффінга, та типу Релея з імпульсною дією в нефіксовані моменти часу. За допомогою функції Пуанкаре встановлено необхідні та достатні умови існування періодичних розв'язків для згаданих вище систем.

Дано приклади функцій імпульсної дії, при яких розглядувані нелінійні диференціальні рівняння з імпульсною дією мають періодичні розв'язки. Наведено явний вигляд функцій, для яких в даних системах має місце явище співіснування періодичних розв'язків згідно порядку Шарковського.

Показано, що існування періодичних розв'язків нелінійних планарних диференціальних рівнянь з імпульсною дією пов'язано з задачею про існування нерухомих та періодичних точок певного відображення прямої в себе, при цьому вихідна задача має періодичні розв'язки з n, (n - натуральне), імпульсними діями за період тоді і тільки тоді, коли відповідне відображення має нерухомі або періодичні точки періоду n, n>1.

Отримані результати мають, перш за все, теоретичний характер, і можуть бути використані, як в якості лекційного матеріалу для читання спеціальних курсів з теорії імпульсних систем, так і для подальших досліджень з даного напрямку.

Специфічні ефекти, обумовлені наявністю імпульсної дії, що демонструють складну поведінку розв'язків систем нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсною дією, виявлені при дослідженні розглянутих систем нелінійних диференціальних рівнянь з імпульсною дією, можуть знайти певне застосування на практиці при вивченні моделей реальних коливних процесів та явищ, яким притаманні короткотермінові впливи зовнішніх ("миттєвих") сил.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Собчук В.В. Якісна поведінка розв'язків рівняння математичного маятника з імпульсною дією // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Київ: Ін-т математики НАН України, 1999. - С. 228-232.

2. Самойленко А.М., Самойленко В.Г., Собчук В.В. Про періодичні розв'язки рівняння нелінійного осцилятора з імпульсною дією // Укр. мат. журн. - 1999. - 51, №6. - С. 827 - 834.

3. Самойленко В.Г., Собчук В.В. Періодичні розв'язки рівняння Льєнара з імпульсною дією // Нелінійні коливання. - 2000. - Т. 3, №2.- С. 256 - 265.

4. Самойленко В.Г., Собчук В.В. Існування періодичних розв'язків диференціальних рівнянь з імпульсною дією в околі складних особливих точок // Доповіді НАН України. - 2000. - №8. - С.29 - 32.

5. Самойленко В.Г., Собчук В.В., Єлгондиєв К.К. Періодичні розв'язки рівняння Дюффінга з імпульсною дією // Вісник Київського у-ту. Серія: Математика. Механіка. - Вип. 5 - 2000. - С. 47-51.

6. Собчук В.В. Існування періодичних розв'язків рівняння математичного маятника з імпульсною дією // Dynamical systems modeling and stability investigation, Mechanical Systems. - Kyiv: Thesis of conference reports, 1999, May 25-29.- P. 74.

7. Sobchuk V.V. On existence of periodical solutions for the pendulum equation with impulse effects // The problems of differential equations, analysis and algebra. - Aqtobe: Theses of the international scientific conference II, 1999, September 15-19.- P. 51.

8. Самойленко В.Г., Собчук В.В. Періодичні розв'язки в системах Релея з імпульсною дією // Диференціальні та інтегральні рівняння. - Одеса: 12 -14 вересня, 2000. - С. 249 - 250.

9. Самойленко В.Г., Собчук В.В., Елгондыев К.К. Существование периодических решений уравнения Дюффинга с импульсным воздействием. // Математическое моделирование в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов. - С.-Пб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2000. - С.174-177.

10. Самойленко В.Г., Собчук В.В. Існування періодичних розв'язків рівняння математичного маятника з миттєвими змінами просторових координат // International conference dedicated to M.A.Lavrentyev on the occasion of his birthday centenary - Kiev: 31 October - 3 November, 2000.- P. 66-67.

11. Valentyn Sobchuk, Kuanysh Yelgondyev. Existence of Periodical Solutions of the Duffing Equation with Impulsive Effects // 3 European Congress of Mathematics - Barcelona (Spain): 10-14 July, 2000. - P. 239.

12. Valeriy Samoylenko, Valentyn Sobchuk. Periodical Solution of the Lienard Equation with Impulsive Effects // Ibid. - P. 238.

Размещено на Allbest.ru