Амальгамовані об’єднання ґраток і ґратки нормальних дільників у вінцевих добутках

Размещено на http://www.allbest.ru

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

01.01. 06 -- Алгебра і теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Амальгамовані об'єднання ґраток і ґратки нормальних дільників у вінцевих добутках

Одрібець Сергій Петрович

Київ - 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі алгебри та математичної

логіки механіко-математичного факультету Київського

національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук,

професор

СУЩАНСЬКИЙ Віталій Іванович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри алгебри та математичної логіки, м. Київ.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор

ЛИМАН Федір Миколайович,

Сумський державний педагогічний університет

імені А. С. Макаренка, завідувач кафедри математики, м. Суми;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

БОДНАРЧУК Юрій Вікторович,

Національний університет “Києво-Могилянська академія”,

кафедра математики, м. Київ.

Провідна установа: Львівський національний університет імені І. Франка, кафедра алгебри і топології, Міністерство освіти і науки України, м. Львів.

Захист відбудеться “ 5 ” листопада 2001 року о 14 год. 00 хв. на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, м. Київ-127, проспект акад. Глушкова, 6,

механіко-математичний факультет, ауд. 44 .

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці

Київського університету імені Тараса Шевченка

(м. Київ, вул. Володимирська, 58, к. 10).

Автореферат розісланий “ 4 ” жовтня 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В. В. Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вінцевий добуток є однією з найбільш уживаних конструкцій в сучасній теорії груп. Дослідженням будови вінцевих добутків присвячено численні публікації таких відомих фахівців з теорії груп як Л. А. Калужнін, Ф. Холл, Г. Бомслаг, А. Л. Шмелькін, Л. Ковач, П. Нейман, Х. Нейман, В. І. Сущанський та інші.

Результати щодо вінцевих добутків природним чином розділяються на два класи: дослідження будови і властивостей вінцевих добутків довільних груп та вивчення конкретних вінцевих добутків. До результатів другого типу слід віднести також численні дослідження з теорії мономіальних груп (О. Оре, Р. Крауч, П. Грей та інші).

Для довільного вінцевого добутку досліджено будову його центра, комутанта, виділено певні стандартні нормальні та характеристичні підгрупи, охарактеризовано класи спряженості, групи автоморфізмів та напівгрупи ендоморфізмів, встановлено умови, за яких вінцевий добуток має ті чи інші властивості, наприклад, розкладається в прямий добуток, є нільпотентним, допускає однозначне добування коренів, тощо (П. Нейман, Г. Бомслаг, Ж. Тітс - П. Лентуліс, Г. Лібек, Д. Паркер).

Серед вінцевих добутків конкретних груп найбільш вивченими є вінцеві добутки циклічних, елементарних абелевих, симетричних та знакозмінних груп (Л. А. Калужнін, А. Уїр, К. Бузаші, В. І. Сущанський, Ю. В. Боднарчук, Ю. В. Дмитрук та інші).

Хоча в роботах різних авторів розглядались ті чи інші нормальні дільники вінцевих добутків, дослідження ґратки нормальних дільників в цілому для вінцевих добутків майже не проводилося. Єдиною роботою в цьому напрямку є стаття Г. Сілкока H. L. Silcock. Generalized wreath products and the lattice of normal subgroups of a group // Algebra Univ. -- 1977. -- Vol. 7. -- P. 361-372., в якій показано, що кожна скінченна дистрибутивна ґратка може бути реалізована як ґратка нормальних дільників деякого вінцевого добутку груп. Це свідчить, зокрема, що ґратки нормальних дільників у вінцевих добутках можуть бути досить різноманітними, а їх вивчення є актуальною задачею теорії груп. Розгляду цієї задачі й присвячена дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з дослідженнями кафедри алгебри і математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка, які ведуться за науково-дослідною темою “Теорія алгебраїчних систем та їх зображень і її застосування” (номер державної реєстрації 0197U003160).

Мета і задачі дослідження.

Охарактеризувати в цілому ґратку нормальних дільників вінцевого добутку групи підстановок та абстрактної групи.

