Магические квадраты

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследовательская работа

по математике

Магические квадраты

Автор:

Елизаров Денис,

ученик 7 класса

Руководитель:

Ломакина Т. Н.

учитель математики

Тольятти, 2012

Содержание

Введение

ГЛАВА 1. Основные понятия, используемые в работе

1.1 Понятие магического квадрата

1.2 История появления и развития магических квадратов

1.3 Способы построения магических квадратов некоторых порядков

ГЛАВА 2. Постановка и решение задач исследования

2.1 Постановка первой задачи

2.2 Постановка второй задачи

2.3 Задача Альбрехта Дюрера

Заключение

Список литературы

Введение

Данная тема представляет определённый интерес из-за разнообразия магических квадратов, способов его построения, различных степеней сложности. Магические квадраты привлекали многих учёных, и нашли отражение в творчестве многих художников. Меня эта тема заинтересовала тем, что магические квадраты и способы их построения очень разнообразны и не до конца изучены. магический квадрат дюрер задача

Гипотеза: способ составления магических квадратов от 3 до 5 порядка.

Основная цель работы: исследование магических квадратов.

Основные задачи исследования:

1. познакомиться с понятием магического квадрата;

2. выяснить, где и когда был создан магический квадрат;

3. выяснить, какие способы составления ещё существует;

4. выяснить, как работает способ составления магического квадрата третьего порядка;

5. выяснить, как составляются магические квадраты нечётного порядка.

Основные методы решения поставленных задач: метод наблюдения за числами; чтение дополнительной литературы; составление таблиц и приведение примеров.

ГЛАВА 1. Основные понятия, используемые в работе

1.1 Понятие магического квадрата

Магический квадрат -- это квадратная таблица , заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением , хотя случай тривиален, т. е. квадрат состоит из одного числа.

1.2 История появления и развития магических квадратов

Существует китайская легенда, в которой говорится, что во времена правления императора Юй (около 2200 г. до н.э.) из вод Хуанхэ всплыла черепаха, у которой на панцире были начертаны таинственные иероглифы (Рис. 2), эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату.

Квадрат Ло Шу единственный нормальный магический квадрат - 3Ч3. Был известен ещё в Древнем Китаем, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200г. до н.э..

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия). Самый ранний уникальный магический квадрат (Рис. 3) обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо.

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай). В 13 в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка (Рис. 4), причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37). Квадрат Альбрехта Дюрера. Магический квадрат 4Ч4 (Рис. 5), изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514).

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2Ч2. В центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл. Если в квадратную матрицу n Ч n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат -- нетрадиционный. Ниже представлены такие магические квадраты (Рис. 6, 7, 8, 9), заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) -- квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия. Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н.Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

1.3 Способы построения магических квадратов разных порядков

Метод террас, описан Ю. В. Чебраковым в «Теории магических матриц». Для заданного нечетного n начертим квадратную таблицу размером N x N. Пристроим к этой таблице со всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру.

Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним ее диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до .

После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером N x N, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.

Другие способы

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. Найти все магические квадраты порядка удается только для , поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при . Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами поставить число

Ещё проще построение выполнить следующим образом. Берётся матрица n * n . Внутри её строится ступенчатый ромб. В нём ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом нечётных чисел. Определяется значение центральной ячейки C. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка C-1; нижняя левая ячейка C+1; нижняя правая ячейка C-n; верхняя левая ячейка C+n. Заполнение пустых ячеек в ступенчатых угловых треугольниках ведётся с соблюдением.

Шахматный подход. Известно, что шахматы, как и магические квадраты, появились десятки веков назад в Индии. Поэтому неслучайно возникла идея шахматного подхода к построению магических квадратов. Впервые эту мысль высказал Эйлер. Он попытался получить полный магический квадрат непрерывным обходом коня. Однако, это сделать ему не удалось, поскольку в главных диагоналях суммы чисел отличались от магической константы. Тем не менее, шахматная разбивка позволяет создавать любой магический квадрат. Цифры заполняются регулярно и построчно с учётом цвета ячеек.

ГЛАВА 2. Постановка и решение задач исследования

2.1 Постановка первой задачи

Пусть дан пустой магический квадрат третьего порядка. Как можно расположить числа от 1 до 9 так, чтобы сработало замечательное свойство этого квадрата?

Решение:

Эти числа можно расположить как упорядоченный ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Аналогично в центре квадрата будет стоять 5, так как это число стоит в середине ряда. Нечётные числа будут стоять выше, ниже, правее и левее числа 5 так, чтобы сумма строки и столбца равнялась 15. Потом наибольшее число вставляем в угловую ячейку с ближними наименьшими числами, а наименьшее- с наибольшими. А затем числа 4 и 6 будут расположены, образуя сумму 15.