Описати конструкції над ґратками, за допомогою яких можна отримати ґратку нормальних дільників вінцевого добутку, виходячи з будови аналогічних ґраток його компонент.

Описати ґратки нормальних дільників силовських p - підгруп скінченної симетричної групи та силовських p - підгруп класичних лінійних груп над скінченнями полями характеристики, відмінної від p.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримано такі результати:

введено поняття жорсткого гомоморфізму родини ґраток; описано перетворення ґраток, які визначаються жорсткими гомоморфізмами родин ґраток; досліджено умови, за яких перетворені об'єкти знову є ґратками;

введено поняття амальгамованого об'єднання та розшарованого добутку частково впорядкованих множин; в термінах таких понять описано будову ґраток нормальних дільників вінцевих добутків груп підстановок з абстрактними групами; охарактеризовано клас абстрактних груп, для яких ґратка нормальних дільників є перетворенням аналогічної ґратки пасивного множника, що визначається спеціальними жорсткими гомоморфізмами;

охарактеризовано ґратки нормальних дільників силовських p - підгруп симетричних груп і силовських p - підгруп класичних лінійних груп над скінченними полями характеристики, відмінної від p.

Практичне значення одержаних результатів. Усі отримані результати є новими. У дисертаційній роботі використовуються методи теорії частково впорядкованих множин, зокрема, теорії ґраток та методи теорії груп підстановок. Запропоновані конструкції над частково впорядкованими множинами та перетворення ґраток можуть бути використані при дослідженнях ґраток нормальних дільників інших груп, зокрема, інших типів ітерованих вінцевих добутків.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи одержано самостійно. дільник добуток ґратка

Апробація результатів дисертації. Результати, отримані в дисертації, доповідалися на семінарі “Теорія груп та напівгруп” у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, на алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка, на V та VІІІ Міжнародних конференціях імені М. Кравчука (Київ, 1996 р., 2000 р.); на конференції молодих математиків “Сучасна алгебра та її застосування”, присвяченій 40-річчю кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 1999 р.)

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 6 наукових роботах [1 - 6]. З них [2], [3], [5], [6] -- 4 статті в фахових журналах з переліку N1, затвердженого ВАК України, та дві тези доповідей на міжнародних наукових конференціях.

Структура і об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків, двох додатків та списку використаних джерел, який містить 53 найменування. Повний обсяг роботи становить 131 сторінку, з яких 114 сторінок основного змісту, 12 сторінок додатків та 5 сторінок використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі формулюються мета, задачі дослідження та основні результати дисертації.

В першому розділі вводяться необхідні поняття та формулюються необхідні для подальшого допоміжні твердження. Перший розділ також містить огляд результатів, близьких за проблематикою до теми дисертаційної роботи.

В підрозділі 1.1 дано означення вінцевого добутку AгB групи підстановок (A,M) з абстрактною групою B, з групою підстановок (B,N) та з матричною групою BGLn(K), K -- кільце.

Вінцевим добутком AгB групи підстановок (A,M) з абстрактною групою B називається група, елементами якої є найможливіші пари вигляду aв, де aA, вBM, а групова дія _ задається рівністю

де вa(x) = в(xa-1).

Якщо B -- це група підстановок на деякій множині N, то групу AгB також можна розглядати як групу підстановок на множині MN згідно правила

причому дія добутку a1в1 _ a2в2 визначається правилом

Якщо група B є підгрупою групи GLn(K), K -- деяке кільце, то вінцевий добуток AгB можна також розглядати як підгрупу групи GLmn(K), де m=|M|. Занурення :AгBGLmn(K) задається правилом:

Вінцевий добуток GгB групи дій (G,M) (тобто задано гомоморфізм групи G в симетричну групу SM) та абстрактної групи B означається подібно до вінцевого добутку групи підстановок з абстрактною групою, з урахуванням рівності вg = в(g), gG.

В підрозділі 1.1 наведено також потрібні для подальшого властивості вінцевого добутку двох груп підстановок, описано відомі стандартні нормальні підгрупи: Z(AгB), (AгB)', (AгB)'' та ((AгB)',AгB), та дано характеризацію “великих” нормальних підгруп.

Сформульовано також встановлені Г. Бомслагом необхідні й достатні умови нільпотентності вінцевого добутку.

У підрозділі 1.2 подано необхідні відомості з теорії ґраток. Наведено означення стандартних конструкцій над частково впорядкованими множинами: кардинальна та ординальна суми, прямий та ординальний добутки, кардинальний та ординальний степені, індуктивна та проективна границя систем частково впорядкованих множин. Визначено узагальнення поняття ґратки: верхня та нижня напівґратки, слабо асоціативна ґратка.

Підрозділ 1.3 містить огляд літератури про будову силовської p - підгрупи симетричної групи. Як відомо, в загальному випадку така підгрупа розкладається в прямий добуток кратних вінцевих добутків регулярних циклічних груп підстановок степеня p. Описано характеристичні підгрупи згідно робіт Л. А. Калужніна, А. Уїр та Ю. В. Дмитрука, ядра характерів незвідних комплексних зображень та нормальні дільники за К. Бузаші. До розгляду вказаних вінцевих добутків зводиться також вивчення силовських p - підгруп знакозмінних груп скінченного степеня.

У підрозділі 1.4 подано основні результати, які стосуються будови силовських p - підгруп класичних матричних груп скінченного степеня над скінченними полями Галуа Fq. Розрізняють три випадки:

Перший випадок істотно відрізняється від двох інших. Якщо p ділить q, то розглядувані класичні групи є групами Шеваллє, а тому їхня будова пов'язана з будовою систем коренів відповідних алгебр Лі. Проте у випадку групи GLn(q) можливе безпосереднє обчислення всіх її підгруп, зокрема нормальних. Інші два випадки є спорідненими. Силовські p - підгрупи, які тут виникають, знову є прямими добутками вінцевих добутків спеціального вигляду

У підрозділі 1.5 зроблено огляд відповідних результатів про нормальну будову мономіальних груп (вінцевих добутків вигляду SmгB) та груп AmгB. Наведено опис нормальних дільників для таких груп за роботами О. Оре, Р. Крауча та П. Грея. Подано опис нормальних підгруп глибини 1 у недосліджених раніше випадках: A4гB та A3гB.

У другому розділі вводяться поняття амальгамованого об'єднання та розшарованого добутку частково впорядкованих множин, жорсткого гомоморфізму родини ґраток та конструюється перетворення ґратки, визначене таким гомоморфізмом.

Зокрема, у підрозділі 2.1 дається означення амальгамованого об'єднання частково впорядкованих множин та розглядається зв'язок нової конструкції з класичними. А саме, амальгамованим об'єднанням UV частково впорядкованих множин U = (U,U) та V = (V,V) таких, що є рівними обмеження відношень U та V на перетин UV, будемо називати множину UV, впорядковану щодо транзитивного замикання об'єднання відношень U та V. Операцію амальгамованого об'єднання можна поширити на випадок довільної родини частково впорядкованих множин. Важливим для застосувань є твердження:

Лема 2.4. Нехай множина елементів частково впорядкованої множини U = (U,U) є об'єднанням деяких своїх підмножин:

Якщо для довільних елементів x,yU таких, що xy, існує скінченний ланцюг x = u1u2un = y, кожні два сусідні елементи ui та ui+1 якого належать одночасно підмножині U для деякого індексу I, то частково впорядкована множина U рівна амальгамованому об'єднанню IU, де U = (U,) та -- це обмеження відношення на підмножину U.

Нехай U, V та W -- частково впорядковані множини, та задані епіморфізми частково впорядкованих множин :UW та :VW. Виділимо в кардинальному добутку U·V множину елементів

Множина P щодо відношення порядку кардинального добутку утворює частково впорядковану множину, яку будемо називати розшарованим добутком UV.

Підрозділ 2.2 присвячено визначенню жорсткого гомоморфізму родини ґраток та перетворення ґратки, яке ним визначається. Нехай KL -- категорія найможливіших відрізків ґраток з родини L = {L} та найможливіших ізоморфізмів між ними.