Ответ: значит и этим способом можно построить и другие квадраты того же порядка.

Итак, сделаем первый вывод: упорядоченный ряд чисел взаимно связан с построением магического квадрата третьего порядка.

2.2 Постановка второй задачи

Пусть дан пустой магический квадрат пятого порядка. Как можно расположить числа от 1 до 25 так, чтобы сработало замечательное свойство этого квадрата?

Решение:

Если присмотреться к каждой пятёрке чисел, то можно заметить, что числа расположены в квадрате в виде буквы «Г», как ход шахматного коня.

Числом в середине квадрата будет 13. Давайте понаблюдаем за расположением чисел от числа 13 до 25. А теперь обратным путём от 13 до 1. При этом расстановка чисел производится четырьмя «ходами коня». После этого происходит сдвиг начальной точки для следующих четырёх ходов, причём сдвиг на одну клетку, всегда производится в противоположную сторону относительно направления более длинной стороны последнего «хода конём». А затем производится четыре хода и новый сдвиг, и так далее до полного заполнения квадрата.

Ответ: значит и этим способом можно построить и другие квадраты того же порядка, причём «ход коня» может быть направлен в разные стороны.

Итак, сделаем второй вывод: этот способ построения был придуман неслучайно. А значит этим способом можно построить другие квадраты пятого порядка благодаря тому, что возможно шахматы и магические квадраты появились в одной и тоже стране, они смогли объединиться в эффективный способ построения квадрата пятого порядка.

2.3 Задача Альбрехта Дюрера

Пусть дан пустой магический квадрат четвёртого порядка. Как выглядел квадрат Дюрера, если два числа в нижних средних ячейках указывали год создания талисмана, суммы чисел угловых клеток и центральных клеток образовывали магическую сумму.

Решение:

Если внимательно присмотреться на квадрат, изображённый на гравюре Дюрера «Меланхолия», то можно заметить, что числа, образующие год талисмана, раньше стояли на месте чисел 3 и 2, а эти числа - на месте чисел 15 и 14. После этого если центральные, правые и левые средние ячейки изобразить «зеркально», а потом поменять 5 и 9; 8 и 12 местами, то получается упорядоченный ряд чисел в квадрате от 16 до1.

Ответ: следуя этому алгоритму можно составить вот такой магический квадрат.

Вывод: возможно, этим способом воспользовался сам Альбрехт Дюрер.

Заключение

Проведённая выше работа позволила мне сделать следующие выводы:

1) при построении любых магических квадратов какого-либо порядка нужно следовать условию: если разница между двумя ближайшими числами упорядоченного ряда одинакова, то построение квадрата допустимо.

В противном случае построение невозможно.

2) если сумма чисел, которые находятся на строке, столбце и двух диагоналей, которые пересекают центр, делённые на количество ячеек, занятые этими числами, равняется числу в центре, то построение квадрата допустимо. В противном случае построение невозможно.

3) с помощью шахматного подхода можно придумать различные магические квадраты нечетного порядка.

Моё увлечение составлением и решением магических квадратов не остановится на данной работе, и я планирую в дальнейшем составить магический квадрат шестого и более высшего порядка.

Список литературы

1. Болл У., Коксетер Г. «Математические эссе и развлечения» - М.: Мир, 1986 г.

2. Гуревич Е.Я. «Тайна древнего талисмана» - М.: Наука, 1969 г.

3. Кроули А. «777. Каббала Алистера Кроули» - М.: ОДДИ-Стиль, 2003 г.

4. Оре О. «Приглашение в теорию чисел» - М.: Наука, 1980 г.

5. Петровец Т.Г., Ю. В. Садомова «Энциклопедия мировой живописи» - М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2000 г.

6. Постников M.М. «Магические квадраты» - М.: Наука, 1964 г.

7. Санаров А.В. «Магия талисманов. Практическое пособие» - М.: Велигор, 2002 г.

8. Abe G. «Unsolved Problems on Magic Squares» Disc. Math. 127, 1994 г.

9. Frйnicle de Bessy, B. «Des quarrez ou tables magiques. Avec table generale des quarrez magiques de quatre de costй.» В Divers Ouvrages de Mathйmatique et de Physique, par Messieurs de l'Acadйmie Royale des Sciences (Ред. P. de la Hire). Paris: De l'imprimerie Royale par Jean Anisson, 1693 г.

10. Gardner, M. «Magic Squares and Cubes» Гл. 17 в Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, 1988 г.

Размещено на Allbest.ru