Означення 7. Назвемо жорстким гомоморфізмом родини ґраток L = {L} на родину ґраток = {} пару (,F), де

={} та для кожного відображення : L є ґратковим гомоморфізмом;

F: KL -- коваріантний функтор;

для кожного об'єкта AObKL такого, що A є підґраткою L, має місце рівність

(L)F(A) = (A);

для кожного морфізму MorKL такого, що Dom є підґраткою ґратки L та Im є підґраткою ґратки L, виконана рівність

для кожного MorKL такого, що Dom є підґраткою L, та для кожного xDomF() існують u та v з Dom такі, що

Наведено означення частково впорядкованої множини , яка будується конструктивно з ґратки за деяким її розкладом в амальгамоване об'єднання власних відрізків , кожен з яких ізоморфний одній з підґраток родини , та деяким жорстким гомоморфізмом

Побудовано також занурення множин .

Для частково впорядкованої множини встановлююься такі факти.

Теорема 2.9.

Відношення є порядком на множині .

Відображення є зануренням ґратки , яка розглядається як частково впорядкована множина, у частково впорядковану множину .

Означення 9. Частково впорядковану множину назвемо перетворенням ґратки , яке визначене жорстким гомоморфізмом родини ґраток .

Основним твердженням п. 2.2 є така теорема.

Теорема 2.11. Нехай виконані такі умови:

ґратки , L та , , є повними;

ґратки , L та , , є модулярними;

якщо b:[ab,a][b,ab] є природним ізоморфізмом транспонованих відрізків [ab,a] та [b,ab] модулярної ґратки L, , тобто b(z) = bz для z[b,ab], то

теж є природним ізоморфізмом транспонованих відрізків

модулярної ґратки , тобто

якщо відрізки [x,y] та [x',y'] є транспонованими в ґратці , та для деякого I, то існує скінченна послідовність відрізків

в якій кожні два послідовні відрізки [xi,yi] та [xi+1,yi+1] є транспонованими в деякій підґратці , ;

для кожного елемента b ґратки множина елементів a таких, що для деякого індексу I елементи a, b належать , замкнена відносно взяття точної верхньої та нижньої граней.

Тоді:

частково впорядкована множина є повною ґраткою;

має місце співвідношення ;

відображення є ґратковим гомоморфізмом.

Теорема 2.11 також поширюється на випадок жорсткого ґраткового гомоморфізму, визначеного за категорією відрізків ґраток нормальних дільників деякої родини груп та їх ізоморфізмів, які індукуються груповими ізоморфізмами фактор-груп, побудованих за кінцями відрізків.

Теорема 2.15. Нехай -- ґратка нормальних дільників деякої групи,

-- її розклад в амальгамоване об'єднання деяких власних відрізків,

-- жорсткий ґратковий гомоморфізм

Якщо виконані такі умови:

ґратки , , є повними та модулярними;

якщо b:[ab,a][b,ab] є природним ізоморфізмом транспонованих відрізків [ab,a] та [b,ab] модулярної ґратки L, , тобто b(z) = bz для z[b,ab], то

теж є природним ізоморфізмом транспонованих відрізків

модулярної ґратки , тобто

якщо відрізки [x,y] та [x',y'] є транспонованими в ґратці , та для деякого I, то існує скінченна послідовність відрізків

в якій кожні два послідовні відрізки [xi,yi] та [xi+1,yi+1] є транспонованими в деякій підґратці , ;

для кожного елемента ґратки множина елементів таких, що для деякого індексу елементи , належать , замкнена відносно взяття точної верхньої та нижньої граней.

Тоді:

частково впорядкована множина є повною ґраткою;

має місце співвідношення ;

відображення є ґратковим гомоморфізмом.

Третій розділ є центральним в дисертаційній роботі. В ньому конструкції і результати розділу 2 застосовуються до вивчення ґраток вінцевих добутків груп підстановок з абстрактною групою.

У підрозділі 3.1 вивчається нормальна будова вінцевого добутку транзитивної групи підстановок (A,M) з абстрактною групою B. Показано, що ґратка N(AгB) нормальних дільників вінцевого добутку є амальгамованим об'єднанням двох ґраток, а саме:

де N1(AгB) -- підґратка, утворена нормальними підгрупами, які містяться в базі вінцевого добутку (мають глибину 1), а позначає найменший відрізок ґратки N(AгB), який складається з усіх нормальних дільників, що не містяться в базі (мають глибину 0).

Позначимо множину всіх мінімальних елементів напіввідкритого відрізка (A1,A]L ґратки всіх підгруп групи A, де A1 позначає централізатор деякого фіксованого елемента множини M. Нехай -- індукована дія групи A на множині блоків імпримітивності

визначених за підгрупою T.

Теорема 3.3. Верхня напівґратка N0(AгB) всіх нормальних підгруп глибини 0 групи AгB є амальгамованим об'єднанням родини власних верхніх піднапівґраток нормальних підгруп:

кожна з яких ізоморфна верхній напівґратці нормальних підгруп глибини 0 вінцевого добутку відповідної групи дій з фактор-групою B/B':

Наслідок 3.4. Для примітивної групи підстановок (A,M) напівґратки

ізоморфні.

Будову верхньої напівґратки характеризує

Наслідок 3.6. Верхня напівґратка для кожної T(A1,A]L ізоморфна верхній піднапівґратці

розшарованого добутку, визначеного епіморфізмами

Опис підґратки N1(AгB) зводиться до вивчення таких її відрізків, що фактор-групи, побудовані за кінцями цих відрізків, є абелевими. Досліджено умови, коли знаючи, як влаштовано підґратку N1(AгG) для абелевої групи G, ґратку N1(AгB) в загальному випадку можна отримати як перетворення ґратки N(B), визначене жорстким гомоморфізмом родини ґраток N(G) абелевих груп на родину ґраток вигляду N1(AгG). Встановлено, що достатньою умовою існування амальгамованого розбиття ґратки N(B), яке задовольняє умовам теореми 2.11, є нільпотентність групи B.

Охарактеризовано клас груп B, для яких існує розклад підґратки N1(AгB) в амальгамоване об'єднання відрізків, для яких або фактор-група, утворена кінцями відрізка, є абелевою, або відповідний інтервал є порожнім. Всі такі групи B описуються умовою:

через кожну нормальну підгрупу C групи B можна провести скінчений інваріантний ланцюг

такий, що або фактор-група Ci+1/Ci є абелевою, або Ci є максимальною нормальною підгрупою групи B, яка міститься в Ci+1, 0il-1.

Підпункт 3.2 присвячено опису нормальної будови вінцевого добутку регулярної циклічної групи підстановок з абстрактною абелевою групою. Для знайдено розклади у амальгамовані об'єднання відрізків спеціального типу. Відрізок N1(AгB) можна отримати як ґратку підмодулів деякого Z[x] - модуля.

Лема 3.21. Підґратка N1(CmгB), де Cm, m2 -- регулярна циклічна група підстановок, ізоморфна ґратці

підмодулів Z[x] - модуля B[x]/(xm-1)B[x].

Для конкретних груп B вдається отримати точніший опис. Так окремо відмітимо випадок B = Cp.

Лема 3.23. Підґратка N1(CmгCp) антиізоморфна ґратці зведених дільників многочлена xm-1 в кільці Fp[x] щодо відношення подільності многочленів.

Ґратку N(Pr) нормальних дільників силовської p - підгрупи симетричної групи степеня pr описано у підрозділі 3.3.

Нехай M(i), 1ir -- множини потужності p, -- регулярна циклічна група підстановок на множині M(i). Покладемо

Група Pi є (i-1) - кратним вінцевим добутком

який як група підстановок діє на множині Mi.

У ґратці N(Pr) виділяються верхні піднапівґратки Ni(Pr) нормальних підгруп глибини i, 0ir-1, та найменші відрізки , які містять Ni(Pr).

Теорема 3.30. Ґратку N(Pr) можна подати як амальгамоване об'єднання власних підґраток ,0ir-1:

Внутрішню будову вказаних відрізків ґратки описує

Теорема 3.32. Для ґратки N(Pr) мають місце такі співвідношення:

Дещо точніший опис підґратки дає таке твердження.

Теорема 3.36. Підґратка ізоморфна ланцюгу, який має pr-1+1 елемент.

Аналогічний опис для силовських p - підгруп Rr класичних матричних груп скінченного степеня над скінченними полями Галуа отримано у підрозділі 3.4.

Нехай M(i), 1ir -- множини потужності p, M(0) -- множина потужності pk, -- регулярна циклічна група підстановок на множині M(i), 1ir, а -- регулярна циклічна група підстановок на множині M(0). Покладемо

Група Ri, 1ir, є i - кратним вінцевим добутком

який як група підстановок діє на множині MiM(0). Покладемо також . З асоціативності вінцевого добутку груп підстановок випливає, що Ri = PiгR0, а тому будова ґратки N(Rr) подібна до будови ґратки N(Pr). Це підтверджують наведені далі твердження.

У ґратці N(Rr) виділимо верхні піднапівґратки Ni(Rr) нормальних підгруп глибини i, 0ir, та найменші відрізки , які містять Ni(Rr).

Теорема 3.38. Ґратку N(Rr) можна подати як амальгамоване об'єднання власних підґраток , 0ir:

Теорема 3.39. Для ґратки N(Rr) мають місце такі співвідношення:

У додатках A-B результати, отримані у підрозділах 3.3 та 3.4, порівнюються з вже відомими результатами з підрозділів 1.3 та 1.4 для груп малих порядків.

ВИСНОВКИ

В даній дисертаційній роботі вивчається будова ґраток нормальних дільників вінцевих добутків груп.

Введено поняття жорсткого гомоморфізму родини ґраток. Описано перетворення ґраток, якi визначаються жорсткими гомоморфізмами родин ґраток. Досліджено умови, за яких перетворені об'єкти знову є ґратками. Введено поняття амальгамованого об'єднання та розшарованого добутку частково впорядкованих множин.

В термінах таких понять описано будову ґраток нормальних дільників вінцевих добутків груп підстановок з абстрактними групами. Знайдено клас абстрактних груп, для яких ґратка нормальних дільників є перетворенням аналогічної ґратки пасивного множника, що визначається спеціальними жорсткими гомоморфізмами. Охарактеризовано ґратки нормальних дільників силовських p - підгруп симетричних груп i силовських p - пiдгруп класичних лінійних груп над скiнченними полями характеристики, відмінної від p.

Запропоновані в дисертації конструкції над частково впорядкованими множинами та перетворення ґраток можуть бути використані при дослідженнях ґраток нормальних дільників інших груп, зокрема інших типів iтерованих вінцевих добутків.

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Одрiбець С. П. Нормальна будова мономiальних груп // V Мiжнар. Наук. Конф. iм. акад. М. Кравчука. 11-14 травня 1996 р., Київ. -- Київ. -- 1996. С. 201.

Одрiбець С. П. Гратка нормальних дільників вінцевого добутку групи підстановок з абстрактною групою // Мат. студії. -- 1999. -- Т. 12, № 2. -- С. 127-134.

Одрiбець С. П. Гратка нормальних дільників силiвської - підгрупи симетричної групи // Вісник Київськ. ун-ту. Серія: фiз.-мат. науки. -- 1999. -- Вип. 3. -- С. 52-60.

Одрiбець С. П. Перетворення гратки, породжене перетворенням її пiдграток // VIII Мiжнар. Наук. Конф. iм. акад. М. Кравчука. 11-14 травня 2000 р., Київ. -- Київ. -- 2000. -- С. 338.

Одрiбець С. П. Перетворення кратних амальгамованих об'єднань граток, визначені жорсткими гомоморфізмами // Вісник Київськ. ун-ту. Серія: фiз.-мат. науки. -- 2000. -- Вип. 3. -- С. 64-73.

Одрiбець С. П. Ґратки нормальних дільників силiвських підгруп класичних груп // Вісник Київськ. ун-ту. Серiя: фiз.-мат. науки. -- 2000. -- Вип. 4. -- С. 49-55.

АНОТАЦІЯ

Одрібець С. П. Амальгамовані об'єднання ґраток і ґратки нормальних дільників у вінцевих добутках. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 -- алгебра і теорія чисел. -- Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2001.

За допомогою введених конструкцій над частково впорядкованими множинами амальгамованого об'єднання, розшарованого добутку та перетворення ґратки, визначеного жорстким гомоморфізмом родини ґраток, досліджуються ґратки нормальних дільників у вінцевих добутках. Отримані результати застосовано до опису ґраток нормальних дільників силовських p - підгруп симетричних груп i силовських p - пiдгруп класичних лінійних груп над скiнченними полями характеристики, відмінної від p.

Ключові слова: нормальна підгрупа, ґратка нормальних дільників групи, вінцевий добуток груп підстановок, силовська p - підгрупа.

АННОТАЦИЯ

Одрибец С. П. Амальгамированные объединения решеток и решетки нормальных делителей в сплетениях. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 -- алгебра и теория чисел. -- Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2001.

Для решения задачи описания решеток нормальных делителей сплетений в диссертационной работе введены конструкции амальгамированного объединения и расслоенного произведения частично упорядоченных множеств. Эти понятия позволяют описывать решетки, представимые в виде объединения некоторых собственных подрешеток, причем допускаются непустые попарные пересечения составляющих.

Оказывается, что к данному типу решеток относятся решетки нормальных делителей сплетений. Все нормальные подгруппы сплетения W с постоянной глубиной i образуют в решетке нормальных подгрупп N(W) верхнюю полурешетку Ni(W). Если обозначить наименьший отрезок в решетке N(W), который содержит Ni(W), то вся решетка N(W) теперь представима как амальгамированное объединение своих подрешеток . В свою очередь, отрезки , рассматриваемые как отдельные решетки, допускают подобное представление в виде амальгамированного объединения меньших отрезков и т. д. Таким образом, описание решеток нормальных делителей сплетений сложно устроенных групп при помощи введенных конструкций сведено к аналогичным решеткам сплетений групп с простой структурой, например, сплетения примитивных групп подстановок, циклических или абелевых групп.

Решетки нормальных делителей сплетений нильпотентных групп подстановок могут быть получены как некоторое преобразование решеток этих групп. В диссертационной работе дано определение жесткому гомоморфизму семьи решеток и преобразованию решетки, определенному этим гомоморфизмом. Исследованы условия, при которых полученное в результате преобразования частично упорядоченное множество снова является решеткой. Такой подход позволяет для силовской подгруппы симметрической группы

Pr = CpгCpггCp (r групп)

получить отрезки решетки нормальных делителей как i - кратное преобразование решетки , определенное одним и тем же жестким гомоморфизмом. Аналогичным образом получаются отрезки решетки нормальных делителей силовских подгрупп классических матричных над конечным полем характеристики, отличной от p.

Ключевые слова: нормальная подгруппа, решетка нормальных делителей группы, сплетение групп подстановок, силовская p - подгруппа.

ABSTRACT

Odribets S. P. Amalgamated unions of lattices and lattices of normal subgroups in wreath products. -- Manuscript.

Thesis of a dissertation for obtaining the degree of a candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 -- algebra and number theory. -- Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2001.

To describe the normal subgroups lattices of wreath products we introduce some new concepts and posets constructions: amalgamated union and fibered product of posets, rigid homomorphism of lattices families and lattice transformation determined by such rigid homomorphism. It is shown, that a normal subgroups lattices of wreath products of groups realized as amalgamated union of some sublattices. In turn, components parts, considered as separate lattices, admit similar representation as amalgamated union of smaller pieces etc. Thus, by means of the introduced constructions the description of normal subgroups lattices of wreath products of difficultly arranged groups reduced to similar lattices of wreath products of groups with simple structure, for example, textures of primitive groups of substitutions, cyclic or Abelian groups. In thesis normal subgroups lattices of Sylow subgroups of symmetric groups and classical linear groups above finite fields with characteristic which are different from p also are completely described when they are represented as a wreath product of cyclic groups.

Key words: normal subgroups, normal subgroups lattices, wreath product of substitutions groups, Sylow subgroup.

Размещено на Allbest.ru